力促“數(shù)”“形”相融，發(fā)展幾何直觀

鄭名銀

［摘? 要］ 針對(duì)學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)公式解決圖形問(wèn)題時(shí)存在的“數(shù)”與“形”脫節(jié)的現(xiàn)象，文章以三年級(jí)“長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)”為切入點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、概括等活動(dòng)過(guò)程，滲透數(shù)形結(jié)合思想；通過(guò)展現(xiàn)“數(shù)”與“形”動(dòng)態(tài)相融的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，既促進(jìn)了學(xué)生的認(rèn)知理解與思維融通，又幫助學(xué)生積累了基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更是培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念，實(shí)現(xiàn)學(xué)生關(guān)鍵能力的提升。

［關(guān)鍵詞］ 長(zhǎng)方形的面積；數(shù)形結(jié)合；幾何直觀；空間觀念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，“圖形與幾何”是學(xué)生感知生活空間的重要工具，也是描述圖形特征并進(jìn)行溝通與交流的重要途徑。學(xué)生在學(xué)習(xí)“圖形與幾何”知識(shí)時(shí)，除了要能清晰地描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，還要能靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而促進(jìn)自身的空間觀念的發(fā)展。

教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生遇到求解有關(guān)圖形面積、圖形體積題目時(shí)，往往先是回憶對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式，并根據(jù)已知條件完成數(shù)據(jù)代入與計(jì)算，如解決有關(guān)“長(zhǎng)方形的面積”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生先會(huì)在大腦中提取面積計(jì)算公式：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，然后找到問(wèn)題中長(zhǎng)和寬的數(shù)值，最后依據(jù)公式計(jì)算面積大小。這樣的解答，只是為了得到一個(gè)結(jié)果，圖形在這里起不到任何輔助知識(shí)理解的作用，“數(shù)”與“形”完全被割裂，長(zhǎng)此以往，不利于學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)，更是降低了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

一、基于教材，辨析數(shù)學(xué)認(rèn)知誤區(qū)

圖形的面積計(jì)算本質(zhì)就是對(duì)二維面積的度量，三年級(jí)學(xué)生從對(duì)一維長(zhǎng)度的度量到對(duì)二維面積的度量，在認(rèn)知上是一次質(zhì)的飛躍。為了幫助學(xué)生充分感悟二維面積的度量本質(zhì)，人教版教材設(shè)計(jì)了貼近學(xué)生實(shí)際的生活素材，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、辨析等探究性體驗(yàn)活動(dòng)，力求幫助學(xué)生厘清面積概念的含義，體會(huì)“統(tǒng)一面積單位”的必要性，在形成面積單位表象的基礎(chǔ)上，深刻理解“長(zhǎng)方形的面積”的計(jì)算方法。

“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)”的學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)其他平面圖形面積公式的基礎(chǔ)，為研究其他平面圖形面積公式提供了基本原理和方法［１］。教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷初步感知、合作學(xué)習(xí)、歸納概括等探究活動(dòng)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，為學(xué)生理解和掌握長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法提供了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但為什么在后續(xù)的“面積計(jì)算公式”運(yùn)用中會(huì)出現(xiàn)“套用公式”“數(shù)形脫節(jié)”等現(xiàn)象呢？究其原因，筆者認(rèn)為有以下兩點(diǎn)：

（一）斷層式認(rèn)知

在“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)”的起始階段，學(xué)生通過(guò)用多個(gè)面積單位的小正方形測(cè)量長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)小正方形個(gè)數(shù)恰好是長(zhǎng)方形的面積數(shù)，這為后續(xù)厘清“長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系”奠定了基礎(chǔ)。然而，這樣的探究過(guò)程并未真正演繹因果聯(lián)系，只是恰好符合規(guī)律，很多時(shí)候，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在認(rèn)知上是斷層的，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)圖形的面積計(jì)算變成了公式的記憶與運(yùn)用，卻難以將圖形面積概念的本質(zhì)與面積計(jì)算公式進(jìn)行融通。

（二）誤導(dǎo)式建構(gòu)

在研究“長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系”過(guò)程中，開(kāi)始是利用若干個(gè)1平方厘米的小正方形對(duì)大長(zhǎng)方形進(jìn)行覆蓋，初步感受“一行有幾個(gè)，有這樣的幾行”的模型，最終歸納得到長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。但學(xué)生在求表面是長(zhǎng)方形的物體（如：課桌、鉛筆盒）表面積時(shí)，又要先分別測(cè)量一維的長(zhǎng)度和寬度，再計(jì)算二維的面積，這就讓原本的面積問(wèn)題變成了數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)面積的概念理解和二維建構(gòu)始終是不到位的。

二、認(rèn)知理解，體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)

張奠宙教授曾提出，“面積是小學(xué)數(shù)學(xué)‘圖形與幾何’領(lǐng)域的‘圖形測(cè)量’部分的概念，它具有‘?dāng)?shù)’的基本屬性，即可以找到一個(gè)合適的數(shù)對(duì)其屬性進(jìn)行描述”。他認(rèn)為，數(shù)方格的過(guò)程就蘊(yùn)含了面積的“有限可加性”這一基本特征。教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從“線動(dòng)成面”這一理念來(lái)認(rèn)識(shí)什么是面積，讓圖形“動(dòng)起來(lái)”，充分體驗(yàn)“面積”的內(nèi)涵。

在“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生早已知道了長(zhǎng)方形面積公式，但對(duì)于“長(zhǎng)方形的面積公式為什么是‘長(zhǎng)×寬’，為什么測(cè)量的是長(zhǎng)度而算出來(lái)的卻是面積，如何幫助學(xué)生更深刻地理解面積計(jì)算公式”等問(wèn)題，還需要再思考、再研究。鑒于以上分析，筆者嘗試如下教學(xué)，以供參考。

（一）探究學(xué)習(xí)

教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，要促使學(xué)生理解“長(zhǎng)度乘長(zhǎng)度就等于面積”是有一定難度的。教材在設(shè)計(jì)“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)”的教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，充分利用了直觀演示的方法，幫助學(xué)生感知“長(zhǎng)幾厘米，每行就擺幾個(gè)小正方形，寬幾厘米，就擺幾行”的原理。學(xué)生經(jīng)歷從一維的長(zhǎng)度數(shù)值轉(zhuǎn)化為二維的面積單位個(gè)數(shù)的過(guò)程，從“長(zhǎng)乘寬”的公式中架構(gòu)長(zhǎng)方形面積的過(guò)程表象?；诮滩膬?nèi)容與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)展如下教學(xué)：

（1）直觀呈現(xiàn)學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用數(shù)格子法或用面積單位法進(jìn)行面積的測(cè)量，并計(jì)算長(zhǎng)方形的面積。（2）經(jīng)歷兩種面積計(jì)算的方法：一種是數(shù)個(gè)數(shù)法，“1個(gè)1個(gè)地?cái)[，共擺了15個(gè)，面積就是15平方厘米”；另一種是乘法計(jì)算法，“每行擺５個(gè)，就是５平方厘米，共擺了３行，面積５×３等于１５平方厘米”。（３）在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生開(kāi)展用多個(gè)面積單位拼擺長(zhǎng)方形的活動(dòng)，并用表格記錄對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)、寬和面積。（４）觀察與分析面積單位的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系，歸納概括得到長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。

（二）認(rèn)知延伸

每一次的課堂教學(xué)實(shí)踐，都是師生共同經(jīng)歷思維碰撞、智慧生成的過(guò)程。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)某一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，提前精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，做到瞻前顧后，把握教學(xué)的“度”。三年級(jí)“長(zhǎng)方形面積的計(jì)算”知識(shí)的學(xué)習(xí)，其本質(zhì)是“度量法”的滲透，即：理解“長(zhǎng)方形的面積”為什么是用“長(zhǎng)×寬”來(lái)計(jì)算的。從長(zhǎng)度到面積的學(xué)習(xí)，空間形式的認(rèn)知是一次飛躍，容易造成學(xué)生對(duì)圖形認(rèn)識(shí)和測(cè)量上的混淆。因此，需要增設(shè)面積的拓展內(nèi)容，借助數(shù)形結(jié)合、比較辨析、知識(shí)梳理等活動(dòng)過(guò)程，幫助學(xué)生理解“長(zhǎng)方形面積計(jì)算”的本質(zhì)。

1. 動(dòng)態(tài)演示

對(duì)小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生而言，空間觀念的建構(gòu)，一方面需要教師在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行有意識(shí)培養(yǎng)，另一方面也離不開(kāi)學(xué)生自身對(duì)生活空間的觀察、感悟等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。借助“幾何畫(huà)板”，輔助數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，改變了教師講授和學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的傳統(tǒng)教學(xué)模式，呈現(xiàn)圖形的動(dòng)態(tài)演示過(guò)程，從不同的角度分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。以探究“長(zhǎng)7cm、寬5cm的長(zhǎng)方形面積計(jì)算”為例，嘗試如下教學(xué)：

（１）學(xué)生猜測(cè)：根據(jù)已有認(rèn)知，認(rèn)為面積是7×5=35cm2（如圖1）。（2）直觀教學(xué)：利用“幾何畫(huà)板”軟件，對(duì)圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，觀察并分析圖形的變化情況，a. 一共擺了21個(gè)，每個(gè)面積是1cm2，長(zhǎng)方形的面積是1×21=21cm2（如圖2）；b. 每一行有7個(gè)小正方形，一組7個(gè)面積是7cm2，有這樣的三組，那就是3個(gè)7cm2，列式為7×3=21cm2（如圖3）；c. 觀察變式圖形，分析并開(kāi)展討論，達(dá)成共識(shí)，長(zhǎng)方形的面積是7×3=21cm2（如圖4）。

2. 課件推導(dǎo)

學(xué)生經(jīng)歷以上環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)后，自然地會(huì)由經(jīng)驗(yàn)積累聯(lián)想到公式背后的推導(dǎo)過(guò)程，教師需要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合運(yùn)算的意義理解，尋找面積公式推導(dǎo)的依據(jù)［２］。教師根據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知，借助課件輔助教學(xué)。學(xué)生經(jīng)歷“平移”“累加”等直觀感知過(guò)程，想象、體會(huì)整個(gè)長(zhǎng)方形的形成過(guò)程，理解“線動(dòng)成面”的內(nèi)涵，進(jìn)而進(jìn)一步體會(huì)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的概念本質(zhì)。借助課件，推導(dǎo)“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式”：

（１）課件出示：將一條長(zhǎng)為７ｃｍ的“線段”逐漸變粗，最終轉(zhuǎn)變成寬度是1cm的“線段”，這條“線段”的面積是7cm2（如圖5）。（2）將“線段”向下平移，形成2條這樣的“線段”，得到的圖形面積就是2個(gè)7cm2，列式為7×2（如圖6）。（3）“線段”繼續(xù)向下平移，形成3條長(zhǎng)為7cm的“線段”，所占平面的大小是3個(gè)7cm2，列式為7×3（如圖7）。

（三）思考總結(jié)

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，面對(duì)“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”這一教學(xué)內(nèi)容，盡管教師引導(dǎo)學(xué)生采用了自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)方式，縱然追尋著漸進(jìn)式的探究學(xué)習(xí)，但仍舊不利于學(xué)生思維能力的提升，“新課后的知識(shí)補(bǔ)充”還需要另加課時(shí)，但也不一定會(huì)達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果?；诮滩膬?nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平，教師在開(kāi)展基礎(chǔ)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，借助幾何直觀，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)圖形的變化情況，提升學(xué)生的空間想象能力。

回顧小結(jié)：將每一行看作是一條“粗線段”，每條“粗線段”的面積是7cm2，3條“粗線段”累加的面積就是整個(gè)長(zhǎng)方形的面積（如圖8），即3個(gè)7平方厘米，列式為7cm2×3=21cm2。因此，長(zhǎng)7cm、寬3cm的長(zhǎng)方形，它的面積計(jì)算列示為7×3，進(jìn)一步解釋了長(zhǎng)方形的面積可以用“長(zhǎng)×寬”來(lái)計(jì)算。

課堂最后，教師提問(wèn)：“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”就是我們學(xué)過(guò)的哪個(gè)數(shù)量關(guān)系式？學(xué)生思考，回答：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。課件出示問(wèn)題：每份數(shù)就是（寬為1cm的“線段”的面積），份數(shù)就是（寬為1cm的“線段”的數(shù)量），總數(shù)就是（面積），并引導(dǎo)學(xué)生嘗試回答、討論。

當(dāng)學(xué)生的思維經(jīng)歷從一維運(yùn)動(dòng)到二維運(yùn)動(dòng)的演變之后，下一次面對(duì)某個(gè)平面圖形的面積計(jì)算時(shí)，其腦海中呈現(xiàn)的就是該圖形的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程，即：一條有寬度的“線段”的平移，并將得到的幾條有寬度的“線段”進(jìn)行累加，而對(duì)應(yīng)的面積計(jì)算公式就轉(zhuǎn)換為求“幾個(gè)幾”的和，也就是“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”。如此一來(lái)，面積計(jì)算公式就與平面圖形動(dòng)態(tài)融通了，既省去了學(xué)生記憶公式的煩惱，又培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

三、收獲啟示，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成

幾何圖形的本質(zhì)就是“點(diǎn)的積累、線的積累、面的積累”，也就是求“幾個(gè)幾”累加的和是多少。教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，要促使學(xué)生深入地掌握有關(guān)“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)，需要借助幾何直觀，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，不但有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的概念，而且有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（一）抓住本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”“形”相融

兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的同化與順應(yīng)而逐步建構(gòu)起來(lái)的，尤其是思維的發(fā)展需要在“平衡—不平衡—新的平衡”的演變過(guò)程中得以不斷的豐富與發(fā)展。通過(guò)以上環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生充分地感悟數(shù)形結(jié)合思想，在積累“線動(dòng)成面”的過(guò)程中，理解“求長(zhǎng)方形的面積”就是求“幾個(gè)幾”的單位面積，并加以靈活運(yùn)用。

很多時(shí)候，學(xué)生遇到新的問(wèn)題時(shí)，都要利用知識(shí)間的聯(lián)系將新的知識(shí)“轉(zhuǎn)化”為已學(xué)的舊知識(shí)來(lái)嘗試解決，在溝通、交流與整合中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的重構(gòu)與融通。如，在“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式”的推導(dǎo)過(guò)程中，充分利用“數(shù)”與“形”相融的優(yōu)勢(shì)，以“形”直觀表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”對(duì)應(yīng)闡述形，將抽象的問(wèn)題變具體形象，這不僅有利于學(xué)生深層次地理解數(shù)學(xué)公式，更有利于學(xué)生全方位地積累相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）建構(gòu)意義，培養(yǎng)空間觀念

“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷由圖形表征到算式表征的順向思維過(guò)程，再由算式表征到圖形表征的逆向轉(zhuǎn)化過(guò)程，不斷加深學(xué)生對(duì)意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。幾何圖形中求長(zhǎng)度、面積、體積的問(wèn)題歸根到底就是求“幾個(gè)幾”的問(wèn)題，其數(shù)量關(guān)系式就是“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”。根據(jù)平移累加的原理，在操作“線動(dòng)成面”的過(guò)程中，線的疊加就成了面，對(duì)面進(jìn)行壓縮就成了一條線，學(xué)生感受了客觀事物之間的變化情況，理解了辯證統(tǒng)一的思想。

學(xué)生經(jīng)歷“觀察感知”“圖示表征”等過(guò)程后，獲得從圖形到算式的“抽象化”經(jīng)驗(yàn)，并形成從計(jì)算逆推到圖形的意義建構(gòu)。今后在面對(duì)求某個(gè)圖形的面積時(shí)，學(xué)生的腦海中首先呈現(xiàn)的是幾條有寬度的“線段”平鋪而成的面，完成由一維長(zhǎng)度到二維平面的動(dòng)態(tài)演變，透過(guò)面積公式的表達(dá)形式，發(fā)展空間觀念。最終，學(xué)生不僅能靈活地運(yùn)用具體的面積公式解決實(shí)際問(wèn)題，還能真正地領(lǐng)會(huì)面積公式背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

總之，基于幾何直觀的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，幫助學(xué)生搭建探究性學(xué)習(xí)的平臺(tái)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，利用數(shù)形結(jié)合思想，積累實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)過(guò)程中，教師借助多種形式的學(xué)習(xí)方法，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)自然生長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 楊慧娟． 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的育人價(jià)值——以“長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算”教學(xué)為例［Ｊ］． 小學(xué)數(shù)學(xué)教師，２０２１（０９）：７２－７５．

［２］ 王芳． 走向思維通透的深度閱讀——“梯形面積公式聯(lián)想”教學(xué)實(shí)踐與思考［Ｊ］． 小學(xué)教學(xué)參考，２０２１（１２）：１４－１６．