球直坐標(biāo)變換非對稱誤差分析

李慧敏 馬 可 范學(xué)禎

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

對于常見的雷達(dá)、光電等主動探測設(shè)備,信號收發(fā)一般放置在一起,稱作單站測量,單個(gè)接收站可獨(dú)自獲取目標(biāo)的距離、角度等信息。對于收發(fā)分置的探測設(shè)備來說,目標(biāo)參數(shù)的獲取方式只要不依賴于多個(gè)接收站之間的配合,也可稱作單站測量設(shè)備。

對于單站測量設(shè)備來說,其原始測量值在球坐標(biāo)系下獲取,各測量值的誤差一般是互相獨(dú)立的,而濾波、外推等算法則在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行,由于球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的非線性映射關(guān)系[1-2],導(dǎo)致測量誤差互相耦合,空間分布產(chǎn)生畸變。

濾波的前提是隨機(jī)變量的期望值等于目標(biāo)真實(shí)位置[3-5],但若期望偏離真實(shí)值,則濾波值必然偏離目標(biāo)真實(shí)位置。對于比較常見的直線運(yùn)動軌跡,如果測量誤差在直線兩側(cè)的分布不對稱,將導(dǎo)致目標(biāo)運(yùn)動軌跡濾波值產(chǎn)生單側(cè)偏移,產(chǎn)生系統(tǒng)偏差。這種系統(tǒng)偏差對于一些需要外推遭遇點(diǎn)的應(yīng)用場景來說[1,6],誤差將進(jìn)一步放大,因此必須引起重視。

本文從球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換出發(fā),對直角坐標(biāo)系下誤差分布的非對稱性進(jìn)行了分析計(jì)算。

1 球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換

以兩坐標(biāo)雷達(dá)為例,球坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式見式(1)所示。

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其中R、θ為球坐標(biāo)系下的原始測量值,分別代表目標(biāo)距離和角度,x、y為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。坐標(biāo)逆變換公式為

(2)

兩種坐標(biāo)系之間的非線性映射關(guān)系如圖1所示。

圖1 直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間的非線性映射

我們描述物體的運(yùn)動軌跡是“直線”的,一般均默認(rèn)其處于直角坐標(biāo)系。直線軌跡轉(zhuǎn)換到球坐標(biāo)系下后,其距離-角度曲線一般都不再是直線。

直線軌跡可分為兩種:截距為0和截距不為0。

1)截距為0時(shí),x、y的關(guān)系式為y=cx,根據(jù)坐標(biāo)逆變換公式可推導(dǎo)得球坐標(biāo)系下的關(guān)系式為θ=tan-1c,可知此時(shí)角度θ為恒定值,距離-角度關(guān)系體現(xiàn)為直線。

2)截距不等于0時(shí),x、y的關(guān)系式為y=cx+d,且d≠0,將式(1)帶入可得Rsinθ=cRcosθ+d,兩邊同時(shí)對R求導(dǎo)數(shù),整理后可得

(3)

(4)

圖2 直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)關(guān)系示意圖

2 球坐標(biāo)系下的誤差分布

(3)

在球坐標(biāo)系下,該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(R0,θ0)呈對稱分布,如圖3所示。

圖3中的圓環(huán)為概率分布等高線。在(R,θ)二維平面上,任意一條通過點(diǎn)(R0,θ0)的直線θ=a·R+b,均可將p(R,θ)等分,即滿足

(6)

圖3 二維聯(lián)合概率密度函數(shù)

根據(jù)第2節(jié)的結(jié)論:截距d=0時(shí),θ=tan-1c。此時(shí)在(R,θ)坐標(biāo)系下表現(xiàn)為一條直線,如圖4所示。

圖4 概率密度函數(shù)關(guān)于θ=tan-1c對稱分布

因此θ=tan-1c將概率密度函數(shù)等分為兩部分,誤差在直線兩側(cè)的分布概率是相等的。

根據(jù)第2節(jié)的結(jié)論:截距d≠0時(shí),在(R,θ)坐標(biāo)系下,R和θ的關(guān)系表現(xiàn)為一條經(jīng)過點(diǎn)(R0,θ0)的單調(diào)曲線,假定其函數(shù)表達(dá)式記為θ=g(R)。若c、d均大于0,曲線形狀如下圖所示。

圖5 概率密度函數(shù)關(guān)于θ=g(R)不對稱分布

由于θ=g(R)是單調(diào)的,因此必然可以找到一條直線,在(R0,θ0)處與θ=g(R)相切。由此可得出以下結(jié)論:

1)對于曲線θ=g(R)上的任意一點(diǎn)(Ri,θi),其切線將(Ri,θi)處的分布概率等分為兩部分。

2)對于曲線θ=g(R)上的任意一點(diǎn)(Ri,θi),其分布概率在曲線θ=g(R)兩側(cè)的分布概率不相等。

3)隨著R的增大,曲線θ=g(R)在點(diǎn)(Ri,θi)處的斜率越接近于0,從而和其切線越來越靠近,因此曲線兩側(cè)的分布概率逐漸趨近相等。

由此可知,在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行濾波時(shí),目標(biāo)在真實(shí)軌跡兩側(cè)的分布概率是不相等的,因此導(dǎo)致期望偏向真實(shí)軌跡的一側(cè),引起系統(tǒng)誤差。當(dāng)目標(biāo)距離較近,且航路截徑和目標(biāo)距離相當(dāng)時(shí),其影響將比較明顯;目標(biāo)距離越遠(yuǎn),該誤差逐漸減小,其影響可忽略。

3 仿真計(jì)算

假定在直角坐標(biāo)系下有一條直線軌跡,其坐標(biāo)值x,y滿足關(guān)系y=0.1x+500,x的取值范圍為[100,500]。設(shè)定測距誤差σR=5m,測角誤差σθ=1°。

通過蒙特卡洛仿真,模擬某一特定測量點(diǎn)的誤差散布。例如,直角坐標(biāo)系下,某一點(diǎn)處的散布誤差“點(diǎn)云”如圖6所示。

圖6 直角坐標(biāo)系下的直線航跡與誤差分布

其中實(shí)線為目標(biāo)的直線軌跡,“點(diǎn)云”為軌跡上某點(diǎn)處的測量值散布誤差。對應(yīng)的球坐標(biāo)系下的散布誤差為圖7所示。

圖7 球坐標(biāo)系下直線航跡與誤差分布

統(tǒng)計(jì)點(diǎn)云處于軌跡上方(參考縱軸正向)的點(diǎn)的個(gè)數(shù),可以反映出誤差的單邊分布概率。對于圖6中的情況,軌跡上方的單邊分布概率約為49.6%,沿軌跡上各點(diǎn)依次通過蒙特卡洛仿真手段,分析單邊分布概率,仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 單邊分布概率的最小二乘擬合

圖8中,細(xì)實(shí)線為通過蒙特卡洛仿真得出的單邊分布概率。對仿真概率進(jìn)行最小二乘擬合,近似得出實(shí)際的單邊分布概率,如圖8中粗實(shí)線所示。

可見,對于直線軌跡上的各點(diǎn),實(shí)際的單邊分布概率始終小于0.5,說明在設(shè)定的仿真條件下,軌跡上方的單邊分布概率始終小于軌跡下方的單邊分布概率,由于概率分布不對稱,屬于“偏心”分布,將導(dǎo)致期望值偏向軌道下方一側(cè)。根據(jù)圖8的仿真結(jié)果,可得出軌跡上每一點(diǎn)處目標(biāo)的位置期望值,從而得到預(yù)測的目標(biāo)軌跡。實(shí)際軌跡與預(yù)測軌跡對比如圖9所示。

圖9 直角坐標(biāo)系下的實(shí)際軌跡與預(yù)測軌跡

預(yù)測軌跡和實(shí)際軌跡的差別較小,二者幾乎重疊在一起,將圖9左圖黑色框線內(nèi)部放大,如右圖所示。可見由于誤差的非對稱分布,預(yù)測軌跡始終處于實(shí)際軌跡下方。預(yù)測軌跡偏離實(shí)際軌跡的差值變化趨勢如圖10所示。

圖10 直角坐標(biāo)系下預(yù)測軌跡與實(shí)際軌跡的偏差

目標(biāo)距離越近,二者的角度系統(tǒng)偏差越大,最大接近0.03°,目標(biāo)距離越遠(yuǎn),偏差越小。對于遠(yuǎn)程單站測量設(shè)備來說,誤差的非對稱分布導(dǎo)致的角度系統(tǒng)偏差一般很小,因此在試驗(yàn)數(shù)據(jù)中一般無法覺察到它的存在。對于近距探測設(shè)備來說,該誤差隨著目標(biāo)距離的減小而迅速增大,需要予以考慮。

4 結(jié)束語

球坐標(biāo)系下獲取的原始數(shù)據(jù),通過坐標(biāo)變換到直角坐標(biāo)系下進(jìn)行處理時(shí),誤差分布不再對稱,導(dǎo)致濾波的期望值為有偏估計(jì),引起濾波系統(tǒng)誤差。以直線航路為例進(jìn)行了仿真,結(jié)果表明該誤差隨距離的減小而增大,因此對遠(yuǎn)程探測設(shè)備影響較小,對近距探測設(shè)備影響較大。

對于曲線航路來說,可分段等效為直線航路,因此其誤差分布在局部也是非對稱的,同樣,其非對稱性在近距更為明顯。