“過程教育”視角下的課例分析

[摘? 要] 在“雙減”背景下，如何將過程教育落到實處是研究者一直在探索的問題之一. 文章以“多邊形及其內(nèi)角和”的教學為例，從“回顧舊知，引出主題”“開展活動，抽象概念”“積極探索，建構新知”“合作交流，促進應用”“歸納總結，反思提升”五個環(huán)節(jié)著手展開分析，并談一些拙見.

[關鍵詞] 過程教育;課例分析;數(shù)學思想

作者簡介：孫冬艷（1985—），本科學歷，中小學二級教師，從事初中數(shù)學教學工作.

過程教育是指在滿足學生全面、和諧發(fā)展的基礎上，關注數(shù)學結論形成與知識應用過程的教育方法，這是一種培養(yǎng)學生形成良好思維習慣與數(shù)學思想方法的教育模式[1]. “多邊形及其內(nèi)角和”是人教版八年級上冊的教學內(nèi)容，盡管大家對平面圖形并不陌生，但部分教師在執(zhí)教中仍存在一些觀念或操作的偏差. 若想寓“過程教育”于“多邊形及其內(nèi)角和”的教學，究竟該如何操作？筆者在教學實踐中進行了一些探索，并通過教學簡錄，展開分析與點評.

教學簡錄

環(huán)節(jié)1：回顧舊知，引出主題

師：上課之前，大家一起來說說三角形的概念及其相關性質.

生1：所謂的三角形是指在非同一直線上的三條線段，首尾順次相連所形成的圖形.

生2：三角形的內(nèi)角和為180°，外角和為360°，每個外角的度數(shù)都等于與該角不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

生3：所有三角形的兩邊之和必然大于第三邊，且每個角的外角都大于與它不相鄰的任意內(nèi)角.

師：非常好！如果我們將“三條線段的首尾順次連接”更換成“四條、五條或n條（n≥3，且為正整數(shù)）線段首尾順次連接”，所形成的圖形可以稱為什么圖形呢？這就是本節(jié)課我們需要探討的主要話題之一.

設計意圖? 通過對舊知的回顧，教師引導學生提取記憶中的信息，能自然而然地揭示課題，讓學生的思維經(jīng)歷一個循序漸進的過程. 研究三角形的方式是研究其他多邊形的基礎，教師從三角形著手，能快速啟發(fā)學生的思維.

環(huán)節(jié)2：開展活動，抽象概念

師：現(xiàn)在請各位同學在草稿紙上連接四條線段都不在一條直線上的圖形，遵循首尾順次相接的原則，觀察所形成的圖形具備怎樣的特征.

（學生自主畫圖、分析）

生4：經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，在同一平面內(nèi)順次連接四條不在一條直線上的線段，所得到的圖形為四邊形.

師：若線段的數(shù)量增加為五條呢？

（學生畫圖）

生5：能獲得五邊形.

師：很好！以此類推，如果連接不在一條直線上的n條（n≥3，且為正整數(shù)）線段，所得的圖形是什么圖形？

生6：結合三角形、四邊形以及五邊形的規(guī)律來看，應該為n邊形.

師：非常好！這就是我們今天所探討的“多邊形”. 多邊形相鄰的兩條邊所組成的角為“內(nèi)角”;而一邊的延長線和相鄰的另一條邊所構成的角，我們稱為“外角”;每個內(nèi)角的頂點為多邊形的“頂點”;將不相鄰的兩個頂點相連，所形成的線段為“對角線”. 針對這些概念，現(xiàn)在請大家一起來分析圖1這個四邊形.

生7：這是一個四邊形，四條邊分別為AB，BC，CD，AD;四個內(nèi)角分別為∠A，∠B，∠C，∠D.

生8：如圖2所示，四邊形ABCD的外角為∠CDF，∠ADE，∠DCG，∠BCH，∠JBA，∠IBC，∠BAK，∠LAD;對角線為AC，BD.

師：很好，從你們的結論來看，四邊形存在四條邊、四個內(nèi)角、八個外角以及兩條對角線，其中外角之間存在什么特點呢？

生9：從結論來看，同一頂點的兩個外角是相等的關系，如∠CDF=∠ADE.

師：總結得很到位，現(xiàn)在留一個思考題供你們課后探索：五邊形的邊、內(nèi)角、外角、對角線分別有多少個？n（n≥3，且為正整數(shù)）邊形呢？

設計意圖? 學生通過畫圖，自主探索四邊形的邊、角、外角和對角線的數(shù)量，不僅活躍了思維，更重要的是獲得了良好的猜想能力，從四邊形的分析延伸到多邊形的分析.

環(huán)節(jié)3：積極探索，建構新知

師：眾所周知，三角形的內(nèi)角和為180°，那么四邊形的內(nèi)角和究竟是多少呢？現(xiàn)在請大家完成以下活動：①在自己的草稿紙上任意畫一個四邊形;②結合探索三角形內(nèi)角和的經(jīng)驗，通過折疊、剪拼或測量等方法探尋自己所畫四邊形的內(nèi)角和.

學生經(jīng)過自主探索，獲得了以下結論：①用測量法，先分別測量出四個角的度數(shù)，相加后獲得四邊形的內(nèi)角和為360°;②添加對角線，將一個四邊形分割成兩個三角形，內(nèi)角和為180°×2=360°.

師：大家運用了不同的探索方法，結論都指向于360°，據(jù)此我們可以形成什么猜想？

生10：由此可猜想四邊形的內(nèi)角和為360°，也就是說圖1中的∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

師：非常好！面對猜想，接下來應該干什么？

生11：接下來就是驗證猜想是否正確，可以用推理法來證明. 如圖3所示，連接AC，將四邊形ABCD分成△ABC與△ACD，因為三角形的內(nèi)角和為180°，那么△ABC+△ACD=360°.

師：非常好！這是化歸思想在數(shù)學證明中的應用，除此之外，大家還有其他推理方法嗎？

生12：如圖4所示，分別延長AB，DC相交于點E，則∠A+∠D=180°-∠E，∠ABC=180°-∠EBC，∠BCD=180°-∠BCE，所以∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=180°-∠E+180°-∠EBC+180°-∠BCE=540°-（∠E+∠EBC+∠BCE）=360°.

師：不錯，這也是化歸思想的體現(xiàn)，現(xiàn)在我們一起來思考一下，分別延長AB，DC一定是相交的關系嗎？

生13：不一定相交，如果AB與DC為平行的關系，那么它們肯定不會相交.

師：也就是說這種推理方法并不具備普遍性，可通過分類討論法補充平行. 大家還有其他方法嗎？

學生經(jīng)過討論，一致認為在四邊形的邊上、內(nèi)部或外部取一點，將各個頂點與該點相連，也可以將四邊形轉化成三角形而獲得四邊形的內(nèi)角和為360°的結論.

師：太棒了！看來大家對化歸思想掌握得非常透徹.

生14：還可以借鑒證明三角形內(nèi)角和定理的方法，通過一個角的頂點添加四邊形一邊的平行線，將分散的角集中在一起獲得結論.

師：給力！這種方法涉及數(shù)學中的平移思想、類比思想等. 我們有沒有辦法將四邊形的四個角集中到四邊形的內(nèi)部或外部呢？

（學生討論并獲得結論）

師：通過以上探究，我們現(xiàn)在都能確定四邊形的內(nèi)角和，那么它的外角和是多少度呢？

（學生探索）

設計意圖? 教師引導學生積極探索四邊形的內(nèi)角和，在初步獲得猜想的基礎上再進行證明，這種方法符合一般概念的抽象過程. 隨著探究的逐漸深入，學生對四邊形的內(nèi)角和、外角和有了更加清晰的認識，為接下來的交流與實際應用奠定了堅實的基礎.

環(huán)節(jié)4：合作交流，促進應用

要求學生以小組合作學習的方式思考以下四個問題：

問題1：一個四邊形的風箏，四角之比為1 ∶ 1 ∶ 0.6 ∶ 1，求此風箏四個內(nèi)角的度數(shù);

問題2：已知四邊形ABCD中的∠A，∠C互補，∠B為80°，求∠D的度數(shù);

問題3：四個全等的四邊形紙片能否組成一幅鑲嵌圖？

問題4：一個四邊形的內(nèi)角，最多會出現(xiàn)幾個鈍角？說明理由.

（學生合作交流）

問題1的結論：應用方程思想解決這個問題，假設四邊形ABCD的內(nèi)角∠A=x°，根據(jù)四個角的比，可列出方程3x+0.6x=360，解得∠A=100°，其他角分別為100°，60°，100°.

問題2的結論：從四邊形的內(nèi)角和定理出發(fā)，解得∠D的度數(shù)為100°.

問題3的結論：根據(jù)四張紙片的內(nèi)角和均為360°這個條件，可以確定能組成鑲嵌圖.

問題4的結論：最多只能存在三個鈍角，若出現(xiàn)四個鈍角，那么內(nèi)角和必然大于360°，顯然不合常理.

師：通過大家的結論，可見同學們對四邊形內(nèi)角和的概念與性質已經(jīng)有了比較深刻的理解. 現(xiàn)在我們一起來看第三個問題，用一樣大小的四邊形紙片可以組成鑲嵌圖，我們生活中鋪設四邊形地磚就是根據(jù)這個原理來的. 大家還能列舉一些與四邊形相關的生活實例嗎？

生15：如教室里的黑板、課桌、電子白板等都是典型的四邊形.

師：不錯，由此可見四邊形在生活中的應用非常普遍. 結合問題4，大家思考一下一個四邊形最多可以有幾個直角.

生16：四個，如我們所熟悉的長方形與正方形.

師：很好，那么一個四邊形中，最多有幾個銳角？

生17：最多有三個銳角，不可能存在四個，因為四個銳角的和必定小于360°.

師：分析得很到位.

設計意圖? 合作交流是學生取長補短、查漏補缺的好方法，學生在合作過程中，思維不僅會受同伴的啟發(fā)，還能促進團體凝聚力，形成良好的合作精神[2]. 四個小問題的討論，讓學生從實際應用的角度對本節(jié)課的知識有了更加深刻的理解.

環(huán)節(jié)5：歸納總結，反思提升

師：現(xiàn)在我們一起回顧一下本節(jié)課都研究了哪些知識.

生18：本節(jié)課我們探討了多邊形的定義，四邊形內(nèi)角和、外角和定理及應用等.

師：四邊形內(nèi)角和的探索方法有哪些？

生19：有測量、剪拼、推理等方法，還運用了從特殊到一般的歸納法.

師：四邊形內(nèi)角和定理的證明，涉及什么基本思想？

生20：主要是將四邊形轉化成三角形，也可以通過平行線的添加把四個角集中到一起，應該應用了化歸思想.

師：很好！在此學習過程中，大家有什么感觸嗎？

面對此問，學生暢所欲言，提出的感觸主要有：①與三角形類似，四邊形在生活實際應用中也很豐富;②研究發(fā)現(xiàn)，四邊形和三角形有著密不可分的聯(lián)系，可將四邊形轉化成三角形進行分析;③通過研究發(fā)現(xiàn)，類比是尋找解題思路與發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論的重要方法之一;④解決數(shù)學問題的過程中，化歸思想具有化繁為簡的作用;⑤通過平移，可以將幾何圖形中分散的條件集中到一起，便于分析;⑥方程思想是幾何計算常用的方法之一……

師：非常好！看來大家對本節(jié)課的感悟與體驗頗多，這些學習經(jīng)驗與感悟對后繼學習具有重要的指導意義. 本節(jié)課至此，大家覺得接下來應該探討什么內(nèi)容了？

生（齊）：研究完四邊形，接下來應該研究五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和等問題了吧.

師：確實，下節(jié)課我們要研究的重點是n（n≥3，且為正整數(shù)）邊形的內(nèi)角和.

設計意圖? 課堂總結在一節(jié)課中具有畫龍點睛的重要作用，學生通過對課堂內(nèi)容的回顧與交流，不僅能深化對知識的認識，還能理清思路，為更好地接納、建構、內(nèi)化新知奠定基礎.

教學分析

本節(jié)課是“多邊形及其內(nèi)角和”的第一課時，教學內(nèi)容涵蓋了多邊形的概念、四邊形內(nèi)角和的定義、數(shù)學思想與活動經(jīng)驗等. 因此，本節(jié)課教學涉及概念教學、數(shù)學思想的滲透以及科學研究方法的培養(yǎng)等.

四邊形作為本節(jié)課的重點研究對象，與學生所熟悉的線段、三角形等有著密切的聯(lián)系，其內(nèi)角和定理作為知識基礎，在一般的幾何證明或計算中時常會應用到. 因此，本節(jié)課的知識在后期解題或實際應用中具有普適性. 實踐證明，三角形、四邊形，乃至多邊形的研究過程，蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，常見的有類比、歸納、化歸、平移、方程、演繹等，大量的數(shù)學思想方法對促進學生智力的發(fā)展以及能力的提升具有直接的影響力.

此課例結合四邊形的概念、內(nèi)角和、教學性質等所富含的教育價值，精心設計了以下教學過程：通過類比法提出問題—應用各種探索法定義多邊形—運用各類數(shù)學思想方法與手段證明四邊形的內(nèi)角和—解決具有代表性的實際問題—反思內(nèi)化. 教師將課堂教學重點放在問題的探索與證明上，以解決問題為目標，讓學生從中體悟常見的數(shù)學思想，積累豐富的活動經(jīng)驗.

本課例以教材為載體，結合學生日常生活經(jīng)驗，引導學生親自感知知識的發(fā)展過程，調動學生的學習興趣，引發(fā)學生思考，為學生形成良好的學習習慣奠定了基礎，也有效恰當?shù)貛椭鷮W生掌握了一定的數(shù)學研究方法. 這種教學模式，不僅遵循了概念、定理類教學的規(guī)范要求，還充分體現(xiàn)了“以生為本”的教育過程，兼顧了課程教學的過程與結果.

學生通過本節(jié)課的學習，獲得了自主陳述多邊形概念的能力，同時還能結合圖形完整地表達多邊形的組成要素等. 豐富的教學過程，滲透了眾多數(shù)學思想方法，使學生靈活地掌握了探索多邊形內(nèi)角和及定理的策略與方法，這對促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展具有積極的影響力[3].

總之，強調學習的過程性，將豐富的數(shù)學思想方法滲透在課堂的每一個環(huán)節(jié)是新課改背景下的教學需求，也是學生實際發(fā)展的需要. 因此教師應注重教學過程中“以生為本”的原則，鼓勵學生通過自主探究與合作交流等方式，尋找數(shù)學規(guī)律，感悟數(shù)學思想，從真正意義上形成可持續(xù)性發(fā)展的能力.

參考文獻：

[1]章建躍. 數(shù)學學習與智慧發(fā)展[J]. 中學數(shù)學教學參考，2015（19）：4-10.

[2]威廉·卡爾文. 大腦如何思維：智力演化的今昔[M].楊雄里，梁培基，譯.上海：上?？茖W技術出版社，2012.

[3]羅增儒.從數(shù)學知識的傳授到數(shù)學素養(yǎng)的生成[J].中學數(shù)學教學參考，2016（19）：2-7.