基于有限存儲空間的分布式傳感器融合估計(jì)器

韓旭，王元鑫，程顯超，王小飛

(1.解放軍91001部隊(duì)，北京 100036；2.海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，青島 266041)

由于無線網(wǎng)絡(luò)化多傳感器融合估計(jì)在航空航天、智能交通、工業(yè)生產(chǎn)自動控制、無人運(yùn)載體導(dǎo)航及環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域的重要應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對其產(chǎn)生了廣泛的關(guān)注和研究[1-5]。然而網(wǎng)絡(luò)化融合估計(jì)在工程背景中受多因素影響不可避免地產(chǎn)生模型的不確定性、隨機(jī)傳輸時延和數(shù)據(jù)包丟失問題，使得融合估計(jì)性能受到嚴(yán)重?fù)p害。針對存有時延和丟包問題的狀態(tài)估計(jì)器設(shè)計(jì)問題，學(xué)術(shù)界已經(jīng)探究了一些理論成果。Sun 和Ma[6-7]利用將狀態(tài)矩陣建立增廣矩陣的思路，將隨機(jī)時延和丟包系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成無時延系統(tǒng)，并利用射影思想推導(dǎo)出最優(yōu)估計(jì)器，但是增廣方法導(dǎo)致高維矩陣的求逆計(jì)算，使得計(jì)算負(fù)擔(dān)成指數(shù)增加。文獻(xiàn)[8]討論集中式融合估計(jì)時，對存在傳感器增益退化甚至無效、模型不確定性、觀測數(shù)據(jù)時延甚至丟包情況下如何進(jìn)行融合估計(jì)問題進(jìn)行考慮，并提出2 種不同的魯棒融合估計(jì)算法。文獻(xiàn)[9]同時考慮模型不確定性、傳感器量測衰減、隨機(jī)傳輸時間延遲和丟包，提出一種集中式框架下的融合估計(jì)器，該估計(jì)器在設(shè)計(jì)新息模型時利用了當(dāng)前時刻之前估計(jì)值的加權(quán)值，表明該方法得到的估計(jì)結(jié)果要比經(jīng)典Kalman 方法精確度更高。但是該估計(jì)器需要處理不同傳感器不同時刻的誤差交聯(lián)，當(dāng)傳感器數(shù)量和時延較大時，實(shí)時性難以保證。文獻(xiàn)[10]提出了一種具有傳感器增益退化、隨機(jī)傳輸時間延遲和數(shù)據(jù)包丟失的分布式融合估計(jì)器，該估計(jì)器雖精度上比集中式結(jié)構(gòu)稍有損失，但計(jì)算量得到了有效降低。文獻(xiàn)[7-9]在每一個采樣周期內(nèi)，只保留到達(dá)估計(jì)中心的多個數(shù)據(jù)包中的一個，進(jìn)行估計(jì)計(jì)算，難免造成了信息損失，而文獻(xiàn)[11]在集中式框架下，在遠(yuǎn)程處理中心為所有傳感器設(shè)置有限長度的存儲空間，用來存儲延遲到達(dá)的數(shù)據(jù)包，將多隨機(jī)觀測時延和丟包問題轉(zhuǎn)化為多丟包問題，并設(shè)計(jì)常增益估計(jì)器避免了運(yùn)算量過大的高維矩陣的求逆計(jì)算。然而當(dāng)模型中存在非高斯非白噪聲不確定干擾時，該估計(jì)器設(shè)計(jì)方法不再適用；同時，雖然集中式的估計(jì)結(jié)構(gòu)能夠使得傳感器信息損失最小，但是所有傳感器均需要同步執(zhí)行相同步數(shù)的重復(fù)遞推計(jì)算，且集中式結(jié)構(gòu)具有容錯率低、可靠性差、工程上難以實(shí)現(xiàn)等不利問題。為克服文獻(xiàn)[11]所提方法的不足，考慮在分布式框架下，研究具有模型不確定性、隨機(jī)時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化融合估計(jì)問題。模型的不確定性用系統(tǒng)狀態(tài)矩陣受到非高斯非白噪聲不確定性擾動來描述，受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā)本文在遠(yuǎn)程處理中心設(shè)置多個不同長度的存儲空間用來存儲各個傳感器延遲到達(dá)的數(shù)據(jù)包，每一采樣周期所有延遲到達(dá)的測量數(shù)據(jù)包按照其時間戳順序被存儲在相應(yīng)位置，用“到達(dá)變量”來刻畫數(shù)據(jù)包的到達(dá)情況。與文獻(xiàn)[9，11]所設(shè)計(jì)估計(jì)器的方式不同，本文首先為每個傳感器分別設(shè)計(jì)局部常增益估計(jì)器，將每個傳感器對應(yīng)的測量值“到達(dá)變量”加入新息的設(shè)計(jì)中，結(jié)合系統(tǒng)矩陣中的非高斯非白噪聲，設(shè)計(jì)了一種計(jì)算負(fù)擔(dān)小的常增益狀態(tài)估計(jì)器，根據(jù)最小方差原則推導(dǎo)出可離線計(jì)算的最優(yōu)局部估計(jì)常增益表達(dá)式。考慮到局部估計(jì)誤差交叉協(xié)方差受各存儲空間長度不同的影響變得計(jì)算困難，給出一種基于分布式協(xié)方差交叉（covariance intersection,CI）的分布式加權(quán)估計(jì)方法[12-13]的融合估計(jì)器，并推導(dǎo)出使得估計(jì)器有界的充分條件。結(jié)果表明：可通過調(diào)節(jié)各個傳感器的存儲空間長度來協(xié)調(diào)融合估計(jì)精度和計(jì)算量之間的關(guān)系，具有較強(qiáng)的工程意義。

1 問題描述與分析

考慮如下離散不確定線性隨機(jī)系統(tǒng)：

式中：x k∈Rn為 系統(tǒng)狀態(tài)，狀態(tài)初值x0為白噪聲，相應(yīng) 的 均 值 為xˉ0，方 差 為P0；A和A?為 確 定 性 矩 陣；w k∈Rn為系統(tǒng)噪聲，用白噪聲描述，統(tǒng)計(jì)特性均值為0，噪聲協(xié)方差矩陣為W。gk為乘性噪聲，且其統(tǒng)計(jì)特性為

假設(shè)采用N個傳感器對某系統(tǒng)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)化實(shí)時狀態(tài)觀測，且第i個傳感器的觀測方程考慮為

不失一般性，對系統(tǒng)做以下假設(shè)：

假設(shè)1對于任意給定的i、j和k，x0、gk、w k和兩兩互不相關(guān)。

如圖1 所示，k時刻第i個傳感器將測量值封裝于數(shù)據(jù)包中，數(shù)據(jù)包經(jīng)無線信道向遠(yuǎn)程處理中心傳輸。由于網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定或帶寬資源不足等問題，數(shù)據(jù)包在到達(dá)處理中心前會發(fā)生時間延遲和丟包，而其隨機(jī)性導(dǎo)致處理中心可能會出現(xiàn)未接收到數(shù)據(jù)包或同一采樣周期接收到多個不同時刻的數(shù)據(jù)包。在處理中心設(shè)置N個不同長度的存儲空間用來存儲N個傳感器發(fā)出的數(shù)據(jù)，每個存儲空間的長度是有所限制的。第i個存儲空間將到達(dá)處理中心的第i個傳感器發(fā)出的數(shù)據(jù)包依照其時間戳標(biāo)定順序進(jìn)行儲存。

圖1 網(wǎng)絡(luò)化分布式多傳感器融合估計(jì)系統(tǒng)架構(gòu)Fig.1 Architecture of networked distributed multi-sensor fusion estimation system

假設(shè)儲存空間是無限長度的，數(shù)據(jù)包儲存過程如圖2 所示。

圖2 無限長度存儲空間存儲過程Fig.2 Stored procedure of space with unlimited length

k時刻為當(dāng)前時刻，k之前各時刻對應(yīng)的測量值被存儲的過程可用“到達(dá)變量”描 述：=1表示測量值在k時刻或k時刻之前達(dá)到處理中心并被存儲；反之，=0表 示在k時刻或k時刻之前未到達(dá)處理中心。若在某一采樣周期未到達(dá)處理中心，則將第i個存儲空間中與相對應(yīng)的存儲值置為0，此時第i個存儲空間中的測量值可表示為

式中：t≥0，∈[0,1]用 以表示h個采樣周期前的數(shù)據(jù)包到達(dá)處理中心的概率，可得

記第i個傳感器對應(yīng)的最大時延值為，則可得

由存儲過程描述可知，在k時刻已經(jīng)到達(dá)處理中心的數(shù)據(jù)包，按照時間戳恢復(fù)了被傳輸前的正常順序，未到達(dá)處理中心的數(shù)據(jù)包則視為在k時刻暫時丟失。

基于式（1）～式（3）設(shè)計(jì)局部估計(jì)器。文獻(xiàn)[11]利用標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波方法，要求系統(tǒng)矩陣是確定的，且系統(tǒng)噪聲服從白噪聲統(tǒng)計(jì)特性。所考慮系統(tǒng)矩陣中存在乘性隨機(jī)噪聲gk，使得每一時刻系統(tǒng)矩陣不再是確定的，并且未假設(shè)gk是白噪聲，所以文獻(xiàn)[11]估計(jì)器設(shè)計(jì)方法不再適用。與文獻(xiàn)[9]不同的是，在設(shè)計(jì)估計(jì)新息時利用到達(dá)變量。綜上，采用如下估計(jì)器形式：

從節(jié)省儲存資源和提高實(shí)時性角度出發(fā)，設(shè)定第i個存儲空間長度有限且長度為M i。如圖3 所示，存儲空間只存儲k時刻之前（包含k時刻）的M i個測量值，默認(rèn)時間戳為k?M i時刻之前（不包括k?Mi時刻）的數(shù)據(jù)包到達(dá)估計(jì)中心后被自動剔除，即視為丟包。當(dāng)k更新時，新的M i個存儲值會順次逐一覆蓋掉原來的存儲值。

圖3 有限長度存儲空間存儲過程Fig.3 Stored procedure of space with limited length

通過定理1 給出存儲空間長度為M i時局部估計(jì)器遞推初值的調(diào)整方法。

定理 1基于長度為M i的 存儲空間，對任意的t≥1和k≥t+Mi，有

至此，要解決的問題是：

2 局部估計(jì)常增益設(shè)計(jì)

設(shè)在k時刻局部估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣為局部估計(jì)誤差交叉協(xié)方差為文獻(xiàn)[14-16]中最優(yōu)矩陣加權(quán)融合估計(jì)方法需要得到，然而由式（14）和式（16）可知，的計(jì)算包含重復(fù)遞推計(jì)算，且遞推步數(shù)與各個存儲空間的長度有關(guān)，因此，獲取是極復(fù)雜的，并且文獻(xiàn)[14-16]所用矩陣加權(quán)方法需要進(jìn)行高維矩陣的求逆計(jì)算，計(jì)算負(fù)擔(dān)隨著傳感器數(shù)量的增多成指數(shù)增長。為避免計(jì)算和高維矩陣的求逆計(jì)算，選取文獻(xiàn)[12-13]所用的CI 矩陣分布式加權(quán)方法得到融合估計(jì)值。由CI 加權(quán)方法可知，加權(quán)矩陣為

U k的遞推式為

為得到主要結(jié)論，先給出引理1 如下。

引理 1如果矩陣均是穩(wěn)定矩陣，則對于任意初值U0≥0， 式（19）的解U k均能夠收斂至唯一的半正定陣，為代數(shù)Lyapunov 方程式（20）的解。

證明定義：

式中： ?為張量積。

為引出主要結(jié)論，給出定理2。

定理 2存在矩陣使得成立的充分必要條件是，對于任意初值能收斂到，即

為方便本定理及后續(xù)定理的證明，給出如下引理。

L(λi,K i,P i)V i＆gt;0 ˉS＆gt;0

引理 2對于算子 ，假設(shè) ， ，則有如下結(jié)論成立：

引理 3H(X)為 單調(diào)增函數(shù)，記X k+1=L(X k)，Y k+1=L(Y k)，則有

引理 4定義如下算子：

引理2～5 的證明過程類似于文獻(xiàn)[17]中相關(guān)引理的證明，這里不再贅述。

證明過程類似于文獻(xiàn)[11]，這里不再贅述。

定理5 表明，M i越 大，穩(wěn)態(tài)估計(jì)精度越高，這是因?yàn)镸 i越大，越多的有效信息會被存儲。因此，可通過增大存儲空間長度來提高估計(jì)器精度。當(dāng)+1時 ，增大M i不會增加更多的有效信息，對精度沒有提高作用，這表明估計(jì)器的精度受到最大時延的影響。不能忽略的是，M i增大時將導(dǎo)致重復(fù)迭代計(jì)算量進(jìn)一步增加。與文獻(xiàn)[11]不同的是，所提方法可對每個傳感器對應(yīng)的存儲空間長度進(jìn)行單獨(dú)設(shè)定，可通過協(xié)調(diào)各個存儲空間的長度M i來平衡融合估計(jì)器精度和計(jì)算量之間的關(guān)系，具有更強(qiáng)的選擇靈活性。

這里需要說明的是，相比于文獻(xiàn)[11]所提方法，通過CI 分布式加權(quán)方法將集中式計(jì)算轉(zhuǎn)化為并行的分布式計(jì)算，使得傳感器之間最優(yōu)局部估計(jì)器的計(jì)算互不影響，避免文獻(xiàn)[11]中所有傳感器均需要同步進(jìn)行相同步長的遞推計(jì)算，因而降低了計(jì)算負(fù)擔(dān)，增強(qiáng)了容錯性。最優(yōu)常增益的推導(dǎo)也不再利用文獻(xiàn)[11]中標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波方法，能夠有效處理系統(tǒng)矩陣中的非高斯非白噪聲干擾。

3 算例仿真

對由3 個傳感器觀測的某不間斷電源系統(tǒng)進(jìn)行算例仿真[6]，系統(tǒng)矩陣觀測矩陣系統(tǒng)噪聲w k=觀測噪聲均為均值為0 的白噪聲且相互獨(dú)立，其協(xié)方差均為1。設(shè)乘性噪聲gk在區(qū)間Dg=[?0.3,0.3]取值時概率上滿足均勻分布統(tǒng)計(jì)規(guī)律，Dg表 示區(qū)間。系統(tǒng)初始狀態(tài)值x0的3 個狀態(tài)分量服從正態(tài)分布規(guī)律，且均值為0 方差為1，狀態(tài)估計(jì)值初始取為傳感器對應(yīng)的存儲空間長度均為M=4，各傳感器對應(yīng)的信道最大時延為=5， 各時延率為=0.12，為驗(yàn)證所提方法的有效性，本文進(jìn)行200 次Monte Carlo 仿真計(jì)算，得到的分布式融合估計(jì)值和3 個傳感器觀測系統(tǒng)的局部最優(yōu)估計(jì)值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4 所示。5 條曲線依次表示系統(tǒng)狀態(tài)真值 、融x k合估計(jì)值、局部最優(yōu)估計(jì)值和。根據(jù)圖4的仿真結(jié)果，分布式融合估計(jì)值和局部估計(jì)值均能夠較好地跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)真值。如圖5 所示為分布式終端融合估計(jì)和3 個傳感器局部估計(jì)的估計(jì)誤差均方差（MSE）仿真結(jié)果，根據(jù)圖5 的仿真結(jié)果，基于CI 方法的融合估計(jì)值其誤差均方差小于每一個局部估計(jì)值的誤差均方差，符合式（16）。

圖4 估計(jì)值跟蹤系統(tǒng)真值情況Fig.4 True value of tracking system of estimated value

圖5 估計(jì)誤差均方差對比Fig.5 Comparison of estimated error variances

為分析模型不確定性的大小對估計(jì)精度的影響程度，本文仿真得到乘性噪聲gk分別在區(qū)間Dg=[?0.1,0.1]、Dg=[?0.3,0.3]和Dg=[?0.5,0.5]上服從均勻分布時相對應(yīng)的融合估計(jì)誤差方差計(jì)算結(jié)果，如圖6 所示。根據(jù)圖6 仿真結(jié)果，當(dāng)系統(tǒng)模型的不確定性越大時，體現(xiàn)在乘性噪聲gk的方差越大，即區(qū)間Dg的寬度范圍越大，相對應(yīng)的融合估計(jì)結(jié)果誤差方差越大，這和實(shí)際情況相符。為驗(yàn)證所提方法使得融合估計(jì)器有界的條件，選取Dg=[?0.3,0.6]和Dg=[?0.3,0.91]， 前者對應(yīng)的譜半徑ρ1(A+)=0.891 0， 后者對應(yīng)的譜半徑 ρ2(A+)=1.003 7，顯然A+是 穩(wěn)定的，A+是不穩(wěn)定的，圖7 為與兩者對應(yīng)的融合估計(jì)誤差方差仿真曲線，可以看出前者對應(yīng)的估計(jì)誤差方差是有界的，后者則是發(fā)散的，因此驗(yàn)證了定理4 的結(jié)論。為分析存儲空間長度M對融合估計(jì)精度的影響，分別取不同的M值，相應(yīng)的融合估計(jì)誤差方差仿真結(jié)果如圖8 和圖9所示。圖8 表明，在M＆lt;=5,i=1,2,3時 ，增大M能夠提高融合估計(jì)精度，圖9 表明當(dāng)M≥=5,i=1,2,3時 ，增大M無法使得融合精度更高，從而驗(yàn)證了定理5 的結(jié)論。

圖6 乘性噪聲gk 與融合估計(jì)誤差的關(guān)系Fig.6 Relationship between multiplicative noise gk andfusionestimationerror

圖7 乘性噪聲gk 特性與融合估計(jì)器有界性的關(guān)系Fig.7 Relationship between characteristics of multiplicative noise gk and fusion estimator boundedness

圖8 M取1,2,3,4,5時存儲空間長度與融合估計(jì)精度的關(guān)系Fig.8 Relationship between storage space length and fusion estimation accuracy when M=1,2,3,4,5

圖9 M取5,6時存儲空間長度與融合估計(jì)精度的關(guān)系Fig.9 Relationship between storage space length and fusion estimation accuracy when M=5,6

4 結(jié) 論

1)本文提出了一種用于模型不確定性、隨機(jī)傳輸時延和數(shù)據(jù)包丟失等網(wǎng)絡(luò)通信受限下的分布式加權(quán)估計(jì)方法的融合估計(jì)器，為多傳感器融合估計(jì)提供了一種新的思路，具有較強(qiáng)的工程意義。

2)本文在遠(yuǎn)程處理中心處設(shè)置多個有限長度的存儲空間，用來存儲各個傳感器的量測值，避免了過多信息損失。

3)本文在最小方差原則下設(shè)計(jì)一種最優(yōu)常增益狀態(tài)估計(jì)器，可以通過靈活調(diào)節(jié)存儲空間的長度平衡融合估計(jì)精度和計(jì)算負(fù)擔(dān)，具有較強(qiáng)的靈活性。

在后續(xù)的研究工作中，將針對估計(jì)器有限步長重復(fù)遞推問題，研究如何提高數(shù)據(jù)包信息利用率降低融合中心存儲壓力。