魏文清 劉 放 鄭雪楷 楊 言
西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610031
隧道施工環(huán)境復(fù)雜多樣,在險(xiǎn)峻地形下作業(yè)難免會(huì)遇到極大安全風(fēng)險(xiǎn)[1]。為應(yīng)對(duì)隧道的復(fù)雜工況,施工作業(yè)機(jī)械臂被廣泛引入到施工一線[2]。當(dāng)前,高負(fù)載下的工程作業(yè)機(jī)械臂存在控制精度不足、冗余質(zhì)量過(guò)高等問(wèn)題,為了實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂更高的控制精度,首先要實(shí)現(xiàn)更可靠的機(jī)械臂結(jié)構(gòu),需要在靜剛度、強(qiáng)度滿足許用要求的情況下?lián)碛懈玫慕孛鎱?shù),以實(shí)現(xiàn)更精確的控制[3]。
在目前的結(jié)構(gòu)件設(shè)計(jì)中,以經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)向的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)依然處于設(shè)計(jì)方法的主要地位[4]。為此,對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)難以得出結(jié)構(gòu)截面參數(shù)與實(shí)際所需優(yōu)化目標(biāo)的顯式表達(dá)式問(wèn)題,由Box GEP等[5]提出的響應(yīng)面方法(RSM)逐步成為一種行之有效的設(shè)計(jì)思路;孫喜龍等[6]利用響應(yīng)面方法優(yōu)化了轎車車身防撞性能;劉德仿等[7]利用響應(yīng)面方法對(duì)噴印機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。
目前,運(yùn)用響應(yīng)面分析模型優(yōu)化機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法被越來(lái)越多地運(yùn)用于工程實(shí)際問(wèn)題中,對(duì)響應(yīng)面模型求解在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中成為不可或缺的一環(huán)。隨著各類智能算法的發(fā)展,利用智能優(yōu)化算法求解多變量非線性優(yōu)化問(wèn)題亦成為趨勢(shì)。包世剛等[8]利用多目標(biāo)遺傳算法求解動(dòng)車組水箱的響應(yīng)面模型提出了復(fù)雜模型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。
在目前的機(jī)械臂設(shè)計(jì)中,利用經(jīng)驗(yàn)公式與仿真試驗(yàn)結(jié)合的方法已無(wú)法滿足實(shí)際需要,故而利用響應(yīng)面方法建立數(shù)學(xué)模型并結(jié)合智能算法的求解是大勢(shì)所趨。
傳統(tǒng)響應(yīng)面方法一般用于優(yōu)化設(shè)計(jì)中,即通過(guò)合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法解決目標(biāo)的建立、約束與設(shè)計(jì)變量之間的近似函數(shù)等問(wèn)題。其實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)概括如下:
1)在某個(gè)樣本點(diǎn)(高維空間的點(diǎn))做實(shí)驗(yàn),其中1組設(shè)計(jì)變量x=(x1,x2,…,xn)T為一個(gè)樣本點(diǎn),得到1個(gè)未知性能的結(jié)果(即樣本值)。
2)為了得到未知性能相應(yīng)的函數(shù),1個(gè)樣本值遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,欲取多個(gè)樣本點(diǎn)就要涉及1組樣本點(diǎn)在高維空間中的排放問(wèn)題,即實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。其基本理論為:對(duì)于未知的待求性能函數(shù)y=y(tǒng)(x)難以找出準(zhǔn)確表達(dá)式,但對(duì)于給定的參數(shù)點(diǎn)或設(shè)計(jì)點(diǎn)則可通過(guò)實(shí)體或數(shù)值實(shí)驗(yàn)得到相應(yīng)性能值y j=y(tǒng)(x(j)),這是對(duì)應(yīng)相應(yīng)參數(shù)點(diǎn)或設(shè)計(jì)值的一個(gè)響應(yīng)值。
因此,對(duì)于足夠多的實(shí)驗(yàn)(如m個(gè)實(shí)驗(yàn)),即可利用m個(gè)樣本點(diǎn)及其所產(chǎn)生的m個(gè)響應(yīng)(即性能的樣本值),利用待定系數(shù)的方法求出函數(shù)y=y(tǒng)(x)的近似函數(shù),即
式中:為待構(gòu)造的響應(yīng)面函數(shù),f(x)為性能函數(shù),ε為誤差項(xiàng)。
一般地,采用含交叉項(xiàng)的二次型函數(shù)可表示為
式中:α0為常數(shù)項(xiàng)待定系數(shù)αj為一次項(xiàng)待定系數(shù),αij為二次項(xiàng)待定系數(shù),βi為待定系數(shù)。
當(dāng)?shù)諗繒r(shí),傳統(tǒng)響應(yīng)面優(yōu)化方法存在約束在當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)(中心點(diǎn))不能嚴(yán)格滿足約束條件的問(wèn)題。因此,傳統(tǒng)響應(yīng)面方法在中心設(shè)計(jì)點(diǎn)擬合值不精確,現(xiàn)采用通過(guò)中心展開(kāi)點(diǎn)的改進(jìn)響應(yīng)面模型[9]。對(duì)機(jī)械臂優(yōu)化問(wèn)題建立通過(guò)中心展開(kāi)點(diǎn)的改進(jìn)響應(yīng)面模型,其基本思想有2點(diǎn):
1)在實(shí)驗(yàn)點(diǎn)中選取一點(diǎn)x(0),響應(yīng)面函數(shù)在該點(diǎn)取值等于實(shí)驗(yàn)值y(0),即[x(0)]=y(tǒng)(0),稱該點(diǎn)為中心展開(kāi)點(diǎn);
2)響應(yīng)面函數(shù)在其余m-1個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的取值與實(shí)驗(yàn)值的誤差滿足最小二乘法的原則。將中心展開(kāi)點(diǎn)代入式(2)可得
將式(3)代入式(2)可得
定義響應(yīng)面函數(shù)值與真實(shí)值之間的誤差ε=(ε1,ε1,…,εm-1)T表示為
對(duì)其他實(shí)驗(yàn)點(diǎn)做最小二乘擬合,可得
由駐值條件得到
將其以矩陣形式表示為
得到解為
將其代入式(3)求得β0,將β0代入響應(yīng)面函數(shù)可得通過(guò)中心展開(kāi)點(diǎn)的響應(yīng)面模型為
采用多目標(biāo)非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)求解響應(yīng)面模型,其優(yōu)勢(shì)在于將非支配分類程序引入,通過(guò)將多個(gè)目標(biāo)簡(jiǎn)化為單個(gè)適應(yīng)度函數(shù)的評(píng)價(jià)方式[10]。與傳統(tǒng)的遺傳算法相比,該算法的優(yōu)勢(shì)是在選擇算子執(zhí)行前依據(jù)個(gè)體間的支配關(guān)系對(duì)種群進(jìn)行分層排序。在進(jìn)行支配關(guān)系排序后,將非支配個(gè)體作為一類處理來(lái)共享虛擬適應(yīng)度值,進(jìn)而對(duì)種群剩余個(gè)體分級(jí)并賦予相應(yīng)虛擬適應(yīng)度函數(shù)值。其優(yōu)化流程如圖1所示。
圖1 多目標(biāo)非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)優(yōu)化流程
液壓重載機(jī)械臂為六自由度多關(guān)節(jié)機(jī)器人,其結(jié)構(gòu)如圖2所示。液壓重載機(jī)械臂主要由轉(zhuǎn)臺(tái)、二級(jí)伸縮臂、折臂回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、折臂、飛臂及末端執(zhí)行器等組成,由液壓驅(qū)動(dòng),含有2個(gè)液壓馬達(dá)、變幅液壓缸、伸縮液壓缸、折臂液壓缸、飛臂液壓缸。其中,初級(jí)回轉(zhuǎn)支承、折臂回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)均為內(nèi)外圈結(jié)構(gòu)的回轉(zhuǎn)減速器的結(jié)構(gòu)形式,采用液壓馬達(dá)和蝸桿蝸輪驅(qū)動(dòng),具有自鎖功能?;剞D(zhuǎn)支承外圈固定安裝于車架頂面。
圖2 液壓重載機(jī)械臂結(jié)構(gòu)
在液壓重載機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,主要承力的部件為二級(jí)伸縮臂部分,為此本次著重構(gòu)建重載機(jī)械臂二級(jí)伸縮臂的參數(shù)模型,基于此模型建立響應(yīng)面模型并最終完成優(yōu)化。
二級(jí)伸縮臂在變幅平面內(nèi)進(jìn)行受力分析時(shí),不僅需要考慮伸縮臂及其后端負(fù)載對(duì)二級(jí)伸縮臂臂架結(jié)構(gòu)的彎矩載荷,也應(yīng)考慮回轉(zhuǎn)平面內(nèi)折臂、飛臂和抓取重物對(duì)二級(jí)伸縮臂的扭矩載荷。在二級(jí)伸縮臂外伸展開(kāi)過(guò)程中,一節(jié)臂與二節(jié)臂之間的重疊部分逐漸減少,二節(jié)臂外伸至最遠(yuǎn)端時(shí)的重疊面積最小,存在相互脫離趨勢(shì),會(huì)產(chǎn)生危險(xiǎn)截面。
為了保證整體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度,伸縮臂主體材料采用Q460高強(qiáng)度鋼,材料的彈性模量為210 GPa,泊松比為0.33,密度為7 850 kg/m3,屈服極限為460 MPa。
1)建立理論模型
伸縮臂截面如圖3所示,圖中的i=1、2,表示二節(jié)臂。伸縮臂整體受力如圖4所示,截面對(duì)Z軸整體的慣性矩為
圖3 臂截面圖
圖4 伸縮臂整體受力圖
式中:Ai為二節(jié)臂的截面,y為Y方向的坐標(biāo)。
二級(jí)伸縮臂各截面關(guān)系圖如圖5所示,圖中的ai、bi分別為滑塊i的厚度、寬度,c1、c2分別為一節(jié)臂與二節(jié)臂的臂厚。
圖5 截面關(guān)系圖
2)確定二級(jí)伸縮臂的危險(xiǎn)截面
對(duì)二級(jí)伸縮臂進(jìn)行理論力學(xué)分析可得最大彎矩為
式中:F31為液壓桿支撐力,F(xiàn)21為第2節(jié)臂對(duì)第1節(jié)臂的作用力,F(xiàn)12為第1節(jié)臂對(duì)第2節(jié)臂的作用力,L12為一節(jié)臂與二節(jié)臂重合長(zhǎng)度,L1為第1節(jié)臂長(zhǎng)度。
由此可見(jiàn),伸縮臂的危險(xiǎn)截面出現(xiàn)在第1節(jié)臂與第2節(jié)臂重合處,故對(duì)此危險(xiǎn)截面處設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。
選定伸縮臂危險(xiǎn)截面各設(shè)計(jì)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量,即有
優(yōu)化目標(biāo)是使二級(jí)伸縮臂質(zhì)量在條件允許范圍內(nèi)達(dá)到最小值,即
根據(jù)GB/T 3811—2008《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范》分別設(shè)定優(yōu)化約束條件,最大等效應(yīng)力不超過(guò)許用應(yīng)力,即δ=377 MPa;最大變形量不超過(guò)7 mm,故二級(jí)伸縮臂的多目標(biāo)優(yōu)化模型可表述為
式中:X為設(shè)計(jì)變量,f(x)為最大等效應(yīng)力,l(x)為最大變形量。
為在極少試驗(yàn)下得到較高精度的響應(yīng)面方程,現(xiàn)采用拉丁超立方設(shè)計(jì)(latin hypercube sampling)[11]來(lái)生成坐標(biāo)點(diǎn),如圖6所示。
圖6 隨機(jī)拉丁超立方
在一個(gè)設(shè)計(jì)空間中抽取n個(gè)樣本,每一個(gè)樣本由m個(gè)分量組成,將每個(gè)分量的取值范圍均分為n個(gè),這樣便可將這n個(gè)樣本均勻地投放入設(shè)計(jì)空間內(nèi)。當(dāng)投放樣本時(shí),既要滿足每一個(gè)樣本點(diǎn)在小區(qū)間內(nèi)均勻分布,也要滿足所有樣本點(diǎn)被投影到任意一維時(shí)每個(gè)區(qū)間樣本點(diǎn)有且唯一。本方法與全因子設(shè)計(jì)法相比,在設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)增加時(shí),設(shè)計(jì)點(diǎn)數(shù)量并不會(huì)呈指數(shù)形式上升,抽樣效率較高。
根據(jù)材料的特性參數(shù),選取對(duì)二節(jié)伸縮機(jī)械臂影響最大的結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量,包括伸縮臂截面寬P1、伸縮臂截面長(zhǎng)P2、板厚P3、上滑塊厚P4、上滑塊寬P5、側(cè)滑塊厚P6、側(cè)滑塊寬P7等。尋找這一設(shè)計(jì)變量組合對(duì)整體結(jié)構(gòu)的影響趨勢(shì),即可求得響應(yīng)面,實(shí)現(xiàn)對(duì)整體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。利用拉丁超立方設(shè)計(jì)方法針對(duì)這7個(gè)設(shè)計(jì)變量與3個(gè)響應(yīng)設(shè)計(jì)了28組試驗(yàn),試驗(yàn)方案與結(jié)果如表1所示。
表1 設(shè)計(jì)變量及取值范圍 mm
由于復(fù)相關(guān)系數(shù)R2存在缺陷[12],即回歸方程中自變量個(gè)數(shù)增加時(shí),可能存在的冗余參數(shù)會(huì)提高R2的值,使得復(fù)相關(guān)系數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)估回歸方程的逼近程度,現(xiàn)采用修正的復(fù)相關(guān)系數(shù)R2adj來(lái)判斷響應(yīng)面的擬合程度,此時(shí)當(dāng)參數(shù)個(gè)數(shù)增加時(shí),R2adj不會(huì)隨之增加。其計(jì)算公式為
式中:m為樣本點(diǎn)矩陣的行數(shù),k為參數(shù)個(gè)數(shù),yi為響應(yīng)值;i為響應(yīng)估計(jì)值;為響應(yīng)均值。
對(duì)表1試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算評(píng)估以確定函數(shù)擬合情況,計(jì)算結(jié)果如表2所示。
表2 拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)
續(xù)接表2
由表3數(shù)據(jù)可知,3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的修正復(fù)相關(guān)系數(shù)分別為0.9989、1、1。由圖7所示目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面預(yù)測(cè)圖可知,對(duì)于這3個(gè)目標(biāo)函數(shù),其預(yù)測(cè)值與計(jì)算值的關(guān)系曲線接近45°曲線,預(yù)測(cè)較為準(zhǔn)確,與復(fù)相關(guān)系數(shù)吻合。本文中所有復(fù)相關(guān)修正系數(shù)均大于工程所需0.9的標(biāo)準(zhǔn),且最大變形量與目標(biāo)總質(zhì)量的觀測(cè)點(diǎn)可完全落在回歸方程所確定的曲面上。由此可以看出,改進(jìn)的響應(yīng)面方法具有更好擬合水平,響應(yīng)面可以較好地預(yù)測(cè)各設(shè)計(jì)變量的真實(shí)值,故可采用本響應(yīng)面模型。
表3 響應(yīng)面復(fù)相關(guān)系數(shù)分析
圖7 目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面預(yù)測(cè)圖
采用多目標(biāo)非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)求解式(9)所示響應(yīng)面模型,可以得到多個(gè)Pareto解。
對(duì)于該機(jī)械臂的各目標(biāo)優(yōu)化中,各目標(biāo)相互耦合,由此無(wú)法同時(shí)得到各目標(biāo)的最優(yōu)值。因此,需要對(duì)各優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行判斷權(quán)衡,以選取各目標(biāo)的最佳平衡點(diǎn),而表3所示的3組解在整個(gè)解域中為不同的優(yōu)勢(shì)解。
由于本次優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)為質(zhì)量輕量化,故選取候選點(diǎn)1為Pareto最優(yōu)解。對(duì)候選點(diǎn)1進(jìn)行圓整,以圓整后的值作為二級(jí)伸縮臂的最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn),對(duì)該參數(shù)下的機(jī)械臂受載情況進(jìn)行仿真分析,得出如表4所示優(yōu)化解。
表4 Pareto候選解數(shù)據(jù)
對(duì)比優(yōu)化前后的二級(jí)伸縮臂(見(jiàn)表5),響應(yīng)面預(yù)測(cè)值與材料力學(xué)仿真分析值較為接近,表面響應(yīng)面擬合隱函數(shù)精度較高;結(jié)構(gòu)尺寸得到了優(yōu)化,二級(jí)伸縮臂質(zhì)量減輕了12.9%,伸縮臂最大應(yīng)力與最大變形量均處于材料許用范圍內(nèi)。
表5 優(yōu)化前后對(duì)比
1)利用基于中心展開(kāi)點(diǎn)的響應(yīng)面方法獲得比傳統(tǒng)響應(yīng)面方法更精確的響應(yīng)面擬合值,減少了多目標(biāo)優(yōu)化過(guò)程的優(yōu)化時(shí)間。
2)采用拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)可以相對(duì)較少的實(shí)驗(yàn)數(shù)目設(shè)計(jì)完成較高精度的響應(yīng)面模型,可在將各參數(shù)對(duì)模型力學(xué)參數(shù)影響的非顯性關(guān)系可視化,為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題提供更好地幫助。
3)運(yùn)用改進(jìn)型響應(yīng)面方法與遺傳算法相結(jié)合對(duì)二級(jí)伸縮臂系統(tǒng)的力學(xué)性能的優(yōu)化效果較好,可用于二級(jí)伸縮臂部分板件厚度組合的確定。