數(shù)學文化與GeoGebra融合促核心素養(yǎng)培養(yǎng)

陳月霜

（福建省廈門市第二外國語學校，福建 廈門 361100）

數(shù)學史料、數(shù)學文化融入高中課堂，保留學生的好奇心、提升學生學習興趣，激發(fā)學生主動思考的同時讓學生了解數(shù)學的思想淵源，體會數(shù)學的邏輯推理過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，提升鉆研數(shù)學的興趣；培養(yǎng)邏輯素養(yǎng)、數(shù)學審美觀，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，促進課改的快速落實，實現(xiàn)學科的“育人”功能。而數(shù)學軟件GeoGebr a是這幾年在可視化信息教學中最優(yōu)具有勢的，它的優(yōu)點不僅在三維圖的精致更是因為其出色的3D動態(tài)演示功能，做到了函數(shù)變化與幾何圖形的一致同步，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，更是能涵蓋初等到高等數(shù)學知識的直觀展示。數(shù)學文化視域下的數(shù)學軟件GeoGebr a的融入輔助教學，雙管齊下，有效縮短學生對數(shù)學本質(zhì)的理解過程，將核心素養(yǎng)中落在實處。

一、持之故，言之依，行之理

（一）發(fā)軔之始——與“學生經(jīng)驗”初相識

執(zhí)教以來，每當與學生進行交流溝通時，學生所反映的數(shù)學知識的晦澀難懂和無趣、所體現(xiàn)出的對數(shù)學的抵觸情緒總讓人深思：是在哪個環(huán)節(jié)的操作脫離了教育的“初心”？要想改變現(xiàn)狀，在完成教學任務(wù)的同時如何增加學生的學習興趣、盤活知識，讓學生愛數(shù)學而不是怕數(shù)學？讓學生對數(shù)學的回憶不是痛苦的學習經(jīng)歷而是有趣的、鮮活的經(jīng)驗的累積？這樣的思考一直縈繞，像一團霧，擋住了路。在再次對教育教學相關(guān)理論的學習中，杜威的教育經(jīng)驗理念猶如一盞燈，照亮了前方的路：學生的學習經(jīng)驗有待于深化，有待于上升到理論。依照數(shù)學的學科特色，“生活中的經(jīng)驗”與“認知數(shù)學的經(jīng)驗”構(gòu)成了“學生經(jīng)驗”，杜威將其細分為三種：“為何學的經(jīng)驗”“學什么的經(jīng)驗”“怎么學的經(jīng)驗”。帶著這樣的認知，在備課中有意識向這三方面進行思考，并尋找和積累相關(guān)的教材及內(nèi)容。

（二）踵事之華——從“學生經(jīng)驗”到“核心素養(yǎng)”的跨越

杜威認為學生對經(jīng)驗有連續(xù)性和發(fā)展性的特點，而學生的認知思維有最近發(fā)展區(qū)，以知識的先后次序為基本。教學時教師兼顧學生的心理邏輯和知識的層級，以學生易接受的方式展開學習內(nèi)容。這不僅要基于數(shù)學史更要符合學生的邏輯認知，便有了融入數(shù)學文化、數(shù)學史提升學生興趣與數(shù)學素養(yǎng)的想法?！鞍l(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的前提是對數(shù)學知識的掌握，而對知識的理解與應(yīng)用卻根植于學生經(jīng)驗，指向?qū)W生核心素養(yǎng)的數(shù)學教學一定要植根于學生經(jīng)驗。”充分理解了“學生經(jīng)驗”才能更好地實現(xiàn)“核心素養(yǎng)”的育人目標，從“學生經(jīng)驗”到“核心素養(yǎng)”的實現(xiàn)需要打破“已有經(jīng)驗”，喚起學生“我要學”的欲望，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的主動化發(fā)展；打破深根固蒂的“已有經(jīng)驗”，通曉“怎么學”的路徑，促進核心素養(yǎng)發(fā)展的系統(tǒng)化。新課改提出通過數(shù)學史培養(yǎng)愛國主義思想的目標，而2019版的新教材在“平面向量”章節(jié)中增加移入了原來在三角函數(shù)章節(jié)中的“解三角形”，是“基于數(shù)學史實與學生經(jīng)驗整體性的一次重新整合?！睌?shù)學文化及數(shù)學史的滲透有助于從學生經(jīng)驗到核心素養(yǎng)的跨越。數(shù)學文化的融入，不僅增加學習的興趣，讓學生有了比較愉快的學習經(jīng)歷，喚起“我要學”的欲望；數(shù)學史的融入，讓學生理清或厘清了知識的來龍去脈，有了知其然并知其所以然的學習經(jīng)驗。通過對數(shù)學史料的重構(gòu)，學生經(jīng)歷著知識的發(fā)生發(fā)展過程，在這樣學習經(jīng)驗的驅(qū)使下，學生學習的自主性被激發(fā)，成為課堂上學習的主體。

（三）滿載而歸——雙管齊下促素養(yǎng)

明確教學思路后，再繼續(xù)對數(shù)學史的滲透研究學習中接觸到HPM，數(shù)學史與數(shù)學教育理論，依據(jù)汪曉勤教授的四種教學方式進行數(shù)學史的滲透教學，通過信息技術(shù)既可以發(fā)揮數(shù)學史的多種教育價值，又不增加學生的負擔。信息技術(shù)與HPM的結(jié)合是一個重要的課題，HPM視角下的數(shù)學教學有助于培養(yǎng)學生的必備品格，它遵循歷史相似性原理、建構(gòu)主義理論、有指導的“再創(chuàng)造”理論。數(shù)學軟件GeoGebr a具有動態(tài)呈現(xiàn)、便捷操作的功能特點，在概念教學、性質(zhì)展示、定理探究等方面充分發(fā)揮其長處。在具體課堂教學中，借鑒數(shù)學歷史問題，創(chuàng)設(shè)感知數(shù)學概念的動態(tài)情境，呈現(xiàn)形成數(shù)學概念的動態(tài)表征；借鑒歷史重構(gòu)概念的發(fā)生過程，設(shè)計同化數(shù)學概念的視覺空間，提供強化數(shù)學概念的動態(tài)數(shù)據(jù)，培養(yǎng)邏輯數(shù)理智能，兩者結(jié)合，雙管齊下，促進直觀想象，邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，促進課程改革快速落實，體現(xiàn)數(shù)學學科育人功能。

二、足于課堂，行而不輟，履踐致遠

（一）在平面知識的融合應(yīng)用

平面，它貫穿于立體幾何的始終，從數(shù)學發(fā)展（HPM）的角度來看，在平面如何理解與定義上，數(shù)學家們經(jīng)過長期的嘗試，將其作為一個不加定義的基本概念。但是，如何更本質(zhì)的描述和理解這個概念的結(jié)果？事實上，對平面的本質(zhì)特征的認知濃縮在刻畫平面的三個基本事實中（用三個基本事實來刻劃它的“平”、“無限延展”的基本特征，掌握確定平面的基本要素），對于這三個基本事實的理解，有益于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

例如在進行平面的概念教學時可以進行數(shù)學文化的融入：先復習回顧、探究歷史、感知平面，滲透學科內(nèi)容之美、欣賞學科之美。通過網(wǎng)絡(luò)視頻介紹西湖（水光瀲滟晴方好，山色空蒙雨亦奇）、高原明珠——納木錯湖，引入“平面”這一學習重點，感知平面，感受自然美、欣賞數(shù)學學科之美，陶冶學生的情操，培養(yǎng)學生的審美素養(yǎng)。應(yīng)用“平面”數(shù)學史的微視頻讓學生認知“平面”作為一個基本的概念，不加定義而只加以描述。數(shù)學家們經(jīng)過長期的嘗試和堅持，歷經(jīng)古希臘時期的平面定義，18世紀的平面包含式定義以及構(gòu)造性定義，19世紀末的公理化定義。人們經(jīng)過不斷研究發(fā)現(xiàn)，平面也和集合一樣，是原始概念，所以德國數(shù)學家希爾伯特在其《幾何基礎(chǔ)》中就將平面作為不加定義的概念。這樣的融入讓學生感悟數(shù)學家迎難而上、挑戰(zhàn)自我、頑強拼搏的精神；領(lǐng)悟開拓創(chuàng)新、精益求精的勞動精神，引導學生健全其世界觀、豐富其歷史觀、促進其人生觀的形成。

再如在進行平面的性質(zhì)教學時融合應(yīng)用GGB提高核心養(yǎng)：平面的性質(zhì)抽象性比較強，學生較難掌握，教學時通過Geogebr a網(wǎng)頁3D幾何的直觀展示直線密鋪平面的過程，引導學生得到平面的性質(zhì)：平面的3個基本事實,平面的3個推論，降低知識抽象性和學習難度；同時也進一步培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)。數(shù)學軟件GeoGebr a的3D直觀展示不僅讓學生感悟模型的科學美、認識數(shù)學學科內(nèi)容之美，激發(fā)積極的學習興趣與情感，進行信息技術(shù)融合課堂，同時展示數(shù)學對象動態(tài)生成的全過程，感悟運動之美，讓學生觀察、思考并進行類比，感悟數(shù)學研究的方法，提升學生直觀想象和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

（二）在圓錐曲線知識的融合應(yīng)用

希臘人很早就知道：圓柱或圓錐被平行于底面的平面截得的截線是圓。平面不平行于底面時的截線自然也就引起希臘人的注意，他們將其分為銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐，這是最早的圓錐曲線。這三種曲線是有其內(nèi)在聯(lián)系，阿波羅尼奧斯生動的描述了圓錐曲線并研究其性質(zhì)，它們不是單純的靜態(tài)曲線而是物體運動的常見形式。如何讓學生從動態(tài)的角度去理解這一點，并掌握三種圓錐線的特征和共性，讓感性認識理性化？可以通過GeoGebr a軟件3D動態(tài)展示生成圓與圓錐曲線的過程，體現(xiàn)這些曲線的共性；通過數(shù)學文化幫助學生在知識儲備、直觀感知、活動體驗的基礎(chǔ)上逐步建構(gòu)概念，促進學生數(shù)學思想方法的良好形成。

例如在圓錐曲線復習課中的應(yīng)用：先通過信息技術(shù)GeoGebr a數(shù)學軟件演示，引導學生認識截面與圓錐的軸所成的角不同時得到的不同的截口曲線，再從數(shù)學史的角度回顧三種曲線的方程發(fā)現(xiàn)過程，橢圓拋物線：y2=px，雙曲線接著引入問題：動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和M到定直線的距離的比是常數(shù)，求動點M的軌跡。引導學生思考當直線改變或者比值常數(shù)改變時軌跡是什么？是之前熟悉的圓嗎？將距離之比設(shè)為k，通過k值的變化我們會得到了什么？在通過數(shù)學軟件GGB構(gòu)建小程序活動，編寫指令、更改參數(shù)k的值，通過k值的變化得到了橢圓、雙曲線和拋物線，利用軌跡跟蹤功能讓學生更加直觀和連續(xù)地觀察數(shù)學對象的運動過程，對三維空間中的圖像進行全面編輯展示，將三種曲線統(tǒng)一，三種曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系是圓錐曲線統(tǒng)一性的表現(xiàn)，是個性與共性的體現(xiàn)。通過k值的展示使概念的引入及定義的給出做到了銜接自然、光滑，也與學生的認知水平相適應(yīng)。同時讓學生從整體上把握本章的學習內(nèi)容與基本框架，為學生提供一個系統(tǒng)學習的構(gòu)架，積累基本活動的經(jīng)驗及在實踐中的體悟，同時深化為學生對坐標法研究問題的基本思路與基本方法的理解。而軟件中的代數(shù)表達區(qū)與繪圖展示區(qū)的同步變化數(shù)形結(jié)合思想的最佳體現(xiàn)，學生對其理解有了最直接的實例，學生在數(shù)學活動中積累了對圓錐曲線的認知經(jīng)驗，明確了為何學，同時提高了直觀想象素養(yǎng)。

（三）在橢圓知識的融合應(yīng)用

在圓錐曲線中，橢圓應(yīng)該是最早被發(fā)現(xiàn)的，教材遵循歷史發(fā)展順序?qū)⑵浞胖糜凇皥A錐曲線與方程”這一章節(jié)的第二節(jié)并在章引言中提到橢圓的起源，其內(nèi)容起到的是承上啟下的作用。但在日常生活中，學生雖對橢圓的大致形狀已經(jīng)有了一定的感性認識，但并不清楚橢圓上的點滿足的幾何特征，對橢圓的理性思考與認知不足。而如何讓學生對橢圓的認知由具體實物提升到抽象概念的核心是對橢圓進行數(shù)量上的描述，即定量，以及性質(zhì)特征上的描述——定性。解決這個問題可以HPM理論為依據(jù)，在橢圓起源與發(fā)展的歷史背景中通過GGB軟件模擬演示橢圓繪制過程和展示折紙成橢圓的過程，呈現(xiàn)形成數(shù)學概念的動態(tài)表征，強化橢圓的概念的抽象與建立過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)。借助數(shù)學史上的旦德林雙球模型抽象出橢圓的定義并研究橢圓上的點滿足的幾何特征；將對空間幾何體圓錐橢圓的研究轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)研究橢圓，體現(xiàn)化歸思想，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，將數(shù)學“史學形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”。

例如在橢圓定義教學中的應(yīng)用：先通過GGB軟件模擬演示橢圓繪制過程和展示折紙成橢圓的過程，讓學生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，呈現(xiàn)形成數(shù)學概念的動態(tài)表征，強化橢圓的概念的抽象與建立過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)，再通過GGB軟件展示歷史上的“旦德林雙球”，通過雙球模型來研究橢圓上的點滿足的幾何特征，讓學生經(jīng)歷實際繪制橢圓的過程、認識橢圓上點的幾何特征，再根據(jù)橢圓上的點滿足的幾何條件列出橢圓上的點的坐標滿足的方程，應(yīng)用軟件化簡所列出的方程，得到橢圓的標準方程。讓學生經(jīng)歷推導橢圓方程的過程，掌握橢圓的定義、標準方程，具有“怎么學的經(jīng)驗”也發(fā)展數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。最后通過數(shù)學史料“杰尼西亞的耳朵”這一傳說，用坐標法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，解決傳說問題。這樣將實際問題抽象成數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模等核心素養(yǎng)、進一步深化坐標法解決幾何問題的思想；也讓學生體會到數(shù)學來源于生活、應(yīng)用于生活的理念。

三、結(jié)語

悟以往，要而論之。歷史相似性原理告訴我們，學生對數(shù)學知識的理解過程與數(shù)學的歷史發(fā)展過程具有一定的相似性。由此，教師可以借助數(shù)學史對學生的認知障礙進行預測,能夠有針對性地制訂相關(guān)教學策略；也可以適當選取相關(guān)的史學材料滲透到教學中，提升學生學習興趣、講清相關(guān)數(shù)學知識和概念的來龍去脈，介紹數(shù)學方法；學生了解數(shù)學的本質(zhì)作用，知其然知其所謂，全面發(fā)展學生的各個數(shù)學核心素養(yǎng)，這也是HPM視角下的課堂教學的優(yōu)勢。而近幾年信息技術(shù)的深度整合課堂，將可視化教學推到課改前沿，其巨大優(yōu)勢符合國家高技術(shù)高素質(zhì)人才培養(yǎng)的發(fā)展規(guī)劃，其中3D動態(tài)軟件GeoGebr a更是在學生感知數(shù)學方面提供了非常好的環(huán)境支持，為課堂增添了活力和趣味性，提高了教學效率；在探究中使用GeoGebr a一步步將復雜的過程清晰的展示講解，提高了學生的抽象思維能力、邏輯思維能力。數(shù)學史與數(shù)學軟件GGB，一個“古”，一個“今”，二者融合滲透，雙劍合璧,開劈數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)新角度、新方式，實現(xiàn)課改的快速落地、數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)的高效實施。