合理構(gòu)造數(shù)列模型，高效解答通項(xiàng)公式問題

姜?jiǎng)P

構(gòu)造法是解答數(shù)學(xué)問題常用的方法.該方法較為 靈活，通常需通過分析、類比、聯(lián)想等方式，構(gòu)出合適 的數(shù)學(xué)模型，從而使問題快速獲解.在解題時(shí)，我們經(jīng) 常會(huì)遇到一類由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題，求解 這類問題，往往要用到構(gòu)造法，那么如何進(jìn)行構(gòu)造 呢？下面舉例加以說明.

一、構(gòu)造形如 an + 1 = an + A 的模型

對(duì)于有些遞推式，我們可以通過在其左右兩邊取 倒數(shù)、取對(duì)數(shù)、移項(xiàng)、作差等方式，將其化為形如 an + 1 = an + A 的形式.若A為常數(shù)，則根據(jù)等差數(shù)列的定 義，可以判定該數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通 項(xiàng)公式就能求得數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式；若 A = f （n） ，則 an + 1 - an = f （n） ，需令 n=1，2，3，…，n-1，然后將這 n-1 個(gè)式子累加，采用累加法求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式.

例1

解：

例2

解：

我們由 an + 2 - an ≤ 3n 得到 an + 6 - an ≤ 91?3n ，結(jié)合 an + 6 - an ≥ 91?3n ，得到 an + 6 - an = 91?3n ，從而得到遞 推式 an + 2 - an = 3n ，該式形如 an + 1 - an = f （n） ，利用累加 法求 a2n + 1 = a1 + 3 + 3 3 + 35 +…+ 32n - 1 ，便可根據(jù)等比 數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出 a2023 的值.

二、構(gòu)造形如 an + 1 = A?an 的模型

在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，可在遞推式的兩邊同時(shí) 做除法、取對(duì)數(shù)、進(jìn)行因式分解，將其化為形如 an + 1 = A?an 的形式.若A為常數(shù)，則由等比數(shù)列的定義 可知該數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式， 便 能 求 出 數(shù) 列 {an} 的 通 項(xiàng) 公 式 ；若 A = f （n） ，則 an + 1 = f （n）?an ，令n=1，2，3，…，n-1，然后將這n-1個(gè)式 子累乘，采用累乘法來求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式.

例3

解：

解答本題，需先根據(jù)數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn 與 an 之間 的關(guān)系，求出 an + 2 - 2an + 1 = 2（an + 1 - 2an） ，即可判斷該 數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來求數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式.

例4

解：

我們先根據(jù)遞推式的特征，用待定系數(shù)設(shè)出數(shù)列 的遞推式，通過對(duì)比各項(xiàng)的系數(shù)，求得待定系數(shù)，并構(gòu) 造出等比數(shù)列 {an - 3n - 3} ，即可根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng) 公 an = a1q n ，求出問題的答案.

例5

解：

將已知遞推式進(jìn)行變形，得 an + 1 an = 2n + 1 2n - 1 ，該式形 如 an + 1 an = f （n） ，需利用累乘法，即令n=1，2，3，…，n-1， 然后將這n-1個(gè)式子累乘，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例6

解法1

解法2

上述兩種解法分別用不同的方式對(duì)遞推式進(jìn)行 變形，從而構(gòu)造出不同的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式，即可求出數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式.

由此可見，運(yùn)用構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式， 關(guān)鍵是將遞推式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，將其與等差、等比 數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，以根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng) 公式，利用累加法、累乘法，順利求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省南通市通州灣中學(xué)）