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    喚醒結(jié)構(gòu)意識(shí) 探尋生長(zhǎng)路徑*
    ——以圓“垂徑定理”的結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)為例

    2023-03-23 00:00:21南京市教學(xué)研究王紅兵南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心諸士金
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
    關(guān)鍵詞:垂徑圓心軸對(duì)稱

    南京市教學(xué)研究 王紅兵 南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心 諸士金

    “知識(shí)結(jié)構(gòu)化才能形成能力,就像散落在地面上的珍珠顯示不出它特有的價(jià)值一樣,只有將散落的珍珠用線串成珍珠鏈才能讓她大放異彩、身價(jià)倍增.”[1]因此,從數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)角度來(lái)說(shuō),教師首先要對(duì)教學(xué)內(nèi)容有一個(gè)整體的把握,進(jìn)而利用結(jié)構(gòu)化的思想去設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程,幫助學(xué)生厘清知識(shí)結(jié)構(gòu),促進(jìn)其知識(shí)結(jié)構(gòu)化,逐漸形成數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)觀.這一過(guò)程有利于學(xué)生自主建立深刻和清晰的學(xué)習(xí)路徑,形成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和理性精神.下面以“圓”中“垂徑定理”的內(nèi)容為素材進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)和分析.

    1 垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征分析

    垂徑定理是圓的重要性質(zhì),是圓中證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù),同時(shí)也為與圓有關(guān)的其他計(jì)算、證明、作圖等提供重要的方法和依據(jù).垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面,即外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化特征與內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)化特征.

    1.1 垂徑定理的外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化

    圓有許多重要性質(zhì),其中最主要的性質(zhì)是圓的對(duì)稱性(軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性),它是探索其他性質(zhì)的基礎(chǔ)前提.垂徑定理正是圓的軸對(duì)稱性的具體體現(xiàn)(如圖1).圓的軸對(duì)稱性質(zhì)是圓的一個(gè)重要模塊,這個(gè)模塊的探究方法和積累的經(jīng)驗(yàn),一方面有利于圓其他類似模塊相關(guān)知識(shí)的探究,另一方面也為圖形中與軸對(duì)稱性相關(guān)知識(shí)的探究提供參考路徑.

    圖1 垂徑定理外聯(lián)知識(shí)模塊結(jié)構(gòu)示意圖

    1.2 垂徑定理的內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)化

    垂徑定理的條件:①過(guò)圓心,②垂直于弦.定理的結(jié)論有:③平分弦,④平分弦所對(duì)的劣弧,⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧.事實(shí)上,以其中任意兩個(gè)為條件都可以得出其余結(jié)論.由于垂徑定理是圓整體的軸對(duì)稱性反映在圓局部元素特征的具體體現(xiàn),因此,這里研究圓心、半徑(直徑)、弦、弧等局部元素的特征需要將這些內(nèi)部元素以軸對(duì)稱為線進(jìn)行結(jié)構(gòu)化(如圖2).

    圖2 垂徑定理內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)示意圖

    2 垂徑定理的結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

    2.1 學(xué)情分析

    學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱等圖形變化,但運(yùn)用圖形變化的觀念去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)還不強(qiáng),因此對(duì)于垂徑定理的發(fā)現(xiàn)和證明,學(xué)生可能不容易想到從軸對(duì)稱的角度去思考.此外,垂徑定理的條件與結(jié)論比較復(fù)雜,條件的表述的方式比較多,部分學(xué)生不能把握條件的本質(zhì),從而導(dǎo)致對(duì)定理的理解不深入.

    2.2 教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn)

    (1)探索并證明垂徑定理,會(huì)用垂徑定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.

    (2)經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過(guò)程,體會(huì)圓的軸對(duì)稱性.

    教學(xué)重點(diǎn)是垂徑定理的探索及初步應(yīng)用;教學(xué)難點(diǎn)是垂徑定理的探索.

    2.3 教學(xué)設(shè)計(jì)與分析

    引言:圓具有怎樣的對(duì)稱性?

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)這個(gè)問(wèn)題,既回顧了上節(jié)課研究的圓的中心對(duì)稱性,又引出了圓的軸對(duì)稱性.

    (1)了解圓的軸對(duì)稱性

    問(wèn)題1圓的對(duì)稱軸是什么?利用課前剪好的圓形紙片,你能把圓的軸對(duì)稱性演示給同桌看嗎?

    師生活動(dòng):教師要求學(xué)生課前剪好圓形紙片,激發(fā)學(xué)生從“軸對(duì)稱性”出發(fā),借助操作直觀感受圓的軸對(duì)稱性.

    設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓的對(duì)稱軸,在多次、多人折疊的過(guò)程中,借助幾何直觀體會(huì)圓的軸對(duì)稱性,認(rèn)識(shí)到任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸.學(xué)生從直觀的“看”到具體的“做”,經(jīng)歷了從具象的圓到抽象的圓的過(guò)程.

    追問(wèn)1:如何解釋圓的軸對(duì)稱性?

    視角1:把圓沿直徑所在的直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合.

    視角2:圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.

    追問(wèn)2:視角1我們通過(guò)操作已經(jīng)觀察得到了,你能找出其中的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)嗎?

    追問(wèn)3:視角2又如何理解呢?

    生1:任取圓上一點(diǎn)(直徑兩端點(diǎn)除外),作直徑的垂線交圓于另一點(diǎn),說(shuō)明這兩點(diǎn)到直徑的距離相等.

    生2:任取圓上一點(diǎn)(直徑兩端點(diǎn)除外),作直徑的對(duì)稱點(diǎn),證明該點(diǎn)在圓上.

    設(shè)計(jì)意圖:從兩個(gè)角度預(yù)設(shè)學(xué)生對(duì)圓的軸對(duì)稱性進(jìn)行解釋.這里是在前面操作感受圓是軸對(duì)稱圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步明晰幾何學(xué)習(xí)的路徑,即既要有基于“看”和“做”下的“合情推理”,也要有“想”和“證”下的“演繹推理”.兩個(gè)方向,可以組織學(xué)生先獨(dú)立思考,然后開(kāi)展合作交流.

    (2)探索垂徑定理

    問(wèn)題2通過(guò)折紙活動(dòng),我們發(fā)現(xiàn)圓有軸對(duì)稱性,你能嘗試證明它嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:前面兩種視角是一種思路分析,如何證明圓有軸對(duì)稱性,需要根據(jù)不同的學(xué)情在課堂上做出合適的選擇.建議在證明“圓是軸對(duì)稱圖形”時(shí),先引導(dǎo)學(xué)生厘清“軸對(duì)稱圖形”概念,進(jìn)而回歸到概念上去證明.這里從演示到解釋,從圖形的標(biāo)識(shí)到證明的嘗試,進(jìn)而把合情推理和演繹推理結(jié)合在一起,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

    問(wèn)題3在圖3中,你還有哪些發(fā)現(xiàn)?

    師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生聚焦圖3,部分學(xué)生可能通過(guò)連線得到類似圖4的圖形,從“形結(jié)構(gòu)”上觀察,激發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)合圓的構(gòu)成元素展開(kāi)聯(lián)想和思考.

    圖3

    圖4

    設(shè)計(jì)意圖:證明“圓是軸對(duì)稱圖形”的過(guò)程中,學(xué)生必然要經(jīng)歷對(duì)圖形以及元素之間關(guān)系的梳理.這一過(guò)程能夠較大程度地激發(fā)學(xué)生基于問(wèn)題2中的形結(jié)構(gòu)“模型”進(jìn)行深層次聯(lián)想,從而發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論.這里師生活動(dòng)旨在凸顯數(shù)學(xué)的思維體驗(yàn),并為后面發(fā)現(xiàn)“垂徑定理”的構(gòu)成條件和結(jié)論作鋪墊.

    追問(wèn)1:回到圖3,你能發(fā)現(xiàn)有哪些相等的線段和???請(qǐng)用文字語(yǔ)言進(jìn)行概括.

    追問(wèn)2:如何證明你的發(fā)現(xiàn)?

    追問(wèn)3:從圖5的各種情形中能得出什么結(jié)論?為什么?

    圖5

    設(shè)計(jì)意圖:?jiǎn)栴}3的三個(gè)追問(wèn),層次和目的明確.追問(wèn)1指向厘清已有條件和發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;追問(wèn)2則是要求證明已經(jīng)表達(dá)清楚的“發(fā)現(xiàn)”;追問(wèn)3則是通過(guò)圖的變式,將直徑、半徑、弦心距以及過(guò)圓心的直線進(jìn)行統(tǒng)一,通過(guò)分析發(fā)現(xiàn),垂直于弦的不一定必須是直徑,也可以是半徑、弦心距、過(guò)圓心的直線,而它們的“形結(jié)構(gòu)”本質(zhì)特征是都過(guò)圓心.

    追問(wèn)4:不難看出,①過(guò)圓心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所對(duì)的劣弧,⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧,垂徑定理是以①②作為條件,得到結(jié)論③④⑤.我們還能從中選出一些作為條件,其余的作為結(jié)論形成真命題嗎?

    師生活動(dòng):教師啟發(fā)學(xué)生先寫出命題,然后思考命題是否正確.

    設(shè)計(jì)意圖:基于不同的分類組合得到不同的命題,一方面是對(duì)“垂徑定理”內(nèi)涵的深度理解,另一方面也是對(duì)“垂徑定理”外延的其他形式進(jìn)行辨析.組織師生活動(dòng),先寫命題,再思考命題是否正確,需要根據(jù)學(xué)情選擇部分或全部命題進(jìn)行不同程度的證明或說(shuō)理.追問(wèn)4是在辨析定理的基礎(chǔ)上滲透提出問(wèn)題的一種思維方式.

    圖6

    (3)運(yùn)用垂徑定理

    例1如圖6,在⊙O中,弦AB長(zhǎng)為8 cm,圓心O到弦AB的距離是3 cm,求圓O的半徑.

    設(shè)計(jì)意圖:例1重點(diǎn)考查“垂徑定理”的應(yīng)用,難度不大,且圖形貼近定理的基本圖形.在分析題意的過(guò)程中容易激發(fā)學(xué)生聯(lián)想到定理,從而更容易結(jié)合條件分析出解題思路.

    圖7

    例2如圖7,有一圓弧形拱橋,拱的跨度AB為16 m,拱高CD為4 m,那么弓形的半徑是多少?

    設(shè)計(jì)意圖:從例1中的求線段長(zhǎng)到例2的求弓形半徑,是一種基于模型一致的問(wèn)題解決和應(yīng)用,巧妙地對(duì)“垂徑定理”進(jìn)行鞏固.

    問(wèn)題4你能綜合運(yùn)用本節(jié)課的知識(shí),確定一張圓形紙片的圓心嗎?

    追問(wèn):如果只用直尺和圓規(guī),你能確定它的圓心嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:?jiǎn)栴}4短短的追問(wèn)不僅涵蓋了本節(jié)課的全部知識(shí)內(nèi)容,更有效提升了學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力.

    (4)小結(jié)

    ①本節(jié)課是怎樣發(fā)現(xiàn)和證明垂徑定理的?

    ②垂徑定理的條件和結(jié)論分別是什么?

    ③用垂徑定理可以求得哪些量?怎樣求得?

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)小結(jié),幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的核心知識(shí)以及應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的方法.

    3 結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的反思

    3.1 結(jié)構(gòu)化教學(xué)要以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向

    課程目標(biāo)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,而落實(shí)“四基”與“四能”的主陣地是課堂教學(xué),因此必須對(duì)知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合,且實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)必須以核心素養(yǎng)的導(dǎo)向?yàn)榻虒W(xué)目標(biāo).本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)中“探索并證明垂徑定理”,立足于“探索”,顯化于“證明”.在經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過(guò)程中,重在引導(dǎo)學(xué)生自主探尋圓中有關(guān)垂徑定理的外部知識(shí)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu),以及內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)特征.這樣的探尋過(guò)程具有鮮明的“邏輯性”,所聯(lián)想到的知識(shí)之間有強(qiáng)烈的“結(jié)構(gòu)化”特征,學(xué)生在經(jīng)歷從合情推理到演繹證明的過(guò)程中,發(fā)展了理性精神,形成了正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.

    3.2 結(jié)構(gòu)化教學(xué)要體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的特征

    課程標(biāo)準(zhǔn)中要求數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要反映數(shù)學(xué)學(xué)科的特征,符合學(xué)生的發(fā)展規(guī)律,在內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)要凸顯出數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)特征,教學(xué)活動(dòng)的組織要體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育形態(tài)結(jié)構(gòu)化安排,學(xué)生的學(xué)習(xí)獲得應(yīng)該形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知路徑和數(shù)學(xué)知識(shí).以垂徑定理為例,本節(jié)課的設(shè)計(jì)具有較為明顯的層次性和多樣性,以問(wèn)題串的形式層層推進(jìn),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“看、做、想、證”等符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng).這樣的活動(dòng)環(huán)環(huán)相扣,具有結(jié)構(gòu)化特征,在這樣的活動(dòng)中學(xué)生也逐步清晰地認(rèn)識(shí)了圓作為軸對(duì)稱圖形的“形結(jié)構(gòu)”特征.

    3.3 結(jié)構(gòu)化教學(xué)要關(guān)注學(xué)法的結(jié)構(gòu)化

    教學(xué)活動(dòng)是在教師引導(dǎo)下學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程.有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.結(jié)構(gòu)化教學(xué)要求教師一方面提升教的水平,另一方面要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化.教師要在“看、做、想、證”等數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織上下功夫,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷類似垂徑定理這樣的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程;要在“適時(shí)分步介入”的問(wèn)題引導(dǎo)上下功夫,精心預(yù)設(shè),在預(yù)設(shè)中敏銳發(fā)現(xiàn)生成資源,及時(shí)地發(fā)掘生成資源的價(jià)值;要在“獨(dú)立思考、合作交流、師生共研”的教學(xué)相長(zhǎng)的合作上下功夫,幫助學(xué)生克服畏難情緒,引發(fā)學(xué)生積極思考,鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難,培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

    總之,以垂徑定理的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施為例,我們可以看到結(jié)構(gòu)化的知識(shí)比碎片化的知識(shí)更有利于知識(shí)存儲(chǔ)與提取,更能有效促進(jìn)問(wèn)題的解決.因此,只有緊扣學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),從整體上把握教學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu),“教結(jié)構(gòu)”,學(xué)生才能“學(xué)結(jié)構(gòu)、用結(jié)構(gòu)”.

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