談數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用

□福建省邵武市熙春小學(xué) 周高平

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中極為重要的數(shù)學(xué)思想方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用，既能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解吸收，又有助于學(xué)生高階思維能力的發(fā)展與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。文章基于對數(shù)形結(jié)合思想方法的認(rèn)識與把握，以小學(xué)數(shù)學(xué)課堂為開展教學(xué)活動(dòng)的主陣地，結(jié)合實(shí)際教學(xué)實(shí)例對數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)算式、數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的有效應(yīng)用展開探究。

一、數(shù)形結(jié)合，精確把握數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中的核心基礎(chǔ)內(nèi)容，與學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言的形成發(fā)展有直接關(guān)系。但由于數(shù)學(xué)概念是一種對數(shù)量關(guān)系、幾何空間形式的概括性反應(yīng)與內(nèi)涵界定，這就使得多數(shù)小學(xué)生在理解與掌握數(shù)學(xué)概念的過程中往往會受數(shù)學(xué)概念抽象性的影響而出現(xiàn)一知半解的情況，進(jìn)而嚴(yán)重影響學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活運(yùn)用。對此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)概念的理解與認(rèn)識的學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，就可采用“以數(shù)釋形”策略引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用簡潔明了、言簡意賅、凝練精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言對圖形的特征、變化、運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)等進(jìn)行表述，以此深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的精確把握。

例如，在北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊教材第二課《認(rèn)識三角形和平行四邊形》教學(xué)時(shí)，為讓學(xué)生對三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、等邊三角形的概念形成精準(zhǔn)且細(xì)致的認(rèn)識，掌握“按角分”“按邊分”兩種三角形分類方法，小學(xué)數(shù)學(xué)教師就可結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想方法為學(xué)生設(shè)計(jì)如下由淺入深、由易到難、層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。

活動(dòng)一：觀察三角形，把握三角形特點(diǎn)。

在課堂教學(xué)中為學(xué)生展示紅領(lǐng)巾、西瓜切片、一片比薩餅、一塊切塊蛋糕等物體的圖片，并向?qū)W生提問：這些物體都包含什么圖形？引導(dǎo)學(xué)生對教學(xué)課件中所展示的物品形狀展開細(xì)致觀察，引導(dǎo)學(xué)生回答出“三角形”。在這之后，教師再利用希沃白板5從上述具體實(shí)物中抽象出三角形這一平面圖形，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言對“三角形”這一圖形的特點(diǎn)展開描述。

有的學(xué)生說“由三條邊首尾相連而組成的圖形是三角形”；有的學(xué)生說“有三個(gè)角的圖形是三角形”；有的學(xué)生說“三角形是由三條線段圍成的圖形”。而為讓學(xué)生對三角形這一圖形的定義形成更為精準(zhǔn)的把握認(rèn)識，小學(xué)數(shù)學(xué)教師就可為學(xué)生展示有A、B、C 三個(gè)頂點(diǎn)的三角形圖像（如圖1 所示），讓學(xué)生在認(rèn)真觀察圖像的基礎(chǔ)上，用AB、BC、CA 三條線段表示三角形的三條邊、用A、B、C 三個(gè)點(diǎn)表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，用∠A、∠B、∠C 表示三角形的三個(gè)角再進(jìn)行三角形定義的描述。由此，學(xué)生便會更加準(zhǔn)確地把握三角形的圖形特征，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)符號將三角形定義為“三角形是由AB、BC、CA 三條線段圍成的圖形，其中，A、B、C是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形有三個(gè)角分別是∠A、∠B、∠C?！?/p>

圖1 三角形ABC

在本次活動(dòng)中，學(xué)生不但通過對生活實(shí)物的觀察、對真實(shí)物體形狀的抽象得到了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象能力的鍛煉，其在觀察三角形圖形，嘗試用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言描述三角形時(shí)，也在潛移默化中得到了數(shù)學(xué)觀察能力與數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的提升，對三角形這一平面圖形的概念也會因此而歷久彌新。

活動(dòng)二：對比三角形，區(qū)分三角形特質(zhì)。

三角形的分類是本課的重難點(diǎn)，尤其是對直觀形象思維依賴性強(qiáng)的四年級小學(xué)生來說，在對三角形進(jìn)行分類時(shí)，多數(shù)學(xué)生都會出現(xiàn)認(rèn)知混淆的問題。對此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想展開教學(xué)活動(dòng)時(shí)，就可以“先按角分，再按邊分”的順序引導(dǎo)學(xué)生展開三角形的對比。

首先，引入鈍角、銳角、直角的相關(guān)知識，讓學(xué)生先區(qū)分各式各樣的角（如圖2所示），復(fù)習(xí)鞏固角知識，清醒地認(rèn)識到直角是等于90°的角、銳角是小于90°的角、鈍角是大于90°的角，溫故知新。

圖2 各式各樣的角

其次，為學(xué)生展示三角形的分類（如圖3所示），鼓勵(lì)學(xué)生以小組合作的方式對在圖中的八個(gè)三角形進(jìn)行分類，并說明理由。

圖3 三角形的分類

由此，學(xué)生按照三角形中的各角，主動(dòng)將圖3中的8個(gè)三角形分為直角三角形③⑤⑦、銳角三角形①④⑥與鈍角三角形①⑧。并在闡述分類理由的過程中，歸納出銳角三角形、鈍角三角形與直角三角形的定義，即：

銳角三角形是三個(gè)角都是銳角的三角形；

鈍角三角形是有一個(gè)角是鈍角的三角形；

直角三角形是有一個(gè)角是直角的三角形。

最后，從圖3中提取出④⑥⑦三個(gè)三角形，并向?qū)W生提問：“這三個(gè)三角形哪里比較特殊？量一量這三個(gè)三角形的三個(gè)邊、測一測這三個(gè)三角形的三個(gè)角，并說說你發(fā)現(xiàn)了什么？”引導(dǎo)學(xué)生對這三個(gè)三角形展開實(shí)際動(dòng)手測量，促使學(xué)生在實(shí)際動(dòng)手中感知到等腰三角形兩條邊相等、等邊三角形三條邊相等的特殊性，并形成圖形概念。

在這一過程中，學(xué)生通過對三角形的有效分類不但建立起了精準(zhǔn)、明確的三角形概念，掌握了按角分類與按邊分類兩種三角形分類方法，其在動(dòng)手繪制與測量等腰銳角三角形、等腰鈍角三角形與等腰直角三角形的過程中也自主總結(jié)歸納出了三角形內(nèi)角和等于180°這一數(shù)學(xué)定理，對三角形這部分幾何圖形內(nèi)容的記憶與把握也會更加深刻。如此的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)，既讓學(xué)生充分感知與體驗(yàn)到了數(shù)形結(jié)合思想方法的樂趣所在與實(shí)用價(jià)值，也讓學(xué)生通過對圖形特征的觀察、對數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用得到了數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)表達(dá)以及數(shù)學(xué)思維的鍛煉與提升，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然也會因此而實(shí)現(xiàn)穩(wěn)步發(fā)展。

二、數(shù)形結(jié)合，讓計(jì)算過程更嚴(yán)謹(jǐn)

計(jì)算與運(yùn)算是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程所需把握的重要內(nèi)容，同時(shí)也是學(xué)生展開數(shù)學(xué)問題解題活動(dòng)的前提條件。因此，為讓學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力得到穩(wěn)定提高，計(jì)算思維更加嚴(yán)謹(jǐn)理性，小學(xué)數(shù)學(xué)教師就要針對小學(xué)生的思維特點(diǎn)，用“形”的直觀形象詮釋“數(shù)”的抽象復(fù)雜，以此來讓學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)計(jì)算的原理與內(nèi)涵，為其學(xué)以致用、觸類旁通做鋪墊。

例如，在教學(xué)北師大小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊教材“分?jǐn)?shù)乘法”一課時(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師就可以深化學(xué)生分?jǐn)?shù)與整數(shù)乘法含義理解、加深學(xué)生分?jǐn)?shù)與整數(shù)乘法計(jì)算方法印象為目的利用數(shù)形結(jié)合思想展開分?jǐn)?shù)乘法教學(xué)實(shí)踐。

首先，向?qū)W生出示問題“齊齊早餐吃了6 塊餅干，笑笑在早餐時(shí)吃的餅干數(shù)是齊齊的，那么笑笑吃了多少塊餅干？”，并讓學(xué)生在讀題后根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系自主列式隨后提問“算式中的6與分別表示什么？你們能以畫圖的方式表示出這個(gè)算式的含義嗎？”，促使學(xué)生從餅干這一物體中抽象出圓形，發(fā)揮想象與聯(lián)想進(jìn)行畫圖（如圖4、圖5 所示），并鼓勵(lì)學(xué)生說出自己的想法，初步感知整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘的運(yùn)算原理。

圖4 6塊餅干的

圖5 6個(gè)塊餅干

最后，引導(dǎo)學(xué)生觀察上述兩次的畫圖結(jié)果，并思考“3 與4 是如何得來的？與齊齊所吃的6 塊餅干有怎樣的關(guān)系？與兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與分子有怎樣的關(guān)系？根據(jù)上述四幅圖中的結(jié)果，如何用數(shù)學(xué)算式表示出的計(jì)算過程？”以此來促使學(xué)生通過小組討論、主動(dòng)遷移運(yùn)用分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)梳理出分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算過程：

在本次數(shù)形結(jié)合分?jǐn)?shù)乘整數(shù)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，學(xué)生通過繪制6塊餅干的抽象圖形，以不同的方式表示6塊餅干的與的圖像表示方法，不但將抽象、復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法算式含義與繁瑣、枯燥的思維過程轉(zhuǎn)化為易理解、易操作、易掌握的圖形，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重難點(diǎn)與思維定式問題的有效突破。更為重要的是，學(xué)生在以圖形解析分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的含義、解構(gòu)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的過程中也對分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的完成計(jì)算步驟形成了清晰的理解把握。這樣一來，學(xué)生在日后運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法解決分?jǐn)?shù)乘整數(shù)數(shù)學(xué)問題的過程中便不會出現(xiàn)因計(jì)算步驟不完整、計(jì)算過程不嚴(yán)謹(jǐn)而“失分”的情況，數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果也會因此而更加準(zhǔn)確。

三、數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)解題策略更有效

數(shù)形結(jié)合是一種應(yīng)用范圍廣、實(shí)用價(jià)值高的數(shù)學(xué)思想方法，可應(yīng)用到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)之中。另外，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對問題進(jìn)行分析與探究，同樣也能夠讓學(xué)生的解題思路更加清晰流暢，解題策略更加精準(zhǔn)有效。這對提升學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐能力的發(fā)展所起到的積極影響與促進(jìn)作用也是非比尋常的。

例如，在北師大小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊第一課《圓柱與圓錐》教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探究“制作一個(gè)底面直徑為30cm，長為60cm 圓柱形通風(fēng)管，至少需要多少平方厘米鐵皮材料？”這一與圓柱表面積計(jì)算有關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師就可引導(dǎo)學(xué)生從生活出發(fā)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形。

通風(fēng)管多應(yīng)用于日常生活生產(chǎn)之中，是一種“上下通達(dá)”的物體。因此，在計(jì)算制作通風(fēng)管材料面積的過程中，可以排除通風(fēng)管的頂蓋與底蓋，僅計(jì)算通風(fēng)管的側(cè)面積。

假設(shè)沿通風(fēng)管的高將通風(fēng)管剪開，那么它的展開圖便是一個(gè)寬為60cm，長為30πcm的長方形（如圖6所示），根據(jù)長方形面積計(jì)算公式，便可求出制作一個(gè)通風(fēng)管所需的鐵皮材料為

圖6 通風(fēng)管展開圖

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，將數(shù)形結(jié)合思想方法合理地滲透與融入學(xué)生數(shù)學(xué)問題分析與探究過程中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直觀形象的幾何圖形對抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號、數(shù)字進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不但能夠讓學(xué)生從更為全面、更為深入的層次角度上對數(shù)學(xué)問題展開多元分析，其在結(jié)合具體圖形探究問題的過程中，也會更加精準(zhǔn)地把握到針對性的解題方案與解題思路。由此，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題便會因數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用實(shí)踐而得到破解，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就與學(xué)習(xí)體驗(yàn)也會就此而得到增強(qiáng)與深化。

四、結(jié)語

總而言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想理解數(shù)學(xué)概念、梳理數(shù)學(xué)算式、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題，不但能夠有效地削弱數(shù)學(xué)課程知識的抽象性與復(fù)雜性，增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感悟，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，對學(xué)生問題解決能力、高階思維能力的養(yǎng)成以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展提升同樣也具有深遠(yuǎn)意義與積極影響。因此，當(dāng)代小學(xué)數(shù)學(xué)教師就必須秉承“授人以魚不如授人以漁”的思想觀念，在實(shí)際的課堂教學(xué)實(shí)踐中重視起多元數(shù)學(xué)思想方法的合理滲透與有效融入，以此來讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)“知其然，知其所以然”的深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。