基于ARIMA模型的甘肅省GDP的分析與預(yù)測

楊忠裕 ，薛紫玥

(1.蘭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730013；2.蘭州大學(xué) 管理學(xué)院，甘肅 蘭州 730013)

1 引言

GDP是指在特定時間內(nèi)某個國家或區(qū)域的社會主義國民經(jīng)濟中所制造出來的所有最終商品和勞動力的價格，反映了該國家或者地區(qū)的經(jīng)濟實力和市場規(guī)模。筆者認(rèn)為，GDP的本質(zhì)含義是判斷在一個國家地理邊界內(nèi)一年時間里全部經(jīng)濟活動的活躍程度的一個宏觀指標(biāo)。根據(jù)GDP的定義，它還包括了占有相當(dāng)大比例和具有重要作用的投資和政府開銷。對于商品生產(chǎn)和銷售活動來說這很容易理解，因為這些都是典型的直接的經(jīng)濟活動。而投資則是為將來的經(jīng)濟活動做準(zhǔn)備，政府開銷則是對經(jīng)濟活動進(jìn)行不可或缺的適當(dāng)形式輔助管理所必要的開支，屬于間接的經(jīng)濟活動。GDP則是一定空間內(nèi)、一定時間段內(nèi)衡量以國家為單位所有的人所從事的全部經(jīng)濟活動總的活躍程度。研究甘肅省經(jīng)濟發(fā)展水平，也就是研究甘肅省全部經(jīng)濟活動總的活躍程度，也就可從側(cè)面得知甘肅省的經(jīng)濟發(fā)展是否健康，是否向著良性發(fā)展等情況。所以,若能對甘肅省未來GDP作出準(zhǔn)確的預(yù)測,就能夠為宏觀經(jīng)濟的健康發(fā)展起到一定的導(dǎo)向性作用,有利于作出更好的決策,也有利于甘肅省GDP持續(xù)增長。

時間序列,主要是指使用過去和現(xiàn)在的歷史數(shù)據(jù)對未來數(shù)據(jù)做出預(yù)估的一個方式。時間序列經(jīng)過變換后,能夠以3項相加的形式進(jìn)行表示。由一個時間序列獲得信息并劃分出趨勢項、周期項和隨機誤差項。時間序列的ARIMA模型是基于歷史數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析,得出當(dāng)前期與滯后期之間的相關(guān)系數(shù),并利用最小二乘法建立時間序列中當(dāng)前項和滯后項之間的線性關(guān)系。在使用過程中,雖然ARIMA模型對于預(yù)計短期內(nèi)結(jié)果的效果較好,但隨著預(yù)測時期增長會使得模型偏差逐漸變大。

文章將基于ARIMA模型對甘肅省GDP進(jìn)行分析與預(yù)測，在建模的過程中，對不平穩(wěn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了差分處理，使其變得更加平穩(wěn)，通過ADF 檢驗，再由偏(自相關(guān)分析)圖估算其p、q值，從而確立甘肅省GDP的ARIMA模型，并對未來兩年GDP進(jìn)行預(yù)測，可為甘肅省的決策部門提供參考，有利于其做出更好的決策。文章還選用了甘肅省省內(nèi)城市近三十年的GDP數(shù)據(jù)作為研究對象，對其建立ARIMA模型分析與預(yù)測，分析出不同城市的年增長率與預(yù)測未來的年增長率，也有利于甘肅省的決策部門得到更好的宏觀視角，有利于政策得到更好的落實。

近年來，我國經(jīng)濟受到新冠肺炎疫情、宏觀經(jīng)濟產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整等多方面影響,使得GDP的增長速度相對減慢，這顯然增加了GDP的預(yù)測難度。

2 研究現(xiàn)狀

GDP受資源、資本、人口等眾多因素影響,且各因素之間往往都會存在多重共線性,不同因素之間的相關(guān)關(guān)系十分復(fù)雜。傳統(tǒng)的因素解釋模型很難對 GDP 進(jìn)行準(zhǔn)確有效的預(yù)測，且其擬合精確度較低,而如果使用建立時間序列ARIMA模型的方式,就能獲得有較好的模型擬合精確度和估計準(zhǔn)確度的新模型。文章中選擇了甘肅省1992—2021年GDP歷史數(shù)據(jù),并構(gòu)建了ARIMA模型,用歷史數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行了擬合和試驗,最后確定擬合ARIMA(0,2,1)模型。

華鵬等根據(jù)廣東省1978—2008年的GDP進(jìn)行ARIMA建模，對廣東省GDP作出短期估計;熊志斌通過ARIMA建模技術(shù)和由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成的時間序列預(yù)測算法,對中國1978—2009年的GDP統(tǒng)計實現(xiàn)了模型擬合;張強等根據(jù)C-D生產(chǎn)函數(shù)和ARIMA模式建立了GDP的總體預(yù)估模式,預(yù)測了2016—2050年的GDP；王佳佳基于安徽省1978—2019年的GDP進(jìn)行分析，建立ARIMA模型對安徽省2020—2021年的GDP進(jìn)行預(yù)測；安博文等基于西藏地區(qū)1978—2018年的GDP建立ARIMA模型，對未來十年西藏地區(qū)GDP進(jìn)行預(yù)測。

3 ARIMA 模型結(jié)構(gòu)與建模步驟

3.1 ARIMA模型結(jié)構(gòu)

ARIMA(p,d,q)模型結(jié)構(gòu)如下：

(1)

Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp

(2)

Θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

(3)

式中:B代表的是延遲算子的意義;式(2)中代表的是階數(shù)為p的自回歸系數(shù)多項式;式(3)中代表的是階數(shù)為q的移動平均系數(shù)多項式。p,d,q依次代表了自回歸階次、差分滯后階次和移動均值階次。當(dāng)d=0時,就是ARMA模型，當(dāng)p=0時,可簡記為IMA(d,q)模型，當(dāng)q=0時,ARIMA(p,d,q)模型可簡記為ARI(p,d)模型。

3.2 分析步驟

(1)對數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF檢驗，識別序列的平穩(wěn)性。

(2)查看差分前后數(shù)據(jù)對比圖，判斷其是否平穩(wěn)，同時對時間序列進(jìn)行偏自相關(guān)性分析，根據(jù)截尾情況估算其p、q值。

(3)查看模型檢驗表，根據(jù)Q統(tǒng)計量的p值對模型白噪聲進(jìn)行檢驗，也可以結(jié)合信息準(zhǔn)則AIC和BIC值進(jìn)行分析(越低越好)。

(4)根據(jù)模型參數(shù)表，得出模型公式。

(5)結(jié)合時間序列分析圖進(jìn)行綜合分析，得出向后預(yù)測的階數(shù)結(jié)果。

4 ARIMA 模型的建立與檢驗

4.1 數(shù)據(jù)來源

文中選擇了甘肅省1992—2021年GDP為研究對象,并建立了ARIMA(0,2,1)模型。所有數(shù)據(jù)均來自國家統(tǒng)計局。

4.2 模型的確定與預(yù)測結(jié)果

觀察自相關(guān)與偏自相關(guān)圖均為拖尾，即可定出為ARIMA(0,2,1)模型。

表1 ADF檢驗

基于字段GDP，并基于AIC與BIC信息準(zhǔn)則,自動尋找最優(yōu)參數(shù)，得出基于2階差分?jǐn)?shù)據(jù)的ARIMA(0,2,1)模型檢驗表，得出模型公式：

y(t)=24.746-0.998×ε(t-1)

(4)

在檢驗ARIMA模型(0,2,1)的模型參數(shù)表中，Df Residuals為26，Q統(tǒng)計量：Q6，Q12,Q18,Q24的p值分別為0.247(0.619)、4.383(0.625)、8.691(0.729)、10.801(0.903)，AIC值為387.027，BIC值為391.024，模型擬合優(yōu)度R2為0.995。

雖然Q在水平上并不呈現(xiàn)明顯性,也不能否定模型的殘余誤差為白噪聲序列的假設(shè),但由于模型擬合優(yōu)度R2為0.995,因此模型仍相當(dāng)優(yōu)秀且模型基本滿足上述要求。

表2 時間預(yù)測

從擬合結(jié)果來看，ARIMA模型短期預(yù)測效果較好，且能較好地結(jié)合長期趨勢和短期波動的情況，來反映甘肅省GDP的整體走勢，但受新冠肺炎疫情影響，能否達(dá)到此預(yù)測值，還有待結(jié)合實際驗證。

表3 甘肅省省內(nèi)城市GDP分析

圖1 時間預(yù)測

由圖1可知，甘肅省省內(nèi)全部城市都處于良好發(fā)展階段，在構(gòu)建的ARIMA模型中，都呈現(xiàn)出了良性發(fā)展，但省內(nèi)不同城市間的GDP相差較大，期望相關(guān)部門可以落實“先富帶動后富”政策，讓蘭州推動省內(nèi)其余城市的經(jīng)濟發(fā)展。

5 模型評價

(1)對于不同的地區(qū)經(jīng)濟增長趨勢結(jié)合不同的地域特色，可選擇不同的影響要素;但隨著不同地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展過程中會有不確定變化，不同地區(qū)會做出不同的決策選擇。但無論相應(yīng)地區(qū)采取什么經(jīng)濟政策或者發(fā)展戰(zhàn)略都可以采用ARIMA模型對其進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測。

(2)ARIMA模式并不需要借助于任何的外生變數(shù),而只要求內(nèi)生變量。

(3)雖然ARIMA模型在實質(zhì)上只是捕捉線性關(guān)系,并沒有捕捉非線性關(guān)系。但實際上，大部分序列之間都具有非線性關(guān)聯(lián)。若ARIMA模型序列變量的未來取值并不符合先前觀察值和隨機誤差間的線性函數(shù)關(guān)系,則就不可以構(gòu)建ARIMA模型。顯然，ARIMA 模型是有局限性的。

(4)在建模過程中,首先要求模型數(shù)據(jù)處理結(jié)果必須符合均衡性的要求,如果數(shù)據(jù)處理結(jié)果不符合均衡性檢驗,則可用選差分和取對數(shù)等方法使之通過檢測。

(5)使用ARIMA模型預(yù)測時間序列數(shù)據(jù),其模型數(shù)據(jù)要求范圍必須是固定的,而如果數(shù)據(jù)的范圍不固定的話,則是無法捕捉到數(shù)據(jù)的變化規(guī)律的。建模數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性可以使用ADF檢驗,并且使用差分分析對數(shù)據(jù)進(jìn)行穩(wěn)定性處理。

6 結(jié)論

文章選擇了差分方式來確定建模數(shù)據(jù)的均衡性,再根據(jù)所繪制出來的ACF圖和PACF圖,可得出較適合甘肅省GDP的模型為ARIMA(0,2,1),接著對模型進(jìn)行參數(shù)的顯著性檢測和殘差值的白噪聲檢測,使之更具有可靠性,而預(yù)測值與實際值間的比較,也證實了建模的可行性。

在對比2020年的預(yù)測值與實際值的過程中,發(fā)現(xiàn)時間序列與ARIMA模式間的誤差是不可被忽視的,這與2020年新冠肺炎疫情對我國宏觀經(jīng)濟的巨大影響息息相關(guān),是在ARIMA模式中所無法反映出的宏觀經(jīng)濟影響?？梢?利用時間序列的ARIMA模型可對研究對象作出效果不錯的短期內(nèi)的預(yù)報,但這結(jié)果僅能起到參考作用。最終預(yù)測結(jié)果表明,未來兩年甘肅省GDP會呈平緩持續(xù)的增長,在不遭遇特殊事件下,甘肅省GDP預(yù)計不會出現(xiàn)劇烈波動的情況。結(jié)合中國新冠肺炎疫情的不確定性以及國際形勢多變性,再加上我國目前也處在經(jīng)濟社會發(fā)展轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵時期,與甘肅經(jīng)濟相關(guān)的政府部門的當(dāng)前宏觀經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略計劃也須適時地調(diào)整與完善,以保持甘肅省GDP的平穩(wěn)上升。在疫情大環(huán)境時代，如何能把疫情帶來的影響降到最低，找出新的發(fā)展策略，促進(jìn)新的產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型量升級，從而得到高質(zhì)量發(fā)展，也是解決甘肅未來經(jīng)濟發(fā)展的重要課題。