關(guān)于回歸方程的解題策略及技巧

江蘇省錫東高級中學(xué) 顧珊嵐

回歸方程是利用數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析,來確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法,運(yùn)用十分廣泛。近幾年高考所涉及的題目愈發(fā)凸顯其應(yīng)用性,以及問題設(shè)計的新穎性、創(chuàng)造性。同學(xué)們只有充分理解回歸方程,冷靜分析問題的本質(zhì),才能以不變應(yīng)萬變。下面我們對近幾年回歸方程考題的變化及趨勢作歸納與梳理。

一、線性回歸方程

例1某科技公司研發(fā)了一項(xiàng)新產(chǎn)品A,經(jīng)過市場調(diào)研,對公司1月份至6月份銷售量及銷售單價進(jìn)行統(tǒng)計,銷售單價x(千元)和銷售量y(千件)之間的一組數(shù)據(jù)如表1所示:

表1

(1)試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸直線方程;

(2)若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過0.65千件,則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的,試問(1)中所得到的回歸直線方程是否理想?

例2人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相結(jié)合,借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術(shù)打造的智能化教育生態(tài)。為了解我國人工智能教育發(fā)展?fàn)顩r,通過中國互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺得到我國2017年至2022年人工智能教育市場規(guī)模統(tǒng)計圖,如圖1所示,若用x表示年份代碼(2017年用1表示,2018年用2表示,依此類推),用y表示市場規(guī)模(單位:億元),試回答:

(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù),計算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r,并用r判斷兩個變量y與x相關(guān)程度的強(qiáng)弱(精確到0.01)(若,則相關(guān)程度很高);

圖1

(2)若y與x的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示,試求y關(guān)于x的線性回歸方程,并據(jù)此預(yù)測2024 年中國人工智能教育市場規(guī)模(精確到1億元)。

點(diǎn)評:此類考題難度偏小,線性回歸方程的求解直接利用題中公式及數(shù)據(jù)計算即可,再利用線性回歸方程進(jìn)行數(shù)據(jù)估計。

二、非線性回歸方程

例3某印刷企業(yè)為了研究某種圖書每冊的成本費(fèi)y(單位:元)與印刷數(shù)量x(單位:千冊)的關(guān)系,收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步整理,得到了如圖2所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值(表2)。

圖2

表2

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷:y=a+bx與y=哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y與印刷數(shù)量x的回歸方程? (只要求給出判斷,不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程(結(jié)果精確到0.1)。

(3)若該圖書每冊的定價為9元,求至少應(yīng)該印刷多少冊,才能使銷售利潤不低于80 000元(假設(shè)能夠全部售出)。

附:對于一組數(shù)據(jù)(ω1,v1)(ω2,v2),…(ωn,vn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

解析：(1)由散點(diǎn)圖判斷更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y與印刷數(shù)量x的回歸方程。

例4學(xué)生的學(xué)習(xí)除了在課堂上認(rèn)真聽講,還有一個重要環(huán)節(jié)就是課后的“自主學(xué)習(xí)”,包括預(yù)習(xí),復(fù)習(xí),歸納,整理等,現(xiàn)在人們普遍認(rèn)為課后花的時間越多越好,某研究機(jī)構(gòu)抽查了部分高中學(xué)生,對學(xué)生花在課后的學(xué)習(xí)時間(設(shè)為x分鐘)和他們的數(shù)學(xué)平均成績(設(shè)為y)進(jìn)行了統(tǒng)計,得到表3中的數(shù)據(jù),請根據(jù)表格回答問題:

表3

(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,并且從以下三個函數(shù):①y=bx+a;②y=m·xk(m＞0,k＞0);③y=cx2+dx+e中選擇一個作為學(xué)習(xí)時間x和平均成績y的回歸類型,判斷哪個類型更加符合(不必說明理由)。

(2)根據(jù)(1)中選擇的回歸類型,求出y與x的回歸方程。

解析：(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫得散點(diǎn)圖,如圖3所示。

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=m·xk(m＞0,k＞0)更符合學(xué)習(xí)時間x和平均成績y的回歸方程類型。

圖3

故回歸方程為y=25.79x0.33。

點(diǎn)評:對于給出多個模擬函數(shù)類型的非線性回歸,我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,將它與學(xué)過的各種函數(shù)的圖像進(jìn)行比較,選擇一種跟散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù),然后采取適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,將非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程。

回歸方程一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn),在高考備考時,要重視閱讀理解,注重體驗(yàn)回歸方程的思維分析過程,根據(jù)散點(diǎn)圖判斷回歸模型是線性還是非線性。如果是線性則直接套公式;如果是非線性,則要通過數(shù)學(xué)變換將非線性轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系,利用最小二乘法求出線性回歸方程系數(shù),進(jìn)而求出線性回歸方程,最后通過數(shù)學(xué)變換還原求出非線性回歸方程。