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      巧設直線方程解過焦點的弦長問題
      ——以2022年全國Ⅰ卷第16題為例

      2023-04-03 10:59:48江蘇省蘇州實驗中學215151張文海
      中學數(shù)學研究(江西) 2023年4期
      關鍵詞:弦長極坐標焦點

      江蘇省蘇州實驗中學 (215151) 張文海

      高考選擇題,填空題中的解析幾何題大多概念性較強,小巧、靈活,思維多于計算.解答題則立意新穎,要求學生綜合運用所學代數(shù)、三角、幾何的知識分析問題,解決問題.下面以一道高考題為例,談談如何巧用公式來處理解析幾何中過焦點的弦長問題.

      分析:本題主要考查直線與橢圓的位置關系的應用、橢圓的定義以及橢圓中的弦長問題,考查了學生公式選用能力、運算求解能力、幾何觀察能力,解題入口寬,思路多樣化.

      思路1聯(lián)立方程,利用圓錐曲線弦長公式硬算

      圖1

      思路2觀察特征,利用焦點弦的坐標公式簡算

      因為直線DE過了橢圓的左焦點F1,所以根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義可以推導出DE=DF1+EF1=(a+ex1)+(a+ex2)=2a+e(x1+x2).

      思路3調(diào)整視角,利用焦點弦極坐標公式巧算

      可知△AF1F2為等邊三角形,DE為AF2的中垂線,所以EA=EF2,DA=DF2,故△ADE的周長等于△DF2E的周長4a.根據(jù)極坐標可得

      故△ADE的周長等于△DF2E的周長4a=13.

      思路4調(diào)整視角,利用焦點弦的參數(shù)方程妙算

      在解析幾何中,解決直線與圓錐曲線位置關系問題的基本方法是設出直線方程,與圓錐曲線聯(lián)立方程組,利用韋達定理,體現(xiàn)一種“設而不求”的思想.在設直線方程時,我們習慣于用斜截式、點斜式、截距式,但對于過定點的弦長問題,我們不妨考慮圓錐曲線的極坐標方程或者直線的參數(shù)方程,可能會簡化我們的運算,提高答題的效率和效益.

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