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    數(shù)學(xué)建模在高中課堂教學(xué)中的意義探究與路徑形成

    2023-03-15 21:10:42陳鐘洪
    關(guān)鍵詞:教學(xué)路徑數(shù)學(xué)建模高中數(shù)學(xué)

    [摘 ?要] 數(shù)學(xué)建模的地位至關(guān)重要,可以說數(shù)學(xué)建模無論是在學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的過程中,還是在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的過程中,都起著承上啟下的作用. 對(duì)于日常的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來說,數(shù)學(xué)建模的意義在于,其可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合,可以讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,可以讓學(xué)生更好地建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知體系,可以讓學(xué)生擁有一個(gè)更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的空間,可以讓學(xué)生形成更為高階的思維能力,還可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升. 數(shù)學(xué)模型建立的過程,實(shí)際上就是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維,實(shí)現(xiàn)自身數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展,進(jìn)而用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程. 因此可以說,數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過程越豐富,學(xué)生在數(shù)學(xué)模型形成過程中的體驗(yàn)感越強(qiáng),數(shù)學(xué)建模的路徑越清晰.

    [關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;課堂教學(xué);意義探究;教學(xué)路徑

    基金項(xiàng)目:福建省2021年常規(guī)課題“新高考背景下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐研究”(FJJKZX21-096).

    作者簡(jiǎn)介:陳鐘洪(1982—),本科學(xué)歷,高級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

    高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)所明確的六個(gè)要素當(dāng)中,數(shù)學(xué)建模的地位至關(guān)重要,可以說數(shù)學(xué)建模無論是在學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的過程中,還是在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的過程中,都起著承上啟下的作用. 之所以這么說,是因?yàn)閺闹R(shí)建構(gòu)的角度來看,學(xué)生要想建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)規(guī)律,必然要將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)綜合起來,必要的時(shí)候還會(huì)借助生活經(jīng)驗(yàn)的支撐,這個(gè)時(shí)候很容易涉及數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理,當(dāng)然也會(huì)涉及知識(shí)的綜合運(yùn)用. 因此一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立,肯定會(huì)帶動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)其他要素的落地,既然數(shù)學(xué)建模能夠起到這樣的作用,那么在日常的教學(xué)當(dāng)中,就必須高度重視.

    事實(shí)上,高中數(shù)學(xué)教學(xué)歷來有重視數(shù)學(xué)建模的傳統(tǒng),在20世紀(jì)90年代,曾經(jīng)有關(guān)于學(xué)科建模的研究之風(fēng),數(shù)學(xué)學(xué)科作為基礎(chǔ)性學(xué)科,其建模研究起到了一定的引領(lǐng)作用,至今仍然為基礎(chǔ)教育研究界所稱贊. 今天的高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著雙重任務(wù)——培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)試能力與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),前一任務(wù)關(guān)系學(xué)生當(dāng)下的生存,后一任務(wù)關(guān)系學(xué)生未來的發(fā)展,兩者都很重要. 這對(duì)于教師來說,也意味著挑戰(zhàn),如何在教學(xué)中協(xié)調(diào)好兩者間的關(guān)系,考驗(yàn)著教師的教學(xué)智慧. 很顯然,要讓這兩個(gè)任務(wù)協(xié)調(diào)完成,最好的辦法就是能夠設(shè)計(jì)一個(gè)科學(xué)的學(xué)習(xí)過程,而學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)過程中,既能夠讓自己的應(yīng)試能力得到培養(yǎng),又能夠讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到自然的培育.

    分析到這里可以發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)建模可以很好地承擔(dān)這一任務(wù),其原因就在于:一旦學(xué)生形成了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模能力,那么就意味著學(xué)生有了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)整合能力;一旦學(xué)生形成了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用能力,自然就意味著學(xué)生運(yùn)用模型解答習(xí)題就有了很大的可能性. 更為可貴的是,一旦學(xué)生形成了較強(qiáng)的建模能力與模型運(yùn)用能力,那么學(xué)生面對(duì)新的題型時(shí),會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)建模過程中所形成的能力的有效遷移,而具有較強(qiáng)的解決新題的能力. 這對(duì)于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)來說是一個(gè)突破,其有效避免了“講什么才會(huì)什么”的尷尬情形. 所以從這個(gè)角度來看,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力就是發(fā)展學(xué)生的應(yīng)試能力!與此同時(shí),數(shù)學(xué)建模本身就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素,而且其綜合性極強(qiáng),因此以數(shù)學(xué)建模作為突破口,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的可能性更大.

    數(shù)學(xué)建模在高中課堂教學(xué)中的意義探究

    考慮到傳統(tǒng)教學(xué)中,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)試能力是教學(xué)的主流,因此本文側(cè)重闡述的是如何通過數(shù)學(xué)建模來帶動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的發(fā)展. 對(duì)于這一點(diǎn),首先要闡述的問題就是:面向當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)一線教師,如何真正形成關(guān)于數(shù)學(xué)建模的理念認(rèn)同?

    這是一個(gè)非常實(shí)際的問題,盡管從理論的角度來看,數(shù)學(xué)建模的意義重大,比如李明振、喻平等人明確提出,解析高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施的背景,揭示實(shí)施中存在的問題,探求解決問題的有效對(duì)策,對(duì)改進(jìn)高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施的效果具有重要現(xiàn)實(shí)意義[1]. 但是在教學(xué)實(shí)際當(dāng)中,一個(gè)尷尬的情況就是:絕大多數(shù)課堂上教師仍然忽略了數(shù)學(xué)建模的努力,而是將教學(xué)的重心直接落在學(xué)生的刷題能力培養(yǎng)上. 有人說這是一個(gè)實(shí)際問題,是高考的必然走向,在筆者看來,這樣的判斷固然有道理,但并沒有觸及實(shí)質(zhì). 正如前面所分析的那樣,即使只考慮學(xué)生應(yīng)試能力的培養(yǎng),數(shù)學(xué)建模也能夠發(fā)揮重要作用,因此與其說這是一個(gè)高考評(píng)價(jià)導(dǎo)向的問題,倒不如說這是一個(gè)教師教學(xué)理念與教學(xué)認(rèn)識(shí)的問題. 換句話說,如果教師真正從理念上認(rèn)同數(shù)學(xué)建模的豐富價(jià)值,那么其自然就會(huì)出現(xiàn)在日常的課堂上. 所以說,探究數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的意義,進(jìn)而認(rèn)同這一意義,是至關(guān)重要的一個(gè)前提.

    筆者以為,對(duì)于日常的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來說,數(shù)學(xué)建模的意義在于,其可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合,可以讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,可以更好地讓學(xué)生建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知體系,可以讓學(xué)生擁有一個(gè)更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的空間,可以讓學(xué)生形成更為高階的思維能力,還可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升.

    以上六個(gè)“可以”,從知識(shí)的建構(gòu)、數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知體系的建構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)、思維能力的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升等角度,闡述了數(shù)學(xué)建模的意義. 更具體一點(diǎn)說,正是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模的過程必然涉及已有知識(shí)的激活與重組,必然涉及新的知識(shí)的生成且最終要以數(shù)學(xué)語言(文字、圖形、圖象、公式等)加以陳述,因此思維能力與學(xué)習(xí)品質(zhì)會(huì)自然得到培養(yǎng). 由此可見數(shù)學(xué)建模的綜合性之強(qiáng),功能之強(qiáng),意義之顯著. 由此認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模的意義,自然也就意味著在日常教學(xué)當(dāng)中數(shù)學(xué)建模具有更強(qiáng)的生命力.

    數(shù)學(xué)建模在高中課堂教學(xué)中的路徑形成

    對(duì)于一線教師來說,認(rèn)同數(shù)學(xué)建模的意義只是教學(xué)實(shí)踐的第一步,作為最關(guān)注“可操作性”的群體,如何尋找到數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂上的有效路徑,是一個(gè)更為實(shí)際的問題. 從學(xué)生思維的角度來看,筆者注意到數(shù)學(xué)模型建立的過程,實(shí)際上就是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維,實(shí)現(xiàn)自身數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展,進(jìn)而用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程. 因此可以說,數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過程越豐富,學(xué)生在數(shù)學(xué)模型形成的過程中體驗(yàn)感越強(qiáng),那么數(shù)學(xué)建模的路徑就越清晰.

    有數(shù)學(xué)同行嘗試通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,取得了較好的效果. 相關(guān)的研究認(rèn)為,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心就是學(xué)生主動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué),積極參與數(shù)學(xué)建模中的動(dòng)手實(shí)驗(yàn),在實(shí)驗(yàn)中感知并發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題,在建立模型與求解模型中自主獨(dú)立思考、解決問題,給學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問題的鍛煉機(jī)會(huì). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以給學(xué)生提供一個(gè)更加真實(shí)的、能夠激活思維的學(xué)習(xí)情境,而事實(shí)上數(shù)學(xué)建模也確實(shí)需要依賴真實(shí)情境. 只有在真實(shí)的情境當(dāng)中,才能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)源于生活,認(rèn)識(shí)到知識(shí)和技能在未來的學(xué)習(xí)和生活中的價(jià)值,從而在數(shù)學(xué)知識(shí)與問題情境的有效互動(dòng)中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的能力[2]. 這里來看一個(gè)教學(xué)案例:

    人教A版高一數(shù)學(xué)必修一中,有“指數(shù)函數(shù)”這一內(nèi)容. 對(duì)于這一內(nèi)容的教學(xué),可以采用數(shù)學(xué)建模的思路去進(jìn)行,這是因?yàn)楹瘮?shù)本身是一個(gè)模型,作為函數(shù)下位概念的指數(shù)函數(shù),既有函數(shù)的模型特征,又有屬于自身的模型特征. 如果能夠讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程,形成關(guān)于指數(shù)函數(shù)的全面認(rèn)識(shí),那么這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)建模過程,就可以讓學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)有更加深刻的理解,也可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中,更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的其他要素. 基于這樣的目的,筆者重點(diǎn)設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié):

    環(huán)節(jié)一:借助實(shí)際問題,讓學(xué)生在解決問題的過程中初步感知指數(shù)函數(shù).

    這里可以借助教材上的A,B兩個(gè)景區(qū),面對(duì)旅游人數(shù)不斷增加,采取不同措施的實(shí)際問題,來讓學(xué)生分析某一時(shí)間段內(nèi)A,B兩個(gè)景區(qū)的游客人次、逐年增加量(具體數(shù)據(jù)略),發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律.

    這些問題來自現(xiàn)實(shí)生活,同時(shí)又與數(shù)學(xué)密切相關(guān),學(xué)生通過問題的介紹,自然可以發(fā)現(xiàn)A,B兩個(gè)景區(qū)采用不同措施后,游客人次(單位:萬次)、年增加量(單位:萬次)以及時(shí)間(單位:年)之間存在著一定的關(guān)系,但具體是什么關(guān)系,學(xué)生不可能一目了然,需要通過這一實(shí)際例子的分析,來得出指數(shù)函數(shù)模型,這必須在下一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)做出努力.

    環(huán)節(jié)二:基于問題解決的思路,通過對(duì)已有數(shù)學(xué)知識(shí)尤其函數(shù)知識(shí)的激活,尋找到發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律的方法.

    既然上述實(shí)際問題已經(jīng)指出了游客人次、逐年增加量以及時(shí)間之間存在著變化關(guān)系,那么要讓這些關(guān)系凸顯出來,學(xué)生面前的選擇無非是解析式與圖象. 很顯然,當(dāng)只有數(shù)據(jù)時(shí),解析式的發(fā)現(xiàn)是很困難的,而借助圖象來初步判斷變化關(guān)系,這是比較常用的方法. 于是多數(shù)學(xué)生就會(huì)想到用描點(diǎn)法作圖,也就是以時(shí)間為橫軸,以游客人次、逐年增加量為縱軸,然后將給出的數(shù)據(jù)通過找點(diǎn)的方法,在平面直角坐標(biāo)系上體現(xiàn)出來,最后用平滑的曲線將它們連接起來,就可以發(fā)現(xiàn)變量間的函數(shù)關(guān)系.

    由于實(shí)際問題所給出的數(shù)據(jù)的特殊性,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)A景區(qū)的游客人次與時(shí)間是線性增長(zhǎng)的關(guān)系,這是因?yàn)楫嫵鰜淼膱D象是一條直線;而B景區(qū)的游客人次與時(shí)間則是非線性增長(zhǎng)的關(guān)系.

    當(dāng)學(xué)生有了這一認(rèn)識(shí)后,還有一個(gè)重要的問題就是更加精確地發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律,這意味著解析式的探究. 這里仍然要借助數(shù)據(jù)的分析來進(jìn)行——此時(shí)主要分析的對(duì)象是B景區(qū). 這個(gè)過程需要學(xué)生的高階思維,需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)相鄰年份間的游客人次之比接近于定值. 對(duì)于多數(shù)學(xué)生而言,這一發(fā)現(xiàn)是存在困難的,這些困難實(shí)際上也就是數(shù)學(xué)建模的困難. 要突破這一難點(diǎn),可以讓學(xué)生同時(shí)觀察數(shù)據(jù)以及圖象,尤其是從圖象的變化趨勢(shì)上,去猜想數(shù)據(jù)間可能存在的關(guān)系. 只要學(xué)生發(fā)現(xiàn)“相鄰年份間的游客人次之比接近于定值”,那就可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn):如果經(jīng)過x年后的游客人次為y,那么y與x之間的關(guān)系就是y=ax. 當(dāng)這一關(guān)系被發(fā)現(xiàn),指數(shù)函數(shù)的圖形就出現(xiàn)了.

    環(huán)節(jié)三:用數(shù)學(xué)語言進(jìn)一步完善指數(shù)函數(shù).

    很顯然,當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)y=ax這一關(guān)系式的時(shí)候,一方面會(huì)意識(shí)到y(tǒng)與x之間存在著函數(shù)關(guān)系,另一方面會(huì)發(fā)現(xiàn)這一函數(shù)關(guān)系與此前所學(xué)過的函數(shù)并不相同. 既然是一個(gè)新的函數(shù),那么就要從解析式、定義域、值域、圖象等方面去描述. 這對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生而言,已經(jīng)形成了模式化的認(rèn)識(shí),因此其后的教學(xué)就是引導(dǎo)學(xué)生完成這些任務(wù),建立起關(guān)于指數(shù)函數(shù)的全面理解. 如此指數(shù)函數(shù)這一模型也就建立起來了.

    數(shù)學(xué)建模在高中課堂教學(xué)中的教學(xué)前景

    通過上述案例可以發(fā)現(xiàn),在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程,可以最大程度上激活學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí),并且讓學(xué)生擁有一個(gè)整合原有數(shù)學(xué)知識(shí)、獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)過程. 這種過程對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說,既是學(xué)習(xí)自主性的充分發(fā)揮,又可能獲得良好的溝通體驗(yàn),從而在發(fā)展知識(shí)理解與運(yùn)用能力的同時(shí),保證數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的順利落地.

    既然數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位如此重要,那么在日常的教學(xué)當(dāng)中,就應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生擁有更多的數(shù)學(xué)建模的體驗(yàn). 很顯然,這一教學(xué)進(jìn)程的主導(dǎo)權(quán)在于教師,教師能否認(rèn)同數(shù)學(xué)建模的意義與價(jià)值,是否愿意解放學(xué)生,并且讓學(xué)生去體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程,決定著數(shù)學(xué)建模能否在日常的課堂教學(xué)當(dāng)中順利落地. 如同前面所闡述的那樣,最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是教師要解放思想,要形成關(guān)于數(shù)學(xué)建模的普遍認(rèn)同,要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模是解決生活問題的重要手段,掌握有效的數(shù)學(xué)建模方法,提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),是高中數(shù)學(xué)課程的基本目標(biāo)[3]. 只有有了這些認(rèn)識(shí),數(shù)學(xué)建模的落地才有保證.

    此時(shí)進(jìn)一步展望數(shù)學(xué)建模,筆者認(rèn)為,未來的高中數(shù)學(xué)教學(xué)一定是圍繞數(shù)學(xué)建模而展開的,數(shù)學(xué)建模也一定會(huì)因?yàn)槠渚C合性、承上啟下性,而成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心要素. 總而言之,數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一[4]. 未來的高中數(shù)學(xué)教學(xué),可以數(shù)學(xué)建模為核心,去帶動(dòng)其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素的落地,從而讓學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)從知識(shí)走向素養(yǎng)的學(xué)習(xí)過程.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 李明振,喻平. 高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施的背景、問題與對(duì)策[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2008,47(11):8-10+14.

    [2] 黃高湧. 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)落實(shí)高中數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2021,60(06):40-44.

    [3] 湯曉春. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的實(shí)踐[J]. 教育理論與實(shí)踐,2017,37(26):62-64.

    [4] 高玉珊,凌中華. 高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐探究——以“線性回歸”為例[J]. 中學(xué)教學(xué)參考,2020(35):4-5.

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