基于小波變換與LDPC 碼的圖像加密

邵一丹，王中訓

（煙臺大學物理與電子信息學院，山東煙臺 264005）

網(wǎng)絡日益發(fā)達，有著許多信息載體。數(shù)字圖像也因保真度比較高、形象生動等特點成了網(wǎng)絡交流中最廣泛的溝通介質(zhì)[1]。但在實際的網(wǎng)絡生活以及現(xiàn)實生活中，存在著大量圖像被冒用的問題，版權受到侵害，就比如有部分人會盜用別人的照片進行違法活動，侵犯了他人的隱私。沒有人希望自己的隱私被侵犯，因此，圖像的信息安全成為人們關注的焦點，迫切需要一些圖像加密技術對圖像信息進行保護[2]。

圖像信息冗余大，一般對文本加密實用的DES、3DES 等加密算法在圖像上并不能取得較好的效果[3]，出現(xiàn)了混沌加密。由于較早出現(xiàn)的很多混沌系統(tǒng)很容易被攻擊并且被破解而造成信息暴露，又出現(xiàn)了高維混沌系統(tǒng)、超混沌系統(tǒng)以及其他手段如深度學習、小波變換等與混沌系統(tǒng)相組合的圖像加密操作。

為了提高圖像的安全性，采用了小波變換與混沌系統(tǒng)相結合的方案，首先對圖像進行加密，然后通過LDPC 碼進行了水印調(diào)制，將水印信息嵌入圖像，有著較強的抗攻擊能力，破解出原圖不是很容易。

1 LDPC概述

LDPC 碼是由Gallager 提出的。它也可以稱為低密度奇偶校驗碼，究其原因，是每行每列存在的非“0”的數(shù)目很少，也是基于這一獨特的稀疏性才能構造出它低復雜度、高性能的特點[4]。在碼長足夠長時，LDPC 碼經(jīng)過適當?shù)木幾g碼后，可在加性高斯白噪聲信道中達到接近香農(nóng)容量的性能[5]。

HM×N為校驗矩陣，碼字信息在其中是用“列”來對應的，把每一列出現(xiàn)的不為“0”的個數(shù)記為列重，用λ來表示；“行”對應的則是校驗信息。每一行出現(xiàn)的不為“0”的個數(shù)記為行重，用ρ來表示。列重與行重相對于M、N來說，都是很小的。LDPC 碼可用(n,ρ,λ)表示，滿足HcT=0 的條件。以（8，4，3）來舉例。

校驗矩陣如下：

校驗方程組如下：

采用BP 譯碼方式，經(jīng)典的置信傳播（BeliefPropagation,BP）算法是一種軟判決算法[6]。初始化變量節(jié)點，下一步，變量節(jié)點通過與校驗節(jié)點相連的邊將概率信息傳遞給校驗節(jié)點。通過校驗節(jié)點之后的信息更新后，經(jīng)過傳遞再次到達變量節(jié)點中，變量節(jié)點依據(jù)更新以后的信息作判決，這是一次迭代的過程。最終結束譯碼的條件是找到了允許使用的碼字，或者是到達了最大迭代次數(shù)。通過多次迭代計算使得譯碼結果更加精準，誤碼率更低[7]。

2 混沌系統(tǒng)與小波變換

2.1 混沌系統(tǒng)

通常混沌可以看成是一類在確定性系統(tǒng)中生成的不規(guī)則的、復雜的現(xiàn)象[8]?；煦缬兄氂械奶卣鳎纾?/p>

1）敏感的初值；

2）有界性，整體來說較穩(wěn)定；

3）遍歷性。

混沌的發(fā)現(xiàn)是一個突破，許多領域都有著對它的運用，在加密方向更有獨特魅力。在混沌圖像加密算法設計中，一個值得重視的焦點為安全性，算法效率也是值得關注的問題[9]。

常用的混沌系統(tǒng)Logistic 映射公式為：

文中采用的是Chun Cao 等人提出的二維超混沌映射，所用的公式如下：

其中，參數(shù)a以及參數(shù)k的范圍都是（0，+∞）。

Logistic 分岔圖如圖1(a)所示，超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖1(b)所示。

圖1 混沌比較

從圖中可以看出，超混沌系統(tǒng)是全混沌狀態(tài)，混沌范圍寬，復雜度大。

2.2 小波變換

小波變換的概念大約在19 世紀80 年代由J.Morlet 提出，并逐步發(fā)展完善。小波變換突破了傅里葉變換的局限性，將數(shù)學應用到圖像處理的很多領域中[10]，它能精確處理細節(jié)部分，成為處理圖像的熱點以及重點方式之一。

小波變換是把圖像的像素矩陣變換到頻域，然后對頻域的數(shù)據(jù)進行處理[11]，這樣就實現(xiàn)了對圖像的處理。作為信號時域分析方式中的一種，小波變換在描述信號局部特征、同步得到時間、頻率信息中有著有利作用。經(jīng)過對系數(shù)的加密，局部的變化會通過小波逆變換對圖像的所有像素產(chǎn)生影響[12]，因而很大程度上提高了效率。

整數(shù)小波變換可實現(xiàn)無損壓縮，能夠?qū)崿F(xiàn)變換系統(tǒng)的能量在頻率上、空間上的同時集中，達到去除像素冗余的效果。整數(shù)小波變換有著簡單的結構，運算量也不是很高，占用的存儲空間不多。

d1,n為高頻系數(shù)，s1,n為低頻系數(shù)。這里是一級分級，將分解結果再次代入式（5）中，得到高級分解系數(shù)。對圖像的行和列進行小波分解操作，得到的系數(shù)矩陣可采用式（6）系數(shù)進行逆變換，最終組合成原始圖像。

式中，j為分解級數(shù)。經(jīng)過小波變換后，有四個分量:內(nèi)容縮略圖ll，數(shù)據(jù)能量集中于此；水平方向的高頻信息hl，反映變化、邊緣信息；垂直方向的高頻信息lh，以及對角線方向的高頻信息hh。

3 圖像處理過程

3.1 圖像加密

選取的圖像大小為256×256，記為原始圖像，如圖2 所示。

圖2 原始圖像

讀取圖像后，首先進行小波變換。進行分解，獲得每級小波分解后的四個頻率子帶。第一級為(ll1,hl1,lh1,hh1)，分解圖像如圖3(a)及圖3(b)所示。同理可得小波2 次分解如圖3(c)及圖3(d)所示，小波3 次分解如圖3(e)及圖3(f)所示。

圖3 分解圖級示意圖

產(chǎn)生混沌的參數(shù)設置如下：a=0.600；k=0.800；x0=0.123 419 94；y0=0.567 819 88；

對ll3進行擴散與置亂，再對hl2、lh2分量進行擴散與置亂。最后將系數(shù)進行組合以便顯示圖像。

加密后的圖像如圖4 所示。

圖4 加密后圖像

3.2 LDPC嵌入水印

數(shù)字水印技術可保護版權。把信息嵌入圖像中，這些信息可以是數(shù)字、圖片等，嵌入后人類肉眼是不能感覺到的，對載體圖像不產(chǎn)生影響，還能維護自己的權利，也是一種保護圖像的方案。圖5 為LDPC 碼與水印系統(tǒng)信道模型圖。

圖5 LDPC碼與水印系統(tǒng)信道模型圖

LDPC 嵌入水印所用到的公式為：

式中，X為DCT 系數(shù)，a為嵌入強度。

水印圖像如圖6(a)所示。將經(jīng)過LDPC 調(diào)制后的水印嵌入，結果如圖6(b)所示。

圖6 水印圖及嵌入水印圖

提取水印圖像如圖7(a)所示。解密圖如圖7(b)所示。

圖7 提取水印圖以及解密圖

4 結果分析

4.1 信息熵分析

信息熵H(S)定義如下：

S記為信源，si為S包含的消息符號，狀態(tài)數(shù)目為q，P為出現(xiàn)的概率。信息熵最大值出現(xiàn)的情況是出現(xiàn)信源符號的等概率分布。假設圖像灰度級是256，那么，信息熵H(S)能夠達到的最大值是8 bit。信息熵值越大，可見不確定性越大，也就是可視的信息較少，安全性越高[13]。加密后信息熵約為7.8 bit，比較接近于8 bit。

4.2 密鑰空間分析

加密密鑰的范圍即密鑰空間，這個空間越大越好。窮舉攻擊，即對所有可能范圍內(nèi)的密鑰都進行嘗試，直至找到正確的密鑰[14]。不是很容易被暴力破解加密方案往往有著比較大的密鑰空間。四個參數(shù)為52 bit，密鑰空間至少為24×52=2208。

4.3 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性是密碼學中最基本的要求[15]。用錯誤的參數(shù)進行解密，選擇a=0.600 000 01；k=0.799 999 99；N=10 000；x0=0.123 419 94；y0=0.567 819 88；改動參數(shù)解密后圖像如圖8 所示。由此可以看出雖然改動細小，但仍然無法成功解密出原圖。密鑰是較為敏感的，足以保證消除抵抗窮舉攻擊的危險[16]。

圖8 錯誤解密圖

4.4 抗攻擊能力

進行剪切攻擊仍可提取出完整水印，經(jīng)過剪切處理后提取的水印圖像如圖9 所示。

圖9 經(jīng)過剪切處理后提取的水印圖像

5 結論

文中實現(xiàn)了LDPC 碼與小波變換以及超混沌系統(tǒng)相結合，相對于單一的混沌系統(tǒng)有著更大的密鑰空間，更能抵御攻擊，提高安全性。加密效果也較好，無法用肉眼觀察到信息。嵌入的水印也可以抵御攻擊，有利于維護版權。但在信息熵看來，不是特別完美，還需要有一定改進。另外，LDPC 碼的編譯碼也可以進行改進，以提高速率。LDPC 碼也可以和高維混沌系統(tǒng)相結合，以增強圖像的安全性。