孫德成
(山東省威海市文登區(qū)教育教學(xué)研究中心)
帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高考命題中常涉及的一種情境,其中的“動(dòng)態(tài)圓”模型在磁場(chǎng)中的應(yīng)用題型對(duì)考生的空間想象能力、幾何作圖能力要求較高。為了培育學(xué)生的空間想象能力和幾何作圖能力,化難為易,本文通過(guò)歸類分析,將解決這類問(wèn)題的思維方法進(jìn)行類比整合、深度剖析,以完善高中學(xué)生物理儲(chǔ)備,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣,提升學(xué)生運(yùn)用幾何知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,從而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究的物理學(xué)科素養(yǎng)。
解決“動(dòng)態(tài)圓”模型在磁場(chǎng)中的應(yīng)用題型可歸結(jié)為三種方法:放縮圓法、平移圓法、旋轉(zhuǎn)圓法。本文精選例題和遷移訓(xùn)練,分別對(duì)這三種方法加以闡述。
【例1】如圖1所示,A、B為水平放置的足夠長(zhǎng)的平行板,板間距離為d=1.0×10-2m,A板上有一電子源P,Q點(diǎn)在P點(diǎn)正上方B板上,在紙面內(nèi)從P點(diǎn)向Q點(diǎn)發(fā)射速度在0~3.2×107m/s范圍內(nèi)的電子。若垂直紙面內(nèi)加一勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度B=9.1×10-3T,已知電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg,電子電荷量q=1.6×10-19C,不計(jì)電子重力和電子間的相互作用力,且電子打到板上均被吸收,并轉(zhuǎn)移到大地,求電子擊在A、B兩板上的范圍。
圖1
【解析】本例題中電子的速度方向一定,速度大小變化,所以在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的半徑由零逐漸變大,所有軌跡圓的圓心在同一條直線上,將半徑放縮作出軌跡圓示意圖如圖2所示
圖2
求得rmax=2d=2×10-2m
電子恰好未擊中B板時(shí)半徑為
r=d=1×10-2m
電子打在A板上的范圍是圖中的PH段
PH=2d=2×10-2m
電子打在B板上的范圍是MN段
【思維點(diǎn)撥】采用“放縮圓法”解題的適用條件是:帶電粒子的速度方向一定,速度大小不同;軌跡圓的圓心特點(diǎn)是:所有圓心共線。界定方法是:以入射點(diǎn)為定點(diǎn),圓心位于過(guò)入射點(diǎn)的直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出臨界條件,這種方法稱為“放縮圓法”。
【遷移訓(xùn)練1】如圖3所示,在POQ區(qū)域內(nèi)分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里,有一束正離子流(不計(jì)重力),沿紙面垂直于磁場(chǎng)邊界OQ方向從A點(diǎn)垂直邊界射入磁場(chǎng),已知OA=d,∠POQ=45°,離子的質(zhì)量為m、帶電荷量為q、要使離子不從OP邊射出,離子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度最大不能超過(guò)多少?
圖3
【解析】該題中的帶電粒子滿足“放縮圓法”解題的適用條件:帶電粒子的速度方向一定,速度大小不同,軌跡圓的圓心共線,因此可以采用“放縮圓法”求解該題。
利用“放縮圓法”作出不同半徑的圓,如圖4所示,離子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度最大時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界狀態(tài)是:在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓剛好與PO邊相切。
圖4
【例2】如圖5所示,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于紙面向里,PQ為該磁場(chǎng)的右邊界線,磁場(chǎng)中有一點(diǎn)O到PQ的距離為r?,F(xiàn)從O點(diǎn)以同一速率將相同的帶負(fù)電粒子向紙面內(nèi)各個(gè)不同的方向射出,它們均做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng),求帶電粒子打在邊界PQ上的范圍(粒子的重力不計(jì))。
圖5
【解析】本例題中帶電粒子的速度大小不變,所以在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不變;入射點(diǎn)固定,速度方向改變,所以做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心共圓,通過(guò)做旋轉(zhuǎn)圓[如圖6(PQ右側(cè)有磁場(chǎng))、圖7(滿足題意PQ右側(cè)沒有磁場(chǎng))],找到兩個(gè)臨界位置(如圖8),進(jìn)而獲得帶電粒子打在邊界PQ上的范圍(如圖8)。
圖6
圖7
圖8
圖8中M、N是兩個(gè)臨界點(diǎn)
OM=2r,∠OMN=30°
【思維點(diǎn)撥】采用“旋轉(zhuǎn)圓法”解題的適用條件是:帶電粒子的速度大小一定,速度方向不斷改變,帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的半徑不變,圓心在同一個(gè)圓周上。界定方法是:根據(jù)帶電粒子的速度大小求出半徑大小,以該半徑為圓的半徑、以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)從而探索粒子的臨界條件,這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓法”。
( )
圖9
A
B
C
D
【答案】A
【解析】該題中的帶電粒子滿足“旋轉(zhuǎn)圓法”解題的適用條件:帶電粒子的速度大小一定,速度方向不斷改變,帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的半徑不變,圓心在同一個(gè)圓周上,所以以R為半徑、以入射點(diǎn)為圓心將圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)如圖10所示。
圖10
圖11
【解析】本例題中帶電粒子的速度大小和方向都保持不變,所以在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓的大小不變,由于發(fā)射裝置發(fā)射出的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)在同一條直線上,所以不同位置的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓圓心在同一條直線上,通過(guò)計(jì)算可確定出臨界位置:軌跡圓與OP邊相切,此時(shí)軌跡圓與OQ邊恰好也相切(如圖12);通過(guò)平移圓(如圖13)得出粒子從OQ邊射出的區(qū)域長(zhǎng)度x。
圖12
圖13
【思維點(diǎn)撥】采用“平移圓法”解題的適用條件是:帶電粒子的速度大小和方向都一定,射入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)在一條直線上,在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心在一條直線上。界定方法是:根據(jù)帶電粒子的速度大小求出半徑大小,將該半徑的圓進(jìn)行平移,這種方法稱為“平移圓法”。
圖14
【解析】該題中的帶電粒子滿足“平移圓法”解題的適用條件:帶電粒子的速度大小和方向都一定,射入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)在一條直線上,在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心在一條直線上。
代入速度得r=d
以r=d作圓并進(jìn)行平移,如圖15所示
圖15
當(dāng)粒子從A點(diǎn)入射時(shí)軌跡圓恰好與OP邊相切,不會(huì)進(jìn)入Ⅱ區(qū)域
所以粒子至少在距離O點(diǎn)3d處射入磁場(chǎng)不會(huì)進(jìn)入Ⅱ區(qū)域。
在高三的一輪復(fù)習(xí)中,“動(dòng)態(tài)圓”模型在磁場(chǎng)中的應(yīng)用題型是學(xué)生感覺比較棘手的一類題型,解決該類題型的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用上面總結(jié)的“放縮圓法” “旋轉(zhuǎn)圓法” “平移圓法”,利用動(dòng)態(tài)思維,找準(zhǔn)臨界位置,根據(jù)粒子的速度特點(diǎn),確定做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的半徑特點(diǎn),同時(shí)根據(jù)題干中給定的限定條件畫出臨界位置的軌跡,確定好臨界位置的圓心,最后根據(jù)幾何關(guān)系求出結(jié)果。
2020年1月,教育部考試中心頒布《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》,“一核四層四翼”成為高考新要求,重視情境載體,尤其關(guān)注與創(chuàng)新相關(guān)度高的能力和素養(yǎng),比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等;優(yōu)化考試內(nèi)容,突出立德樹人導(dǎo)向,重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;創(chuàng)新試題形式,加強(qiáng)情境設(shè)計(jì),注重聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際,增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題。