聚合物雙振子超聲焊接量子升溫優(yōu)勢

李亮，鄭冕，郭棟，何勍

(1.遼寧工業(yè)大學(xué),錦州,121001；2.遼寧工業(yè)大學(xué) 振動(dòng)工程研究所,錦州,121001)

0 序言

超聲焊接是一種利用超聲振動(dòng)生熱實(shí)現(xiàn)焊接的技術(shù)[1].超聲焊接無需添加其他材料，焊接速度快，焊接強(qiáng)度高，并且可以實(shí)現(xiàn)局部加熱焊接.早期的超聲焊接主要應(yīng)用于金屬材料[2-3]，隨著塑料等聚合物的廣泛應(yīng)用，超聲焊接技術(shù)被逐步引入聚合物焊接領(lǐng)域.在超聲焊接過程中，由于加熱時(shí)間極短，所以即便焊接溫度高于降解溫度，也可以有效避免聚合物降解，保證焊件質(zhì)量[4].特別是對于那些結(jié)構(gòu)復(fù)雜難以利用模具一次成形的構(gòu)件，采用超聲焊接技術(shù)是一種既經(jīng)濟(jì)又高效的選擇[5].近年來，工業(yè)中一些傳統(tǒng)的金屬構(gòu)件已逐漸為復(fù)合材料所取代，在眾多的聚合物連接技術(shù)中，超聲焊接引起了人們更多的關(guān)注[6-8]，對其工藝和機(jī)理的研究也越來越多[9-11].

早期人們普遍認(rèn)為超聲塑料焊接是靠高頻運(yùn)動(dòng)引起的摩擦熱實(shí)現(xiàn)的熔融焊接.但隨后的駐波焊接試驗(yàn)表明，在聚合物內(nèi)部，應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)闃O大值的區(qū)域聚合物材料也會(huì)變軟、熔融[12-13].同時(shí)，監(jiān)測焊接升溫過程的試驗(yàn)結(jié)果顯示，聚合物表面以里的內(nèi)部位置，溫度較低時(shí)升溫緩慢，當(dāng)溫度接近玻璃化溫度時(shí)，升溫速率驟然加快，當(dāng)溫度超過玻璃化溫度后升溫速率再度趨緩[14].以此為基礎(chǔ)，又誕生了粘彈性生熱理論.近期，Zhang 等人[15]深入研究了聚甲基丙烯酸甲酯 (polymethyl methacrylate，PM)的超聲焊接過程，摩擦生熱是超聲焊接的必要啟動(dòng)熱源，而粘彈性生熱才是焊接的主要熱源.

迄今為止，關(guān)于聚合物超聲焊接升溫機(jī)理的研究，大都停留在對現(xiàn)象和經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和提煉，而未能解釋其微觀機(jī)制和內(nèi)在原因.而從能量角度來看，超聲焊接過程就是超聲場的能量轉(zhuǎn)化為焊接物內(nèi)能的過程.內(nèi)能為原子微觀運(yùn)動(dòng)的能量總和.固態(tài)物質(zhì)的原子在平衡點(diǎn)附近做三維振動(dòng)；對于聚合物，在分子高溫降解之前，由于分子的長鏈結(jié)構(gòu)，原子的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)效應(yīng)有限，也可以認(rèn)為聚合物原子微觀運(yùn)動(dòng)以振動(dòng)為主.所以聚合物超聲焊接的升溫過程可視為聲場與原子振子之間的能量傳遞過程.按照量子力學(xué)理論，諧振子有分立的能級；超聲場可以二次量子化為一定流量的聲子流.原子振子可以吸收聲子使系統(tǒng)內(nèi)能增加，溫度上升.文章從這一理論出發(fā)，研究了超聲焊接吸熱升溫的量子機(jī)理和雙振子焊接在吸熱升溫方面的優(yōu)勢.

1 超聲焊接的聲子吸收理論

量子吸收是愛因斯坦在解釋光電效應(yīng)時(shí)提出的電磁場與原子體系的能量交換模型.這一機(jī)理的完善歸功于二次量子化理論的發(fā)展.聲子，即聲量子，最早在解決固體熱容量問題時(shí)引入量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué).目前，聲子氣體已經(jīng)成為一種成熟的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)模型.在近代物理學(xué)中，能量以量子化的形式輻射和吸收已經(jīng)成為共識，而超聲焊接從能量角度來看，就是能量吸收的過程，本質(zhì)上也應(yīng)該是量子化的吸收過程.由于量子力學(xué)理論計(jì)算的繁難，目前基于聲場和固體量子相互作用的超聲焊接理論還鮮有報(bào)道.文中應(yīng)用二次量子化的方法，從聲子的量子吸收角度分析雙振子超聲焊接的優(yōu)勢.

1.1 諧振子頻譜

固體或類固體中的原子振動(dòng)可視為三維諧振子.一般說來，1 個(gè)三維諧振子可等效為3 個(gè)彼此正交的一維諧振子.若系統(tǒng)的原子總數(shù)為N，則其包含的原子振子總數(shù)為3N.這些原子振子按一定的頻譜分布.德拜針對晶態(tài)固體給出1 個(gè)頻譜[16]，即

式中：g(ω)dω為單位體積中角頻率在ω～ω+dω范圍內(nèi)的振子數(shù)目，其中為速度平均值，滿足下面定義，即

式中：vL和vT是縱波和橫波的聲速，可以寫成彈性模量、泊松比和質(zhì)量密度的函數(shù).角頻率上限值ωm可表示如式(3)所示，即

式中：N為以振動(dòng)為主要運(yùn)動(dòng)形式的原子數(shù)目.對于非晶態(tài)固體，Landau 和Lifshitz[17]曾做過相關(guān)論證，認(rèn)為也適用于非晶體熵函數(shù)之外的討論.因此這里假設(shè)在聚合物降解之前，聚合物中原子振子都滿足德拜頻譜.需要注意的是，隨著聚合物的升溫，聲速非線性下降，所以該頻譜為溫度的函數(shù).但在某一給定的溫度下，各頻率下的原子振子數(shù)目是固定的.

1.2 諧振子二次量子化

在量子力學(xué)中，沿x方向的一維諧振子對應(yīng)的哈密頓算符，即

式(8)是諧振子能量本征方程.l為整數(shù)，是諧振子能級量子數(shù).式(9)和式(10)表明+和的功用.+作用到態(tài)矢 |l〉上，結(jié)果令能級量子數(shù)增1，即原子振子向上躍遷一個(gè)能級；作 用到態(tài)矢 |l〉上，結(jié)果是令原子能級量子數(shù)減1，即原子振子向下躍遷一個(gè)能級.

1.3 超聲場二次量子化

式中：t為時(shí)間；A為振幅；為角頻率.與原子發(fā)生相互作用的有效聲場能量如式(12)所示，即

式中：ρ為固體密度，Veff是確保原子振子能級躍遷的必要能量對應(yīng)的體積.

令廣義動(dòng)量PX=ρVeff(dX/dt)，式(12)可寫成

仿照諧振子算符式(4)，可對超聲場二次量子化，結(jié)果如式(14)～ 式(16)所示，即

式(17)即是聲場的能量本證方程.η為整數(shù)，是聲場能量量子數(shù).按量子力學(xué)的觀點(diǎn)，量子化的聲場對應(yīng)的量子數(shù) η即是聲場中聲子個(gè)數(shù)，一個(gè)聲子能量為?，聲子的總能量即是聲場的能量.聲子是波色子，可以有很多聲子同時(shí)處于同一個(gè)態(tài).式(18)和式(19)表明：作用到態(tài)矢 |η〉上，結(jié)果是令聲場量子數(shù)增1，即生成一個(gè)聲子，所以稱為聲子產(chǎn)生算符；作用到態(tài)矢 |η〉上，結(jié)果是令聲場量子數(shù)減1，即湮滅一個(gè)聲子，所以稱為聲子湮滅算符.

1.4 超聲場和原子振子的相互作用

由于在某一原子周圍聲場可用式(11)描述，所以該原子在超聲作用下加速度可寫成 -?2X，進(jìn)而聲場作用到原子上的力為F=-μ?2X.力F對原子做功為Fx，由此產(chǎn)生的能量增量如式(20)所示，即

式中：X為超聲振動(dòng)位移，x為原子振動(dòng)位移.

按量子力學(xué)引入算符的法則，將式(6)和式(15)帶入式(20)中，對應(yīng)的算符可以寫成如式(21)所示，即

由原子升、降算符和聲子產(chǎn)生、湮滅算符構(gòu)成，它反映了聲場和原子的作用方式，每作用一次，聲場都會(huì)產(chǎn)生或湮滅一個(gè)聲子，原子振子則相應(yīng)地上升或下降一個(gè)能級.顯然，若存在n個(gè)獨(dú)立的聲場，式(21)將變成如式(22)所示，即

1.5 聲子吸收理論

原子振子和周圍有效聲場組成能量系統(tǒng)，對應(yīng)的哈密頓算符如式(23)所示，即

則原子振子由 |F〉 態(tài)躍遷至 |G〉態(tài)的速率如式(27)所示，即

利用迭代法可以將上式寫成級數(shù)的形式[18]，如式(28)所示，即

式中：Ω 代表和共同本征態(tài)對應(yīng)的頻率；Tn滿足式(29)所示，即

式中：δ(x)是 δ 函數(shù)，當(dāng)x≠ 0 時(shí)，δ(x)≡0.躍遷速率公式中出現(xiàn) δ函數(shù)，這是能量守恒對躍遷的必然要求.由式(8)和式(11)可知Sfg不為零(即 δ(x)≠0)的必要條件如式(30)所示，即

式中：lf，lg代表原子振子(算符為)初、末態(tài)對應(yīng)的量子數(shù)；ηif，ηi代表第i個(gè)超聲場(算符為)初、末態(tài)對應(yīng)的量子數(shù).這一方程說明，只有能級之差等于吸收或放出聲子總能量的躍遷才可能發(fā)生.所以能夠與聲場交換能量的原子振子，其頻率 ω必須滿足式(30)的要求.

2 雙振子焊接量子吸收優(yōu)勢

2.1 雙振子焊接原子頻率構(gòu)成

在超聲場中，可以吸收聲子的有效原子振子的頻率必須滿足式(30)的要求，而某一頻段對應(yīng)的原子振子數(shù)目是固定的，由式(1)可知，在給定的超聲場中，只有一部分原子可以有效吸收聲子.以f～f+1 的躍遷為例，如果只有單一頻率的超聲，聲場角頻率為 ?，由式(30)可以得到能夠有效吸收聲子的原子振子頻率 ω如式(31)所示，即

式中：Δη為聲子個(gè)數(shù).顯然，這種情況下，只有頻率為超聲頻率整數(shù)倍的原子振子才能有效吸收聲子.

如果有兩個(gè)超聲場，角頻率分別為 ?1和 ?2，此時(shí)原子振子可同時(shí)吸收兩種頻率的聲子.按(30)式，能夠有效吸收聲子的振子頻率如式(32)～式(34)所示，即

式中：ω1和 ω2是能夠有效吸收頻率為 ?1或 ?2聲子的原子振子頻率，也是角頻率為 ?1和 ?2的聲場單獨(dú)焊接時(shí)對應(yīng)的有效原子振子頻率. ω12是兩個(gè)聲場同時(shí)存在時(shí)，能夠同時(shí)吸收兩種頻率聲子的有效原子振子頻率，這一頻率為兩個(gè)聲場頻率的整數(shù)倍組合.也就是說，兩個(gè)聲場同時(shí)存在時(shí)，有效原子振子不僅包括兩個(gè)聲場單獨(dú)存在時(shí)對應(yīng)的有效原子振子，還包括能夠同時(shí)吸收兩種聲子的有效原子振子.后一種原子振子可稱為疊加態(tài)原子振子.原子振子的頻譜由式(1)給出，在某一給定溫度下，各頻段對應(yīng)的原子振子數(shù)是確定的.由于疊加態(tài)原子振子的存在，雙振子焊接時(shí)參與聲子吸收的有效原子振子數(shù)目必然大于對應(yīng)的兩個(gè)單振子焊接時(shí)有效原子振子數(shù)目之和.所以，雙振子焊接的能量吸收能力必然要大于對應(yīng)的單振子焊接能量吸收能力之和.

2.2 振子焊接有效原子數(shù)目估算

聲場穩(wěn)定時(shí)，原子周圍的平均聲子數(shù)目固定，記為m，顯然m與振源輸出功率成比例.單振子焊接時(shí)，由式(1)和式(31)可以估算出有效原子振子數(shù)N滿足式(35)，即

雙振子焊接時(shí)，可以吸收聲子的有效原子振子頻率由式(32)～ 式(34)給出.顯然式(32)～ 式(34)，可以寫成統(tǒng)一的形式如式(36)所示，即

此時(shí)，原子周圍兩種聲子的平均數(shù)目記為m1，m2，則由式(1)和式(36)可以估算出有效原子振子數(shù)N滿足式(37)，即

有效原子振子數(shù)目是相應(yīng)情況下參與聲子吸收的振子數(shù).顯然，這一數(shù)目越大說明焊接物的能量吸收能力越強(qiáng)，所以可以用這一數(shù)目表征焊接物的能量吸收能力.

3 雙振子超聲焊接的試驗(yàn)研究

3.1 試驗(yàn)設(shè)備

圖1 為雙振子超聲焊接系統(tǒng)，系統(tǒng)主體由作者團(tuán)隊(duì)自行設(shè)計(jì)、加工完成，材料為鋁合金(YL12).超聲振子A、B 各自擁有獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)器(AFG320 波形發(fā)生器).A、B 可以同時(shí)工作，也可獨(dú)立工作.焊接壓力由系統(tǒng)上方砝碼提供.試驗(yàn)樣品材料為PVC，密度為1 360 kg/m3，定壓摩爾熱容為1 475 J/(kg·K-1)，楊氏模量為3.5 × 109Pa，泊松比為0.38.樣品長、寬、厚尺寸為50 mm × 20 mm × 0.25 mm.試件沿長邊搭接，搭接寬度為20 mm.

圖1 雙振子超聲焊接系統(tǒng)Fig.1 System of double-vibrator ultrasonic welding

為了便于比對，A、B 兩個(gè)超聲振子均選用激振頻率接近1.7 MHz 壓電陶瓷激勵(lì)，并設(shè)計(jì)與此相匹配的參數(shù).由于振子的個(gè)體差異，可以認(rèn)為兩個(gè)振子提供了兩個(gè)不同頻率的聲場.由于壓電陶瓷激振頻率同在1.7 MHz 附近，所以超聲振子頻率相差不大，A、B 單獨(dú)工作時(shí)對應(yīng)的有效原子振子的頻率構(gòu)成相差不大，對應(yīng)的有效原子振子數(shù)目近似相等.

3.2 試驗(yàn)分析與討論

理論上，焊接物的能量吸收能力如圖2 所示，橫軸為振子A、B 各自發(fā)射到每個(gè)原子周圍的平均聲子數(shù)m，m由振子A、B 各自輸出功率決定.對于雙振子焊接，這里假設(shè)振子A、B 的輸出功率始終相同.計(jì)算結(jié)果表明隨著超聲振子輸出功率的增加(m增大)，無論單振子焊接還是雙振子焊接，焊接物的能量吸收能力(有效原子振子數(shù)目)均迅速增加.這是由于隨著原子周圍的聲子增多，高頻率原子振子逐漸參與聲子吸收.由德拜頻譜可知：各頻段原子振子數(shù)目隨頻率升高而增多.同時(shí)，對應(yīng)某一給定的m值 (如圖2 所示m=10)，使用雙振子焊接時(shí)，某一原子周圍分布有振子A、B 各自發(fā)射到該區(qū)域的m個(gè)聲子，即此時(shí)原子周圍的平均聲子數(shù)為2m(即20).按圖2 中的結(jié)果，雙振子焊接對應(yīng)的能量吸收能力遠(yuǎn)大于單振子焊接原子周圍平均聲子數(shù)為2m(即20) 時(shí)對應(yīng)的能量吸收能力，這是由于雙振子焊接時(shí)存在疊加態(tài)原子振子.考慮到焊接時(shí)總有超聲能流穿透焊接物，無法及時(shí)被焊接物吸收；所以焊接物能量吸收能力增強(qiáng)，超聲能量的利用率必然隨之增高.一方面在振子A、B 功率固定的條件下，焊接物要吸收相同能量，振子A、B 同時(shí)焊接的耗時(shí)應(yīng)小于振子A 或B 單獨(dú)焊接時(shí)對應(yīng)耗時(shí)的1/2；另一方面，由于雙振子焊接時(shí)能量吸收能力更好，在焊接時(shí)間相同的條件下，要吸收相同能量，雙振子焊接所需總功率應(yīng)該小于單振子焊接功率.

圖2 有效原子振子數(shù)目Fig.2 Number of effective atom vibrators

為了實(shí)現(xiàn)單振子焊接和雙振子焊接的有效對比，試驗(yàn)時(shí)，焊接壓力固定為85 N，焊后保壓時(shí)間固定為3 s.試驗(yàn)包括兩項(xiàng)內(nèi)容.

試驗(yàn)一是對必要焊接時(shí)間的對比.驅(qū)動(dòng)器A、B 的輸出功率都固定為13 W.焊接時(shí)間從1 s 開始嘗試，每次增加1 s.每次焊接結(jié)束都檢測樣品是否被成功焊接，標(biāo)準(zhǔn)是拉斷力能否達(dá)到20 N.能夠保證完成焊接的最小時(shí)間定義為必要焊接時(shí)間.

相同條件下，單振子焊接和雙振子焊接的必要時(shí)間測量結(jié)果如表1 所示.超聲振子A、B 的驅(qū)動(dòng)功率相同時(shí)，要實(shí)現(xiàn)相同的焊接效果，A、B 同時(shí)焊接耗時(shí)與A 或B 單獨(dú)焊接耗時(shí)的比值為3/8 小于1/2，這與理論預(yù)測結(jié)果相一致.此外，在耗能方面，單振子焊接消耗能量為104 J，雙振子焊接耗能為78 J，這說明雙振子焊接時(shí)能量的吸收率更好，耗能更低.

表1 必要焊接時(shí)間試驗(yàn)結(jié)果Table 1 Experimental results of necessary welding time

試驗(yàn)二是必要焊接功率的對比.焊接時(shí)間固定為8 s，雙振子焊接時(shí)A、B 驅(qū)動(dòng)功率始終相同.焊接時(shí)驅(qū)動(dòng)功率從一個(gè)較低的起始值開始嘗試，每次增加0.1 W.每次焊接結(jié)束，都檢測樣品是否被成功焊接，標(biāo)準(zhǔn)是焊點(diǎn)拉斷力能否達(dá)到20 N.能保證完成焊接的最小功率，定義為必要焊接功率.單振子焊接和雙振子焊接的必要焊接功率測量結(jié)果由表2 給出.

表2 必要焊接功率試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Experimental results of necessary welding power

如表2 所示，焊接時(shí)間同為8 s 時(shí)，A 或B 單獨(dú)焊接時(shí)必要功率為13 W；A 和B 同時(shí)焊接時(shí)各自必要功率為6 W，功率總和為12 W，小于單振子必要功率，這一結(jié)果也與理論預(yù)期相一致.在耗能方面，單振子焊接耗能104 J，雙振子焊接耗能96 J.所以試驗(yàn)二的結(jié)果也表明：雙振子焊接的能量吸收率更好，耗能更低.

4 結(jié)論

(1)雙振子焊接時(shí)原子對聲場能量的吸收能力更強(qiáng)，吸收率更高.要達(dá)到同樣的焊接效果，雙振子的焊接能耗更低，焊接速率更快.

(2)理論結(jié)果表明在振子A、B 功率固定的條件下，焊接物要吸收相同能量，振子A、B 同時(shí)焊接的耗時(shí)應(yīng)小于振子A 或B 單獨(dú)焊接時(shí)對應(yīng)耗時(shí)的1/2；試驗(yàn)結(jié)果表明振子A、B 功率相同時(shí)，要完成同樣的焊接，振子A、B 同時(shí)焊接所需時(shí)間約為單振子焊接所需時(shí)間的3/8.

(3)理論結(jié)果表明在焊接時(shí)間相同的條件下，要吸收相同能量，雙振子焊接所需總功率應(yīng)該小于單振子焊接功率；試驗(yàn)結(jié)果表明在焊接時(shí)間相同時(shí)，要完成同樣的焊接，振子A、B 同時(shí)焊接時(shí)，A、B 的功率總和約為單振子焊接功率的12/13.