基于RSM和NSGA-Ⅱ法的重載機(jī)械臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

魏文清 劉 放 鄭雪楷 楊 言

西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610031

0 引言

隧道施工環(huán)境復(fù)雜多樣，在險(xiǎn)峻地形下作業(yè)難免會(huì)遇到極大安全風(fēng)險(xiǎn)[1]。為應(yīng)對(duì)隧道的復(fù)雜工況，施工作業(yè)機(jī)械臂被廣泛引入到施工一線[2]。當(dāng)前，高負(fù)載下的工程作業(yè)機(jī)械臂存在控制精度不足、冗余質(zhì)量過(guò)高等問(wèn)題，為了實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂更高的控制精度，首先要實(shí)現(xiàn)更可靠的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)，需要在靜剛度、強(qiáng)度滿足許用要求的情況下?lián)碛懈玫慕孛鎱?shù)，以實(shí)現(xiàn)更精確的控制[3]。

在目前的結(jié)構(gòu)件設(shè)計(jì)中，以經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)向的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)依然處于設(shè)計(jì)方法的主要地位[4]。為此，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)難以得出結(jié)構(gòu)截面參數(shù)與實(shí)際所需優(yōu)化目標(biāo)的顯式表達(dá)式問(wèn)題，由Box GEP等[5]提出的響應(yīng)面方法（RSM）逐步成為一種行之有效的設(shè)計(jì)思路；孫喜龍等[6]利用響應(yīng)面方法優(yōu)化了轎車車身防撞性能；劉德仿等[7]利用響應(yīng)面方法對(duì)噴印機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。

目前，運(yùn)用響應(yīng)面分析模型優(yōu)化機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法被越來(lái)越多地運(yùn)用于工程實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)響應(yīng)面模型求解在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中成為不可或缺的一環(huán)。隨著各類智能算法的發(fā)展，利用智能優(yōu)化算法求解多變量非線性優(yōu)化問(wèn)題亦成為趨勢(shì)。包世剛等[8]利用多目標(biāo)遺傳算法求解動(dòng)車組水箱的響應(yīng)面模型提出了復(fù)雜模型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

在目前的機(jī)械臂設(shè)計(jì)中，利用經(jīng)驗(yàn)公式與仿真試驗(yàn)結(jié)合的方法已無(wú)法滿足實(shí)際需要，故而利用響應(yīng)面方法建立數(shù)學(xué)模型并結(jié)合智能算法的求解是大勢(shì)所趨。

1 液壓重載機(jī)械臂優(yōu)化方法

1.1 傳統(tǒng)響應(yīng)面優(yōu)化方法

傳統(tǒng)響應(yīng)面方法一般用于優(yōu)化設(shè)計(jì)中，即通過(guò)合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法解決目標(biāo)的建立、約束與設(shè)計(jì)變量之間的近似函數(shù)等問(wèn)題。其實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)概括如下：

1）在某個(gè)樣本點(diǎn)(高維空間的點(diǎn))做實(shí)驗(yàn)，其中1組設(shè)計(jì)變量x＝(x1，x2，…，xn)T為一個(gè)樣本點(diǎn)，得到1個(gè)未知性能的結(jié)果(即樣本值)。

2）為了得到未知性能相應(yīng)的函數(shù)，1個(gè)樣本值遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，欲取多個(gè)樣本點(diǎn)就要涉及1組樣本點(diǎn)在高維空間中的排放問(wèn)題，即實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。其基本理論為：對(duì)于未知的待求性能函數(shù)y＝y(tǒng)(x)難以找出準(zhǔn)確表達(dá)式，但對(duì)于給定的參數(shù)點(diǎn)或設(shè)計(jì)點(diǎn)則可通過(guò)實(shí)體或數(shù)值實(shí)驗(yàn)得到相應(yīng)性能值y j＝y(tǒng)(x(j))，這是對(duì)應(yīng)相應(yīng)參數(shù)點(diǎn)或設(shè)計(jì)值的一個(gè)響應(yīng)值。

因此，對(duì)于足夠多的實(shí)驗(yàn)（如m個(gè)實(shí)驗(yàn)），即可利用m個(gè)樣本點(diǎn)及其所產(chǎn)生的m個(gè)響應(yīng)（即性能的樣本值），利用待定系數(shù)的方法求出函數(shù)y＝y(tǒng)(x)的近似函數(shù)，即

式中：為待構(gòu)造的響應(yīng)面函數(shù)，f(x)為性能函數(shù)，ε為誤差項(xiàng)。

一般地，采用含交叉項(xiàng)的二次型函數(shù)可表示為

式中：α0為常數(shù)項(xiàng)待定系數(shù)αj為一次項(xiàng)待定系數(shù)，αij為二次項(xiàng)待定系數(shù)，βi為待定系數(shù)。

1.2 通過(guò)中心展開(kāi)點(diǎn)的改進(jìn)響應(yīng)面優(yōu)化方法

當(dāng)?shù)諗繒r(shí)，傳統(tǒng)響應(yīng)面優(yōu)化方法存在約束在當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)（中心點(diǎn)）不能嚴(yán)格滿足約束條件的問(wèn)題。因此，傳統(tǒng)響應(yīng)面方法在中心設(shè)計(jì)點(diǎn)擬合值不精確，現(xiàn)采用通過(guò)中心展開(kāi)點(diǎn)的改進(jìn)響應(yīng)面模型[9]。對(duì)機(jī)械臂優(yōu)化問(wèn)題建立通過(guò)中心展開(kāi)點(diǎn)的改進(jìn)響應(yīng)面模型，其基本思想有2點(diǎn)：

1）在實(shí)驗(yàn)點(diǎn)中選取一點(diǎn)x(0)，響應(yīng)面函數(shù)在該點(diǎn)取值等于實(shí)驗(yàn)值y(0)，即[x(0)]＝y(tǒng)(0)，稱該點(diǎn)為中心展開(kāi)點(diǎn)；

2）響應(yīng)面函數(shù)在其余m-1個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的取值與實(shí)驗(yàn)值的誤差滿足最小二乘法的原則。將中心展開(kāi)點(diǎn)代入式（2）可得

將式（3）代入式（2）可得

定義響應(yīng)面函數(shù)值與真實(shí)值之間的誤差ε=（ε1，ε1，…，εm-1）T表示為

對(duì)其他實(shí)驗(yàn)點(diǎn)做最小二乘擬合，可得

由駐值條件得到

將其以矩陣形式表示為

得到解為

將其代入式（3）求得β0，將β0代入響應(yīng)面函數(shù)可得通過(guò)中心展開(kāi)點(diǎn)的響應(yīng)面模型為

1.3 多目標(biāo)非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）

采用多目標(biāo)非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)求解響應(yīng)面模型，其優(yōu)勢(shì)在于將非支配分類程序引入，通過(guò)將多個(gè)目標(biāo)簡(jiǎn)化為單個(gè)適應(yīng)度函數(shù)的評(píng)價(jià)方式[10]。與傳統(tǒng)的遺傳算法相比，該算法的優(yōu)勢(shì)是在選擇算子執(zhí)行前依據(jù)個(gè)體間的支配關(guān)系對(duì)種群進(jìn)行分層排序。在進(jìn)行支配關(guān)系排序后，將非支配個(gè)體作為一類處理來(lái)共享虛擬適應(yīng)度值，進(jìn)而對(duì)種群剩余個(gè)體分級(jí)并賦予相應(yīng)虛擬適應(yīng)度函數(shù)值。其優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 多目標(biāo)非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)優(yōu)化流程

2 液壓重載機(jī)械臂優(yōu)化模型構(gòu)造

2.1 液壓重載機(jī)械臂構(gòu)組成

液壓重載機(jī)械臂為六自由度多關(guān)節(jié)機(jī)器人，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。液壓重載機(jī)械臂主要由轉(zhuǎn)臺(tái)、二級(jí)伸縮臂、折臂回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、折臂、飛臂及末端執(zhí)行器等組成，由液壓驅(qū)動(dòng)，含有2個(gè)液壓馬達(dá)、變幅液壓缸、伸縮液壓缸、折臂液壓缸、飛臂液壓缸。其中，初級(jí)回轉(zhuǎn)支承、折臂回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)均為內(nèi)外圈結(jié)構(gòu)的回轉(zhuǎn)減速器的結(jié)構(gòu)形式，采用液壓馬達(dá)和蝸桿蝸輪驅(qū)動(dòng)，具有自鎖功能?；剞D(zhuǎn)支承外圈固定安裝于車架頂面。

圖2 液壓重載機(jī)械臂結(jié)構(gòu)

在液壓重載機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，主要承力的部件為二級(jí)伸縮臂部分，為此本次著重構(gòu)建重載機(jī)械臂二級(jí)伸縮臂的參數(shù)模型，基于此模型建立響應(yīng)面模型并最終完成優(yōu)化。

2.2 液壓重載機(jī)械臂力學(xué)模型分析

二級(jí)伸縮臂在變幅平面內(nèi)進(jìn)行受力分析時(shí)，不僅需要考慮伸縮臂及其后端負(fù)載對(duì)二級(jí)伸縮臂臂架結(jié)構(gòu)的彎矩載荷，也應(yīng)考慮回轉(zhuǎn)平面內(nèi)折臂、飛臂和抓取重物對(duì)二級(jí)伸縮臂的扭矩載荷。在二級(jí)伸縮臂外伸展開(kāi)過(guò)程中，一節(jié)臂與二節(jié)臂之間的重疊部分逐漸減少，二節(jié)臂外伸至最遠(yuǎn)端時(shí)的重疊面積最小，存在相互脫離趨勢(shì)，會(huì)產(chǎn)生危險(xiǎn)截面。

為了保證整體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，伸縮臂主體材料采用Q460高強(qiáng)度鋼，材料的彈性模量為210 GPa，泊松比為0.33，密度為7 850 kg/m3，屈服極限為460 MPa。

1）建立理論模型

伸縮臂截面如圖3所示，圖中的i＝1、2，表示二節(jié)臂。伸縮臂整體受力如圖4所示，截面對(duì)Z軸整體的慣性矩為

圖3 臂截面圖

圖4 伸縮臂整體受力圖

式中：Ai為二節(jié)臂的截面，y為Y方向的坐標(biāo)。

二級(jí)伸縮臂各截面關(guān)系圖如圖5所示，圖中的ai、bi分別為滑塊i的厚度、寬度，c1、c2分別為一節(jié)臂與二節(jié)臂的臂厚。

圖5 截面關(guān)系圖

2）確定二級(jí)伸縮臂的危險(xiǎn)截面

對(duì)二級(jí)伸縮臂進(jìn)行理論力學(xué)分析可得最大彎矩為

式中：F31為液壓桿支撐力，F(xiàn)21為第2節(jié)臂對(duì)第1節(jié)臂的作用力，F(xiàn)12為第1節(jié)臂對(duì)第2節(jié)臂的作用力，L12為一節(jié)臂與二節(jié)臂重合長(zhǎng)度，L1為第1節(jié)臂長(zhǎng)度。

由此可見(jiàn)，伸縮臂的危險(xiǎn)截面出現(xiàn)在第1節(jié)臂與第2節(jié)臂重合處，故對(duì)此危險(xiǎn)截面處設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

2.3 設(shè)計(jì)變量選定

選定伸縮臂危險(xiǎn)截面各設(shè)計(jì)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，即有

優(yōu)化目標(biāo)是使二級(jí)伸縮臂質(zhì)量在條件允許范圍內(nèi)達(dá)到最小值，即

根據(jù)GB/T 3811—2008《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范》分別設(shè)定優(yōu)化約束條件，最大等效應(yīng)力不超過(guò)許用應(yīng)力，即δ＝377 MPa；最大變形量不超過(guò)7 mm，故二級(jí)伸縮臂的多目標(biāo)優(yōu)化模型可表述為

式中：X為設(shè)計(jì)變量，f(x)為最大等效應(yīng)力，l(x)為最大變形量。

3 二級(jí)伸縮臂響應(yīng)面優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 構(gòu)造響應(yīng)面

為在極少試驗(yàn)下得到較高精度的響應(yīng)面方程，現(xiàn)采用拉丁超立方設(shè)計(jì)（latin hypercube sampling）[11]來(lái)生成坐標(biāo)點(diǎn)，如圖6所示。

圖6 隨機(jī)拉丁超立方

在一個(gè)設(shè)計(jì)空間中抽取n個(gè)樣本，每一個(gè)樣本由m個(gè)分量組成，將每個(gè)分量的取值范圍均分為n個(gè)，這樣便可將這n個(gè)樣本均勻地投放入設(shè)計(jì)空間內(nèi)。當(dāng)投放樣本時(shí)，既要滿足每一個(gè)樣本點(diǎn)在小區(qū)間內(nèi)均勻分布，也要滿足所有樣本點(diǎn)被投影到任意一維時(shí)每個(gè)區(qū)間樣本點(diǎn)有且唯一。本方法與全因子設(shè)計(jì)法相比，在設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)增加時(shí)，設(shè)計(jì)點(diǎn)數(shù)量并不會(huì)呈指數(shù)形式上升，抽樣效率較高。

根據(jù)材料的特性參數(shù)，選取對(duì)二節(jié)伸縮機(jī)械臂影響最大的結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，包括伸縮臂截面寬P1、伸縮臂截面長(zhǎng)P2、板厚P3、上滑塊厚P4、上滑塊寬P5、側(cè)滑塊厚P6、側(cè)滑塊寬P7等。尋找這一設(shè)計(jì)變量組合對(duì)整體結(jié)構(gòu)的影響趨勢(shì)，即可求得響應(yīng)面，實(shí)現(xiàn)對(duì)整體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。利用拉丁超立方設(shè)計(jì)方法針對(duì)這7個(gè)設(shè)計(jì)變量與3個(gè)響應(yīng)設(shè)計(jì)了28組試驗(yàn)，試驗(yàn)方案與結(jié)果如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)變量及取值范圍 mm

3.2 響應(yīng)面預(yù)測(cè)能力準(zhǔn)確性評(píng)估

由于復(fù)相關(guān)系數(shù)R2存在缺陷[12]，即回歸方程中自變量個(gè)數(shù)增加時(shí)，可能存在的冗余參數(shù)會(huì)提高R2的值，使得復(fù)相關(guān)系數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)估回歸方程的逼近程度，現(xiàn)采用修正的復(fù)相關(guān)系數(shù)R2adj來(lái)判斷響應(yīng)面的擬合程度，此時(shí)當(dāng)參數(shù)個(gè)數(shù)增加時(shí)，R2adj不會(huì)隨之增加。其計(jì)算公式為

式中：m為樣本點(diǎn)矩陣的行數(shù)，k為參數(shù)個(gè)數(shù)，yi為響應(yīng)值；i為響應(yīng)估計(jì)值；為響應(yīng)均值。

對(duì)表1試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算評(píng)估以確定函數(shù)擬合情況，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)

續(xù)接表2

由表3數(shù)據(jù)可知，3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的修正復(fù)相關(guān)系數(shù)分別為0.9989、1、1。由圖7所示目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面預(yù)測(cè)圖可知，對(duì)于這3個(gè)目標(biāo)函數(shù)，其預(yù)測(cè)值與計(jì)算值的關(guān)系曲線接近45°曲線，預(yù)測(cè)較為準(zhǔn)確，與復(fù)相關(guān)系數(shù)吻合。本文中所有復(fù)相關(guān)修正系數(shù)均大于工程所需0.9的標(biāo)準(zhǔn)，且最大變形量與目標(biāo)總質(zhì)量的觀測(cè)點(diǎn)可完全落在回歸方程所確定的曲面上。由此可以看出，改進(jìn)的響應(yīng)面方法具有更好擬合水平，響應(yīng)面可以較好地預(yù)測(cè)各設(shè)計(jì)變量的真實(shí)值，故可采用本響應(yīng)面模型。

表3 響應(yīng)面復(fù)相關(guān)系數(shù)分析

圖7 目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面預(yù)測(cè)圖

3.3 改進(jìn)型RSM優(yōu)化結(jié)果

采用多目標(biāo)非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)求解式（9）所示響應(yīng)面模型，可以得到多個(gè)Pareto解。

對(duì)于該機(jī)械臂的各目標(biāo)優(yōu)化中，各目標(biāo)相互耦合，由此無(wú)法同時(shí)得到各目標(biāo)的最優(yōu)值。因此，需要對(duì)各優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行判斷權(quán)衡，以選取各目標(biāo)的最佳平衡點(diǎn)，而表3所示的3組解在整個(gè)解域中為不同的優(yōu)勢(shì)解。

由于本次優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)為質(zhì)量輕量化，故選取候選點(diǎn)1為Pareto最優(yōu)解。對(duì)候選點(diǎn)1進(jìn)行圓整，以圓整后的值作為二級(jí)伸縮臂的最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)，對(duì)該參數(shù)下的機(jī)械臂受載情況進(jìn)行仿真分析，得出如表4所示優(yōu)化解。

表4 Pareto候選解數(shù)據(jù)

對(duì)比優(yōu)化前后的二級(jí)伸縮臂（見(jiàn)表5），響應(yīng)面預(yù)測(cè)值與材料力學(xué)仿真分析值較為接近，表面響應(yīng)面擬合隱函數(shù)精度較高；結(jié)構(gòu)尺寸得到了優(yōu)化，二級(jí)伸縮臂質(zhì)量減輕了12.9%，伸縮臂最大應(yīng)力與最大變形量均處于材料許用范圍內(nèi)。

表5 優(yōu)化前后對(duì)比

4 結(jié)論

1）利用基于中心展開(kāi)點(diǎn)的響應(yīng)面方法獲得比傳統(tǒng)響應(yīng)面方法更精確的響應(yīng)面擬合值，減少了多目標(biāo)優(yōu)化過(guò)程的優(yōu)化時(shí)間。

2）采用拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)可以相對(duì)較少的實(shí)驗(yàn)數(shù)目設(shè)計(jì)完成較高精度的響應(yīng)面模型，可在將各參數(shù)對(duì)模型力學(xué)參數(shù)影響的非顯性關(guān)系可視化，為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題提供更好地幫助。

3）運(yùn)用改進(jìn)型響應(yīng)面方法與遺傳算法相結(jié)合對(duì)二級(jí)伸縮臂系統(tǒng)的力學(xué)性能的優(yōu)化效果較好，可用于二級(jí)伸縮臂部分板件厚度組合的確定。