借助“猜想、驗證”建立模型
——以《鴿巢問題》為例

文|俞田剛

一、問題與探討

《鴿巢問題》是六年級下冊數(shù)學廣角的內(nèi)容，教材中編排了三個例題，旨在通過具體的實例，借助實際操作向?qū)W生滲透鴿巢問題的一般原理，讓學生理解鴿巢問題的特點，建立鴿巢問題的一般模型，并運用模型解決實際問題。教材編排的三個例題有著各自不同的作用。

在教學過程中，我發(fā)現(xiàn)《鴿巢問題》有這些特點：

1.數(shù)字不大，內(nèi)容難。

2.語言不多，說理難。

3.變式較多，建模難。

“抽屜原理”之所以難，一是難在模型的建立上，學生不能靈活、準確地使用特定的術(shù)語（“總有”“至少”）來表述結(jié)論。二是難在它的具體應用，如何找到一些實際問題與“抽屜原理”模型之間的聯(lián)系，如何來思考一些變式的情況，有時學生會感到無從下手，也就是“物品”和“抽屜”不明顯，如13 個人當中至少有2 個人在同一個月過生日。

利用問題提出的方式進行教學可以突破難點，讓學生自己在初步感知模型的情況下，進行大膽猜測所要研究的類型并通過自主編題來驗證結(jié)果，學生在自己的感悟、猜想、驗證和自我肯定、否定中，自主建立模型，并進行運用模型。

這次我們嘗試在五年級下冊上《鴿巢問題》，所以我把教學目標定位為：

經(jīng)歷“抽屜原理”（鴿巢問題）的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會運用“抽屜原理”解決一些簡單的實際問題。

通過“抽屜原理”的學習，增強對邏輯推理、模型思想的體驗，提高學生學習數(shù)學的興趣和應用意識。

讓學生體驗猜想與編題驗證的過程，對“抽屜原理”有更深入的理解，提高數(shù)學核心素養(yǎng)。

根據(jù)目標要求，設計的教學流程如下：

獨立探究，初步感悟

↓

猜想驗證，編題驗證

↓

初次建模，提出問題

↓

再次建模，運用模型

在第一環(huán)節(jié)學生通過獨立探究“4 支筆放進3 個抽屜，總有一個抽屜里至少有（ ）支筆”，初次感知模型后，讓學生根據(jù)得到的模型創(chuàng)編能用學到的本領(lǐng)解決的問題。然后繼續(xù)猜想還有其他類型的鴿巢問題，對學生的思維具有極大的挑戰(zhàn)與思考，從一開始的“a+2”、“2a”，一直到“na+m”，學生的思維層次大大得到了提高。第三環(huán)節(jié)中學生從自己的猜想中選擇一個類型自主編題，驗證自己猜想的結(jié)果是否成立。最后根據(jù)學生的猜想進行分類，全班同學根據(jù)自己編題的類型，自主成立研究小組，探究鴿巢問題的本質(zhì)。學生從初步感悟——形成猜想——個人編題驗證——小組綜合驗證的過程，對鴿巢問題進行深入獨立的研究，最終自己得到數(shù)學本質(zhì)。

二、實踐與思考

任務一：獨立探究，初次建模

1.出示研究題目：把4 支筆放進3 個抽屜，總有一個抽屜里至少有（ ）支筆。

師：“總有”“至少”怎么理解？

生：“總有”就是一定有、肯定有，“至少”就是最少。

師：4 支筆放進3 個抽屜，總有一個抽屜里至少有幾支筆呢？請獨立探究。要求：先寫出結(jié)論，再用不同的方法表示自己的想法。

我的研究：

4 支筆放進3 個抽屜，總有一個抽屜里至少有幾只筆？要求：先寫出結(jié)論，再用不同的方法表示自己的想法。images/BZ_72_244_2013_802_2099.png我的結(jié)論：總有一個抽屜里至少有（2）支筆。images/BZ_72_235_2182_555_2301.pngimages/BZ_72_567_2196_810_2277.png

【設計意圖：一個簡單的情境直接切入主題，在理解了兩個關(guān)鍵詞語后，讓學生自己通過不同的方法表示出自己的想法，就是想讓每個學生從自己的知識起點和能力起點出發(fā)，表達出自己的真實想法，以便教師能更好地進行引導和因材施教。不同層次的學生在反饋的過程中，會出現(xiàn)一一列舉、盡量平均分、除法算式等等思路，并能圖式結(jié)合進行理解，從不同的知識和能力起點，在互相的碰撞中，形成對“鴿巢問題”的初次感悟和理解。】

2.用自己喜歡的方式解決問題。（四人小組內(nèi)學生隨機發(fā)放不同的練習題）

10 個蘋果放進9 個抽屜，總有一個抽屜里至少有（ ）個蘋果。

6 只鴿子飛進5 個鴿籠，總有一個籠子里至少有（ ）只鴿子。

8 本書放進7 個抽屜，總有一個抽屜里至少有（ ）本書。

師：請抽取到每一類型題目的同學說說思路。

（教師根據(jù)學生回答，整理板書上的表格）

師：剛才我們研究的事情有什么規(guī)律嗎？

生：蘋果、鴿子、筆、書的數(shù)量都比抽屜、鴿籠要多1。

生：結(jié)果都是“總有一個抽屜里至少有2”。

師：我們把蘋果、鴿子等這些數(shù)量叫做物體數(shù)，抽屜、鴿籠的數(shù)量叫做抽屜數(shù)。我們在研究過程中發(fā)現(xiàn)物體數(shù)都比抽屜數(shù)多1，而這樣放了以后，我們總有一個抽屜里至少有2 個數(shù)量。這一類問題就是我們數(shù)學上很有名的鴿巢問題，也叫抽屜原理。

師：我們能不能用學過的方式來表達這種關(guān)系？

生：如果把抽屜數(shù)表示成a，那么物體數(shù)就是a+1，至少數(shù)就是2。

【設計意圖：通過幾個不同具體情境的探究，學生找到這些看似不一樣的題目，其本質(zhì)是一樣的，從而自主發(fā)現(xiàn)：把a+1 個物體放進a 個抽屜里，至少數(shù)都是2。初次得到鴿巢問題的模型?！?/p>

3.提出可以用這個規(guī)律解決的問題

師：剛才我們找到了鴿巢問題的一個規(guī)律，你能提出用這個規(guī)律解決的問題嗎？

生：老師有5 顆糖，獎給4 個同學，總有一個同學至少有（ ）顆糖。

生：100 只鴿子，飛進99 個鴿籠，總有一個鴿籠里至少有（ ）只鴿子。

【設計意圖：初步感知模型后，讓學生自己再提出這類問題，進一步理解模型的本質(zhì)，學生在學習中理解，在理解中應用?！?/p>

任務二：猜想驗證，再次建模

1.根據(jù)經(jīng)驗，猜想鴿巢問題的其他類型

師：同學們，鴿巢問題除了剛才研究的這一類型，還會研究其他類型嗎？

生：a+2。

師：非常好，新的猜想。還會有其他的嗎？

生：a+3。

師：物體數(shù)會比抽屜數(shù)多幾？可以用字母來表示嗎？

生：a+n。

師：對這個n 有什么要求？

生：n＜a。

生：倍數(shù)關(guān)系，比如2a、3a……

師：又有新的猜想，從多幾想到了倍數(shù)，非常了不起。還會有其他類型嗎？

生：我覺得還可以是幾倍多幾，比如2a+1。

師：幾倍多幾可以怎么來表達？

【設計意圖：通過對前面簡單鴿巢問題的研究，初次建模。然后引導學生大膽猜想鴿巢問題的其他類型，學生一邊猜想，一邊還能歸納出字母式，并在討論中得到取值范圍。】

任務三：編題驗證，運用模型

1.個人驗證

師：選擇剛才猜想的一種類型，編題驗證結(jié)果。

2.分組驗證

師：請尋找“志同道合”的小伙伴——選擇相同類型的同學一起討論研究。

師：我們先看看可以分成幾種類型？

生：第一類a+n，第二類ma，第三類ma+n。

師：每組領(lǐng)取研究任務、確定好場地、推選出組長。

3.分組匯報結(jié)果

師：小組討論很認真，請匯報你們的討論結(jié)果。

第一組：我們研究的是a+n的情況，我們發(fā)現(xiàn)只要a 大于n，不管物體數(shù)和抽屜數(shù)取多少，至少數(shù)都是2。

師：請問你們的表格中，為什么一開始寫著3，后來修改成了2？

生：第一個匯報的同學選了物體數(shù)是8，抽屜數(shù)是6，余數(shù)是2。他一開始覺得是2+1=3。

師：那后來怎么改了呢？

生：余數(shù)2，為了做到至少，也要平均分。

師：其他同學怎么看？有沒有同學能解釋得更具體一些？

生：余數(shù)是2，如果都放在同一個抽屜里，得到的結(jié)果就不是最少的數(shù)量，必須把多余的物體也平均分，這樣得到的結(jié)果才是至少數(shù)。

第二組：我們研究的是物體數(shù)是抽屜數(shù)倍數(shù)關(guān)系的情況。我們小組發(fā)現(xiàn)，不管怎么放，只要是倍數(shù)關(guān)系，放進抽屜的至少數(shù)都是那個倍數(shù)。比如2 倍，至少數(shù)就是2，5 倍至少數(shù)就是5。

師：你們的研究很深入，匯報簡單易懂，同學們的掌聲是對你們最好的肯定。

第三組：我們組研究的情況是ma+n 的情況。我們匯合了整個組同學的想法后，得到的結(jié)論是：不管物體數(shù)是抽屜數(shù)的幾倍多幾，只要a 大于n，至少數(shù)都是m+1。

生：（補充）因為前面的ma，相當于就是第二組研究的倍數(shù)情況，多幾，就是第一組研究的情況，所以綜合前兩個組的意見，我們組就是他們兩組的結(jié)合。

（全班同學和聽課教師給予了熱烈的掌聲）

師：同學們的學習能力真是太強大了。在個人獨立編題驗證過程中，已經(jīng)有了初步的驗證結(jié)果；在小組討論后，更加確定；并且群策群力后得到了更明確的結(jié)論，具有一定的高度，老師為你們這樣的學習精神點贊。

【設計意圖：因為是學生自己提出的猜想，所以讓他們自己來驗證結(jié)果，學生很有興趣，在編題的過程中，學生都試圖從前面的題型中去尋找情境，然后自主選擇好研究類型進行編題。對學生們來說，這是一種自我提問。在個人獨立驗證，有了初步的結(jié)論后，尋找“志同道合”的小伙伴，就是研究同一類型的同學，一起驗證。這個時候，同學們都覺得是同一陣線的戰(zhàn)友，有共同話題，思維方式也很接近，討論很快就進入角色，不僅驗證了小組內(nèi)每個同學的結(jié)果，最終還都討論出了一般模型，真不簡單?！?/p>

三、收獲與啟示

本節(jié)課以問題提出為主線開展教學，試圖通過“猜想、驗證”的方式來建立模型，并且通過個人自主驗證和同類型題目合并新小組來共同驗證的過程，解決不同層次學生問題提出的有效互動。主要體現(xiàn)以下幾個層面：

1.猜想是思維的出發(fā)點

如果說從“a+1”到“問題提出”是學生激活經(jīng)驗、建立聯(lián)系的過程，是讓學生進行獨特的思維活動的話，那么“猜想”則孕育著數(shù)學思維與推理，從獨立探究有了初步的感知以后，讓學生根據(jù)大量的同類型題目進行充分感知，然后得出規(guī)律，并提出用這個規(guī)律解決問題的題目，學生在自我提問的過程中，再自我解答驗證，第一次建模就順理成章了。

而根據(jù)已有的經(jīng)驗“猜想”鴿巢問題可能還有的規(guī)律，學生從最基礎(chǔ)的“a+2”開始，逐漸地放開思維，如“a+3”“a+4”等等，在這個過程中，教師不停地追問：“物體數(shù)比抽屜數(shù)多幾？最多可以多幾個？”學生慢慢從隨意的猜測中思考，“a+n”中a 和n 的大小，必須是a 比n 大。教師繼續(xù)追問：“如果一樣大呢？”學生異口同聲得出“物體數(shù)是抽屜數(shù)倍數(shù)的可能，2a”。突破了倍數(shù)的概念后，很多學生的思路被打開，他們不滿足于多幾和幾倍，開始大膽猜想幾倍多幾的可能，并且很自然地用字母式表示自己的想法。在這個過程中學生的思路是開放的，也是活躍的，一直在挑戰(zhàn)，一直被超越，一直在迸發(fā)火花。

2.驗證是思維的保障機

在經(jīng)歷了充滿挑戰(zhàn)的猜想后，學生的學習熱情被點燃，因為這些猜想都是他們自己發(fā)現(xiàn)的，自己創(chuàng)造的，不是書本直接呈現(xiàn)的，也不是教師直接給出的。所以教師得“潑點冷水”：這么多的猜想都是正確的嗎？誰來驗證這些猜想？主人就是你們自己。

學生選擇一類猜想規(guī)律，通過自己編題來驗證是否成立。學生積極性很高，都在極力證明自己的猜想是正確的，以最簡單的“a+n”為例，很多同學都在挑戰(zhàn)不同的數(shù)來驗證，有的甚至舉出兩位數(shù)和三位數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是，情況有很多種。我覺得學生個人驗證的力量不夠有力，學生可能也會受自己能力所限，舉的例子或者編的題目缺乏典型性，所以，在學生獨立驗證的基礎(chǔ)上，再一次讓全班同學根據(jù)剛才的猜想分成三類，每個學生根據(jù)自己驗證的類型自發(fā)組成小組，每人發(fā)表自己的見解，臨時推選的組長記錄大家的想法后，全組共同討論每一個例子是否正確，然后在匯報墻上記錄典型的例子，并最終討論出自己組研究的成果。

根據(jù)全班學生的分組驗證，將學生的學習熱情和思維燃到了最高點，每個學生都是參與者，都是每組的證明者，所以每個人都積極發(fā)表見解，熱烈討論，并在這個過程中互相指出問題及時修正。第一小組遇到了鴿巢問題中余數(shù)為2 的特殊情況，前面的教學中我沒有作任何說明，所以有學生在舉例時，余數(shù)2 直接和商相加。所以墻上的一個答案“至少數(shù)”是3。我預料到了，也覺得這是一個容錯和學生自我糾錯的好時機，沒有給予輔導和糾正，想讓他們在匯報的過程中全班同學來發(fā)現(xiàn)錯誤然后進行教學。可是沒一會兒小組內(nèi)已經(jīng)自我否定了，把“3”劃掉，改成了“2”。所以在最后匯報的時候，教師只需問：“為什么這里3 改成了2？發(fā)生了什么小故事？”匯報的同學講完故事的時候，就把教材中的難點“余數(shù)為2”也需平均分的知識點化解了。

在學生獨立編題以后，再根據(jù)選擇同一類型的同學臨時組建小組，就是讓不同層次的學生能有效地進行互動，并在“志同道合”伙伴的引領(lǐng)下，自主發(fā)表見解，互相修正自己的想法，并逐漸真正感悟鴿巢問題的本質(zhì)。

學生在經(jīng)歷了猜想———驗證之后，靈活運用鴿巢問題，培養(yǎng)了思維的靈活性，學生對鴿巢問題的理解由最初的形象理解上升為抽象層面的數(shù)學模型理解。

《數(shù)學課程標準（2022年版）》要求數(shù)學學習應注重讓學生經(jīng)歷數(shù)學證明的過程。在小學階段，雖然并不需要學生對涉及抽屜原理的相關(guān)現(xiàn)象給出嚴格的、形式化的證明，但仍可鼓勵學生用直觀的操作，比如借助學具、實物操作或畫草圖、填表格等方式，以自主探究方式對抽屜原理進行解釋，并解決問題，從而讓學生感悟數(shù)學的思維和數(shù)學方法。前面的“問題提出、猜想驗證、小組交流、總結(jié)規(guī)律”的過程就是在感悟數(shù)學思想，建立模型思想。很多數(shù)學廣角是相通的，鴿巢問題就像植樹問題一樣，它們的數(shù)學建模一般路徑都是：結(jié)論出來后，建議讓學生嘗試編題，這個過程就是運用模型，期望學生能將具體問題和抽屜問題聯(lián)系起來，找到問題中的具體情境和抽屜問題的一般化模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高解決實際問題的能力。