聲學(xué)超表面抑制高速邊界層內(nèi)寬頻不穩(wěn)定模態(tài)研究

王蔚彰，孔維萱，嚴(yán)昊，趙瑞，*

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2.北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京 100076)

在高超聲速的飛行工況下，飛行器壁面的層流極易發(fā)展為湍流，該過程即為轉(zhuǎn)捩[1]。轉(zhuǎn)捩會(huì)使得飛行器壁面摩阻和壁面熱流顯著增加，從而使得飛行器載重比減小，燃油效率降低等。轉(zhuǎn)捩問題是經(jīng)典力學(xué)遺留的少數(shù)基礎(chǔ)科學(xué)問題之一，與湍流問題一起被稱為“百年難題”。隨著高超聲速飛行器的不斷發(fā)展，有效控制高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩愈發(fā)重要，進(jìn)而降低飛行阻力，減小壁面熱流，提高燃料效率[2-5]。目前的轉(zhuǎn)捩控制技術(shù)可分為兩大類：①主動(dòng)控制技術(shù)，如壁面吹吸、等離子激勵(lì)、二氧化碳注射等，由于需要在飛行器外部增設(shè)運(yùn)行機(jī)構(gòu)，不便應(yīng)對(duì)高超聲速飛行工況下嚴(yán)峻的氣動(dòng)力熱環(huán)境，很難投入到實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中；②被動(dòng)控制技術(shù)，如粗糙元、波紋壁、聲學(xué)超表面等，由于其機(jī)構(gòu)設(shè)置簡(jiǎn)單，具有較高實(shí)用前景。其中聲學(xué)超表面特征尺度（孔徑）遠(yuǎn)小于邊界層厚度，對(duì)基本流影響較小。由于聲學(xué)超表面具有各種不同的材料特性和微結(jié)構(gòu)形式，可通過多種作用機(jī)理影響轉(zhuǎn)捩，應(yīng)用前景更加廣泛[6-8]。

對(duì)于可壓縮流動(dòng)，邊界層內(nèi)擾動(dòng)可以分為快聲波、慢聲波、熵波和渦波?？?、慢聲波是相對(duì)自由流以聲速傳播的擾動(dòng)，假設(shè)自由流的馬赫數(shù)為Ma，則快、慢聲波的無量綱相速度分別為c=1±1/Ma，可分別激發(fā)出快/慢(F/S)模態(tài)，主要區(qū)別在于相速度，在流場(chǎng)前端，F(xiàn) 模態(tài)的相速度趨近于1+1/Ma，S 模態(tài)的相速度趨近于1?1/Ma。快模態(tài)向下游發(fā)展到某個(gè)流向位置處時(shí)，其與慢模態(tài)相速度的實(shí)部相同，這個(gè)位置被稱為同步點(diǎn)。同步點(diǎn)之前，慢模態(tài)為第1 模態(tài)；同步點(diǎn)之后，慢模態(tài)為增長(zhǎng)率較高的第2 模態(tài)[9-11]。

Fedorov 等[2]最早使用線性穩(wěn)定性理論[12]（linear stability theory,LST）研究了規(guī)則微型圓孔超表面對(duì)第2 模態(tài)的抑制效果，并在高超聲速尖錐風(fēng)洞試驗(yàn)中證實(shí)了聲學(xué)超表面能夠顯著延長(zhǎng)層流區(qū)域[13]。涂國華等[14]基于Fedorov 的方法探索了多孔超表面的最優(yōu)開孔率和孔半徑，Zhao 等[15]考慮了相鄰孔之間的干擾，提出了具有更高預(yù)測(cè)精度的超表面阻抗模型，并采用直接數(shù)值模擬方法（directnumerical simulation，DNS）詳細(xì)分析了擾動(dòng)與微結(jié)構(gòu)相互作用演化過程[16-17]。郭啟龍等[18]對(duì)較大尺寸的橫向矩形微槽進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究表明橫向微槽在一定寬帶頻率范圍內(nèi)對(duì)第2 模態(tài)有明顯的抑制作用，且開槽率越大，抑制效果越好，其中開槽率 φ=ns/L，n為開槽數(shù)，s為微槽寬度，L為整個(gè)開槽表面的流向長(zhǎng)度。Tu 等[19]通過對(duì)比分析天地工況下的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)鈍度雷諾數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)捩N值影響較大，給出多個(gè)經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，提高轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)精度。劉強(qiáng)等[20]對(duì)高超聲速邊界層的主要失穩(wěn)機(jī)制進(jìn)行了概述，分別從主動(dòng)和被動(dòng)控制2 個(gè)方面詳細(xì)介紹了延遲轉(zhuǎn)捩控制技術(shù)的最新進(jìn)展。

但是Fedorov 等[21]針對(duì)金屬氈的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，聲學(xué)超表面在抑制第2 模態(tài)的同時(shí)，會(huì)引發(fā)第1 模態(tài)的不穩(wěn)定性，并且該不穩(wěn)定性隨著壁面溫度的下降而減弱。Wang 和Zhong[22-23]發(fā)現(xiàn)聲學(xué)超表面的放置位置及導(dǎo)納相位角對(duì)邊界層穩(wěn)定性的抑制效果均有一定影響。Tian 等[24]提出一種反向設(shè)計(jì)方法，在馬赫數(shù)為4 邊界層流動(dòng)中有效抑制第2 模態(tài)，同時(shí)不顯著激發(fā)第1 模態(tài)，然而這種設(shè)計(jì)方法需要沿流向漸進(jìn)改變微結(jié)構(gòu)幾何尺寸，不易加工實(shí)現(xiàn)。更重要的是，在該馬赫數(shù)下，同時(shí)存在第1 模態(tài)和第2 模態(tài)，需要綜合考慮。隨后，趙瑞等[25]針對(duì)第1 模態(tài)進(jìn)行了聲學(xué)超表面的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了在單頻和寬頻下抑制第1 模態(tài)的目的，但未考慮對(duì)第2 模態(tài)的影響。

實(shí)際工程應(yīng)用中，聲學(xué)超表面在抑制邊界層轉(zhuǎn)捩主導(dǎo)模態(tài)的同時(shí)，應(yīng)避免激發(fā)另一模態(tài)誘發(fā)轉(zhuǎn)捩，這樣才能有效延長(zhǎng)層流覆蓋區(qū)域?；谠撃康模疚囊择R赫數(shù)為4 的超聲速邊界層為研究對(duì)象，使用LST 研究了聲學(xué)超表面導(dǎo)納相位與幅值對(duì)各擾動(dòng)模態(tài)的影響規(guī)律，提出一種工程可實(shí)現(xiàn)的聲學(xué)超表面設(shè)計(jì)方案。在綜合考慮第1 模態(tài)和第2 模態(tài)的前提下，能夠?qū)崿F(xiàn)寬頻擾動(dòng)抑制。

1 研究方法與模型

1.1 線性穩(wěn)定性理論

用線性穩(wěn)定性分析[26-29]研究可壓縮黏性流體高超聲速邊界層中的不穩(wěn)定性問題。

設(shè)擾動(dòng)量 ?為

將瞬時(shí)量表示為平均流和擾動(dòng)量之和，代入可壓縮黏性流體的雷諾平均Navier-Stokes 方程和氣體狀態(tài)方程可推導(dǎo)出擾動(dòng)的控制方程為

式中：C為五階矩陣；Fn為非線性項(xiàng)。

將式(1)代入式(2)中，忽略非線性項(xiàng)，可得

式中

基于平行流假設(shè)，流向的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可忽略不計(jì)，式(3)可簡(jiǎn)化為

邊界條件為

式中：A為 聲學(xué)超表面的導(dǎo)納。導(dǎo)納A為聲阻抗的倒數(shù)，其值取決于材料特性、孔隙參數(shù)及擾動(dòng)參數(shù)等。對(duì)于光滑壁面， |A|=0。聲阻抗為聲壓與聲流量之比，表示聲波在介質(zhì)中傳播時(shí)需要克服的阻力。

聯(lián)立式(4)和式(5)，通過數(shù)值方法求解得到 α,虛部為 αi，則擾動(dòng)波的增長(zhǎng)率 σ=?αi。 若 α＆gt;0，即增長(zhǎng)率 σ＆lt;0,則表示擾動(dòng)波處于不穩(wěn)定狀態(tài)，本文采用 σ表征擾動(dòng)波的增長(zhǎng)率大小。

1.2 e N 方法

eN方法是基于線性穩(wěn)定性理論，通過累計(jì)不穩(wěn)定波的線性增長(zhǎng)率來預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩的一種半經(jīng)驗(yàn)方法[30]。邊界層內(nèi)的小擾動(dòng)逐步向下游傳播，進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域后擾動(dòng)的幅值會(huì)被逐步放大。沿?cái)_動(dòng)傳播的方向?qū)υ鲩L(zhǎng)率積分，可以得到幅值的放大倍數(shù)為

式中:x0為 積分起始位置；x為任意流向位置。

通常根據(jù)實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)設(shè)定一個(gè)轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT，當(dāng)N達(dá)到NT時(shí)認(rèn)為轉(zhuǎn)捩發(fā)生。實(shí)際流動(dòng)中，有多種不同頻率的小擾動(dòng)，可計(jì)算得到一族不同頻率下的轉(zhuǎn)捩判據(jù)N值曲線，取該族曲線的包絡(luò)線，當(dāng)N值包絡(luò)達(dá)到NT時(shí)，對(duì)應(yīng)的位置認(rèn)定為轉(zhuǎn)捩發(fā)生位置，即轉(zhuǎn)捩位置與N值包絡(luò)應(yīng)滿足：

其直接連接了轉(zhuǎn)捩位置xtr與 起始位置x0處擾動(dòng)的振幅比關(guān)系，可以寫為

1.3 縫隙型超表面的阻抗模型

假設(shè)來流為理想氣體，普朗特?cái)?shù)Pr=0.72，比熱比 γ=1.4。來流條件與文獻(xiàn)[24]相同，即來流馬赫數(shù)Ma=4，單位雷諾數(shù)Re=1.39×107，來流溫度=70.238K，板長(zhǎng)為0.4m。平板壁面為等溫壁2= 9 5 K，上標(biāo)*表示參數(shù)有量綱，邊界層外緣參數(shù)用下標(biāo)e表示。動(dòng)力黏性系數(shù) μ?通過Sutherland 定律求得。速度u?和v?、 動(dòng)力黏性系數(shù) μ?、 溫度T?和 密度 ρ?分別以邊界層邊緣處的速度和進(jìn)行無量綱化。壓力p?、 流向波數(shù) α和 無量綱角頻率 ω分別以、 1/l?和/l?作 為量綱,其中無量綱角頻率ω=2πf?l?/，其中，

如圖1(a)所示為縫隙型超表面在xOy面內(nèi)的二維切面， ?y方向?yàn)榭咨罘较??？p隙的孔寬為 2b，孔深為H，周期為s。 對(duì)應(yīng)的孔隙率n=2b/s， 寬深比Ar=2b/H。x、y及長(zhǎng)度等變量通過l?進(jìn)行無量綱化。圖1(b)為縫隙型超表面的三維結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 縫隙型聲學(xué)超表面的示意圖Fig.1 Schematic diagram of the aperture type acoustic metasurface

縫隙型聲學(xué)超表面的導(dǎo)納式[24]為

式中：kv和kt分別為無量綱黏性波數(shù)和熱波數(shù)。

A=|A|eiθ|A|

導(dǎo)納A可表示為 。其中 為導(dǎo)納幅值， θ（實(shí)數(shù)）為導(dǎo)納相位。每單位面積的聲學(xué)超表面對(duì)擾動(dòng)能量的影響為

式中：c.c.為相應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)；下標(biāo)w 為壁面參數(shù)。

由于聲學(xué)超表面微結(jié)構(gòu)對(duì)擾動(dòng)波的黏性耗散作用，Ew＆lt;0。因此，相位 θ 的取值范圍是0.5 π～1.5 π。

2 聲學(xué)超表面設(shè)計(jì)

2.1 導(dǎo)納對(duì)擾動(dòng)模態(tài)的影響

如圖2 所示為光滑平板表面的線性穩(wěn)定性分析結(jié)果，從圖2 中可以看出，在寬頻范圍下，平板邊界層中同時(shí)存在第1 模態(tài)與第2 模態(tài)，且較小的無量綱角頻率 ω對(duì)應(yīng)為第1 模態(tài)，較大時(shí)對(duì)應(yīng)第2 模態(tài)。隨著流向位置x的變化，第1 模態(tài)和第2 模態(tài)增長(zhǎng)率大于0 所對(duì)應(yīng)的 ω范圍基本不變，第1 模態(tài)在ω范圍為0.03～0.12 內(nèi)增長(zhǎng)率大于0，第2 模態(tài)在 ω范圍為0.23～0.27 內(nèi)增長(zhǎng)率大于0。因此，可以采用無量綱角頻率 ω表示第1/第2 模態(tài)的不穩(wěn)定性性質(zhì)，與文獻(xiàn)[24-25]結(jié)論相同。

圖2 光滑平板表面不穩(wěn)定模態(tài)的增長(zhǎng)率Fig.2 Growth rates of unstable modes on smooth solid walls

以x=0.2m 處為例，進(jìn)一步研究聲學(xué)超表面導(dǎo)納相位 θ變化范圍：0.5 π～1.5 π，幅值 |A|變化范圍為：1～8，對(duì)邊界層中的第1/第2 模態(tài)增長(zhǎng)率的影響規(guī)律。從圖3(a)中可以看出，導(dǎo)納相位 θ= 0.5 π時(shí)，第1 模態(tài)可被抑制，但同時(shí)，第2 模態(tài)會(huì)被激發(fā)；從圖3(b)中可以看出，相位 θ 為0.75 π時(shí)，第2 模態(tài)受到抑制，但同時(shí)，第1 模態(tài)會(huì)被激發(fā)；且相位 θ越接近 π，對(duì)第2 模態(tài)的抑制效果越好，其中圖3(c)給出了 θ 為 π的 結(jié)果。整體來看，幅值 |A|越大，對(duì)不穩(wěn)定模態(tài)的抑制/激發(fā)效果越明顯。

圖3 聲學(xué)超表面導(dǎo)納相位與幅值對(duì)不穩(wěn)定模態(tài)增長(zhǎng)率的影響Fig.3 Effects of admittance phase and amplitude of acoustic metasurface on the growth rates of unstable modes

如圖4 所示，以ω=0.12 表征第1 模態(tài)，此時(shí)光滑表面的增長(zhǎng)率 σ=0.62，固定導(dǎo)納幅值等于2，研究導(dǎo)納相位對(duì)第1 模態(tài)增長(zhǎng)率的影響。從圖4 中可以看出，當(dāng)θ ＆lt;0.55 π時(shí)，聲學(xué)超表面可以對(duì)第1 模態(tài)產(chǎn)生抑制效果。

圖4 不同導(dǎo)納相位對(duì)第1模態(tài)增長(zhǎng)率的影響Fig.4 Effects of admittance phase on the growth rates of the first mode

對(duì)于相位 θ 接近0.5 π的情況，在一定頻率范圍內(nèi)（ ω ＆lt; 0.12），導(dǎo)納幅值 |A|的增大可以增強(qiáng)對(duì)第1 模態(tài)的抑制效果，但會(huì)增強(qiáng)對(duì)第2 模態(tài)的激發(fā)效果，并導(dǎo)致不穩(wěn)定第2 模態(tài)的頻率降低，甚至在同一頻率下同時(shí)出現(xiàn)不穩(wěn)定的第1 模態(tài)和第2 模態(tài)。因此對(duì)于本文算例，當(dāng)ω為0.03～0.12 之間時(shí)（即第1模態(tài)），導(dǎo)納相位盡量接近0.5 π，可抑制第1 模態(tài)；在ω為0.23～0.27 之間時(shí)（即第2 模態(tài)），導(dǎo)納相位大于0.75 π，可抑制第2 模態(tài)；且在ω為0.12～0.23之間時(shí)（第1/第2 模態(tài)重疊區(qū)域），盡可能使導(dǎo)納幅值較小，可減弱對(duì)第2 模態(tài)的激發(fā)效果?？傊?，通過在不同頻率范圍內(nèi)調(diào)節(jié)導(dǎo)納相位和幅值，可實(shí)現(xiàn)寬頻范圍下抑制邊界層第1/第2 模態(tài)擾動(dòng)波。

2.2 微縫隙幾何參數(shù)對(duì)導(dǎo)納的影響

通過2.1 節(jié)可獲得導(dǎo)納相位和幅值對(duì)邊界層內(nèi)不穩(wěn)定模態(tài)的影響規(guī)律，進(jìn)一步研究超表面微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)導(dǎo)納相位和幅值的影響，以期通過調(diào)整幾何參數(shù)獲取目標(biāo)導(dǎo)納。如圖1 所示，超表面主要參數(shù)有孔隙率n（0.1～0.8），寬深比Ar（0.1～1.5），深度H（0.1～2mm），分別研究寬頻范圍下各參數(shù)對(duì)導(dǎo)納的影響。

2.2.1 孔隙率n

保持寬深比A r=1.5，深度H=0.5mm 固定不變，孔隙率n在0.1～0.8 區(qū)間內(nèi)變化。如圖5（a）所示，固定ω下孔隙率對(duì)導(dǎo)納相位沒有影響，隨著ω的增加，導(dǎo)納相位從小到大逐漸增加；在導(dǎo)納相位增長(zhǎng)較快的頻率區(qū)域，導(dǎo)納幅值較大，并且隨著孔隙率n的增大而增大（見圖5（b））。在深度增加后，基本變化規(guī)律不變，導(dǎo)納相位從小到大不斷往復(fù)。

圖5 孔隙率對(duì)導(dǎo)納相位和導(dǎo)納幅值的影響Fig.5 Effect of n on admittance phase and amplitude

2.2.2 寬深比A r

保持孔隙率n=0.5，深度H=0.5mm 固定不變，寬深比Ar 在0.1～1.5 區(qū)間內(nèi)變化。如圖6（a）所示，橫向來看，隨著Ar 的增加，導(dǎo)納相位在不同ω下呈單調(diào)變化，變化幅度較?。豢v向來看，Ar 較小時(shí)，導(dǎo)納相位接近 π，且在寬頻范圍內(nèi)的變化幅度較小；Ar 較大時(shí)，導(dǎo)納相位在寬頻范圍內(nèi)從小到大逐漸增加；在導(dǎo)納相位增長(zhǎng)較快的頻率區(qū)域，導(dǎo)納幅值較大，且隨著寬深比Ar 的增大而增大（見圖6（b））。結(jié)合2.1 節(jié)的研究可得，在較低頻率下（0.03＆lt;ω＆lt;0.12），導(dǎo)納相位應(yīng)小于0.55 π，才可抑制第1 模態(tài)，因此Ar 需大于等于0.7；并且隨著寬深比的增加，導(dǎo)納相位等于0.55 π時(shí)對(duì)應(yīng)的幅值逐漸增大。

圖6 寬深比對(duì)導(dǎo)納相位和導(dǎo)納幅值的影響Fig.6 Effect of Ar on admittance phase and amplitude

2.2.3 深度H

保持n=0.5，Ar=1.5 固定不變，深度H 在0.1～2mm 區(qū)間內(nèi)變化。圖7 為不同孔深的二維縫隙聲學(xué)超表面在寬頻范圍下導(dǎo)納的變化規(guī)律。從圖7中可以看出，當(dāng)孔深H＆lt;0.2mm 時(shí)，隨著ω的增加，導(dǎo)納相位基本保持在0.55 π以下，導(dǎo)納幅值略微增加；當(dāng)0.2mm＆lt;H＆lt;1 mm 時(shí)，隨著ω的增加，導(dǎo)納相位從0.5 π增加至1.5 π，同時(shí)導(dǎo)納幅值也會(huì)先增加再減小，并且發(fā)現(xiàn)導(dǎo)納相位在0.55 π～ 1.2 π之間變化十分明顯，同時(shí)導(dǎo)納幅值在該階段內(nèi)處于極大值；當(dāng)H＆gt;1 mm 時(shí)，導(dǎo)納相位和導(dǎo)納幅值則會(huì)反復(fù)增加和減小。結(jié)合2.1 節(jié)研究可得，在較高頻率下（ω＆gt;0.23），為抑制第2 模態(tài)，導(dǎo)納相位應(yīng)大于0.75 π，因此，深度H應(yīng)限制在0.1～1mm 之間；在第1/第2 模態(tài)重疊區(qū)域（0.12＆lt;ω＆lt;0.23）,由于第2 模態(tài)在導(dǎo)納相位處于0.55 π～ 0.75 π范圍內(nèi)且導(dǎo)納幅值較大時(shí)，增長(zhǎng)率會(huì)被劇烈激發(fā)，并且該階段無法避免，因此需要保證導(dǎo)納幅值盡可能小。

圖7 深度對(duì)導(dǎo)納相位與導(dǎo)納幅值的影響Fig.7 Effect of H on admittance phase and amplitude

2.3 可實(shí)現(xiàn)性寬頻抑制方案

對(duì)于同時(shí)存在第1 模態(tài)和第2 模態(tài)的邊界層流動(dòng)，在進(jìn)行聲學(xué)超表面微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，需要同時(shí)考慮2 種模態(tài)。在馬赫數(shù)為4 的來流條件下，同時(shí)存在第1 模態(tài)和第2 模態(tài)，因此，既需要以抑制第1模態(tài)為目標(biāo)進(jìn)行聲學(xué)超表面的優(yōu)化設(shè)計(jì)，又需要兼顧不過分激發(fā)第2 模態(tài)甚至抑制第2 模態(tài)。

根據(jù)2.1 節(jié)的研究可得篩選二維縫隙參數(shù)的方法為：

1)ω＆lt;0.12 時(shí)，導(dǎo)納相位小于0.55 π，且導(dǎo)納幅值較小，可保證對(duì)第1 模態(tài)的抑制效果；

2)在第1/第2 模態(tài)重疊的頻率區(qū)域，需要取導(dǎo)納幅值最小對(duì)應(yīng)的參數(shù)，可盡量減小對(duì)第2 模態(tài)的激發(fā)效果；

3)ω＆gt;0.23 時(shí)，導(dǎo)納相位大于0.75 π，可保證對(duì)第2 模態(tài)的抑制效果。

根據(jù)2.2 節(jié)的研究可得微縫隙幾何參數(shù)域?yàn)椋嚎咨頗(0.1～1mm)、孔隙率n(0.1～0.8)和寬深比Ar(0.7～1.5)。在不同x位置處，通過在參數(shù)域中進(jìn)行循環(huán)篩選得出抑制效果最優(yōu)的縫隙參數(shù)，并且保證所篩選出的參數(shù)符合式(9)使用條件：s＆lt;λ，其中s為縫隙周期長(zhǎng)度， λ為擾動(dòng)波波長(zhǎng)。

根據(jù)如圖8 所示的流程進(jìn)行篩選縫隙幾何參數(shù)。

圖8 縫隙參數(shù)篩選流程Fig.8 Flow chart of slit parameter screening

經(jīng)篩選得到的不同流向位置處的最優(yōu)縫隙參數(shù)，如表1 所示。其中寬深比Ar 均為0.7，為篩選參數(shù)域內(nèi)的最小值，這是由于寬深比增加會(huì)導(dǎo)致對(duì)應(yīng)導(dǎo)納幅值增大，與2.2 節(jié)中的結(jié)論相吻合；孔隙率不是最小值，同時(shí)逐漸增加，這是由于需要保證縫隙參數(shù)滿足式(9)使用條件：s＆lt;λ；n和Ar 保證了導(dǎo)納幅值最小，減小了第1/第2 模態(tài)重疊區(qū)域的激發(fā)效果，深度H不斷增加則保證了不同流向位置處對(duì)低頻第1 模態(tài)和高頻第2 模態(tài)的抑制效果。

表1 不同 x 位置處的最優(yōu)縫隙參數(shù)Table 1 Optim al gap parameters at different x positions

經(jīng)多項(xiàng)式擬合深度后得：H=0.1525+1.49356x?0.50379x2。依據(jù)擬 合式，分別設(shè)計(jì)2 種聲學(xué)超表面：①從0.05m 處開始，每0.0 1m 通過擬合公式給定新的孔隙參數(shù)進(jìn)行分段，總計(jì)35 段，記為聲學(xué)超表面A；②進(jìn)一步提高工程上的可實(shí)現(xiàn)性，從0.05m處開始，每0.02m 分為一段，總計(jì)17 段，記為聲學(xué)超表面B。

2.4 線性穩(wěn)定性分析

使用LST 對(duì)聲學(xué)超表面A 寬頻擾動(dòng)抑制效果進(jìn)行分析（超表面B 結(jié)果類似，此處不再贅述）。如圖9(a)所示，分段設(shè)計(jì)后的聲學(xué)超表面A 可對(duì)40～80 kHz 范圍內(nèi)的擾動(dòng)，即第1 模態(tài)實(shí)現(xiàn)寬頻抑制效果；如圖9(b)所示，對(duì)于160～240 kHz 范圍內(nèi)的擾動(dòng)，即較低頻率的第2 模態(tài)，聲學(xué)超表面可使其最大增長(zhǎng)率位置前移，但不被過分激發(fā);如圖9(c)所示，對(duì)于320～400 kHz 頻率范圍內(nèi)的擾動(dòng)，即高頻第2 模態(tài)，其作用范圍較小，處于x在0.05～0.1m之間，在該范圍內(nèi)可實(shí)現(xiàn)良好的寬頻抑制效果。

圖9 不同頻率下擾動(dòng)模態(tài)在聲學(xué)超表面與光滑表面的增長(zhǎng)率對(duì)比Fig.9 Growth rates of unstable modes at different frequencies on acoustic metasurface and smooth surface

圖10 聲學(xué)超表面與光滑表面的N值曲線對(duì)比Fig.10 Comparisons of N-value curves of acoustic metasurface and smooth surface

如圖11 所示，由聲學(xué)超表面與光滑表面的 eN包絡(luò)線對(duì)比可得，聲學(xué)超表面均使平板前端的N值增加，平板后端的N值減小。在N=1.82 時(shí)，光滑表面對(duì)應(yīng)的x位置為0.4m，聲學(xué)超表面對(duì)應(yīng)的x位置為0.436m，要比光滑表面延遲約9.24%。在相同流向位置x=0.4m 處時(shí)，聲學(xué)超表面的N值為1.71，相比于光滑表面減小6.04%。相比于聲學(xué)超表面A，聲學(xué)超表面B 由于分段數(shù)較少，對(duì)低頻第2 模態(tài)的前移與激發(fā)效果更明顯，使得平板前端N值增加的程度與范圍更大；由于對(duì)第1 模態(tài)的抑制效果基本相同，使得2 種聲學(xué)超表面在平板后端的N值基本不變。

圖11 聲學(xué)超表面與光滑表面N值包絡(luò)線對(duì)比Fig.11 Comparisons of N-value envelopments of acoustic metasurface and smooth surface

3 結(jié) 論

本文使用LST 計(jì)算分析了聲學(xué)超表面的導(dǎo)納對(duì)超聲速平板邊界層中第1 模態(tài)和第2 模態(tài)的影響規(guī)律。在Ma為4 的工況下，結(jié)合縫隙幾何參數(shù)對(duì)導(dǎo)納的影響，提出一種可實(shí)現(xiàn)性寬頻抑制的分段設(shè)計(jì)方案，并采用 eN方法對(duì)聲學(xué)超表面進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如下：

1）當(dāng)導(dǎo)納相位減小至0.5 π時(shí)，第1 模態(tài)可被抑制，但第2 模態(tài)會(huì)被激發(fā)；與此同時(shí)導(dǎo)納幅值在部分頻率范圍內(nèi)增大時(shí)，抑制第1 模態(tài)的效果更加顯著，一旦超出該范圍會(huì)激發(fā)第1 模態(tài)；當(dāng)導(dǎo)納相位接近 π時(shí)，第2 模態(tài)受到抑制，但第1 模態(tài)會(huì)被激發(fā)；整體來看，幅值越大，對(duì)不穩(wěn)定模態(tài)的抑制/激發(fā)效果越明顯。

2）寬頻抑制方案的聲學(xué)超表面可以在寬頻范圍內(nèi)同時(shí)抑制第1 模態(tài)和高頻第2 模態(tài)，且不過分激發(fā)低頻第2 模態(tài)。

3）聲學(xué)超表面使得平板前端N值略有增加，平板后端N值降低；在到達(dá)相同N值時(shí)，聲學(xué)超表面對(duì)應(yīng)的x位置要比光滑表面延遲約9.24%。

本文提出的可實(shí)現(xiàn)性寬頻抑制方案針對(duì)Ma為4 的工況下第1 和第2 模態(tài)，忽略更高階的模態(tài)影響。在此基礎(chǔ)上，后續(xù)將使用直接數(shù)值模擬對(duì)所優(yōu)化設(shè)計(jì)的縫隙型聲學(xué)超表面進(jìn)行驗(yàn)證，并與LST結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)一步研究聲學(xué)超表面的工程應(yīng)用價(jià)值。對(duì)于其他工況與更高階的模態(tài)，可采取類似的分析方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。