“一邊一角”的構(gòu)造

欒長(zhǎng)偉

“圖形與幾何”作為初中數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域之一，在整個(gè)初中學(xué)習(xí)過程中占較大比例，對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們的合情推理與演繹推理至關(guān)重要. 其中，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等在2022年全國(guó)各地中考試卷頻繁出現(xiàn)，下面介紹使用“一邊一角”構(gòu)造全等的基本方法.

[考點(diǎn)提煉]

考點(diǎn)1：存在一組邊相等，這組邊上有一組相等的角，我們稱之為“一邊一等角”. 解題時(shí)常把這一組等邊和等角放在一個(gè)三角形中，去構(gòu)造另外一個(gè)三角形與之全等，常見的構(gòu)造方法有“SAS”和“AAS”

解題思路：如圖1，若“BC = EF，∠B = ∠E”，則滿足“一邊一等角”條件，此時(shí)我們先把BC和∠B放到△ABC中，作DE = BA或者∠F = ∠C，則可以得到△DEF≌△ABC.

易錯(cuò)點(diǎn)：不是所有的三角形都適用，要根據(jù)具體問題具體分析.另外，從尺規(guī)作圖角度考慮，在構(gòu)造全等時(shí)，我們不去作∠D = ∠A，只作相等邊另一端的兩個(gè)角相等.

解題要點(diǎn)：首先確定是否滿足“一邊一等角”的條件，若滿足，則將這“一邊一等角”放入一個(gè)三角形中，再去構(gòu)造另外一個(gè)三角形與之全等，從而再利用全等得到的結(jié)論解決問題.

考點(diǎn)2：存在一組邊相等，這組邊上有一組互補(bǔ)的角，我們稱之為“一邊一補(bǔ)角”.解題時(shí)先將其中一個(gè)角的補(bǔ)角構(gòu)造出來，轉(zhuǎn)化為“一邊一等角”解決問題

解題思路：如圖2，若“BC = EF，∠B + ∠DEF = 180°”，則滿足“一邊一補(bǔ)角”條件，此時(shí)我們先延長(zhǎng)DE，再把BC和∠B放到△ABC中，作EG = BA或者∠EFG = ∠C，則可以得到△EFG≌△BCA.

易錯(cuò)點(diǎn)：構(gòu)造一角的補(bǔ)角就是反向延長(zhǎng)這個(gè)角的兩條邊，共有兩種延長(zhǎng)方法，但是只有一種是可行的，即延長(zhǎng)后得到的相等的角的一邊是已知等邊.

解題要點(diǎn)：關(guān)鍵在于將“一邊一補(bǔ)角”轉(zhuǎn)化為“一邊一等角”，即選擇合適的作補(bǔ)角的方式.

[真題精講]

例1 （2022·遼寧·大連）綜合與實(shí)踐.

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：

如圖3，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ADC = ∠ACB. 求證∠ACD = ∠ABC．

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題．

實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請(qǐng)你解答.

如圖2，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使CE = BD，BE與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在BF，BC上，BG = CD，∠BGH = ∠BCF. 在圖中找出與BH相等的線段，并證明．

第二問思路分析：

1.本題中有三組等邊：CE = BD，BG = CD，BH = EF（待證）；

2.直接可用的兩組等角，如圖5，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，與已知兩組等邊分別構(gòu)成“一邊一角”形；

3.由∠3 = ∠4，可以進(jìn)一步得到一個(gè)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形FGHC，進(jìn)而可以得到兩組等角，與待證BH = EF構(gòu)成“一邊一角”形.

4.由∠ADC = ∠ACB，還可以得到∠BDC = ∠ECP，與CE = BD構(gòu)成“一邊一角”形.

5.綜合以上條件不難發(fā)現(xiàn)，此題滿足全等證明方法“一邊一角”的條件.

解題方法呈現(xiàn)（如表1、表2）：

[總結(jié)提升]

中考幾何試題的核心是通過添加輔助線構(gòu)造全等，基本上分為兩類，一類是變換，另一類就是“一邊一角”構(gòu)造，其中后者更為常見. 在“一邊一角”的應(yīng)用過程中，解題關(guān)鍵是選擇適合的三角形. 我們要本著可以“轉(zhuǎn)化”所求為目的，即通過全等構(gòu)造能使已知條件或者所求結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這就是“一邊一角”構(gòu)造的核心所在.

[專題精練]

例2 如圖7，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，BE = AC，∠CED = ∠DBE - ∠ACE， 寫出圖中與DE相等的線段并說明理由.

解法1：已知一邊（BE = AC） + 一角（∠3 = ∠4） + 目標(biāo)△AEC. 如圖8，在CB延長(zhǎng)線上截取BH = AE，

∵∠1 = ∠ACE + ∠2，∠1 + ∠3 = 180°，

∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°，

∴∠3 = ∠4，∴△BEH ≌ △ACE，∴EH = CE，∠H = ∠2，

∴∠H = ∠BCE，∴∠2 = ∠BCE，∴DE = CD.

解法2：已知一邊（BE = AC） + 一角（∠1 = ∠3） + 目標(biāo)△BCE.

如圖9，在EA延長(zhǎng)線上截取AH = BC，

∵∠1 = ∠ACE + ∠2，∠4 + ∠3 = 180°，

∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°，

∴∠1 = ∠3，∴△BEC≌△ACH，∴CE = CH，∠H = ∠BCE，

∴∠H = ∠2，∴∠2 = ∠BCE，∴ED = CD.

解法3：已知一邊（BE = AC） + 一角（∠1 = ∠3） + 目標(biāo)△BED.

如圖10，在EA延長(zhǎng)線上截取AH = BD，

∵∠1 = ∠ACE + ∠2，∠4 + ∠3 = 180°，

∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°，

∴∠1 = ∠3，∴△BED≌△ACH，

∴ED = CH，∠H = ∠BDE，

∴∠H = ∠HDC，∴CD = CH，∴DE = CD.

解法4：已知一邊（BE = AC） + 一角（∠3 = ∠4） + 目標(biāo)△ACD.

如圖11，在CB延長(zhǎng)線上截取BH = AD，

∵∠1 = ∠ACE + ∠2，∠1 + ∠3 = 180°，

∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°.

∴∠4 = ∠3，∴△ACD ≌ △BEH，∴HE = CD，∠H = ∠ADC，

∴∠H = ∠HDE，∴HE = ED，∴DE = CD.

解法5：已知一邊（BD = CD） + 一角（∠EDH = ∠CDA） + 目標(biāo)△ACD.

如圖12，以E為圓心，EB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)H，連接EH，

∴∠1 = ∠BHE，BE = HE = AC，

∵∠1 = ∠ACE + ∠2，∠1 + ∠3 = 180°，∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°，

∴∠4 = ∠3，∴△ADC≌△HDE，∴DE = CD.