（1+1） 維混合KdV 方程的Weierstrass 橢圓函數(shù)解

王 輝,關(guān)思宇,秦 路

（1.河南工程學(xué)院 理學(xué)院, 河南 鄭州 451191;2.鄭州市中原區(qū)教育局,河南 鄭州 450007）

對非線性演化方程精確行波解的研究在非線性物理學(xué)領(lǐng)域中起著非常重要的作用,針對一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜且具有物理應(yīng)用背景的演化方程,研究其精確解,可以使一些物理現(xiàn)象更合理地展現(xiàn)在人們面前,同時也可以使科學(xué)技術(shù)獲得更大進(jìn)步[1]。 目前,一些系統(tǒng)且成熟的方法應(yīng)運(yùn)而生,被應(yīng)用于求解各類非線性演化方程的精確解,較常見的有反散射方法、達(dá)布變換和貝克隆變換、雙線性直接導(dǎo)數(shù)方法、Nonlocal 對稱方法、Tanh 類雙曲函數(shù)法、橢圓函數(shù)法,以及更加復(fù)雜的代數(shù)幾何方法等[2-8]。 不同的方法有不同的特點和適用類型,得到的孤子解也形態(tài)各異,比如Peakon 解、Loop 解、扭孤子解、鐘孤子解、擬周期解等。 近年來,李德生等[9]提出了構(gòu)造孤子方程Weierstrass 橢圓函數(shù)解的新方法,即廣義的投影Riccati 方程展開法。 該方法對于同秩或非同秩的演化方程均適用,已大量應(yīng)用于有著重要物理意義的非線性演化方程中。

（1+1） 維混合KdV 方程為

式中:a0、a1、a2≠0,β ＞0。

方程（1） 是描述非線性晶體傳播方程u1+a1uux+a2u2ux+βuxxx= 0 的拓展方程,目前對其研究較少。翟子璇等[10]利用F - 展開法取特定參數(shù),獲得了孤立波解。 舒級等[11]使用G′/G擴(kuò)展法,獲得了該方程的Jacobi 橢圓函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理解。 陳南等[12]使用Painlevé 截斷展開法對該方程進(jìn)行求解,得到了指數(shù)形式的精確解。 本研究主要借助廣義的投影Riccati 方程展開法,得到新的具有雙周期性的Weierstrass橢圓函數(shù)解。

1 廣義投影Riccati 方程展開法

廣義投影Riccati 方程指的是函數(shù)F（ξ） 、G（ξ） 滿足

在文獻(xiàn)[9] 中,F（ξ） 、G（ξ） 具有如下關(guān)系:

則方程（2） 就有如下形式的Weierstrass 橢圓函數(shù)解:

而如果F（ξ） 、G（ξ） 滿足另一個新的關(guān)系:

則方程（2） 此時的Weierstrass 橢圓函數(shù)解就會變成如下形式:

其中,Weierstrass 橢圓函數(shù)滿足三次方程

顯然,式（5） 要比式（3） 更加復(fù)雜,但得益于Mathematica 數(shù)學(xué)軟件的符號計算功能,最終得到的Weierstrass 橢圓函數(shù)解也更加豐富。

2 （1 + 1） 維混合KdV 方程的Weierstrass 橢圓函數(shù)解

在行波變換u（x,t） =u（ξ） ,ξ=kx+ct下,式（1） 約化為如下常微分方程:

式中:u′= du/dξ。

對式（8） 關(guān)于ξ積分一次,取積分常數(shù)為0,有

設(shè)u（ξ） =b0+b1F（ξ） +b2G（ξ） ,將其代入式（9） 中,并充分利用式（2） 和式（3） ,可將式（9） 轉(zhuǎn)化為

由此,可以得到一個關(guān)于未知參數(shù)b0、b1、b2、k、c的代數(shù)方程組:

利用Mathematica 軟件的符號計算功能,可知該方程組有如下解（pq ＜0,a2＜0） :

由此,可得方程（1） 有如下精確解:

方程（7） 的解與Jacobi 橢圓函數(shù)cn（ξ;m） 有如下關(guān)系:

式中:m為Jacobi 橢圓函數(shù)的模,;e1、e2、e3是方程4z3-g2z-g3= 0 由大到小的3 個根。

以式（14） 為例,可以寫成如下形式:

由于當(dāng)m→1 時,即e2→e1時,有cn（ξ;m） →sech（ξ） ,sn（ξ;m） →tanh（ξ） ,dn（ξ;m） →sech（ξ） ,因而在退化的情形下,可得方程（1） 的新孤波解:

3 結(jié)語

本研究利用Weierstrass 橢圓函數(shù)δ（ξ;g2,g3） 及其導(dǎo)數(shù)來對（1+1） 維混合KdV 方程進(jìn)行求解。 Weierstrass 橢圓函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)具有雙周期性,因此通過投影Riccati 方程展開法獲得的解也具有雙周期性,同時這些雙周期性的解可以退化為孤波解和單周期三角函數(shù)解。 經(jīng)驗證,此方法對于同秩和非同秩的非線性演化方程均具有一定的適用性,但是否對所有具有孤子解的可積系統(tǒng)都適用仍需要進(jìn)一步研究。