貝葉斯推理運動軌跡相干累積的動目標檢測方法

楊文彬，王悅斌，李旦，，張建秋

1．電磁波信息科學教育部重點實驗室，上海 200433

2．復旦大學 信息科學與工程學院 電子工程系，上海 200433

為了提高雷達對弱目標的探測能力，對多脈沖回波信號進行長時間相干積累（Coherent Integration， CI），理論和實踐都證明是一種行之有效方法[1］。動目標檢測（Moving Target Detection， MTD）[1］是長時間相干累積中最常用的方法。該方法通過慢時間維的快速傅里葉變換，可實現(xiàn)回波能量在多普勒域的聚焦，提高了探測信噪比（Signal-to-Noise Ratio， SNR）[2-3］。 然 而，在MTD 的應用中，對具有未知運動形式的機動目標，進行長時間的積累將面臨兩大問題：一是目標的高速運動，將可能導致相干處理間隔（Coherent Processing Interval， CPI）內(nèi)的回波包絡跨越距離單元（Across Range Unit， ARU），產(chǎn)生距離徒動（Range Migration， RM）[3］；二是目標的加速運動，將可能導致跨多普勒分辨單元的多普勒頻率徒動（Doppler Frequency Migration，DFM）[4］。這2 個問題會極大地降低脈沖多普勒雷達的相干積累增益[5］。

針對由目標高速運動導致的線性距離徒動，最常見的2 種處理方法是Keystone 變換[3］和Radon 傅 里 葉 變 換（Radon Fourier Transformation， RFT）[6］。Keystone 變換通過插值的方式，解耦快和慢時間維頻率的耦合關系，以補償目標回波中的距離徒動。而RFT 則通過距離-速度的聯(lián)合搜索來克服距離徒動。但是，它們均忽視了非合作目標可能的加速運動，因此不能同時對距離和多普勒徒動進行補償[7］。

為補償由目標高階運動導致的距離和多普勒徒動，近年來文獻報道了一系列改進算法。這些方法大多假設目標的運動可由不大于三階的多 項 式 描 述[4］。 其 中，高 階Keystone（High-Order Keystone）變換[8］能實現(xiàn)快和慢時間維度高階運動項間的解耦，但在校準多普勒徒動時會引入新的距離徒動，增加了后續(xù)處理的復雜性。為了不引入新的距離徒動，文獻[9］提出了廣義的RFT（Generalized Radon FFT， GRFT）。理論上，當目標的運動能用三階多項式準確描述時，GRFT 通過對目標四維運動參數(shù)空間（距離、速度、加速度和加加速度）的聯(lián)合搜索，可準確地估計出目標的運動軌跡，并實現(xiàn)高能量集中度的相干累積。但這樣復雜的搜索過程，在實際中幾乎不可能實現(xiàn)[5］。為了降低復雜度，文獻[7］報道了一種Radon 變換及改進高階全稱呂分布（Radon-Modified High-order LV’s distribution， R-MHLV）的算法。該算法首先在距離-速度域內(nèi)，利用Radon 變換進行二維搜索，粗略提取目標的運動軌跡?；谔崛〉能壽E，改進高階呂分布（Modified High-order LV’s distribution，MHLV）就可用于估計目標的多項式運動參數(shù)。利用運動參數(shù)補償距離/多普勒徒動后，就可實現(xiàn)目標的探測以及距離/速度的估計。然而，MHLV 是一種四階非線性變換，其交叉項在低信噪比時將難以抑制[10］。為了克服非線性帶來的影響，文獻[10］報道了一種Radon 變換及二階補償（Radon Second-order Compensation，R-SC）算法。該算法首先對距離徒動進行粗估計，然后通過速度-加速度聯(lián)合的二維搜索來構造匹配濾波器（Matched Filter， MF），以實現(xiàn)距離和多普勒徒動的補償。該方法是一種線性方法，在低信噪比表現(xiàn)尚可。但是，同R-MHLV 一樣，它依然需要進行多維參數(shù)聯(lián)合搜索。

針對上述算法復雜度較大的問題，近年來文獻報道了一些非搜索類的算法，如相鄰交叉相關函 數(shù)（Adjacent Cross Correlated Function，ACCF）[5］、距離頻率多相變換（Range Frequency Ploy Phase Transformation， RFPPT）[11］、時間翻轉-非參數(shù)重采樣稀疏長時間相干累計（Time-Reversed and Non-Uniform resampling Sparse long-time Coherent Integration，TRNU-SCI）[12］等。這些算法一般依賴精心設計的某種自相關函數(shù)，并結合LV 分布等信號參數(shù)估計算法，來獲得描述目標多項式運動模型中的參數(shù)。然而，高階自相關函數(shù)和LV 分布的非線性，將使得目標回波信號間，以及目標回波與噪聲間產(chǎn)生難以抑制的交叉項。這些交叉項，甚至有可能淹沒原有的目標信號，如此就增加了算法對檢測條件的要求[7，13］，進而極大地限制了它們的應用。

針對脈沖回波處理間隔內(nèi)，待檢測目標存在未知的距離和/或多普勒徒動問題，本文提出了一種貝葉斯推理運動軌跡相干累積的動目標檢測方法。首先，通過對脈沖壓縮回波信號的距離頻率進行翻轉，就可從未翻轉與翻轉后回波信號相乘的傅里葉逆變換中，提取慢時間維描述多目標運動的時頻信號。當視該時頻信號中各目標運動為狀態(tài)變量，慢時間維時頻信號為它們的觀測時，就為多目標運動軌跡的估計，建立起了可據(jù)貝葉斯濾波推理的狀態(tài)空間模型。一旦推理獲得了各目標運動軌跡，就可構建出快和慢時間維聯(lián)合的匹配濾波器來補償因目標運動可能產(chǎn)生未知的距離和/或多普勒徒動，進而為高/超機動目標的探測提供了新方法。由于本文算法無需進行三維及以上搜索，因此就可在較低的計算復雜度下，實現(xiàn)多機動目標的檢測。理論分析和仿真實驗均證明，本文提出的算法適用具有復雜且未知運動狀態(tài)的目標，且呈現(xiàn)出了優(yōu)于文獻報道方法的性能。

本文結構安排如下：第1 節(jié)介紹了脈沖多普勒雷達系統(tǒng)的信號模型；第2 節(jié)提出了貝葉斯推理目標運動軌跡的方法；第3 節(jié)給出了相干累積方法及算法流程；第4節(jié)分析了輸出信噪比和計算復雜度；第5節(jié)給出了數(shù)值仿真實驗結果；第6節(jié)總結全文。

1 信號模型

一脈沖多普勒雷達在M 個脈沖構成的一個CPI 內(nèi)，發(fā)射信號可表示為[1］

式中：τ 表示快時間；?(τ)為脈沖信號，其持續(xù)時間為Tp；tm=(m-1)Tr(m=1，2，…，M )表示慢時間；Tr?Tp為脈沖重復間隔（Pulse Repetition Interval，PRI）；f0表示雷達的工作頻率。不失一般性地假設脈沖信號為線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulation， LFM）信號[1］：

在單次脈沖壓縮（Pulse Compression，PC）的過程中，可假設目標不發(fā)生移動[1］。那么，當發(fā)射的脈沖由空間中K 個點狀目標反射并接收，再經(jīng)解調(diào)得到的二維基帶回波信號就可建模為[1-2］

式中：Areck和Rk(tm)分別為第k 個目標反射信號的幅度和在慢時間維度上描述其運動的函數(shù)；c 為光速。一般地，Rk(tm)可表述為[10］

式中：Rk，0為目標的初始位置；ΔRk(tm) 是運動軌跡，為連續(xù)函數(shù)，如：三階多項式ΔRk(tm)= vktm+αkt2m+βkt3m，其中：vk、αk、βk分別表示目標的速度、常加速度和加加速度[5］。

經(jīng)過脈沖壓縮后，二維接收回波信號式（4）可進一步表示為[1］

式中：Ak表示脈沖壓縮后第k 個目標的幅度。由式（5）可知，運動軌跡大于距離分辨率時，將導致距離徒動；與此同時，當ΔRk(tm) 呈非線性變化時，將可能導致多普勒徒動。為了提高雷達長時間相干積累的增益，就需要對距離和多普勒徒動進行補償，否則將以高概率發(fā)生漏警[4-5］。

2 動目標運動的估計

為補償距離和多普勒徒動，就需要獲知目標的運動軌跡。為了估計它們，本節(jié)將研究慢時間維時頻信號的提取，以及基于提取的時頻信號，估計運動軌跡的方法。

2.1 多目標慢時間維信號提取

為提取出式（5）中與多目標運動相關的信號exp[-j4πf0Rk(tm)/c] ，k=1，2，…，K，對回波信號進行快時間維傅里葉變換（Fourier Transform，F(xiàn)T），即將信號s(τ，tm)變換到距離頻率-慢時間（Range-Frequency Versus Slow-Time）域上有

式中：f ∈[-fs/2，-fs(N-1)/2N，…，fs2 ]為距離頻率單元；fs為采樣頻率；N 表示快時間維上的采樣數(shù)目；AFk表示第k 個目標頻域上的幅度。

對式（6）中的二維信號，以0 頻率為中心，對其進行上下翻轉后得：

式中：sself(τ，tm)和scross(τ，tm)分別表示信號的自項和交叉項，表達式分別為

式中：ak表示第k 個目標自項的幅度；bk，ρ表示第k和第ρ 個目標間交叉項的幅度。式（8）和式（9）的推導請參見附錄A。

信號s2(τ，tm)中有且僅有sself(τ，tm)集中在τ=0附近，就有：

2.2 目標運動軌跡估計

式（10）給出的信號，可由文獻中報道的任一時頻分析方法，獲取目標運動軌跡的時頻圖?？墒?，如何將時頻圖與目標關聯(lián)卻是一件困難的工作[14］。為解決這一問題，本節(jié)將介紹運動軌跡估計的方法。為了描述的簡潔，首先引入一變量

文獻[15］報道了一種利用多項式預測模型（Polynomial Prediction Model，PPM），對式（11）相位進行建模的方法。在其模型中：

式中： xk(tm)=[k(tm)，θk(tm)，…，θk(tm)]T∈R(L+1)×1表示聯(lián)合狀態(tài)矢量；F ∈R(L+1)×(L+1)表示如下狀態(tài)轉移矩陣[14］：

ζk(tm)∈R(L+1)×1是描述使用分段低階多項式近似式（10）中模型時的誤差。該誤差可表示為0 均值的高斯噪聲，且噪聲的協(xié)方差矩陣為對角矩陣對角線上的元素σl，l=1，2，…，L 則是信號相位的擾動強度。

綜上，式（10）可由如下的狀態(tài)空間模型描述[14，17］：

式中：η(tm)為均值為0 的測量噪聲，其方差的估計2η將 在2.3 節(jié) 中 給 出。如 此，當 目 標 數(shù) 目K 已知時，非線性貝葉斯推理的濾波算法，如擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter， EKF）、無跡卡 爾 曼 濾 波（Unscented Kalman Filter，UKF）[17］，就可對狀態(tài)空間模型進行推理了。

2.3 濾波算法初始化

在應用中，雷達觀測的目標數(shù)一般是未知的，因此為估計式（10）中信號的目標數(shù)K，本節(jié)將給出基于稀疏迭代自適應協(xié)方差估計（SParse Iterative Covariance-based Estimation， SPICE）的方法。SPICE 將求解如下加權協(xié)方差擬合（Weighted Covariance Fitting， WCF）問題[18］：

式 中：y0=[ y(t1)，y(t2)，…，y(tD)]T∈CD×1表示慢時間維信號最初D?M 個觀測數(shù)據(jù)，通?？梢哉J為其是近似平穩(wěn)的，這意味著y0可用線譜模型來 描 述[14］；||·||F表示 矩 陣 的Frobenius 范 數(shù)。觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R 建模為[18］

式 中：q ?[q1，q2，…，qI+N]T∈R+I+N為 上 述 協(xié) 方差的模型參數(shù)。令I 表示離散化的頻點個數(shù)，B=[b(ω1)，b(ω2)，…，b(ωI)]∈CD×I表示 頻 率 的 導向 矩 陣 ， 其 每 一 列 b(ωi)=是離散頻率ωi的導向矢量。

式（17）中的加權協(xié)方差擬合問題，可由如下迭代的方式求解[18］：

式中：i = 1， 2，…， I + D；當i ≤ I 時，βi= D2，當i ＞ I 時，βi= 1；R?j-1表示 第j-1 次 迭 代 過 程中的協(xié)方差估計值。當算法收斂或達到預設迭代次數(shù)時，就可由式（18）獲得擬合的協(xié)方差?；谠搮f(xié)方差，使用判別函數(shù)估計法（Discriminant Functions Estimator， DFE）等 就 可 獲 取式（10）中觀測目標數(shù)的估計K[19］。

從式（18）可知，當協(xié)方差估計完成后，qs=[q1，q2，...，qI]T就是信號的功率譜。這也就意味著：K 個目標就對應于qs中K 個最大的局部峰值。令k和k，0分 別 表示 第k 個 目 標 幅 度 和 頻 率的估計，那么第k 個目標初始幅度和相位因子的估計就為

考慮到式（14）狀態(tài)矢量xk(t1)中的各相位存在如下關系[14］：

取θk(t1)=0 時，xk(t1)中各相位的初值便可由式（22）遞推關系得到。

由式（18）也可知，SPICE 同時對觀測噪聲進行了建模，這樣觀測信號的噪聲協(xié)方差就可估計為

值得注意的是，基于式（20）和式（21）的初始化方式可能存在誤差，但這些誤差都可以用式（16）狀態(tài)空間模型中的過程噪聲描述，且隨著濾波算法的進行，初始化的估計誤差帶來的影響將會逐步減小[17］。除此之外，DFE 在低信噪比下更傾向于多估計目標[19］，但對于動目標檢測而言，即使出現(xiàn)少量的“虛假目標”，在3.1 節(jié)中也會因為在相干累計時能量集中度低而被消除。

3 相干累積

3.1 匹配濾波相干累積

目標的高速運動常導致速度模糊現(xiàn)象[20］。這樣第k 個目標的運動軌跡的估計ΔR?k(tm)和推理得到的(tm)間將存在如下關系[20］：

式中：pk∈Z 表示模糊整數(shù)（Ambiguous Integer）[20］。一般地，模糊整數(shù)是未知的，這樣就無法由式（24）正確地估計目標的位移。為此，本節(jié)將使用一種搜索的方式對目標進行相干累計。

對第k 個目標，p ∈Z 對應的軌跡估計為

其中：

令δRk(tm，p)=ΔRk(tm)-ΔR?k(tm，p)表示距離徒動的補償殘差，則從式（27）可以看到：當δRk(tm，p)=0 時，有：

此時式（29）中第k個目標因其運動而產(chǎn)生的距離和多普勒徒動可完全消除。不過S?pother(f，tm)依舊會對第k個目標的檢測產(chǎn)生干擾。為抑制這種干擾，可先將式（27）變換到快時間域，隨后進行慢時間維傅里葉變換得：

式中：AOk代表第k個目標的輸出幅度 ，fd∈[-0.5，-(M-2)/2M，…，0.5]則表示歸一化的多普勒頻率。顯然，式（30）中有且僅有第k個目標的信號集中在fd=0 附近，而其他目標的影響將得到抑制。定義輸出的距離聚焦分布為

若p取不同值時，在一個CPI 內(nèi)造成的位移大于一個距離分辨單元，則僅存在一個p使得|Ck(τ，p)|2最大。這樣，目標初始位置和模糊常數(shù)的聯(lián)合估計為[3］

對應地，瞬時速度的估計為[3］

式 中：vb=c/2f0Tr表示 盲 速 度（Blind Speed）；vambk∈[-vb/2，vb/2]為模糊速度（Ambiguous Velocity）。一般而言，模糊整數(shù)的搜索范圍有限[3，20］，故上述流程能以合理的計算復雜度校準距離徒動。

3.2 算法流程

圖1 給出了本文提出的貝葉斯推理目標運動軌跡相干累積的機動目標檢測算法流程圖。

圖1 本文提出算法流程圖Fig.1 Flow chart of the proposed algorithm

4 性能分析

4.1 輸出信噪比

考慮僅含單一機動目標回波的信號：

式中：ε(τ，tm)表示脈沖壓縮后的加性高斯白噪聲。

不失一般性地，假設目標的模糊常數(shù)p1已知，這樣使用匹配濾波器H1p1(f，tm)對噪聲進行處理后將得到

式（35）中的噪聲將服從復高斯分布CN (0，Mσε2)[20］。定 義 輸 入 信 噪 比 為SNR1IN=A21/σε2，則 由 柯 西- 施 瓦 茨 不 等 式（Cauchy-Schwarz Inequality）知，當θk(tm)的估計存在誤差，即H1p1(f，tm)非完美時，輸出信噪比將有如下關系：

式 中：ξ(tm)=θ(tm)-(tm)=cδR1(tm)/4πf0表示非理想匹配濾波時的估計誤差；0 ＜ψ＜1 表示增益損耗率。由式（36）則可知，CPI 內(nèi)脈沖數(shù)越多，匹配濾波器越完善，輸出信噪比將越高。輸出信噪比的分析詳見附錄B。

4.2 算法復雜度

本文算法主要存在如下運算量：

1） 慢時間維度信號提取階段：需進行M次快時間維度IFFT，復雜度Ο(MNlog2N)。

2） 軌跡推理階段：初始化時，SPICE 運算復雜度主要在矩陣求逆上[18］，其復雜度近似為Ο(I3)。而濾波時運算量主要來自于矩陣求逆，故濾波的復雜度為Ο(M((L+1)K)3)[21］。

3） 相干累積階段：設模糊常數(shù)的搜索數(shù)為Np，則每個目標每次需進行M次快時間維IFFT和N次慢時間維的FFT，以及MN的乘法，總復雜度為

若有K?M＜N[20］，則本文中的算法復雜度可近似表示為

表1 中總結了在機動目標滿足三階多項式運動假設時，MTD、RFT[6］、R-SC[10］、R-MHLV[7］、TRNU-SCI[12］以及GRFT[9］這6 種對比算法的算法復雜度。表1 中，Nv、Nα和Nβ分別為三階多項式模型的無模糊速度、常加速度、加加速度的搜索格點數(shù)。由表1 可以發(fā)現(xiàn)：基于多維參數(shù)搜索的算法，其復雜度將遠高于本文算法；但本文算法的復雜度略高于TRNU-SCI。圖2 中展示了各算法在目標數(shù)K=2 時，不同脈沖數(shù)下運算復雜 度 對 比，其 中，I=Nv=Nα=Nβ=M；N=1 024。

表1 算法復雜度比較Table 1 Comparison of computational complexity

圖2 計算復雜度曲線Fig.2 Curves of computational complexity ratio

5 數(shù)值仿真

為評價本文提出算法的性能，本節(jié)將給出數(shù)值仿真結果。仿真系統(tǒng)的參數(shù)如表2 所示。若不特別說明，本文仿真中的參數(shù)均遵循表2 中的設置。設雷達需探測的速度范圍為[-1 200 m/s， +1 200 m/s］，則模糊常數(shù)搜索范圍為[-10， 10］。

表2 雷達仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters of radar

5.1 算法有效性驗證

本節(jié)將討論存在多個機動目標時，相干累積探測目標的結果。如表3 所示，是符合三階運動假設的目標1 和2 的參數(shù)。

表3 高速目標參數(shù)（目標1 和2）Table 3 Parameters of high-speed targets（Target 1 & 2）

實際目標一般都是運動模式未知的非合作目標。故在本小節(jié)中加入具有復雜的高階運動模型的目標3。目標的初始位置為6.80 km，幅度同目標1，運動軌跡為

脈沖壓縮后，回波信號的對目標1 的信噪比為6 dB[7］。綜合考慮濾波算法復雜度與濾波的性能，選用UKF 作為式（16）的非線性濾波算法[14］。濾波算法的復雜度將隨著L增加而增加[14，17］，而二階多項式模型足以描述復雜的機動特性，故本文中FIR的抽頭數(shù)L= 3，且對應的多項式模型階數(shù)為2。在濾波器的初始化階段，取D= 48，SPICE 中的頻點數(shù)取I= 512，迭代次數(shù)為6。實驗中，假設目標具有相同的過程噪聲協(xié)方差，且其對角線上的元素為[1×10-4， 1×10-9， 1×10-9， 1×10-9］，而觀測噪聲的方差則由式（23）估計得到。

圖3 給出了本文算法的結果。圖3（a）為經(jīng)過脈沖壓縮后的原始回波，此時，多個目標間的軌跡出現(xiàn)了顯著的交叉。圖3（b）為慢時間維時頻信號的STFT 時頻譜，此時目標的強機動性使時頻譜出現(xiàn)了許多不連續(xù)的瞬時速度脊線。這就使得基于時頻分布進行軌跡關聯(lián)的瞬時速度估計算法，如三階最大似然法（Quasi-Maximum Likelihood，QML）[22］，自 適 應 迪 利 克 雷 混 合 模 型Rao-Blackwellised 粒 子 濾 波 器（Adaptive Dirichlet Process Mixture model-based Rao-Blackwellised Particle Filter， ADPM-RBPF）[23］等都將失效。與此同時，由于軌跡交叉現(xiàn)象的存在，快時間頻域翻轉結果中目標位置相同的時刻交叉項的能量不能被完全消除，出現(xiàn)了一些能量較高的點。但是，這些點一般具有突發(fā)性和短時性，可以看作是沖擊性的噪聲/雜波，并在濾波算法中或后續(xù)相干累積中被消除。圖3（c）為文獻[23］中基于STFT 時頻脊線提取法獲得的瞬時速度估計結果；圖3（d）為基于本文算法得到的瞬時速度估計結果。對比圖3（c）和圖3（d）可以看到：得益于式（16）狀態(tài)空間模型，在速度跨越盲速度周期/變化軌跡交叉時，本文算法依舊能得到連續(xù)的瞬時速度估計，也就是說，估計的目標運動軌跡是連續(xù)的。圖3（e）為MTD 得到的相干累積檢測結果，此時目標能量聚集度很差。為了繪制本文算法獲得的相干累積分布，本文定義如下多普勒維向量：

圖3 多目標的處理結果Fig.3 Drocessing results of multiple targets

接下來繼續(xù)研究在不同信噪比條件下，所提出的算法對速度估計的相對均方根誤差（Relative Root Mean Square Error ，R-RMSE）和檢測率間的關系。速度估計的R-RMSE 定義為

式中：NMC表示蒙特卡洛仿真實驗的次數(shù)，在本節(jié)中 取NMC=500；vk=[vk(t1)，vk(t2)，…，vk(tM)]T表示 目 標 的 真 實 速 度 矢 量則表示第n次實驗中估計的速度矢量；||·||2表示向量的2 范數(shù)。仿真實驗中，使用單元平均恒虛警檢測（Cell-Averaging Constant False Alarm Rate， CACFAR）[1，5］器 檢 測 目 標，其 虛 警 率 設 置 為Pfa=10-4。實驗中加入的噪聲為高斯噪聲，且脈沖壓縮后信噪比的變化范圍為-20～20 dB。為了在低信噪比下獲得魯棒的探測效果，本文采取多級處理的方法[24］，首先使用MTD 的距離速度譜以較高的虛警率大致確定目標的范圍，再進行頻率翻轉操作提取慢時間維時頻信號。圖4 為目標3的實驗結果，可以看出，速度相對誤差隨輸入信噪比的增加而逐漸減小。

圖4 目標3 不同信噪比條件下速度估計的R-RMSE 和探測率的關系Fig.4 Comparison of velocity estimation R-RMSE and detection probability of Target 3 with different SNRs

5.2 算法性能

5.2.1 相干處理結果

本 節(jié) 仿 真 實 驗 將 給 出RFT[6］、R-SC[10］、RMHLV[7］以及TRNU-SCI[12］的檢測結果，實驗設置同5.1 節(jié)。

圖5（a）～圖5（d）分別給出了上述4 種對比算法的相干累積檢測結果。圖5（a）為RFT 方法的結果，幾乎不能區(qū)分出任何一個機動目標。圖5（b）為R-SC 的檢測結果，可以看到，僅有目標2的相干累積能量集中度較高。圖5（c）為R-MHLV 的檢測結果，可以發(fā)現(xiàn)該算法對目標1 和2 具有較好的能量集中度。然而，對于具有復雜運動模式的目標3，基于目標三階運動假設的R-MHLV，亦無法應對。圖5（d）為TRNU-SCI 的輸出結果，可以看到該算法的表現(xiàn)略差于R-MHLV，這是因為該算法的翻轉操作在存在多個待測目標的情況下，會產(chǎn)生新的交叉項，在一定程度上會干擾二次運動項的檢測，從而影響后續(xù)的距離/多普勒補償。從圖5 以及本文算法（圖3（f））對目標3 的檢測結果，可以看到本文算法優(yōu)于對比算法；且目標1 和目標2 的相干累積效果，亦與R-MHLV 相當。

圖5 4 種算法的相干處理結果Fig.5 Coherent integration results with four algorithms

5.2.2 目標探測性能

本節(jié)中將研究5.2.1 節(jié)中的各對比算法與本文提出方法在不同信噪比下對目標1和目標3的檢測率。仿真實驗中信噪比的變化范圍從-30～20 dB，NMC=500，其余設置同實驗5.1節(jié)。

圖6 展示了各算法在不同信噪比下對目標1的探測率?？梢钥吹剑罕疚乃惴▋?yōu)于文獻報道算法，但仍與GRFT 還有差距。這是因為目標1 滿足三階運動模型，而GRFT 通過對目標“距離-速度-加速度-加加速度”進行足夠細致的多維聯(lián)合搜索，可以達到理想的最大輸出信噪比，從而獲得最優(yōu)的探測性能[11］。而本文所提出的算法，存在噪聲時對軌跡的估計總會存在一定的誤差，導致性能有所損失。

圖6 各算法在不同信噪比下對目標1 的探測率Fig.6 Detection probability of each algorithms of Target 1 with different SNRs

圖7 給出了各算法在不同信噪比下對目標3的探測率?？梢钥吹剑繕? 不滿足三階運動模型的目標，此時本文算法的探測性能優(yōu)于GRFT。這說明，即使高超機動目標具有復雜運動模式，本文方法依舊能對其實現(xiàn)高能量集中度的相干累積。

圖7 各算法在不同信噪比下對目標3 的探測率Fig.7 Detection probability of each algorithms of Target 3 with different SNR

5.3 討 論

估計信號分量數(shù)目時，窗長D是一個重要的參數(shù)。由譜估計理論可知：當觀測長度為D時，其分辨率為1/D[25］。故在給出表2 基本參數(shù)條件下，能區(qū)分的2 個目標間的最小速度差為150/Dm/s。為了研究觀測窗長D對目標數(shù)估計性能的影響，本節(jié)將研究不同窗長下，目標數(shù)估計的成功率與信噪比的關系。在本節(jié)實驗中，所選用的目標回波信號中分別包含初始頻率分別為1 000 m/s 和996 m/s 的2 個信號，除此 之外2 個信號的其余設定分別同5.1 節(jié)中的目標1 和目標2。為更好地展示窗長D對識別成功率的影響，本節(jié)實驗僅在無噪情況下提取的慢時間維信號中添加高斯噪聲，且信噪比的變化范圍為[-15 dB，10 dB］。不同信噪比條件下，每組實驗進行100 次蒙特卡洛仿真。

圖8 給出了在不同信噪比和窗長D條件下，目標數(shù)識別的成功率。可以發(fā)現(xiàn)：D越大，在低信噪比下的成功率越高[25］。但這并不意味著D越大越好，因為D過大時觀測窗內(nèi)的數(shù)據(jù)將很難滿足局部平穩(wěn)條件，反而會使估計的成功率下降。

圖8 不同信噪比下不同窗長的識別成功率Fig.8 Detection success rates for different window length at different SNR

6 結 論

針對雷達脈沖回波處理間隔內(nèi)，由于未知的距離和/或多普勒徒動而導致待檢測目標相干累積性能下降的問題，本文提出了一種貝葉斯推理目標運動軌跡相干累積的動目標檢測方法。

1） 該算法使用距離頻率翻轉法獲得慢時間維描述多目標運動軌跡的時頻信號；隨后，基于該信號構建多目標運動軌跡的狀態(tài)空間模型就可實現(xiàn)目標運動軌跡的推理。

2） 基于貝葉斯濾波推理出的各目標運動軌跡設計出快-慢時間維匹配濾波器來補償機動目標的距離和/或多普勒徒動，從而為高超機動目標的檢測提供了手段。

3） 理論分析和仿真結果均表明本文提出的算法能適用于復雜的運動狀態(tài)，在多機動目標的仿真檢測中，呈現(xiàn)出了優(yōu)于文獻報道方法的性能。

附錄A：

將S( f，tm)與S(tm)相 乘，可 得 距 離 頻 率-慢時間維信號：

可以發(fā)現(xiàn)式（A1）中，當且僅當k=ρ 時，它的（a）項中指數(shù)為0 而且可完全消失。如此，式（A1）信號中僅留下與慢時間有關的部分。

對（A1）式中的進行快時間維的IFT，得

式中：sself(τ，tm)和scross(τ，tm)分別是式（9）的自項和交叉項。

附錄B：

在匹配濾波器非理想的情況下，目標距離-多普勒位置處，相干累積的輸出為

為了方便研究其性質(zhì)，假設3.1 節(jié)中的估計結果，是對真實值的一種近似無偏估計，且其誤差ξ(tm)服從均值為0， 方差為

的高斯分布[17］。那么可對式（B1）進行如下近似：

1） （a）項的sinc 函數(shù)可近似為[20］：

這樣，（a）項的取值就可由一個伯努利分布（Bernoulli Distribution）近似描述為

在誤差服從高斯分布的假設下，該伯努利分布 取1 的 概 率 為p1=p(|ξ(tm)|＜π2f0/B)，其 數(shù)值可由查表法獲取。

2） （b）項可近似描述為[26］

其中：0 ＜γ ＜1 表示對相位估計的理想程度，或稱為純凈度[26］。在上述噪聲誤差假設下，則有且

基于上述近似，易知（a）和（b）兩項中的雖然有相同的變量，但由于二項分布的取值特性及正態(tài)分布的各向同性性，因此就可近似地認為（a）和（b）項中的隨機變量相互獨立。這樣，式（B1）的期望就為

由柯西-施瓦茨不等式還可知，輸出信噪的上界為

由式（B8），上述輸出信噪比上界的期望為

據(jù)5.1 節(jié)給定的運動參數(shù)，本文下面將研究在不同CPI 長度的條件下，本文方法實際輸出SNR，輸出SNR 的上界與理想輸出SNR 的關系。實驗中CPI中脈沖數(shù)的范圍從100～1 000，且每種CPI長度下進行500 次蒙特卡洛仿真。實驗中，輸出噪聲協(xié)方差的估計方法與CA-CFAR 相同；理論上界中與目標運動相關相位的計算誤差方差，則由式（B2）獲得。從圖B1 可以看出，所提算法的實際輸出信噪比與理想情況相距不大。

圖B1 不同CPI 長度下本文算法實際輸出SNR、理論輸出SNR 上界與理想輸出SNRFig.B1 SNR given by proposed algorithm， theoretical output SNR up-bound and ideal output SNR with different length of CPI