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    巧用類比思想,培養(yǎng)初中生邏輯推理能力

    2023-03-23 00:00:21宿遷市蘇州外國(guó)語學(xué)校
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
    關(guān)鍵詞:類比推理一元二次方程梯形

    宿遷市蘇州外國(guó)語學(xué)校 張 誠(chéng)

    法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯認(rèn)為:“在數(shù)學(xué)的王國(guó)里,發(fā)現(xiàn)真理的主要工具就是歸納和類比.”類比推理是指根據(jù)兩種不同對(duì)象在某些方面具有相同之處或相似之處,借助于聯(lián)想,通過對(duì)一個(gè)模型的研究來獲得另一個(gè)模型的信息,常常作為探索新問題的辦法.類比推理的科學(xué)預(yù)見性、探索性,可以讓學(xué)生經(jīng)歷聯(lián)想、抽象化、映射、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程,更有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

    1 巧用概念類比,引導(dǎo)合情推理

    數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)重要基石.掌握概念內(nèi)涵,厘清概念異同點(diǎn),是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).由于數(shù)學(xué)概念具有一定的枯燥性、繁雜性和相似性,且很多概念之間存在緊密的聯(lián)系,故學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)非常容易混淆.在新概念教學(xué)時(shí),巧用概念類比,引導(dǎo)學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)已學(xué)概念,并在新舊概念的共同點(diǎn)和差異中明確概念同化的關(guān)鍵要素[1],并將零散的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)結(jié)成數(shù)學(xué)知識(shí)鏈條,有助于完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

    案例1“一元二次方程”概念課

    “一元二次方程”是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,可以讓學(xué)生類比一元一次方程的概念,通過合情推理得到一元二次方程的概念.在課堂中,首先結(jié)合學(xué)生生活創(chuàng)設(shè)以下問題導(dǎo)入新課.

    復(fù)習(xí)引入:一塊長(zhǎng)方形綠地的周長(zhǎng)為34 m,寬為7 m,那么它的長(zhǎng)是多少?

    學(xué)生通過獨(dú)立解決問題,回顧一元一次方程的概念及利用方程解決問題的方法,為學(xué)習(xí)一元二次方程做好準(zhǔn)備.

    概念類比:根據(jù)題意,列出方程.

    (1)一塊長(zhǎng)方形綠地的面積為1200 m2,且長(zhǎng)比寬多10 m,那么長(zhǎng)和寬各為多少m?

    (2)一個(gè)正方形的面積等于12,求它的邊長(zhǎng).

    (3)已知一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3,且兩個(gè)數(shù)乘積為0,求這兩個(gè)數(shù).

    在列方程的過程中,要求學(xué)生思考以上三個(gè)方程與一元一次方程的相同點(diǎn),嘗試類比一元一次方程給上面的三個(gè)方程下定義,其目的是用三個(gè)實(shí)際問題列出的三個(gè)方程與一元一次方程進(jìn)行類比,理解“元”“次”等特征,從而順利歸納出一元二次方程的概念:只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程.那么,一元二次方程的一般形式如何呢?還需要對(duì)上述兩個(gè)方程進(jìn)行一般化,從而得到一元二次方程的一般形式為

    ax2+bx+c=0(a≠0),

    其中,ax2為二次項(xiàng),a為二次項(xiàng)系數(shù),bx為一次項(xiàng),b為一次項(xiàng)系數(shù),c為常數(shù)項(xiàng).

    表1 一元二次方程與一元一次方程的類比

    在整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中,將類比推理的思想與一元二次方程概念的學(xué)習(xí)有機(jī)融合起來,教師的不斷引導(dǎo),讓學(xué)生經(jīng)過觀察、聯(lián)想、抽象化和映射的數(shù)學(xué)活動(dòng),通過類比推理,從而根據(jù)一元一次方程的概念得到一元二次方程的概念,極大程度地鍛煉了學(xué)生的邏輯推理能力.

    2 巧用性質(zhì)類比,體驗(yàn)推理過程

    數(shù)學(xué)性質(zhì)是數(shù)學(xué)表觀和內(nèi)在所具有的特征,是一種事物區(qū)別于其他事物的本質(zhì)屬性.性質(zhì)相似的事物在其他方面也具有一定的類似性,只有掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)才能更好地運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問題[2].由于數(shù)學(xué)性質(zhì)之間往往有內(nèi)在的關(guān)系和邏輯關(guān)系,新舊性質(zhì)的類比,可以幫助學(xué)生建立知識(shí)體系.所以,在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)時(shí),可以采用性質(zhì)類比的方法,引導(dǎo)學(xué)生將新的數(shù)學(xué)對(duì)象與舊的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較,在辨析它們之間異同點(diǎn)的過程中,促進(jìn)新性質(zhì)的同化,這對(duì)于學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)大有裨益.

    案例2“平行四邊形與梯形”單元復(fù)習(xí)課

    平行四邊形是研究特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定的基礎(chǔ).由于該部分知識(shí)比較雜亂且分散,因此在單元復(fù)習(xí)課中,以“整”“理”為主線,結(jié)合思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行四邊形和梯形的性質(zhì)進(jìn)行類比復(fù)習(xí),幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系.

    “整”,即讓學(xué)生在課前自主整理平行四邊形與梯形的性質(zhì)特點(diǎn),抄寫下來,并按照一定邏輯順序粘貼,其目的是將分散在本單元中的知識(shí)要點(diǎn)展現(xiàn)在同一張圖上,形成整體(如圖1)感知,為性質(zhì)的類比分析做好鋪墊.

    圖1

    “理”,即讓學(xué)生以小組合作的形式,對(duì)平行四邊形和梯形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行個(gè)性化梳理,整理出自己最感興趣的,認(rèn)為最重要的或掌握最不扎實(shí)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

    “復(fù)”,即根據(jù)學(xué)生的“理”與“習(xí)”的反饋,有針對(duì)性地查漏補(bǔ)缺.發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主類比復(fù)習(xí)過程中的薄弱點(diǎn)在平行四邊形與梯形以及平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系上.同時(shí),學(xué)生雖然能夠繪制出四邊形與各種特殊四邊形關(guān)系的韋恩圖,但對(duì)于它們之間的聯(lián)系卻不甚清晰.為此,針對(duì)學(xué)生存在的問題,設(shè)計(jì)了以下四個(gè)任務(wù):

    (1)將1個(gè)平行四邊形剪成2個(gè)梯形;

    (2)將1個(gè)平行四邊形剪成2個(gè)完全一樣的梯形;

    (3)將1個(gè)梯形剪出1個(gè)平行四邊形;

    (4)將1個(gè)長(zhǎng)方形剪出1個(gè)平行四邊形.

    學(xué)生以小組挑戰(zhàn)的形式完成任務(wù),并進(jìn)行成果展示,在此過程中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平行四邊形和梯形的主要特征,通過類比分析幫助學(xué)生完善思維導(dǎo)圖.這樣既有利于降低學(xué)生學(xué)習(xí)與記憶難度,而且能讓學(xué)生親身體驗(yàn)類比的過程,從中感受數(shù)學(xué)的邏輯美和知識(shí)之間的有趣關(guān)聯(lián),促進(jìn)學(xué)生類比推理能力的提升.

    3 巧用條件類比,推理不變特征

    不變特征是類比推理的前提,也是學(xué)生在類比推理過程中發(fā)現(xiàn)的“新結(jié)果”.當(dāng)遇到一些新的數(shù)學(xué)習(xí)題或問題時(shí),學(xué)生往往會(huì)根據(jù)題目給出的條件,類比已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí),從而使得陌生問題熟悉化,當(dāng)尋找到其不變特征時(shí),問題就能得以順利解決[3].為此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,尤其是在解題教學(xué)中,可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所求目標(biāo),從條件入手尋找不變特征,大膽猜測(cè)、嘗試與驗(yàn)證,并在類比的過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶剿鱽斫鉀Q問題.

    案例3解題教學(xué)

    (1)如圖2所示,已知△ABC,以AB,AC為邊向外分別作等邊三角形ABD和AEC,連接BE,CD,請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整,并思考BE,CD之間有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.

    圖2

    圖3

    (2)如圖3所示,已知△ABC,以AB,AC為邊向外分別作正方形ABFD和AEGC,連接BE,CD,并思考BE,CD之間有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.

    對(duì)于題(1),學(xué)生根據(jù)已知條件,很快畫出圖形,并分析.由于△ABD和△AEC為等邊三角形,所以有AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,可以證明△ACD和△AEB全等.根據(jù)三角形全等的性質(zhì),可以推導(dǎo)出BE=CD.尋找“全等三角形”是求解本題的關(guān)鍵.

    題(1)是向外作等邊三角形,而題(2)則是向外作正方形,等邊三角形和正方形都屬于多邊形,且具有各邊相等、各內(nèi)角相等的基本性質(zhì).為此,在求解題(2)之前,可以引導(dǎo)學(xué)生類比觀察兩道題目中的已知條件,既然三角形和正方形具有相同的性質(zhì)特征,由此,可以猜想題(2)與題(1)的解題思路應(yīng)該是基本一致的.這樣類比題(1)的解題思路進(jìn)行分析,可以看出邊與角之間的關(guān)系依然成立.由于ABFD和AEGC均為正方形,所以有AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=90°,可以證明△ACD和△AEB依然是全等的,那也就是說結(jié)論還是BE=CD.

    題(1)與題(2)有著相似的條件,所以,我們可以合理地猜想其條件的相似可能會(huì)產(chǎn)生相似的結(jié)論[4].這樣通過類比條件的方法,可以幫助學(xué)生更加迅速、準(zhǔn)確地解題,尤其在解決一些抽象的幾何問題時(shí).類比推理是一條通往成功的捷徑,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力與邏輯推理能力的培養(yǎng)來說是非常有益的.

    4 巧用方法類比,培養(yǎng)推理能力

    很多中學(xué)曾提出“數(shù)學(xué)問題應(yīng)該‘一看就會(huì),一做就對(duì)’”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,過分強(qiáng)調(diào)技能訓(xùn)練,會(huì)忽視了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的思考,從而導(dǎo)致學(xué)生陷入“一看就會(huì),一做就廢”的怪圈.學(xué)生在教師講解時(shí)往往能聽懂,但當(dāng)他們遇到新的問題時(shí),就會(huì)變得束手無策.所以,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)教會(huì)學(xué)生如何思考問題,在遇到不熟悉的新問題時(shí),可以將這類題目與已知問題解決方式緊密聯(lián)系起來,運(yùn)用已解決的數(shù)學(xué)問題的思想方法來解決新的問題,比如方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想、化歸思想等[5],而這一過程中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的類比運(yùn)用.將思想方法類比貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力和解決問題的能力極為重要.

    案例4已知一條直線上依次有A,B,C三個(gè)點(diǎn),那么一共有幾條線段呢?

    這個(gè)問題一般學(xué)生都能求解,共有三條線段,很多時(shí)候我們往往在學(xué)生得出答案就結(jié)束這個(gè)問題了.事實(shí)上,如果我們引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真思考并進(jìn)行知識(shí)遷移,學(xué)習(xí)效果將會(huì)截然不同.

    思考1:如果這條直線上有6個(gè)點(diǎn),你怎么數(shù)出線段的條數(shù)呢?

    通過思考1,可以得到“順序識(shí)圖”的方法:根據(jù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)的特征,可以先固定第一個(gè)端點(diǎn),然后再以其余的點(diǎn)作為另一個(gè)端點(diǎn)組成線段,然后固定第二個(gè)端點(diǎn),以其余的點(diǎn)組成線段,以此類推,直到找出最后的線段位置.采用一種方法,可以避免遺漏、重復(fù)的現(xiàn)象,不難得到當(dāng)直線上有6個(gè)點(diǎn)時(shí),一共有15條線段.

    思考2:如果這條直線上有n個(gè)點(diǎn),共有多少條線段呢?

    采用思考1中的順序識(shí)圖法,學(xué)生很快得出,共有(n-1)+(n-2)+……+3+2+1條線段.

    思考3:如何計(jì)算(n-1)+(n-2)+……+3+2+1呢?

    假設(shè)

    S=(n-1)+(n-2)+……+3+2+1,

    S=1+2+3+……+(n-2)+(n-1).

    ①+②式,得2S=n(n-1),所以S=0.5n(n-1).

    在這個(gè)問題的解決過程中,采用了高斯的倒序相加法,這種方法不僅能巧妙解決很多初中數(shù)學(xué)問題,在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更有用武之地.

    思考4:這個(gè)方法是否能夠遷移運(yùn)用到其他數(shù)學(xué)問題中呢?

    數(shù)角問題:從點(diǎn)O引m條射線OA,OB,OC,……,若組成的角都是銳角,則共有多少個(gè)銳角?

    握手問題:七年級(jí)三班一共有45名學(xué)生,若每?jī)扇宋找淮问?,一共握了多少次手?/p>

    比賽問題:n個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行單項(xiàng)循環(huán)比賽,其中每一個(gè)籃球隊(duì)都必須與其他籃球隊(duì)賽一場(chǎng),總比賽場(chǎng)次是多少?

    在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,很多數(shù)學(xué)思想方法都具有一定的相似性.尤其是在解決一些復(fù)雜問題時(shí),可以嘗試將問題進(jìn)行分解,運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想,使其變?yōu)槲覀兯煜さ膯栴},進(jìn)而類比已有的解題思路,將各個(gè)問題突破,從而在問題解決的過程中,學(xué)生的邏輯推理能力能夠得到很好的訓(xùn)練.

    5 結(jié)語

    波利亞曾說過:“類比是發(fā)現(xiàn)的源泉,是一個(gè)偉大的引路人.”邏輯推理能力是重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng),在數(shù)學(xué)課堂中,巧用類比思想,可以讓學(xué)生將舊知識(shí)類比遷移運(yùn)用到新知的學(xué)習(xí)中,形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系,同時(shí),在類比探究過程中,促進(jìn)了創(chuàng)造力和思考力的升華,提升了學(xué)生自主解決問題的能力,有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力,實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

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