全狀態(tài)約束切換系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

萬 敏, 楊山山, 黃山山, 鄧啟志

1. 西南石油大學, 成都 610000 2. 中國石油天然氣股份有限公司西南油氣田分公司, 綿陽 621700

0 引 言

切換系統(tǒng)是一類混雜系統(tǒng),它是由有限個數(shù)子系統(tǒng)和控制子系統(tǒng)切換次序的切換律(切換信號)構(gòu)成的[1].實際上,許多系統(tǒng)都可以通過切換特性進行描述,例如汽車變速系統(tǒng)[2]、電壓轉(zhuǎn)換系統(tǒng)[3]、智能機器人系統(tǒng)[4]、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[5]和飛行器控制系統(tǒng)[6]等.因此,切換系統(tǒng)也受到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注,并且也得到了一些理論成果[7-9].目前,對于非線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析主要有兩種方法:共同Lyapunov函數(shù)法和多Lyapunov函數(shù)法以及其衍生的平均駐留時間,這兩種設(shè)計方法能有效地解決非線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定和跟蹤控制問題.文獻[10]針對一類切換不確定非線性系統(tǒng),基于平均駐留時間和反步法設(shè)計了一種新的自適應(yīng)模糊控制技術(shù).文獻[11]針對一類切換不確定非線性系統(tǒng),設(shè)計了一種基于共同Lyapunov函數(shù)的自適應(yīng)模糊反饋控制方法.但是以上文獻中使用的反步法由于在推導過程中需要每一步都對虛擬控制求導,使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的輸入變量急劇增多,設(shè)計的控制器隨著系統(tǒng)階數(shù)的增高而變得愈發(fā)復雜,即存在著“復雜性爆炸”問題,因此上述文獻中的成果還存在著一些不足.

狀態(tài)約束是指系統(tǒng)由于安全性和性能因素等原因要求其某些狀態(tài)在暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)時滿足一定的約束條件.在實際工業(yè)生產(chǎn)中,如果忽視這些約束限制帶來的系統(tǒng)狀態(tài)“越界”的情況,可能就會引發(fā)嚴重的事故,造成不必要的財產(chǎn)損失,因此對于狀態(tài)約束控制的研究是非常必要的.目前對于狀態(tài)約束控制的研究多是引入合適的BLF防止系統(tǒng)違反相應(yīng)的約束條件.文獻[12]針對一類主動懸架系統(tǒng)的狀態(tài)約束問題,提出了一種基于反步法和BLF的自適應(yīng)輸出反饋控制方法.但是該文獻研究的系統(tǒng)約束條件是靜態(tài)約束,缺乏一般性.文獻[13]針對未建模動態(tài)的非線性切換系統(tǒng),研究了基于狀態(tài)約束的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤控制問題.但是該文獻控制器的設(shè)計需要系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是可測的,然而大多數(shù)情況下僅僅只有系統(tǒng)的輸出信號是可以直接測量的.文獻[14]針對一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的嚴格反饋非線性系統(tǒng),提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器的動態(tài)表面輸出反饋控制技術(shù),達到了良好的控制精度.但是其沒有考慮存在切換系統(tǒng)的情況,也沒有解決切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.

本文的特點在于,工程實際系統(tǒng)通常是一個受多種因素影響的復雜系統(tǒng),而針對具有全狀態(tài)約束、狀態(tài)不完全可測以及未知外部干擾的非線性系統(tǒng)進行研究而設(shè)計的控制算法是更符合工程實際的.不過,由于反步設(shè)計方法中“復雜性爆炸”問題的局限性,設(shè)計的控制器也大多只能應(yīng)用于一些低階實際系統(tǒng).因此利用動態(tài)表面控制技術(shù),即在反步設(shè)計方法中引入一階濾波器,將復雜的微分運算變?yōu)楹唵蔚拇鷶?shù)運算,從而避免了控制器設(shè)計過程中反復對虛擬控制律求導的過程,極大地簡化了控制器的設(shè)計過程;通過對帶電機驅(qū)動的機械臂模型進行仿真實驗,結(jié)果也表明設(shè)計的控制算法能有效應(yīng)用于實際工程模型,指導工程實踐.

1 被控系統(tǒng)模型及準備

1.1 系統(tǒng)模型描述及基本假設(shè)

考慮如下一類嚴格反饋非線性切換系統(tǒng),其形式如下所示:

(1)

其中:X=[x1x2…xn]T∈Rn,i=1,2,…,n-1是狀態(tài)向量,且只有x1是可測的;uσ(t)∈R是控制信號,σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,m}是系統(tǒng)的切換信號,并且它是一個右分段連續(xù)函數(shù);當σ(t)=k時,即第k個子系統(tǒng)處于運行狀態(tài),uk∈R是第k個子系統(tǒng)的控制器輸入,y∈R是系統(tǒng)的輸出,fi,σ(t)(i=1,2,…,n)是一個未知非線性光滑函數(shù),di,σ(t)(t)(i=1,2,…,n)是未知擾動.

(2)

控制目標:1)設(shè)計一個自適應(yīng)輸出反饋控制器,使得輸出y(t)能夠跟蹤期望軌跡yd(t),且跟蹤誤差z1=y-yd盡可能小;2)保證閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號有界;3)系統(tǒng)中的所有狀態(tài)都不違反約束.

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器設(shè)計

對于第k個子系統(tǒng),非線性切換系統(tǒng)(1)可以寫成如下形式:

(3)

(4)

(5)

其中,

(6)

(7)

因此,最小逼近誤差可以表示成如下形式:

(8)

將式(5)和式(8)代入式(3)可得

(9)

因此對于第k個子系統(tǒng),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器可以設(shè)計成如下形式:

(10)

(11)

2 自適應(yīng)控制律設(shè)計

對于自適應(yīng)控制律的推導過程包括n步,通過在每一個步驟中選擇恰當?shù)恼系KLyapunov函數(shù)Vi,k,i=1,2,…,n,k∈{1,2,…,m}來構(gòu)造虛擬控制律.控制器設(shè)計步驟如下:

定義z1為跟蹤誤差,zi為虛擬誤差,αi-1,k為虛擬控制律,同時引入一階濾波器,有

(12)

步驟1:對z1進行求導,可得

(13)

定義如下函數(shù):

(14)

(15)

(16)

選擇如下的非對稱時變BLF:

(17)

其中,γ1,k>0是設(shè)計參數(shù).

通過對誤差進行坐標變換,有

(18)

將式(18)代入式(17),有

(19)

(20)

由于,

(21)

(22)

(23)

因此,有

(24)

根據(jù)Young’s不等式,有

(25)

(26)

(27)

由式(25)、式(26)和式(27),可得

(28)

將式(28)代入式(20)得

(29)

(30)

(31)

其中,c1,k>0和φ1,k>0是設(shè)計參數(shù),

根據(jù)Young’s不等式,有

(32)

(33)

將式(21)、式(22)和式(23)代入式(20),有

(34)

步驟 i(2≤i≤n-1):對zi進行求導,可得

(35)

定義如下函數(shù):

(36)

(37)

(38)

其中,ψi-1,k是αi-1,k的最大絕對值.

選擇如下的非對稱時變BLF:

(39)

其中,γi,k>0是設(shè)計參數(shù).

對誤差進行坐標變換,有

(40)

將式(40)代入式(39),有

(41)

則Vi,k的時間導數(shù)為

(42)

利用Young’s不等式,有

(43)

(44)

(45)

其中,ci,k>0和φi,k>0是設(shè)計參數(shù).

由式(44)和式(45),有

(46)

步驟 n:在最后一步中,系統(tǒng)的控制輸出為u,有

(47)

定義如下函數(shù):

(48)

(49)

(50)

選擇如下的非對稱時變BLF:

(51)

其中,γn,k>0是設(shè)計參數(shù).

對誤差進行坐標變換,得

(52)

因此,有

(53)

由于

(54)

(55)

(56)

Vn,k的時間導數(shù)為

(57)

利用Young’s不等式,有

(58)

(59)

(60)

其中,cn,k>0和φn,k>0是設(shè)計參數(shù).

由式(59)和式(60),有

(61)

3 全狀態(tài)約束切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定義閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為Vk=Vn,k,因此可以得到Vk的導數(shù),有

(62)

根據(jù)文獻[11],有

(63)

其中,B1,k(.)是連續(xù)函數(shù).

因此,有

(64)

當Vk=p時,連續(xù)函數(shù)Bi,k(·)有界,且存在一個最大值Mi,k[11].

根據(jù)Young’s不等式,有

(65)

(66)

根據(jù)引理2,可得

(67)

所以由式(37),有

(68)

其中,

通過選擇合適的Qk、ci、cn和νi,有

(69)

其中,i=1,2,…,n-1.

定義正參數(shù)

(70)

定義C=minCk和D=maxMk,因此,式(43)可以寫成如下形式:

(71)

證明:W(t)=eCtVσ(t)(x(t))是系統(tǒng)方程式(1)的解且分段可微.根據(jù)式(46),在每一個[tj,tj+1)區(qū)間里,有

(72)

同式(15)的證明方式,有

(73)

其中,μ>1,且k,l∈M.因此,可以得到

(74)

對于任意T>t0=0,將不等式(74)從j=0迭代到j(luò)=Nσ(T,0)-1,有

(75)

因此,可得

(76)

Nσ(T,0)-j≤1+Nσ(T,tj+1)(j=0,1,…,Nσ(T,0)),因此,有如下關(guān)系式:

μNσ(T,0)-j≤μ1+N0e(C-?)(T-tj+1)

(77)

因為?

(78)

將式(77)和式(78)代入式(75),可得

(79)

因此,有

(80)

由式(55),可得

(81)

(82)

因此,可得

(83)

式(83)表明,狀態(tài)觀測器的誤差可以通過選擇適當?shù)脑O(shè)計參數(shù)減小[20].

上述控制系統(tǒng)的主要結(jié)構(gòu)如下圖1所示.

圖1 全狀態(tài)約束切換系統(tǒng)控制策略圖Fig.1 Control policy diagram of the full state constrainedswitched system

4 仿 真

例1

本節(jié)將對具體的算例進行仿真,對所提出的控制效果進行仿真驗證.考慮如下嚴格反饋非線性切換系統(tǒng):

設(shè)計如下的帶有觀測器的自適應(yīng)切換控制器:

其中,n=1,2,k=1,2.

采用高斯基函數(shù)作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)來進行相關(guān)算法的設(shè)計,其結(jié)構(gòu)如下所示:

其中,i=1,2,…,n,k=1,2,…,n.

圖2 系統(tǒng)輸出y和參考信號yd的跟蹤軌跡Fig.2 Tracking trajectories of system output yand reference signals yd

圖3 跟蹤誤差z1Fig.3 The tracking error z1

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x1和其狀態(tài)觀測值的軌跡Fig.4 The trajectory of system state x1and its state

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)x2和其狀態(tài)觀測值的軌跡Fig.5 The trajectory of system state x2and its state

圖6 切換信號Fig.6 Switched signal

圖7 控制器軌跡Fig.7 Controller trajectory

例2

例1通過數(shù)值仿真實驗探究了本文設(shè)計的一種切換自適應(yīng)控制算法在理論層面的可行性.基于上述基礎(chǔ),本例將探討該控制算法在工程實際系統(tǒng)層面上應(yīng)用的可行性.

針對一個帶電機驅(qū)動的單關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)進行軌跡跟蹤控制,其動態(tài)方程為[21].

考慮上述單關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)中存在著如下的切換函數(shù),則其可以表示為

其中,f1,1(x1,x2,x3)=f1,2(x1,x2,x3)=0,f2,1(x1,x2,x3)=-(B/D)x2-(N/D)sinx1+sinx1x2,f2,2(x1,x2,x3)=-(B/D)x2-(N/D)sinx1,f3,1(x1,x2,x3)=-(Km/M)x2-(H/M)x3+sinx1,f3,2(x1,x2,x3)=-(Km/M)x2-(H/M)x3,d1,2(t)=d1,1(t)=d3,1(t)=d3,2(t)=0,d2,1(t)=d2,2(t)=0.1sin(0.1t).參考信號為yd=0.5sint.

控制器的設(shè)計如下:

控制器的設(shè)計參數(shù)為γi,k=1(i=1,2,3,k=1,2);φi,1=5,φi,2=3(i=1,2,3);k1,1=k1,2=22,k2,1=150,k2,2=148,k3,1=200,k3,2=202;c1,1=32,c1,2=30,c2,1=c2,2=6,c3,1=1.1,c3,2=1.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)設(shè)置如下:網(wǎng)絡(luò)節(jié)點為l1=l2=l3=6,高斯函數(shù)中心分布在[-5,5],因此有mi=[-5 -3 -1 1 3 5],i=1,2,3.

圖8 位置輸出信號y和參考信號yd的跟蹤軌跡Fig.8 The tracking trajectory of position output signal yand reference signal yd

圖9 跟蹤誤差z1Fig.9 The tracking error z1

圖10 位置輸出信號x1和其狀態(tài)觀測值的軌跡Fig.10 The trajectory of position output signal x1and its

圖11 速度信號x2和其狀態(tài)觀測值的軌跡Fig.11 The trajectory of velocity signal x2and its

圖12 電機轉(zhuǎn)矩x3和其狀態(tài)觀測值的軌跡Fig.12 The trajectory of motor torque x3and its

圖13 切換信號Fig.13 Switched signal

圖14 控制器軌跡Fig.14 Controller trajectory

5 結(jié) 論

設(shè)計的自適應(yīng)動態(tài)面輸出反饋控制器,能夠很好的控制一類具有全狀態(tài)時變約束、狀態(tài)不完全可測以及未知外部干擾的不確定嚴格反饋非線性切換系統(tǒng).通過Lyapunov方法、平均駐留時間理論和數(shù)值仿真實驗分別從理論和實驗層面驗證了設(shè)計的控制算法的有效性.最后,帶電機驅(qū)動的單關(guān)節(jié)機械臂仿真實驗也表明該控制方法能夠有效應(yīng)用于實際工程模型.