基于最小特征軌跡的電力系統穩(wěn)定器參數整定方法

許 昊，甘德強，黃 潤，張 杰，黃 偉

（1.浙江大學電氣工程學院，浙江省杭州市 310027；2.云南電力調度控制中心，云南省昆明市 650011）

0 引言

隨著特高壓交直流輸電技術的廣泛應用，電網大規(guī)模區(qū)域互聯得到了長足發(fā)展。與此同時，由于大規(guī)模電能跨區(qū)輸送，電力系統中以低頻振蕩和超低頻振蕩為代表的小干擾穩(wěn)定性問題日趨嚴重。低頻振蕩事故在國內外頻頻出現［1-2］，而超低頻振蕩主要存在于水電占優(yōu)系統中，例如2016 年云南電網與南方電網主網異步聯網后出現了超低頻振蕩［3］。低頻及超低頻振蕩的存在嚴重制約了區(qū)域間電網的大容量功率交換，威脅到電網的安全穩(wěn)定運行。

為抑制電網中的振蕩，提高電力系統小干擾穩(wěn)定性，通常需要加裝控制器，如電力系統穩(wěn)定器（power system stabilizer，PSS）、調速器等。而如何確定控制器的最優(yōu)參數涉及小干擾穩(wěn)定性分析方法的選用。目前針對小干擾穩(wěn)定性最常用的分析方法是線性化分析方法，包括基于狀態(tài)空間矩陣特征值的阻尼轉矩法［4］、留數法［5］、靈敏度分析法［6-7］等，以及基于傳遞函數矩陣分析的廣義Nyquist 判據［8］、μ分析［9］、相似矩陣法［10］等。

現有的這些小干擾穩(wěn)定性分析方法大都能為系統的小干擾穩(wěn)定性分析提供理論支撐，在某些應用場合仍有待完善。例如，阻尼轉矩法優(yōu)勢在于物理意義容易理解，但是分析結果較多依賴于數值計算，定性分析較少；狀態(tài)空間矩陣靈敏度分析法通常用于指導參數調整方向，對穩(wěn)定裕度的量化分析尚不完善；相似矩陣法多適用于轉子回路矩陣對角占優(yōu)的系統，給出的穩(wěn)定裕度精度仍待提升。一種工程實用的小干擾穩(wěn)定性分析方法應當具有嚴謹的數學基礎，并可給出解析且簡單的小干擾穩(wěn)定裕度表達式，從而實現任意控制器的任意參數對于穩(wěn)定性影響的分析。

針對上述問題，本文從頻域角度提出了一種基于最小特征軌跡的小干擾穩(wěn)定分析方法，并基于此提出了一種控制器參數整定方法。相比狀態(tài)空間或者多項式模型，電力系統頻域模型更加簡潔和緊湊，往往只包含幾個回路。因此，頻域分析可以實現研究對象的簡化。該分析方法給出了高精度的穩(wěn)定裕度，可以量化分析各回路控制器參數對于小干擾穩(wěn)定性的影響，具有比較嚴謹的數學基礎，適用于電力系統低頻振蕩及超低頻振蕩分析。此外，本文基于最小特征軌跡從理論層面解釋了PSS 增益存在上界的原因，并給出了勵磁模式頻率及PSS 臨界增益求解方程。

1 小干擾穩(wěn)定分析的轉子回路反饋系統模型

本文所采用的轉子回路反饋系統模型是基于Heffron-Phillips 模型變形得到，本質上是Heffron-Phillips 模型的緊湊形式。傳統的Heffron-Phillips模型的框圖和參數矩陣定義如附錄A 所示。

在常規(guī)的小干擾穩(wěn)定分析中，將Heffron-Phillips 模型中的轉子環(huán)節(jié)（sM+KD）-1視作前向通道，其余環(huán)節(jié)視作反饋環(huán)節(jié)，得到如圖1 所示的轉子回路緊湊形式Heffron-Phillips 模型，推導過程詳見文獻［10］。其中，s為拉普拉斯算子；M為含發(fā)電機轉子運動慣性常數的對角矩陣；KD為含轉子運動阻尼系數的對角矩陣。轉子回路將系統分為調速器、轉子、有功和無功功率4 個部分，為后續(xù)的回路分析帶來便捷。

圖1 轉子回路的緊湊形式Heffron-Phillips 模型Fig.1 Compact form of Heffron-Phillips model of rotor loop

圖1 中：ΔPm為原動機輸出機械功率列向量；ΔPe1和ΔPe2為發(fā)電機電磁功率ΔPe列向量的分量；ΔPd為系統功率擾動列向量；ΔωG為各發(fā)電機的角頻率列向量；矩陣K1為線性化模型系數矩陣，反映了網絡結構、元件參數、運行工況和負荷特征；GM（s）為調速器-原動機系統傳遞函數對角矩陣；GQ（s）為與勵磁系統和PSS 相關的傳遞函數矩陣，GQ1（s）和GQ2（s）為其子傳遞函數，其定義分別為式（1）和 式（2）；ω0為 系 統 同 步 角 速 度；I為 單 位矩陣［11］。

式中：GEX(s) 為勵磁系統傳遞函數對角矩陣；ΗPSS(s)為PSS 傳遞函數對角矩陣；K2，K3，…，K6為線性化模型系數矩陣，反映了網絡結構、元件參數、運行工況和負荷特征；為含各發(fā)電機d軸暫態(tài)時間常數對角矩陣。

傳遞函數矩陣HPVr(s)定義為：

圖1 所示系統對應的回差矩陣［8］為：

式中：L(s)為轉子回路開環(huán)傳遞函數矩陣。

在開環(huán)傳遞函數矩陣L中令s=jω，ω為角頻率，則有

后文中如不作特殊說明，均默認s=jω。為實現對各個回路進行獨立分析，將上述開環(huán)傳遞函數矩陣L進行分解。

因為矩陣M和KD都是對角矩陣，所以

將式（6）代入L并整理得：

定義：

式中：LK1、LKD、LGQ1、LGQ2、LGM分別為和發(fā)電機有功功率、發(fā)電機阻尼、勵磁環(huán)節(jié)、PSS、調速器相關的開環(huán)傳遞函數矩陣。

可以看到，式（7）將L分解為了和發(fā)電機有功相關的LK1、和發(fā)電機阻尼相關的LKD、和勵磁環(huán)節(jié)相關的LGQ1、和PSS 相關的LGQ2以及和調速器相關的LGM這幾個回路的加和形式，可對各環(huán)節(jié)分別進行小干擾穩(wěn)定性分析。下文將以PSS 為例，從回路的角度分析PSS 參數改變對于小干擾穩(wěn)定性的影響。

2 最小特征軌跡靈敏度法

2.1 頻域穩(wěn)定裕度

根據廣義Nyquist 法，可以由轉子回路開環(huán)傳遞函數矩陣行列式det（L）環(huán)繞-1 點的次數來判斷系統的穩(wěn)定性，進而可將行列式det（L）距離-1 點的距離視作穩(wěn)定裕度［8］。但是，用行列式來表示穩(wěn)定裕度存在弊端：高階行列式計算極其復雜，并且給出的穩(wěn)定裕度表達式不是解析表達式。特征軌跡穩(wěn)定判據可視作廣義Nyquist 判據的特征軌跡形式［12-13］。該判據無須求解矩陣的行列式，從而達到簡化計算、易于分析的目的。

定理1（特征軌跡穩(wěn)定判據）［13］：若開環(huán)傳遞函數矩陣L有P個不穩(wěn)定極點，那么閉環(huán)系統穩(wěn)定的充要條件為L的所有特征軌跡逆時針環(huán)繞復平面內-1 點 的 次 數 為P次。

其中，L的所有特征值隨角頻率ω變化的曲線稱為特征軌跡。當電力系統采用轉子回路模型時，特征軌跡數目與發(fā)電機數目m相同。

一般情況下，只需要關心轉子回路開環(huán)傳遞函數矩陣距離復平面內-1 點最近的特征軌跡λmin（L），將其稱作最小特征軌跡。這是因為當系統中一個振蕩角頻率為ωo的模式接近臨界穩(wěn)定時，其對應在回差矩陣特征值上的表現是：當ω=ωo時，L（jωo）的一個特征值接近0，該特征值所對應的特征軌跡即將穿越-1 點，而其余特征值均遠離-1 點，每條特征軌跡的-1 點環(huán)繞次數均為0。當控制器參數發(fā)生改變時，不同特征軌跡到（-1，0）點的距離會發(fā)生改變，此時，依然將參數改變后距離（-1，0）點最近的曲線稱為最小特征軌跡，不影響分析?；谏鲜鲈颍梢缘玫阶钚√卣鬈壽E穩(wěn)定裕度［13］。

推論1（最小特征軌跡穩(wěn)定裕度）：若系統開環(huán)傳遞函數矩陣為L，可將最小特征軌跡λmin（L）到-1點的距離視作該系統穩(wěn)定裕度Sm。

式中：λi(L(jω))為L（jω）的第i個特征值。

顯然，當最小特征軌跡λmin（L）穿越-1 點時，對應于閉環(huán)系統矩陣存在一個在虛軸上的特征值，此時，系統臨界穩(wěn)定。

式（9）中給出的穩(wěn)定裕度是矢量裕度，需要以-1 為圓心作最小特征軌跡的相切圓得到。在穩(wěn)定分析時選取轉子回路反饋系統作為分析對象的另一個優(yōu)勢在于，計算經驗表明當系統處于弱穩(wěn)定時，轉子回路的最小特征軌跡接近實軸部分斜率趨近于0。因此，可以通過取最小特征軌跡上實部為-1 的點近似確定系統的振蕩頻率，該點的虛部為穩(wěn)定裕度的近似值。

2.2 小干擾穩(wěn)定量化分析方法

盡管將系統的穩(wěn)定裕度由行列式簡化為單個特征值，但是系統轉子回路開環(huán)傳遞函數的最小特征軌跡λmin（L）需要經過復雜的計算才能夠獲得，并且根據代數學Abel-Galois 理論，高階矩陣特征值不存在解析解［14-15］，難以解析給出穩(wěn)定裕度與電網參數的關系，不便開展穩(wěn)定分析。而文獻［10］中所提到的相似矩陣法，盡管解析關系簡單，但是適用范圍存在局限性。在分析對角占優(yōu)特性不明顯的系統時，特征值的估計精度不夠。為此，提出一種基于轉子回路特征軌跡靈敏度的小干擾穩(wěn)定分析方法。該方法可以實現定量分析回路參數變化對穩(wěn)定裕度的影響。

不失一般性，假設λ1是L（α）的最小特征值，其中α代表了系統中一個變化的參數，v1、u1是其對應的左、右特征向量，有

兩邊同時對α求導，得到：

將上式寫成微分量的形式，有

式中：Δλ1為最小特征值變化量；ΔL（α）為參數微小變化情況下轉子回路開環(huán)傳遞函數的變化量。

前文中提到可將轉子回路開環(huán)傳遞函數按回路進行如式（7）所示的分解，得到簡單相加的關系式，從而實現對各個回路分別進行分析。結合式（7）和式（13）可以實現不同回路參數改變對于不同模式小干擾穩(wěn)定性影響的定量分析。

上述方法與傳統靈敏度法的不同之處在于，傳統靈敏度法只能定性且籠統地提供單個參數微小變化時特征值的變化方向等信息，而轉子回路經過求偏導后可將各環(huán)節(jié)對穩(wěn)定性的貢獻寫成簡單相加的形式，可以求解不同回路、不同控制器對于穩(wěn)定性的定量影響。由于轉子回路的左、右特征向量比較穩(wěn)定，向量元素值變化很小，可以直接使用式（13）結合原先的穩(wěn)定裕度，定量給出各個回路控制器參數變化后的穩(wěn)定裕度變化量，并且具有很高的精度。

以PSS 相位補償為例。設PSS 的相位為φ，則最小特征值（穩(wěn)定裕度）關于相位的靈敏度為：

從式（2）與式（7）中可知，L（jω）中僅LGQ2項含PSS 相關項，因此，

當PSS 的增益固定時，ΗPSS是φ的隱函數，盡管求不出?ΗPSS/?φ解析的表達式，卻可以根據數值計算的方法求其值。

式（14）取偏差量可得：

式中：ΔΗPSS(φ)為相位變化Δφ后PSS 傳遞函數的變化量。

因此，基于式（17）不難得到PSS 參數變化對于穩(wěn)定裕度的影響ΔSm即為最小特征值變化量Δλ1。

118 節(jié)點系統中，以第1 臺發(fā)電機所安裝的PSS補償相位為例，確定PSS 的最佳補償相位。同時，比較當PSS 在振蕩頻率下取不同相位時，特征軌跡實際穩(wěn)定裕度、相似矩陣法穩(wěn)定裕度以及特征軌跡靈敏度法的變化情況。系統參數設置見附錄B。

從圖2 不難發(fā)現，特征軌跡靈敏度法所給出的穩(wěn)定裕度近似值與實際穩(wěn)定裕度相差很小，所得PSS 最佳補償角度均為50°左右；而相似矩陣法給出的近似值誤差較大，所得到的最佳補償角度25°～30°與真實值存在較大偏差。圖2 中PSS 相角表示0.68 Hz 下的相角。

圖2 不同方法下PSS 最佳補償相位Fig.2 Optimum compensation phases of PSS with different methods

上述算例說明，當系統轉子回路矩陣對角占優(yōu)特性不明顯時，文獻［10］中相似矩陣法得到的穩(wěn)定裕度精度降低，適用范圍存在局限性；而特征軌跡靈敏度法則保證了精度，具有較廣泛的適用性。此外，還對文獻［16］中給出的其余算例進行了相同的測試，得到的結果均佐證了本方法的有效性。

3 基于最小特征軌跡的勵磁模式分析

實際工程經驗表明，PSS 的增益存在上界，當PSS 輸出達到一定值時，會造成勵磁系統的失穩(wěn)，這就是所謂的勵磁模式（exciter mode）［17］。通常PSS增益設置為臨界增益的1/3 時性能最佳［18］。目前求解臨界增益普遍采用的是工程方法：持續(xù)增大PSS增益，當勵磁調節(jié)器的輸出電壓或者轉子電壓開始出現持續(xù)振蕩時，PSS 的增益即為臨界增益［18-19］。針對上述情況，基于最小特征軌跡給出了勵磁模式頻率及PSS 臨界增益的數學推導公式，從理論層面解釋了PSS 增益不能無限增大的原因。

3.1 臨界穩(wěn)定方程及其簡化

根據2.1 節(jié)可知，系統中某PSS 的增益發(fā)生變化時，對應到復平面上轉子回路的開環(huán)傳遞函數矩陣L的最小特征軌跡為一簇曲線；當且僅當PSS 增益達到臨界值時，最小特征軌跡恰好首次穿過-1點，最小模特征值為0。因此，臨界穩(wěn)定時，系統的臨界穩(wěn)定方程為：

根據式（18），即可求解勵磁模式臨界失穩(wěn)時的臨界增益。各類文獻對于勵磁模式振蕩頻率范圍的闡述稍有出入，大致集中在2～8 Hz 之間［17，20］。在該頻段下，轉子回路中的相關矩陣存在一些特殊性質，可根據這些性質將臨界穩(wěn)定方程逐步化簡。

測試發(fā)現，當頻率較大時，轉子回路開環(huán)傳遞函數矩陣L的對角占優(yōu)特性十分明顯。根據蓋爾圓定理（Ger?gorin circle theorem）可知，對于任意一個矩陣，其任意特征值都在行蓋爾圓之中［21-22］。

當L滿足非對角元的值很小時，每行對應的行蓋爾圓的半徑很小，并且任意一行對角元的值遠大于非對角元，基于蓋爾圓定理，可以考慮用L的對角元來近似其特征值，這樣的近似具有足夠高的精度。

不失一般性，假設對全網m臺發(fā)電機中第i臺發(fā)電機所安裝的PSS 求解其臨界增益。結合式（2）至式（4），可知第i臺發(fā)電機PSS 的增益變化只會影響L的第i列元素，從而只會影響到第i個對角元Lii，使之最先穿越-1 點。因此，臨界穩(wěn)定方程（18）可以近似等價為：

式（19）將臨界穩(wěn)定方程從矩陣方程轉化為代數方程，極大地簡化了分析。計算經驗表明，當頻率高于2 Hz 時，GM（jω）值 很 小，且GQ2（jω）?GQ1（jω）。因此，可以忽略GM（jω）和GQ1（jω），得到：

由于M和KD都是對角矩陣，（jωM+KD）-1也是對角矩陣。文獻［6］中提到K1對角元為正，非對角元為負且行和為0，因此，不難看出K1非嚴格對角占優(yōu)［23］；而K2對 角 占 優(yōu)，K3、K6元 素 很 小，GEX（jω）和HPSS（jω）均是對角矩陣，故結合式（2）很容易發(fā)現GQ2（jω）在勵磁模式頻段也是對角占優(yōu)的。綜上所述，L具有很強的對角占優(yōu)特性。

將式（20）進行展開，式（19）可以改寫成：

式中：Mi為對角矩陣M的第i個對角元；KD，i為對角矩陣KD的第i個對角元；K1，ii為K1矩陣的第i個對角元；gQ2，ii為GQ2矩陣的第i個對角元。

Mi、KD，i、K1，ii三 者 皆 為 常 數，可 以 直 接 確 定；gQ2，ii隨頻率變化而改變。下面著重關注GQ2的對角元gQ2，ii的表達式。在式（2）中，由于T′d0和GEX（jω）都是對角矩陣，且當頻率高于2 Hz 時，jωT′d0和GEX（jω）元素的值很大，遠大于K3，可將式（2）中K3相關項忽略，得到：

式（22）中，由于(jωT′d0+GEX(jω)K6)-1是對角占優(yōu)矩陣，且只關注GQ2（jω）矩陣的對角元，在分析時可以忽略非對角元，將其看作一個對角矩陣?？紤] 用jωT′d0+GEX(jω)K6對 角 元 的 倒 數 來 近 似(jωT′d0+GEX(jω)K6)-1的對角元。

將GQ2進行展開，可得到：

則gQ2，ii的表達式為：

記hPSS0，i表示增益為1 時第i臺發(fā)電機PSS 的傳遞函數。假設當第i臺發(fā)電機的PSS 增益為K時系統處于臨界穩(wěn)定。則將式（24）代入式（21）整理可得臨界失穩(wěn)方程為：

忽略KD之后，有

式（26）即為最終的勵磁模式臨界穩(wěn)定方程。定義式（26）等號左邊為勵磁模式臨界穩(wěn)定函數Γ（ω，K）；根據ω=2πf也可以將臨界穩(wěn)定函數轉變?yōu)轭l率形式Γ（f，K），其中，f為頻率。對于一個給定系統，將參數代入（26）后令實部、虛部分別為0 可以得到一個方程組，從而求解系統中各臺發(fā)電機的勵磁模式角頻率ωe及PSS 臨界增益Kc。

3.2 勵磁模式頻率與PSS 臨界增益

式（26）包含了2 個未知數：勵磁模式角頻率ωe與PSS 臨界增益Kc。將該方程改寫為極坐標形式，等號左側共3 項，注意到第1 項和第3 項都只包含實部，且兩項之和為負值，因此要求第2 項為正實數。對第2 項進行極坐標分解，可得：

式中：arg（·）為求相位的函數。

結合式（26）和式（27），可得在勵磁模式臨界失穩(wěn)時幅值和增益分別需要滿足以下2 個方程：

特別地，PSS 的補償角度只對式（30）產生影響 。 由 于 |ωT′d0，i|?|gEX，i K6，ii|， arg(jωT′d0，i+gEX，i K6，ii)≈π/2，當臨界穩(wěn)定時，需要滿足：

在對精度要求不高時，可以用式（30）得到勵磁模式的近似振蕩角頻率。式（29）中只包含一個未知數ω，求解之后可以得到勵磁模式角頻率ωe，將ωe回代入式（28）中求解K可以得到PSS 臨界增益Kc。特別地，當ω=ωe時，式（28）等號右側為常數，等號左側為關于K的正比例函數，不難看出，PSS 的增益并不能無限增大，從而解釋了臨界增益的存在性問題。

4 基于最小特征軌跡的PSS 參數整定

4.1 基于最小特征軌跡的PSS 參數設計

安裝PSS 之前要求選擇合適的參數以保證其具有最優(yōu)的頻率特性，包括相頻特性和幅頻特性：一方面，要求PSS 在低頻振蕩頻段下提供最佳超前角度，從而補償勵磁系統產生的滯后相位［20］；另一方面，要求PSS 在低頻振蕩頻率下達到盡量大的幅值的同時又不至于因為增益過大引起勵磁模式的失穩(wěn)。傳統PSS 由于結構相對簡單，在抑制頻率較低的振蕩模式時的效果并不理想；而新型多頻段穩(wěn)定器PSS4B 盡管可以實現多模態(tài)多頻段的抑制，由于其高控制自由度增加了控制設計的復雜度［24］?；诖?，本文基于最小特征軌跡提出了一種PSS4B 參數的優(yōu)化設計方法。該方法選取系統各振蕩模式的穩(wěn)定裕度加權值作為性能指標，可以兼顧各個運行方式下各種振蕩模式的穩(wěn)定性，并利用理想相頻法的思路確定約束條件，優(yōu)化設計得到的PSS4B 參數能很好地提高系統小干擾穩(wěn)定性。

4.1.1 性能指標

對于一個穩(wěn)定運行的系統，某一時刻系統中某元件參數發(fā)生了變化，導致系統在低頻振蕩模式下的穩(wěn)定裕度減小，原先的PSS 參數已經不再是最優(yōu)參數，需要重新整定一組PSS 參數，保證在新系統下PSS 依舊可以為低頻振蕩提供足夠的阻尼，提高系統的小干擾穩(wěn)定性。

不失一般性，假設λn為L與-1 點距離第n小的特征軌跡，對應第n個模式。設系統共m臺發(fā)電機安裝PSS，令整定參數后的PSS 傳遞函數對角矩陣為HPSS（s）。根據式（3）和式（16），可得該模式的穩(wěn)定裕度為：

式中：λsys為系統除PSS 部分的穩(wěn)定裕度分量，是常數，作為優(yōu)化目標時可以忽略λsys；vn和un分別為模值第n小的特征值對應的左、右特征向量。

實際系統通常需要同時抑制多個弱阻尼振蕩模式。此時，可將系統在這些模式對應頻率處的穩(wěn)定裕度加權和作為性能指標，優(yōu)化目標為：

式中：N為考慮模式數量；ωn為模式n的振蕩角頻率；Wn為模式n的權重。

4.1.2 約束條件

1）相位約束

理想相頻特性法已在實際應用中證明了其有效性，能夠有效抑制本地模式的振蕩［17］。參照文獻［10］可將式（3）中HPVr的對角元相位隨頻率變化情況作為理想相頻特性曲線整定PSS。為此，可以在低頻振蕩頻段內確定一條理想相頻特性曲線，并且所設計的PSS 相頻特性不應偏離其太遠。假設掃頻的角頻率為ω1，ω2，…，ωΩ，HPSS的對角元需滿足相位約束：

式中：ep為相位誤差上界；hPVr，i為HPVr（s）的對角元。

相位約束的引入進一步確保了PSS 在低頻段，尤其是本地模式頻段提供正阻尼，不會惡化本地模式的穩(wěn)定性。

2）參數界限約束

對于不同的PSS，設計時還需要根據實際情況、典型參數等給出所設計參數的上下界約束。以采用中心頻率形式整定的PSS4B［25］為例，要求PSS4B 的參數滿足上下界：

式 中：FL，i、FI，i、FH，i分 別 為 第i臺 發(fā) 電 機PSS4B 低、中、高 各 支 路 的 中 心 頻 率；KL，i、KI，i、KH，i分 別 為 第i臺發(fā)電機PSS4B 低、中、高各支路的增益；TL，i、TI，i、TH，i分別為第i臺發(fā)電機PSS4B 低、中、高各支路各環(huán) 節(jié) 的 時 間 常 數；FL，imax、FL，imin、FI，imax、FI，imin、FH，imax、FH，imin、KL，imax、KL，imin、KI，imax、KI，imin、KH，imax、KH，imin、TL，imax、TL，imin、TI，imax、TI，imin、TH，imax、TH，imin分 別 為 相 應變量的上、下界，根據實際工程要求給出。PSS4B的詳細結構及中心頻率形式整定思路見附錄C。

3）確定臨界增益

式（32）至式（35）構成了PSS 參數設計的優(yōu)化模型，求解該模型可以得到一組提供合適補償相位且具有最優(yōu)幅頻特性的PSS，可以實現對系統中弱阻尼振蕩模式的抑制。若進一步增大PSS 增益，則系統低頻振蕩模式阻尼可得到進一步增強。但為避免勵磁模式失穩(wěn)，PSS 的增益不能無限增大，存在臨界增益。根據式（28）可以求解PSS 的臨界增益Kc以及勵磁模式的振蕩頻率fe。在得到各臺發(fā)電機PSS 臨界增益后，將最終的PSS 增益取為臨界增益的1/3［18］。

4.1.3 設計流程

所提出的基于最小特征軌跡的PSS 參數優(yōu)化方法的具體設計流程如下。

步驟1：在每個弱阻尼模式頻率下計算式（31）得到相應穩(wěn)定裕度，并設置各弱阻尼模式的權重，得到式（32）作為優(yōu)化目標。

步驟2：計算式（3），將HPVr的對角元作為理想相頻特性曲線相位，根據式（3）得到相位約束式（34）。

步驟3：設置PSS4B 各參數的上下界，得到參數界限約束式（35）。

步驟4：用計算機軟件求解式（32）至式（34）構成的優(yōu)化模型。

步驟5：求解式（27），解得各發(fā)電機的臨界增益。將PSS 增益設為臨界增益的1/3，得到最終設計的PSS4B 參數。

4.2 仿真算例

通過四機兩區(qū)域系統以及云南電網仿真算例驗證所提方法的有效性。算例時域仿真與模式分析均在DIgSILENT PowerFactory 環(huán) 境 中 進 行，PSS 優(yōu)化模型的求解使用了MATLAB Optimization Toolbox。

4.2.1 四機兩區(qū)域系統算例

四機兩區(qū)域系統的結構圖在附錄D 中給出。原先系統中存在頻率為0.54 Hz 及1.08 Hz 的2 個振蕩模式。利用4.1.3 節(jié)中的設計流程整定發(fā)電機G1、G2 上安裝的PSS4B 參數，優(yōu)化設計模型及所得參數詳見附錄D。

1 s 時在線路a 上發(fā)生三相短路故障，0.1 s 后故障清除，線路a 上有功功率波形變化如圖3 所示。可以發(fā)現，所設計的PSS4B 增強了振蕩阻尼，提高了系統的小干擾穩(wěn)定性。

圖3 四機兩區(qū)域系統安裝PSS4B 前后系統功率振蕩波形Fig.3 Oscillation curves of system power before and after installing PSS4B in four-unit two-area system

安裝PSS4B 前后系統振蕩模式特征值如表1所示。由表1 可以發(fā)現，設計得到的PSS4B 同時提高了2 個振蕩模式的阻尼，驗證了本文方法的有效性。

表1 四機兩區(qū)域系統安裝PSS4B 前后系統阻尼比Table 1 Damping ratios of system before and after installing PSS4B in four-unit two-area system

4.2.2 云南電網算例

云南電網冬大運行方式下存在0.622、0.678、0.838 Hz 的3 個弱阻尼模式，夏大極限運行方式下存在0.571 Hz 和0.858 Hz 的2 個弱阻尼模式。通過所提出的方法設計PSS4B 參數以同時提高2 種運行方式下的各振蕩模式阻尼比。

根據各振蕩模式下發(fā)電機的參與度選定LY1G、AH4G、LDL1G、SJH1G、XLD10G 這5 臺發(fā)電機安裝PSS4B，利用4.1.3 節(jié)中的設計流程整定5 臺發(fā)電機上安裝的PSS4B 參數，優(yōu)化設計模型及所得參數詳見附錄E。

0.5 s 時發(fā)生三相短路故障，0.1 s 后故障清除。2 種運行方式下功率傳輸線上有功功率波形如圖4所示。圖中：PSS2B 為雙通道PSS。由圖4 可以發(fā)現，所設計的PSS4B 增強了各振蕩模式的阻尼，提高了系統的小干擾穩(wěn)定性。

圖4 云南電網安裝PSS4B 前后系統功率振蕩波形圖Fig.4 Oscillation curves of system power before and after installing PSS4B in Yunnan power grid of China

安裝PSS4B 前后系統振蕩模式特征值變化見表2。由表2 可以發(fā)現，設計得到的PSS4B 能同時提高2 種運行方式下各振蕩模式的阻尼比，且效果優(yōu)于原先所安裝的PSS2B，說明基于本方法設計所得的PSS4B 參數效果良好，從而驗證了本文方法的適用性。

表2 云南電網安裝PSS4B 前后系統阻尼比Table 2 Damping ratios of system before and after installing PSS4B in Yunnan power grid of China

5 結語

本文從頻域角度出發(fā)，基于最小特征軌跡提出了一種穩(wěn)定分析的新思路。相比狀態(tài)空間或者多項式模型，電力系統頻域模型更加簡潔且緊湊，可實現研究對象的簡化。

1）提出了基于最小特征軌跡的小干擾穩(wěn)定性分析法，將開環(huán)傳遞函數矩陣最小特征軌跡到-1 點的距離作為穩(wěn)定裕度，可以將穩(wěn)定裕度表達為不同回路的加和形式，實現了對控制器回路的單獨分析。

2）針對最小特征軌跡所得靈敏度，利用靈敏度法實現了控制器參數改變對穩(wěn)定性影響的定量分析。

3）利用最小特征軌跡從理論層面對勵磁模式進行了數學推導，給出了勵磁模式頻率以及PSS 臨界增益的解析求解方程。

4）以PSS4B 參數為例，給出了基于最小特征軌跡整定方法的一個應用實例，并通過算例證明了該方法的有效性與實用性。

所提出方法基于Heffron-Phillips 模型提出，目前只適用于采用3 階發(fā)電機模型的系統，后續(xù)工作將對更普適的高階模型分析方法展開研究。此外，測試中初步發(fā)現該方法可以在新能源電力系統中推廣應用，下一步將對所提方法在新能源系統中應用的可行性進行驗證。

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。