原點到遠點：單元教學(xué)視角下數(shù)學(xué)性質(zhì)的生成過程
——以“兩角差的余弦公式”生成過程比較為例

余金榮

(江蘇省錫山高級中學(xué)錫西分校 214186)

對于數(shù)學(xué)概念，通過定義能夠明確其內(nèi)涵，通過分類，能夠明確其外延；從而能夠在事物與事物之間進行明確地區(qū)分.數(shù)學(xué)對象往往是變化的，數(shù)學(xué)性質(zhì)則研究數(shù)學(xué)對象變化中的規(guī)律性與不變性，能夠幫助我們更深入地認識數(shù)學(xué)對象，更好地解決與其相關(guān)的問題[1].文[2]中提到，單元教學(xué)是通過圍繞某一單元，讓學(xué)生以單元相關(guān)的各類資源為載體，以各種探究活動為手段，使其發(fā)生知識遷移，提高其問題解決等高級思維能力以及養(yǎng)成主動探究精神的教學(xué)方式.

《普通高中教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提倡教學(xué)過程中要突出主線，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展[3].教師教學(xué)要啟發(fā)學(xué)生思考，改變教學(xué)方式，促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)性質(zhì)作為數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，我們應(yīng)該在學(xué)生現(xiàn)有認知基礎(chǔ)上，宏觀思考數(shù)學(xué)性質(zhì)，把握其知識主線、方法主線和素養(yǎng)主線，挖掘知識的本質(zhì)和育人價值，并引導(dǎo)學(xué)生開展探究互動，發(fā)揮數(shù)學(xué)性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)力量，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落到實處[1].

本文將從單元教學(xué)的角度，比較兩節(jié)省級同課異構(gòu)觀摩課(節(jié)選片斷)，內(nèi)容是“兩角差的余弦公式”(人教A版必修第一冊5.5.1節(jié))生成過程，學(xué)生來自江蘇省第一批四星級高中(生源較好)，同時交流筆者在單元教學(xué)視角下對數(shù)學(xué)性質(zhì)生成的一些思考，與同行分享.

1 原案展示

限于篇幅，案例中略去學(xué)生具體活動內(nèi)容.

1.1 案例一

師生活動 回顧角的定義及三角函數(shù)的定義，總結(jié)先前知識系統(tǒng)(圖1)．

圖1

引入1回顧公式(三)～(六)，這實際上是兩個特殊角的三角函數(shù)，如果進行一般化，那么α+β,α-β的三角函數(shù)呢？

引入2如圖2，某山頂有一座電視塔，塔底位于點C，塔頂B.在山腳下一點A，測得點B的仰角為60°，測得電視塔的張角為45°，點A距離塔底C的距離為50m，求AD的長度.

圖2

問題1如何求cos 15°？如何用三角板擺出15°?

學(xué)生活動 通過平面幾何的方法探討 cos 15°的值.

師：前面我們用單位圓推導(dǎo)誘導(dǎo)公式，能否借助以上方法對該公式進行證明呢？

學(xué)生有些犯難.

問題2由cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°，能否猜想一般性等式？

問題3如何在單位圓中證明以上等式？

學(xué)生活動 作出角α,β,α-β，指出cosα,cosβ,sinα,sinβ的意義，用兩種方法表示α-β，逐步利用單位圓證明公式(圖3).

圖3

1.2 案例二

問題1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是如何推導(dǎo)的？解決了什么問題？

問題2三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是如何推導(dǎo)的？解決了什么問題？

引導(dǎo)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式中的角與α有怎樣的關(guān)系？

問題5我們?nèi)绾谓鉀Q呢？為此要解決哪些問題？

學(xué)生活動 利用平面幾何證明兩角和與差的余弦公式.

問題6以上證明過程中，α,β,α-β的范圍均為銳角，能否推廣到任意角呢？

2 聽課思考

2.1 立足原點之本：探究數(shù)學(xué)性質(zhì)的經(jīng)驗基礎(chǔ)

教材的編寫過程，對教學(xué)內(nèi)容的安排以學(xué)生認知規(guī)律和數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程為依據(jù).對一個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，教材中必然在邏輯層次進行了妥善安排.因此，對學(xué)生已有的經(jīng)驗基礎(chǔ)進行回顧，有利于有層次地展開數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究過程.在學(xué)習(xí)兩角差的余弦的過程中，學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)、方法基礎(chǔ)有哪些？已有的經(jīng)驗對學(xué)生研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的影響是正面的還是負面的？以什么樣的形式強化經(jīng)驗基礎(chǔ)？只有弄清這些問題，教師才能順暢地引導(dǎo)性質(zhì)的建構(gòu)過程，激發(fā)學(xué)生的原動力.

我們以圓周上點的運動為模型提出了任意角的概念，將角從0°～360°擴充到了任意角的范圍，角的定義從靜態(tài)定義轉(zhuǎn)變成了動態(tài)定義.同時，從形的角度對角的加法和減法運算進行了規(guī)定：把角α的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應(yīng)的角是α+β，同時規(guī)定：α-β=α+(-β).

案例一回顧了角及三角函數(shù)的定義，總結(jié)了從特殊到一般再到特殊的處理過程，剖析了兩角和與差的三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式之間的關(guān)系；從測量的案例出發(fā)，讓學(xué)生體會了研究兩角差的余弦的必要性.兩個引入分別從數(shù)學(xué)內(nèi)部和數(shù)學(xué)外部展開，旨在激發(fā)學(xué)生的求知欲，同時為性質(zhì)的探究提供知識基礎(chǔ).案例二回顧同角三角函數(shù)關(guān)系，重點強調(diào)了單位圓在研究過程中的重要性，為本節(jié)課提供了工具基礎(chǔ).隨后回顧了誘導(dǎo)公式及其推導(dǎo)過程，將其一般化則自然地引出了本節(jié)課的主題，同時也建立了誘導(dǎo)公式與兩角差的余弦公式的關(guān)系.從效果上來看，盡管案例二沒有過多地回顧解直角三角形的相關(guān)知識，課堂上學(xué)生還是比較自然地選擇了平面幾何的方法來推導(dǎo)兩角差的余弦公式.兩個案例中用單位圓這一研究工具及旋轉(zhuǎn)的觀點看角α,β,α-β均有些突然，教師若能在任意角的定義(動態(tài))，以及加(減)法運算與形的關(guān)系兩個方面采用合適的方式進行鞏固，會使課堂更加自然.

2.2 走向遠點之源：生成數(shù)學(xué)性質(zhì)的知識主線

知識的主線也就是知識的來龍去脈，能體現(xiàn)知識發(fā)展的過程.教材按照“背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”的順序給出了三角函數(shù)的研究路徑和主要內(nèi)容，我們在教學(xué)中應(yīng)該厘清知識主線，以知識為載體、以知識發(fā)生發(fā)展過程為基本線索展開，使學(xué)生在教師的指導(dǎo)下體會發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，給學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程.分析三角函數(shù)知識發(fā)展脈絡(luò)，兩角差的余弦位于任意角及其三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后，后續(xù)內(nèi)容則是兩角和的余弦及其他恒等變換公式.教材采用的“單位圓定義法”、同角三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式都是原點的對稱性在代數(shù)上的表現(xiàn)；從任意角定義的角度來說，誘導(dǎo)公式正是角的終邊在旋轉(zhuǎn)變換的過程中的不變性，即三角函數(shù)的性質(zhì).旋轉(zhuǎn)對稱性也是圓的重要特性，兩角差的余弦正是單位圓旋轉(zhuǎn)對稱性的代數(shù)表示，也可視為三角函數(shù)的性質(zhì).從物體運動來說，兩角差的余弦建立了兩個旋轉(zhuǎn)運動疊加后的狀態(tài)與疊加前兩個運動之間的關(guān)系.

案例一以任意角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式、解直角三角形為前序知識，對猜想的等式一般化，利用單位圓，結(jié)合平面知識進行推導(dǎo)，充分尊重學(xué)生的思維.從課堂上學(xué)生的表現(xiàn)來看，其思維得到了充分的碰撞，主動參與到了性質(zhì)的推導(dǎo)過程中來.案例二從任意角三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式出發(fā)，一般化提出問題，以單位圓為工具，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平面幾何的知識進行探究.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下逐步得到兩角差的余弦這一公式，其素質(zhì)和能力得到了培育.兩位教師在教學(xué)過程中都大膽地“放權(quán)”由學(xué)生自主探討，把突破重點、難點的任務(wù)交給學(xué)生自主完成.他們?yōu)槭裁炊几胰绱舜竽懙剡@么做呢？這與教師對學(xué)生知識系統(tǒng)的把握不無關(guān)系.從學(xué)生參與的程度對比來看，利用平面幾何探索兩角差的余弦的過程，案例一更順暢一些，這是因為教師設(shè)置了三角板這一學(xué)生所熟悉的情境作為鋪墊.不過，兩個案例在利用圓的對稱性來推導(dǎo)一般情況下的兩角差的余弦公式時都顯得有些突然.如果教師能夠?qū)山遣畹挠嘞遗c誘導(dǎo)公式一起從幾何的角度進行剖析，將代數(shù)上的性質(zhì)逐步轉(zhuǎn)化到幾何上，興許能使證明的推進更流暢.

2.3 探尋遠點之緣：建構(gòu)數(shù)學(xué)性質(zhì)的方法主線

兩個案例在數(shù)學(xué)性質(zhì)生成的過程中，均將以上四種思想方法滲透于課堂全過程，幫助教師啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，這能很好地發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).但是，在方法的選擇上，兩個案例均以平面幾何探究數(shù)學(xué)性質(zhì)為第一出發(fā)點，并引導(dǎo)學(xué)生深入探究，當(dāng)由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性探討數(shù)學(xué)性質(zhì)時，由于時間原因略顯倉促.實際上，縱觀整個章節(jié)，將圓的性質(zhì)代數(shù)化，進而研究三角函數(shù)的性質(zhì)，這是很重要的一條數(shù)形結(jié)合的暗線.本節(jié)課，在提出證明問題后，如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生將研究的路徑進行整理，再分別研究，最后對比不同研究方法的優(yōu)劣，則能夠進一步提升學(xué)生的元認知水平.

2.4 感受遠點之味：析出數(shù)學(xué)性質(zhì)的素養(yǎng)主線

從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，兩角差的余弦這一數(shù)學(xué)性質(zhì)建構(gòu)過程主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理等關(guān)鍵能力.這是核心素養(yǎng)的重要成分，教學(xué)中應(yīng)該著力提升這幾種關(guān)鍵能力.

(1)數(shù)學(xué)建模

三角函數(shù)是刻畫圓周上動點位置的一個重要的數(shù)學(xué)模型.任意角采用動態(tài)方式進行定義、三角函數(shù)以單位圓為工具進行定義、利用單位圓研究三角函數(shù)的性質(zhì)等，都是三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型建立和研究的過程.兩角差的余弦以單位圓為工具開展研究，有利于進一步鞏固這一建模思想，同時有助于理解兩個圓周運動疊加的過程.

(2)直觀想象

在證明兩角差的余弦的過程中，是通過幾何圖形、利用圓的性質(zhì)開展研究的.其中建立α,β,α-β這三個角終邊關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系的過程正是借助幾何直觀.因此，本數(shù)學(xué)性質(zhì)生成的過程充分利用幾何圖形描述問題、直觀理解、探索關(guān)系，這正是發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)所需要的.

(3)邏輯推理

本數(shù)學(xué)性質(zhì)生成過程中的邏輯推理主要表現(xiàn)在通過對α,β,α-β終邊位置的分類討論，將各種可能的情形進行推理、簡化；將圖形的幾何特性代數(shù)化，建立代數(shù)恒等式.實際上，限于條件，第一個邏輯推理過程不能給出嚴格的演繹推理證明，因而借助幾何直觀進行了合情推理.

案例一借助三角板，從特殊到一般，幫助學(xué)生建立了α,β,α-β三者之間的關(guān)系，并以平面幾何推理經(jīng)驗為基礎(chǔ)，建構(gòu)了三角函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì).以學(xué)生熟悉的情境激活其認知系統(tǒng)，在類比的基礎(chǔ)上，流暢地進入了兩角差的余弦公式證明過程.案例二直接以單位圓為背景，建立α,β,α-β三者之間的關(guān)系并進行幾何證明.從學(xué)生思維的角度來說，第一種處理方式相對順暢，但是也有降低思維力度之嫌，應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)情選擇合適的處理方式.從效果上來說，兩種處理方式在直觀想象和邏輯推理兩種關(guān)鍵能力的培養(yǎng)上都有較大收獲.對于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，還需要教師在問題的發(fā)現(xiàn)與提出過程中進行滲透，對整個章節(jié)的數(shù)學(xué)模型進行階段性的提升，在問題解決后能夠?qū)⒊晒胺g”到對應(yīng)的模型中.這樣一方面可落實數(shù)學(xué)建模關(guān)鍵能力的培養(yǎng)；另一方面可將大單元的核心問題貫穿于整章教學(xué)的始終.

3 結(jié)語

單元教學(xué)能夠幫助我們整體規(guī)劃學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，有利于借助大框架、大問題、大背景進行高觀點思想駕馭、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，能夠規(guī)避傳統(tǒng)教學(xué)中課時教學(xué)整體感不強、知識碎片化等現(xiàn)象.對數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究，既要有受數(shù)學(xué)性質(zhì)的一般性認識所指引的整體架構(gòu)，又要有能洞察具體實例共性特征的敏銳直覺和抽象能力.教學(xué)中，應(yīng)該挖掘數(shù)學(xué)性質(zhì)的經(jīng)驗基礎(chǔ)，找準(zhǔn)原點，站在單元的視角下剖析生成數(shù)學(xué)性質(zhì)的知識主線、方法主線、素養(yǎng)主線，看到遠點，設(shè)計教學(xué).使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)性質(zhì)的生成過程，發(fā)揮數(shù)學(xué)性質(zhì)應(yīng)有的育人功能，才能使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落在實處.