雙跨梁撓度計(jì)算方法及求撓度極值點(diǎn)、撓度極值和撓曲線圖繪制方法

李成鋼，何振程，李宏寧，臧偉

[1.廣東鳳鋁鋁業(yè)有限公司，廣東 佛山 528133 ；2.佛山市三水鳳鋁鋁業(yè)有限公司，廣東 佛山 528133；3.亞松聚氨酯（上海）有限公司，上海 200333；4.山東南山鋁業(yè)股份有限公司，山東 煙臺(tái) 265706 ]

0 引言

澆注式隔熱鋁合金幕墻立柱的雙跨連續(xù)梁撓度計(jì)算是澆注式隔熱玻璃幕墻結(jié)構(gòu)計(jì)算的重要組成部分。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]公式（9）～（11）普通鋁合金簡(jiǎn)支梁的基本撓曲線微分方程、文獻(xiàn)[2]第50 頁(yè)公式（7）的澆注式隔熱鋁合金梁的撓曲線的微分方程，對(duì)澆注式隔熱鋁合金梁在集中偏心荷載P 作用下?lián)隙扔?jì)算方法進(jìn)行推導(dǎo)，得出承受均布荷載的澆注式隔熱鋁合金雙跨連續(xù)梁撓曲線微分方程，求導(dǎo)后得出撓曲線斜率的微分方程，最大撓度值發(fā)生在斜率為零處。推導(dǎo)出的計(jì)算公式繁雜，涉及的計(jì)算變量也較多，很容易造成計(jì)算錯(cuò)誤或計(jì)算結(jié)果與真實(shí)值有很大偏差，為了解決這一計(jì)算難題，在撓曲線微分方程里引入了分項(xiàng)常數(shù)這一概念；利用《高等數(shù)學(xué)》里求方程的近似解的二分法，采用Python語言編程，簡(jiǎn)單高效求得撓曲線微分方程及撓曲線斜率微分方程極值點(diǎn)的近似解，從而求得撓度極值點(diǎn)位置及撓度極值。利用Python 中的繪圖庫(kù)Matplotlib 編程繪制出撓曲線圖能夠正確反映撓曲線的變化規(guī)律，便于合理確定雙跨梁短跨的中間滑支座的正確位置。

1 理論依據(jù)

1.1 普通鋁合金簡(jiǎn)支梁撓度計(jì)算原理

根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]里公式（9）～（11）普通鋁合金簡(jiǎn)支梁的基本撓曲線微分方程可以表達(dá)為：

式中：y—梁的撓度，單位：mm；

x—梁的撓曲線上任意的橫坐標(biāo)，單位：mm；

M—鋁合金梁的彎曲力矩，單位：N·mm；

E—鋁合金彈性模量，單位：N/mm2；

I—梁的橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，單位：mm4。

根據(jù)雙跨連續(xù)梁撓度計(jì)算的需要，僅對(duì)普通鋁合金簡(jiǎn)支梁在集中偏心荷載P 作用下受力分析：

圖1 在集中偏心荷載P 作用下簡(jiǎn)支梁計(jì)算力學(xué)模型

梁在兩端的支反力：

分段列出剪力和彎矩方程：

AC 段 0≤x1≤a

參考文獻(xiàn)[1]（Example 9-3），利用公式（1）用積分法求彎曲變形。

該梁兩段的撓度方程：

教師要重視實(shí)驗(yàn)過程中新生成的探究問題。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中也許會(huì)發(fā)現(xiàn)一些新的問題，教師要提醒學(xué)生重視這一閃而過的新發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)他們深入探究下去，也許會(huì)有意想不到的收獲。例如，在探究“紅花檵木紫色葉片中的色素”時(shí)，某課題小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：紅花檵木紫紅色的葉片，加無水乙醇后變綠色，提取液為濃的墨綠色，但是劃到濾紙條上，等干燥后又變?yōu)榧t色，研磨用的器皿，殘汁干了也恢復(fù)紅色。此時(shí)，教師要鼓勵(lì)他們查閱資料，尋找原因，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)自己的猜測(cè)。這樣一個(gè)逐步分析、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)尋找真相的過程更能促進(jìn)學(xué)生科學(xué)探究能力的提升。

AC 段

該梁兩段的轉(zhuǎn)角方程：

Step.3 判斷：若?（x）=0，則x為所求的根，停止計(jì)算進(jìn)程，否則繼續(xù)校驗(yàn)：

若?（x）與?（a）異號(hào)，則實(shí)根在區(qū)間[a，x]，x→b；

若?（x）與?（a）同號(hào)，則實(shí)根在區(qū)間[x，b]，x→a。

Step.4 若| b-a |≤e（e 為誤差值），計(jì)算進(jìn)程終止，輸出x，y，否則，返回Step.2。

圖4為求撓度極值點(diǎn)及撓度極值編程代碼，定義了三個(gè)函數(shù)：二分法求撓度極值點(diǎn)的函數(shù)erfenfa（）；撓曲線斜率的微分方程函數(shù)xielv（）；求撓度極值的撓曲線的微分方程函數(shù)naodu（）。從主程序開始執(zhí)行。執(zhí)行主程序中的第一條語句，將500、5 500及10-12分別賦值給變量a，b，e，然后執(zhí)行主程序中的第二條語句，調(diào)用函數(shù)erfenfa（a，b，e）。當(dāng)erfenfa 函數(shù)被調(diào)用時(shí)，變量a，b，e 的值被實(shí)參傳遞，程序控制權(quán)轉(zhuǎn)移到erfenfa 函數(shù)并開始執(zhí)行erfenfa 函數(shù)。在erfenfa 函數(shù)內(nèi)聲明一個(gè)全局變量x，并將（a+b）/2 賦值給全局變量x，若| b-a |≤e（e 為誤差值），則利用return 語句返回全局變量x及撓度表達(dá)式naodu（x）的值，此時(shí)，需要調(diào)用naodu 函數(shù)，naodu 函數(shù)調(diào)用時(shí)，變量x的值傳遞給naodu 函數(shù)，naodu 函數(shù)利用return 語句把該值時(shí)計(jì)算的撓度值返回給調(diào)用函數(shù)erfenfa（）；若|b-a |＞e（e 為誤差值），利用2.3.2.1 條款Step.3 繼續(xù)執(zhí)行，執(zhí)行Step.3 時(shí)需要調(diào)用xielv（x）函數(shù)，直至| b-a |≤e（e 為誤差值）。主程序中，“xielv（a）*xielv（b）＜0”語句實(shí)際是利用主程序中原來賦值的變量a,b 的值來調(diào)用函數(shù)xielv（），利用調(diào)用函數(shù)的返回值判定是否有實(shí)根，實(shí)際是2.3.2.1 條款Step.1，如果有實(shí)根，打印輸出求得的極值點(diǎn)的x坐標(biāo)值及極值點(diǎn)撓度值，否則，打印輸出無數(shù)值解。浮點(diǎn)型變量x，編程時(shí)需要注意乘以ex編程代碼為“*math.exp（x）”，通過import 語句導(dǎo)入模塊math。

圖4 澆注式雙跨連續(xù)梁二分法求撓度極值點(diǎn)及撓度極值編程代碼

程序的運(yùn)行結(jié)果見圖5：

圖5 澆注式雙跨連續(xù)梁二分法求撓度極值點(diǎn)及撓度極值編程代碼運(yùn)行結(jié)果

2.4 用Python 中的繪圖庫(kù)Matplotlib 編程繪制雙跨連續(xù)梁撓曲線圖

2.4.1 Python 繪圖庫(kù)Matplotlib 的作用

Matplotlib 是提供數(shù)據(jù)繪圖功能的Python 第三方庫(kù)，廣泛用于科學(xué)計(jì)算的二維數(shù)據(jù)可視化,其子庫(kù)pyplot 包含大量的函數(shù)調(diào)用接口，非常適合進(jìn)行繪圖以達(dá)到數(shù)據(jù)可視化的目的。因此，對(duì)于不同跨距條件下，澆注式隔熱鋁合金幕墻立柱的雙跨連續(xù)梁的撓曲線如何變化，利用二維繪圖庫(kù)Matplotlib 編程繪制雙跨連續(xù)梁的撓曲線圖是好的選擇。

2.4.2 編程繪制雙跨連續(xù)梁撓曲線圖原理

利用Python 中的繪圖庫(kù)Matplotlib，對(duì)雙澆注式槽口隔熱玻璃幕墻立柱的雙跨連續(xù)梁撓曲線圖的繪制進(jìn)行編程，編程代碼見圖6。

圖6 用Python 中的繪圖庫(kù)Matplotlib 對(duì)澆注式雙跨連續(xù)梁撓曲線圖繪制編程代碼

導(dǎo)入Matplotlib 模塊中的子模塊pyplot，導(dǎo)入Numpy 模塊，給雙跨梁立柱的跨距l(xiāng) 賦值；利用np.linspace（）函數(shù)將立柱的跨距l(xiāng) 等分5 500 等分創(chuàng)建自變量梁的撓曲線上任意點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的數(shù)組，設(shè)置區(qū)間，創(chuàng)建函數(shù)值撓度y的數(shù)組；調(diào)用plt.subplots（）函數(shù)，函數(shù)plt.subplots（）的返回值是一個(gè)（fig，axs）元組，其中，fig 是Figure 實(shí)例，axs 可以是一個(gè)axis 對(duì)象數(shù)組，將整個(gè)繪圖區(qū)域分為一行一列個(gè)子區(qū)域，然后在一行一列個(gè)子區(qū)域繪制撓曲線圖。因?yàn)閤為數(shù)組，編程時(shí)需要注意乘以ex編程代碼為“*np.exp（x）”。

橫坐標(biāo)x與撓度y的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式如下：

2.4.3 編程繪制圖形與編程計(jì)算所得結(jié)論分析

根據(jù)圖6 中編程代碼，運(yùn)行后繪制出的撓曲線圖見圖7。

圖7 用Python 中的繪圖庫(kù)Matplotlib 編程對(duì)澆注式雙跨連續(xù)梁撓曲線圖繪制

根據(jù)圖7 中的繪制結(jié)果與“2.3.2.2 求撓度極值點(diǎn)及撓度極值基本編程方法”中對(duì)應(yīng)的編程計(jì)算結(jié)果比較可知：編程計(jì)算最大撓度對(duì)應(yīng)部位坐標(biāo)值與圖7 中比較結(jié)果一致。同時(shí)，連續(xù)雙跨梁當(dāng)中間滑動(dòng)支座向梁起點(diǎn)鉸支座無限靠近時(shí)，其撓曲線圖無限趨近于簡(jiǎn)支梁，但雙跨梁的撓度極值低于相同風(fēng)荷載作用條件下簡(jiǎn)支梁撓度極值。

圖7 調(diào)節(jié)套筒

3 結(jié)論

通過公式（59）對(duì)澆注式隔熱鋁合金幕墻立柱的雙跨連續(xù)梁中間滑動(dòng)鉸支座承受的集中偏心荷載RC的求解，解決了雙跨梁短跨部分公式（60）及長(zhǎng)跨部分公式（61）撓曲微分方程的求解問題；對(duì)長(zhǎng)跨部分撓曲微分方程公式（61）求導(dǎo)，令y合'（x2）=0，通過Python 語言編程利用二分法求近似解的方法解決了撓表度極1、值點(diǎn)的坐標(biāo)及撓度極值求解問題；通過Python 中的繪圖庫(kù)Matplotlib根據(jù)撓曲線微分方程編程解決了撓曲線圖繪制問題。