關(guān)于《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中柯西
——古薩定理這節(jié)課的教學(xué)反思

王晴雯 岳陽(yáng)銘

（安陽(yáng)工學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000）

一、課前準(zhǔn)備內(nèi)容及反思

為了這節(jié)課準(zhǔn)備得更加充分，教師可以借助超星學(xué)習(xí)通等網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，提前將本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容錄制成視頻，視頻需與本節(jié)課線下教學(xué)相符合，錄制視頻的時(shí)間20分鐘左右即可，不需要太長(zhǎng)時(shí)間，將本節(jié)課的重難點(diǎn)給學(xué)生過(guò)一遍，將課上比較難懂的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)這種方式讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，可以對(duì)線下實(shí)際教學(xué)提前做一些鋪墊與補(bǔ)充，學(xué)生也能標(biāo)注出不太懂的地方，上課與老師進(jìn)行討論，其實(shí)相當(dāng)于通過(guò)查資料、學(xué)視頻的方式讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，帶著問(wèn)題去聽(tīng)課，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的印象才會(huì)更深，理解得才會(huì)更加深刻，也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性[1-2]。

二、教學(xué)過(guò)程分析及反思

1.問(wèn)題引入

回顧1：復(fù)習(xí)上一節(jié)所舉的例題，被積函數(shù)f(z)=z2在z平面上處處解析，它沿連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的任何路徑的積分值相同，也就是說(shuō)該積分與路徑無(wú)關(guān)。另一被積函數(shù)f(z)=Im(z)在z平面上處處不解析，其積分值依賴于連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的路徑。回顧2：積分，曲線C表示圓周：|z-z0|=r>0.其中被積函數(shù)在z平面上除去點(diǎn)z0外處處解析，但這個(gè)區(qū)域不是單連通區(qū)域。教學(xué)反思：

由于大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)并不是很感興趣，復(fù)變理論性比較強(qiáng)，為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性在新知講解前設(shè)置了這樣兩道問(wèn)題，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)課所做的積分習(xí)題的同時(shí)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，從而引入新知。不足之處是，在探討這兩個(gè)問(wèn)題積分與路徑無(wú)關(guān)是與函數(shù)解析性有關(guān)的時(shí)候，可以讓學(xué)生自己在練習(xí)本上用C-R方程去計(jì)算出兩個(gè)函數(shù)的解析性，從而發(fā)現(xiàn)解析函數(shù)和積分與路徑無(wú)關(guān)這樣的關(guān)聯(lián)，否則教師如果自己直接告訴學(xué)生因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)是解析的，所以這個(gè)積分與路徑無(wú)關(guān)，學(xué)生沒(méi)有自己的探索經(jīng)歷，接受起來(lái)可能會(huì)比較被動(dòng)，這樣即幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了第二章的知識(shí)，也讓學(xué)生知道了數(shù)學(xué)內(nèi)容之間是相互聯(lián)系的，更加強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)公式的重要性。并且在學(xué)生用C-R方程計(jì)算函數(shù)解析性的時(shí)候可以用學(xué)習(xí)通隨機(jī)點(diǎn)名提問(wèn)的方式，讓學(xué)生說(shuō)出結(jié)果，然后引導(dǎo)學(xué)生找出函數(shù)解析性與積分路徑無(wú)關(guān)的關(guān)系，這樣既解決了問(wèn)題，也能與學(xué)生實(shí)現(xiàn)互動(dòng)，采用鼓勵(lì)式的教學(xué)方式，對(duì)學(xué)生之前的學(xué)習(xí)的知識(shí)掌握情況進(jìn)行肯定或者鼓勵(lì)，既幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了之前的知識(shí)，也讓學(xué)生也更加對(duì)今后的學(xué)習(xí)充滿信心[3-4]。

2.柯西-古薩定理及推導(dǎo)和教學(xué)反思

定理3.2（柯西-古薩定理） 若函數(shù)f（z）是單連通域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f（z）沿D內(nèi)任一條閉曲線C的積分為零，即

證明：

假設(shè)函數(shù)f（z）=u+iv在單連通域D內(nèi)處處解析，f’（z）在D內(nèi)連續(xù)，由第二章2.3節(jié)中的（2.9）式知u，v對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)連續(xù).設(shè)z=x+iy，C為D內(nèi)任一條簡(jiǎn)單閉曲線.則由（3.5）式，有

記G為C所圍區(qū)域，由格林（Green）公式有

由于f(z)=u+iv在D內(nèi)解析，所以u(píng)、v在D內(nèi)處處都滿足柯西-黎曼方程，即

因此

從而

教學(xué)反思：

由圖1可以看出，絲瓜絡(luò)纖維的有維管束粉末：白色。經(jīng)組織離析后觀察，纖維成束或單個(gè)散在，壁木化，胞腔極小，兩端斜尖，常斷裂，直徑約17～40 μm。

帶著問(wèn)題，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山引入概念，和學(xué)生在師生互動(dòng)中共同完成概念的推導(dǎo)和學(xué)習(xí)。首先，對(duì)于柯西——古薩這樣的數(shù)學(xué)定理建議教師可以用自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，加以舉例或者配圖進(jìn)行解釋?zhuān)茏寣W(xué)生更直白地了解定理重難點(diǎn)，達(dá)到深入淺出的教學(xué)效果。其次，由于現(xiàn)在教學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn)，使用多媒體已經(jīng)成為教師的首選，因?yàn)槎嗝襟w課件色彩豐富，比較生動(dòng)，簡(jiǎn)單明了，可以清晰地表達(dá)數(shù)學(xué)概念、公式或者一些圖像等，但是作為數(shù)學(xué)課，反思自己的教學(xué)過(guò)程，有些同學(xué)不喜歡公式的推導(dǎo)，只喜歡記住定理和應(yīng)用，覺(jué)得會(huì)做題就好，不想知其所以然，所以用課件進(jìn)行公式的講解學(xué)生們抬頭率很低，但是這種注重結(jié)果不注重過(guò)程的學(xué)習(xí)態(tài)度是不提倡的，所以在柯西——古薩定理這方面推導(dǎo)過(guò)程教師還是盡量通過(guò)板書(shū)進(jìn)行，這樣一步一步地通過(guò)教師的粉筆牽引學(xué)生的思路，有利于吸引學(xué)生的眼球，因?yàn)樵跁?shū)寫(xiě)的過(guò)程中也能夠及時(shí)補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)并與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)[5-7]。比如說(shuō)柯西——古薩定理證明過(guò)程中需要用到高數(shù)中的格林公式，此時(shí)的學(xué)生已經(jīng)有一定的高數(shù)基礎(chǔ)，教師就可以提問(wèn)學(xué)生還記不記得格林公式，將格林公式帶入復(fù)積分應(yīng)該如何表達(dá)，這一過(guò)程可以讓學(xué)生到黑板上進(jìn)行，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)或者糾錯(cuò)，學(xué)生能夠參與到新知的探索過(guò)程中，不是一味地被動(dòng)地接受新知，從而讓學(xué)生對(duì)概念和公式有更深刻的體會(huì)，讓學(xué)生體會(huì)到復(fù)變不是那么煩瑣和困難，也是可以自行經(jīng)過(guò)努力解決的。在公式講解的過(guò)程中經(jīng)常還有一個(gè)問(wèn)題就是有些同學(xué)已經(jīng)忘記格林公式是什么了，只記得這個(gè)名字，為了讓學(xué)生更好地參與到教學(xué)過(guò)程中，配合教學(xué)活動(dòng)，建議講這節(jié)課之前讓學(xué)生帶著高數(shù)書(shū)到課堂上來(lái)，講到概念用到這個(gè)公式的時(shí)候讓學(xué)生像查字典一樣進(jìn)行翻閱查找，告訴學(xué)生忘記是很正常的，及時(shí)復(fù)習(xí)就可以了，要給予鼓勵(lì)式教學(xué)，給學(xué)生以信心，讓學(xué)生感受到復(fù)變函數(shù)與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系密切，并建議學(xué)生自己可以在課下抽時(shí)間復(fù)習(xí)與之相關(guān)聯(lián)的高數(shù)知識(shí)，這樣有利于復(fù)變函數(shù)的理解和學(xué)習(xí)[8-9]。

3.例題講解和教學(xué)反思

教學(xué)反思：

4.變式訓(xùn)練和教學(xué)反思

教學(xué)反思：雖然課件比較直觀方便，但是為了有更好的教學(xué)效果，通過(guò)本人的實(shí)際課堂效果對(duì)比，個(gè)人覺(jué)得利用超星學(xué)習(xí)通的學(xué)習(xí)平臺(tái)，將這兩道變式訓(xùn)練發(fā)放給學(xué)生，這樣可以讓每一位學(xué)生都參與到教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生將自己的答題過(guò)程拍照上傳到平臺(tái)，教師可以快速瀏覽提交學(xué)生的答題情況，并給予打分，作為課堂表現(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì)，記入平時(shí)成績(jī)中，這樣可以提高學(xué)生的參與度和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。需要注意的是，這種讓學(xué)生參與并且打分的習(xí)題難度不宜太大，學(xué)生做不對(duì)也得不到正反饋，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情降低，反而適得其反。在學(xué)生答題的時(shí)候教師要注意學(xué)情，走下講臺(tái)，親近學(xué)生，觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，對(duì)于分心，玩手機(jī)或者睡覺(jué)的學(xué)生給予提醒，對(duì)于有問(wèn)題的同學(xué)進(jìn)行一對(duì)一輔導(dǎo)和解答[11]。并且教師打分的時(shí)候要注重答題過(guò)程，不能只注重結(jié)果，要讓學(xué)生們了解思路是最重要的，結(jié)果是其次的，否則對(duì)于一些結(jié)果算錯(cuò)但是過(guò)程沒(méi)問(wèn)題的同學(xué)也會(huì)覺(jué)得有些失望，會(huì)消耗掉自己上進(jìn)的熱情?？梢詫⒊霈F(xiàn)問(wèn)題的學(xué)生的答題過(guò)程進(jìn)行投屏，讓同學(xué)們進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，糾錯(cuò)，這樣能激發(fā)學(xué)生們的探索精神，增強(qiáng)課堂的活力，將寫(xiě)得好的同學(xué)的答案可以利用學(xué)習(xí)通發(fā)放給大家，讓大家在課后可以隨時(shí)隨地地向優(yōu)秀同學(xué)學(xué)習(xí)，改進(jìn)自己的方式和方法，這種碎片化學(xué)習(xí)，也是當(dāng)代大學(xué)生比較喜歡的一種學(xué)習(xí)方式。

5.課后小結(jié)

5.1 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握柯西——古薩定理

若函數(shù)f(z)是單連通域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f(z)沿D內(nèi)任一條閉曲線C的積分為零，即

5.2 注意定理成立的條件

5.2.1 單連通區(qū)域

5.2.2 注意不能反過(guò)來(lái)用

教學(xué)反思：

將本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做出鋪墊。首先，在總結(jié)完知識(shí)點(diǎn)后，為了豐富學(xué)生的課后學(xué)習(xí)活動(dòng)，其實(shí)可以再次利用學(xué)習(xí)通網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)向?qū)W生發(fā)放拓展練習(xí)，比如可以加入慕課視頻讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)再次回顧，結(jié)合學(xué)生們的生活習(xí)慣，利用碎片化的時(shí)間可以對(duì)所學(xué)知識(shí)加深印象，因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)視頻更加直觀生動(dòng)，就像學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)一樣，給學(xué)生發(fā)放課后視頻學(xué)習(xí)，同學(xué)們利用閑暇時(shí)間不知不覺(jué)就被熏陶了，這種潛移默化的影響也對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很有幫助。其次，對(duì)于那些學(xué)習(xí)成績(jī)很好，心有余力的學(xué)生，教師也可以利用學(xué)習(xí)通平臺(tái)，布置一些課后拓展題目，讓學(xué)生進(jìn)行挑戰(zhàn)，如果下節(jié)課有時(shí)間的話，可以讓他同學(xué)們進(jìn)行展示，即肯定了學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，也對(duì)別的同學(xué)也是一種激勵(lì)和引導(dǎo)[12]。

結(jié)語(yǔ)

在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，同學(xué)們經(jīng)常會(huì)覺(jué)得這門(mén)課重理論輕應(yīng)用，他們的專(zhuān)業(yè)知識(shí)似乎與復(fù)變有些脫離，這是學(xué)生普遍反映的情況。因?yàn)閿?shù)學(xué)教師的學(xué)科研究背景可能比較單一，偏重?cái)?shù)學(xué)理論，對(duì)于工科知識(shí)了解不多，所以授課教師應(yīng)該多與學(xué)生所在專(zhuān)業(yè)教師進(jìn)行學(xué)習(xí)和探討，將學(xué)生經(jīng)常遇到的專(zhuān)業(yè)型的問(wèn)題與復(fù)變課程聯(lián)系起來(lái)，構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，布置一些與學(xué)生專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域相關(guān)的應(yīng)用型問(wèn)題。同時(shí)結(jié)合不同工科學(xué)生的專(zhuān)業(yè)，在復(fù)變課堂上增加符合學(xué)生專(zhuān)業(yè)知識(shí)的內(nèi)容，達(dá)到活學(xué)活用的教學(xué)效果。在復(fù)變的教學(xué)過(guò)程中，為了實(shí)現(xiàn)現(xiàn)在社會(huì)所需要的應(yīng)用型人才，一定要慢慢改變教學(xué)方式，線上+線下雙管齊下，各種模式相互結(jié)合，并與現(xiàn)代化技術(shù)與板書(shū)相結(jié)合，講課要注意節(jié)奏，詳略得當(dāng)，不斷地對(duì)自己實(shí)際的課堂教學(xué)進(jìn)行反思，創(chuàng)造輕松愉悅的教學(xué)氛圍。