基于格子Boltzmann和POD方法的非定常流場(chǎng)重建

摘 要：以二維圓柱雷諾數(shù)Re=100繞流為研究對(duì)象，在格子Boltzmann方法模擬非定常流動(dòng)的基礎(chǔ)上，利用本征正交分解（proper orthogonal decomposition， POD）算法獲取二維圓柱繞流周期性穩(wěn)定脫落階段POD基函數(shù)及對(duì)應(yīng)的系數(shù)，用以實(shí)現(xiàn)非定常流場(chǎng)的重建，并研究不同POD模態(tài)階數(shù)對(duì)重建效果的影響。結(jié)果表明：前5階POD模態(tài)占總能量的99%，可以準(zhǔn)確地重構(gòu)流場(chǎng)，流場(chǎng)重構(gòu)誤差最大絕對(duì)值為8×10-4；隨著模態(tài)階數(shù)的增加，流場(chǎng)主要特征表達(dá)得越細(xì)致，且流場(chǎng)重建誤差由大幅度降低，緩慢減低到趨于穩(wěn)定幾乎保持不變。

關(guān)鍵詞：本征正交分解；流場(chǎng)重構(gòu)；圓柱繞流；格子Boltzmann

中圖分類號(hào)：O357.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

工程應(yīng)用的流動(dòng)中，涉及豐富而充滿活力，非穩(wěn)定性、非線性的復(fù)雜流動(dòng)問題［1-2］。然而，隨著實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的高速發(fā)展，要準(zhǔn)確量化地提取流動(dòng)結(jié)構(gòu)依然非常困難，且在進(jìn)行流動(dòng)穩(wěn)定性分析時(shí)需要大量計(jì)算，其成本昂貴。

圓柱繞流問題是在能源工程設(shè)計(jì)中常見的典型的問題之一，其中最為出名的是卡門渦街現(xiàn)象，這是在許多工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域中所存在的共性問題［3］。目前，有很多方法能夠較為準(zhǔn)確地獲得圓柱繞流的數(shù)據(jù)。格子Boltzmann 方法是一種不同于傳統(tǒng)數(shù)值方法的流體建模和計(jì)算方法［4-5］。周凱等［6］利用格子Boltzmann 方法對(duì)二維靜止串列雙圓柱繞流進(jìn)行了數(shù)值模擬，模擬結(jié)果和已有研究結(jié)果吻合較好。

本征正交分解（proper orthogonal decomposition， POD） 是一種高效的降階方法，廣泛應(yīng)用于流場(chǎng)的降維中，其主要思路是用較少的POD基近似描述較高階數(shù)據(jù)。DEANE等［7］和CAO［8］對(duì)圓柱繞流進(jìn)行了數(shù)值模擬，利用POD算法對(duì)其進(jìn)行降維處理，發(fā)現(xiàn)使用較少的POD模態(tài)能準(zhǔn)確地表達(dá)流場(chǎng)的主要特征。之后的一些繞流流場(chǎng)降階研究［9-11］大都延續(xù)了文獻(xiàn)［7-8］的方法。如李靜等［12］以低雷諾數(shù)（Re=100）下圓柱繞流為例，利用計(jì)算流體力學(xué)（computational fluid dynamics，CFD）數(shù)值模擬選擇合適的樣本數(shù)據(jù)，構(gòu)建了卡門渦街失穩(wěn)初期的流動(dòng)降階模型，可以用少量的POD模態(tài)復(fù)現(xiàn)流場(chǎng)發(fā)散初期的頻率和阻尼等特性。

本文利用格子Boltzmann 方法模擬低雷諾數(shù)下（Re=100）圓柱繞流卡門渦形成、發(fā)展和穩(wěn)定脫落的非定常流場(chǎng)過程，并利用POD技術(shù)對(duì)其進(jìn)行降維分析處理，得出內(nèi)部流場(chǎng)的各階段POD模態(tài)，從而重建圓柱繞流的非定常內(nèi)部流場(chǎng)；最后，通過定量分析不同的POD基個(gè)數(shù)重構(gòu)二維圓柱繞流非定常流場(chǎng)中誤差的發(fā)展情況。

1 數(shù)值方法

1.1 圓柱繞流數(shù)值模擬

圖1是二維圓柱繞流的計(jì)算區(qū)域示意圖。圓柱直徑特征長(zhǎng)度為D，計(jì)算區(qū)域模型選為5D×20D。計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，網(wǎng)格總節(jié)點(diǎn)數(shù)為40 000個(gè)。Re=100；進(jìn)口速度恒定，選為0.1；出口為充分發(fā)展；上下壁面速度選為0；圓柱表面為速度無滑移，取為0；對(duì)進(jìn)出口以及上下壁面采取非平衡外推格式，對(duì)圓柱表面采用反彈格式處理。

1.2 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證格子Boltzmann算法的可靠性，對(duì)圓柱繞流問題進(jìn)行數(shù)值模擬，并與文獻(xiàn)［13］結(jié)果對(duì)比，如圖2所示。圖2（a）是具體尺寸圖；圖2（b）是本文的模擬結(jié)果，即速度分布及流線圖，圖2（c）是文獻(xiàn)［13］的模擬結(jié)果，即流線和壓力圖。對(duì)比（b） （c）兩圖，本文圓柱背面流體發(fā)生脫離，形成了2個(gè)對(duì)稱的漩渦，與文獻(xiàn)［13］的模擬結(jié)果非常相近。

1.3 圓柱繞流非定常流動(dòng)過程

Re=100的圓柱繞流非定常流動(dòng)過程分為圓柱繞流卡門渦街形成、發(fā)展和穩(wěn)定脫落3個(gè)階段。

圓柱繞流卡門渦街形成階段如圖3所示。由圖3可以看出：圓柱繞流卡門渦街形成是從邊界層開始逐漸分裂，最后在圓柱后面產(chǎn)生對(duì)稱旋渦并逐步向下游發(fā)展產(chǎn)生尾跡，直到出口，整個(gè)流程一直呈現(xiàn)對(duì)稱狀態(tài)。

圓柱繞流卡門渦街發(fā)展階段如圖4所示。圓柱尾渦變得不穩(wěn)定，開始上下擺動(dòng)。圓柱繞流卡門渦街穩(wěn)定脫落階段如圖5所示。由圖5可以看出：漩渦不斷增長(zhǎng)，擺動(dòng)加強(qiáng)；不穩(wěn)定的對(duì)稱漩渦破碎時(shí)，形成周期性交替脫落的卡門渦街。

2 POD方法

SIROVICH ［14］首次將POD方法應(yīng)用于流體力學(xué)方向，其主要思想是通過計(jì)算流體力學(xué)模擬出流場(chǎng)流動(dòng)情況，構(gòu)成瞬態(tài)流場(chǎng)樣本矩陣，然后提取特征值和特征向量，用較少的特征向量獲得高階數(shù)據(jù)的近似描述，具體推導(dǎo)過程如下：

將N個(gè)時(shí)刻瞬時(shí)流場(chǎng)數(shù)據(jù)構(gòu)成快照矩陣合集U（xi，tj）（1lt;i，jlt;N），x是空間坐標(biāo)，t是時(shí)刻。其樣本矩陣形式可表示為

U=［U1，U2，…，Ut］（1）

計(jì)算快照矩陣瞬態(tài)流場(chǎng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)樣本的時(shí)間平均值，即

U（xi）=1N∑Nj=1（xi，tj）（2）

由此得到流場(chǎng)的脈動(dòng)量矩陣，即

U⌒（xi，tj）=U（xi，tj）－（xi）（3）

計(jì)算U⌒（xi，tj）的相關(guān)矩陣R，并求其特征值和特征向量，即

R=1NU⌒TU⌒（4）

RA=λA （5）

式中：λ為特征值；A為特征向量。

通過式（6）、（7）可以計(jì)算各階POD基Φj（x）和其對(duì)應(yīng)的模態(tài)系數(shù)aj（t）

Φj（x）=1λjU⌒Aj""""""""" （6）

aj（t）=Φj（x）T·U⌒Φj（x）T·Φj（x）T（7）

POD基表示捕獲流場(chǎng)的主要特征，前m個(gè)POD模態(tài)所捕獲的能量占全階模態(tài)的能量為

E=∑mj=1λj/∑kj=1λj（8）

任意時(shí)刻流場(chǎng)可以由流場(chǎng)的時(shí)間平均值和一組基模態(tài)和線性組合來重構(gòu)，即

U（x，t）=（x）+∑Nj=1Φj（x）aj（t）（9）

3 POD計(jì)算結(jié)果分析

3.1 基于POD結(jié)果的圓柱繞流流場(chǎng)重構(gòu)

以圓柱繞流周期性穩(wěn)定階段為例，選取用數(shù)值模擬計(jì)算獲得的該階段500組樣本數(shù)據(jù)組成樣本快照矩陣。每組數(shù)據(jù)流場(chǎng)信息點(diǎn)個(gè)數(shù)為40 000。利用500組數(shù)據(jù)樣本，由式（1）—（9）運(yùn)用MATLAB進(jìn)行編程計(jì)算，通過式（6）、（7）得到POD基Φj（x）和特征值，即對(duì)應(yīng)的模態(tài)系數(shù)aj（t），隨后利用式（9）即可重構(gòu)流場(chǎng)。

圖6為前5階模態(tài)能量的各階能量占比分布，可以較為準(zhǔn)確地重構(gòu)流場(chǎng)。由圖6可以看出：1階模態(tài)幾乎占據(jù)流場(chǎng)絕大部分能量，為流動(dòng)結(jié)構(gòu)中最穩(wěn)定的模態(tài)；前2階，前3階，前5階模態(tài)能量占比分別為95%，97%，99%。前5階捕獲的能量接近100%，這意味著高維流場(chǎng)可以用5個(gè)空間模態(tài)來準(zhǔn)確表達(dá)，流場(chǎng)數(shù)據(jù)可能得到顯著壓縮。

圖7為圓柱繞流周期性穩(wěn)定階段的前5階POD模態(tài)速度云圖。與主導(dǎo)POD模態(tài)相關(guān)的模態(tài)形狀揭示了流場(chǎng)中主導(dǎo)的能量空間結(jié)構(gòu)。由圖7可以看出：1階模態(tài)和2階模態(tài)具有自上而下的不對(duì)稱性，表明主導(dǎo)能量結(jié)構(gòu)與卡門渦尾流的不對(duì)稱性有關(guān)；3階、4階、5階模態(tài)次諧波空間結(jié)構(gòu)，表示了圓柱繞流周期性穩(wěn)定階段比較重要的次要特征。

利用前5階POD模態(tài)進(jìn)行二維圓柱繞流周期性穩(wěn)定脫落階段流場(chǎng)重構(gòu)，如圖8所示。由圖8可以看出，前5階模態(tài)能很好地重構(gòu)流場(chǎng)。圖9為流場(chǎng)重構(gòu)誤差。流場(chǎng)重構(gòu)誤差絕對(duì)值最大為8×10-4。

3.2 POD模態(tài)階數(shù)對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響

圖10為原始流場(chǎng)與不同POD模態(tài)階數(shù)重構(gòu)結(jié)果對(duì)比。前5階模態(tài)基本可以準(zhǔn)確表達(dá)流場(chǎng)全部特征，但隨著模態(tài)階數(shù)的增加，流場(chǎng)空間構(gòu)造得越細(xì)致。前2階模態(tài)幾乎占據(jù)流場(chǎng)絕大部分能量，后續(xù)模態(tài)階數(shù)蘊(yùn)含能量太小，流場(chǎng)表達(dá)細(xì)微，圖10中很難直觀看出流場(chǎng)空間的細(xì)微差別，但可以由圖11數(shù)據(jù)直觀看出。圖11為POD模態(tài)階數(shù)與重構(gòu)誤差的關(guān)系。由圖11可以看出：開始時(shí)，流場(chǎng)重構(gòu)誤差隨POD模態(tài)階數(shù)的增加大幅度降低；當(dāng)模態(tài)階數(shù)增加到5后，重構(gòu)誤差隨POD模態(tài)階數(shù)的增加而緩慢降低；當(dāng)模態(tài)階數(shù)增加到9后，流場(chǎng)重構(gòu)誤差幾乎保持不變。所以，當(dāng)模態(tài)階數(shù)到達(dá)一定數(shù)量時(shí)，增加階數(shù)并不會(huì)降低重構(gòu)誤差。由3.1節(jié)可知：前5階模態(tài)包含了99%的能量，選取適當(dāng)?shù)腜OD模態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，可以降低計(jì)算成本。

4 結(jié)論

本文采用POD算法，對(duì)格子Boltzmann模擬的非定常流場(chǎng)進(jìn)行重建，結(jié)果表明POD降階方法重構(gòu)流場(chǎng)信息具有很高的效率，只需要較少的能量較高的前幾階規(guī)范正交基就可以很好表達(dá)流場(chǎng)主要特征：

1）前5階POD模態(tài)占總能量的99%，可以準(zhǔn)確重構(gòu)流場(chǎng)，流場(chǎng)重構(gòu)誤差最大絕對(duì)值為8×10-4。

2）隨著模態(tài)階數(shù)的增加，流場(chǎng)特征表達(dá)得越細(xì)致，且流場(chǎng)重構(gòu)誤差由大幅度降低，緩慢降低到趨于穩(wěn)定幾乎保持不變。

參考文獻(xiàn)：

[1]COMEZ F， CLAINCHE S L， PAREDDES P. Four decade of studying global linear instability： problem and challengs［J］. AIAA Journal， 2012， 50（12）： 2731-2743.

［2］ THEOFILIS V. Global linearb instability［J］. Annual Review of Fluid Mechanics， 2011， 43： 319-352.

［3］ 慶增. 圓柱繞流的非線性動(dòng)力學(xué)［J］. 力學(xué)進(jìn)展， 1994， 24（4）： 525-546.

［4］ 韓文驥， 顏開， 褚學(xué)森， 等. LBM方法數(shù)值模擬飛濺流動(dòng)的影響因素研究［J］. 船舶力學(xué)， 2015， 19（4）： 356-362.

［5］ LI X F， CAI J， XIN F， et al. Lattice Boltzmann simulation of endothermal catalytic reaction in catalyst porous media［J］. Applied Thermal Engineering， 2013， 50（1）： 1194-1200.

［6］ 周凱， 王震， 陳維山， 等. 格子Boltzmann方法在串列雙圓柱繞流數(shù)值模擬中的應(yīng)用研究［J］. 船舶力學(xué)， 2018， 22（2）： 144-155.

［7］ DEANE A E， KEVREKIDIS I G， ORSZAG S A， et al. Low-dimensional models for complex geometry flows： application to grooved channels and circular cylinders［J］. Physics of Fluids A， 1991， 10（3）： 2337-2354.

［8］ CAO N Z， AUBRY N. Numerical simulation of wake flow Via a reduced system[J]. ASME-PUBLICATIONS-FED， 1993， 149： 53.

［9］ 葉坤， 武潔， 葉正寅， 等. 動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解和本征正交分解對(duì)圓柱繞流穩(wěn)定性的分析［J］. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 35（4）： 599-607.

［10］王掩剛， 陳俊旭， 先松川. 基于POD方法的二維方柱低雷諾數(shù)繞流流場(chǎng)分析研究［J］. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2014， 32（4）： 612-617.

［11］TAIRA K， HEMATI M S， BRUNTON S L， et al. Modal analysis of fluid flows： applications and outlook［J］. AIAA Journal， 2020， 58（3）： 998-1022.

［12］李靜， 張偉偉， 李新濤. 失穩(wěn)初期的低雷諾數(shù)圓柱繞流POD-Galerkin建模方法研究［J］. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2015， 33（4）： 596-602.

［13］FILIPPOVA O， HANEL D. Grid Refinement for Lattice-BGK Models［J］. Journal of Computational Physics，1998， 147（1）： 219-228.

［14］SIROVICH L. Turbulence and the dynamics of coherent structures. I-coherent structures. II-symmetries and trans-formations. III-dynamics and scaling［J］. 1987（3）： 561-571.

（責(zé)任編輯：周曉南）

Flow Field Reconstruction Based on Lattice

Boltzmann and POD Method

LUO Yun1， QIAN Jin*1， WANG Yigui2， ZHU Daoxing2， YU Tao1， LIN Zhiheng1， ZHAO Wei1

（1.School of Electrical Engineering， Guizhou University， Guiyang 550025， China; 2.Power China Guizhou Engineering Co. Ltd.， Guiyang 550003， China）

Abstract：

To study the flow around a two-dimentional cylindar with Reynolds number Re=100，based on the lattice Boltzmann method to simulate unsteady flow， this study obtained the POD basis function and corresponding coefficients of the periodic steady shedding stage of two-dimensional cylindrical flow around a cylinder by using the proper orthogonal decomposition （POD） method to reconstruct unsteady flow field. Besides， the effect of different POD modes on the reconstruction effect is also studied. The results show that the first five POD modes account for 99% of the total energy， and the flow field can be reconstructed accurately， the maximum absolute value of the flow field reconstruction error being 8×10-4. With the increase of the modal order， the main characteristics of the flow field are expressed in more detail， and the flow field reconstruction error decreases greatly， then slowly， finally almost remaining stable.

Key words：

proper orthogonal decomposition; flow field reconstruction; flow around cylinder; lattice Boltzmann

收稿日期：2021-11-30

基金項(xiàng)目：貴州省科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目（[2020]2Y040）

作者簡(jiǎn)介：羅 蕓（1997—），女，在讀碩士，研究方向：熱動(dòng)力過程數(shù)值模擬與仿真，E-mail：1319036914@qq.com.

通訊作者：錢 進(jìn)，E-mail：1320064076@qq.com.