基于陶行知“民主教學(xué)”思想的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

朱 婉(江蘇省徐州市賈汪中學(xué) 221011)

在開展高中數(shù)學(xué)實際解題教學(xué)的過程中,教師常常會發(fā)現(xiàn),有部分學(xué)生并沒有積極參與到學(xué)習(xí)中。這會導(dǎo)致這部分學(xué)生無法與其他學(xué)生進行充分的討論與交流,很難有所收獲。陶行知先生在《民主教育》一文中指出:“民主教育是教人做主人,做自己的主人,做國家的主人,做世界的主人?！睘榱思ぐl(fā)學(xué)生的主觀能動性,教師應(yīng)該在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中積極融入陶行知先生的民主教學(xué)思想,優(yōu)化教學(xué)活動。

一、 引導(dǎo)不同層次的學(xué)生探索知識

由于學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解以及探索水平存在一定的差異,最終得到的學(xué)習(xí)效果必然會有所不同。面對這種情況,教師不僅要始終保持積極的態(tài)度,鼓勵學(xué)生,讓學(xué)生盡自己所能參與教學(xué)活動,還要為學(xué)生量身定制相應(yīng)的練習(xí),引導(dǎo)他們展開探索。以下面這道問題為例。

例1:已知復(fù)數(shù)(x2-1)+(y+1)i大于復(fù)數(shù)(2x+3)+(y2-1)i(x,y∈R),試求x,y的取值。

針對學(xué)困生,教師可以提出這樣的問題:如果從復(fù)數(shù)這個概念著手,要滿足怎樣的條件,才能對兩者進行大小比較? 學(xué)困生雖然缺乏解題經(jīng)驗,但是在教師的細心引導(dǎo)下,他們依然能夠?qū)W習(xí)到數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識,并且從中受到相應(yīng)的啟發(fā)。于是,學(xué)困生得到答案:只有這兩個復(fù)數(shù)的虛部都為0,它們才能正常比較大小。

教師引導(dǎo)學(xué)中生解題時,要讓他們有機會展現(xiàn)自己的運算能力。學(xué)中生的解題方法如下:因為(x2-1)+(y+1)i＞(2x+3)+(y2-1)i,那么可得x2-1＞2x+3(式1),y+1=0(式2),y2-1=0(式3),綜合以上三式可得x＜1-或x＞1+,y=-1。這種解題思路有值得學(xué)困生學(xué)習(xí)的地方。

針對學(xué)優(yōu)生,教師則應(yīng)將教學(xué)的重點放在以多種方式解決問題上。比如,有的學(xué)優(yōu)生會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式來解決這一問題:將復(fù)數(shù)(x2-1)+(y+1)i(x,y∈R)與(2x+3)+(y2-1)i(x,y∈R)呈現(xiàn)在坐標(biāo)上,然后應(yīng)用構(gòu)建復(fù)數(shù)形方法構(gòu)建幾何圖形來求x,y的取值。

二、 引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法

有的學(xué)生沒有掌握解決問題的方法,于是就產(chǎn)生了“自己解決不了問題,就先等教師或者其他同學(xué)解題,最后再參考他們的解題方法”的錯誤思想,這種思想的存在,會在一定程度上阻礙他們知識的消化和吸收。教師需要融合陶行知先生教學(xué)思想,幫助學(xué)生掌握“以問題為導(dǎo)向”的學(xué)習(xí)方法。以下題為例。

教師提問:(1)這一題涉及哪些知識點? 學(xué)生在結(jié)合問題的解題需求以及自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗之后,能夠發(fā)現(xiàn)“如果函數(shù)的表達式為f(x)=x,那么f(x)的取值范圍就是函數(shù)f(x)的值域”。于是,學(xué)生意識到解題第一步就是要關(guān)聯(lián)具象化的問題和抽象化的理論,讓理論成為解題的指導(dǎo)。

(2)函數(shù)值域求法有幾種? 結(jié)合每種求法的特點,這一題適于應(yīng)用什么方法? 在這兩個問題的引導(dǎo)下,學(xué)生提出“觀察法、配方法、換元法、反函數(shù)法”這四種求函數(shù)值域的方法,并且發(fā)現(xiàn)這一題并不適合采用配方法和反函數(shù)法來解決。配方法適用于把函數(shù)轉(zhuǎn)換成為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)形式,這一題難以完成這種轉(zhuǎn)換。而且這一題的自變量式子原本就比較復(fù)雜,求反函數(shù)會讓問題變得更復(fù)雜。那么,如果采用觀察法呢? 同樣不行,式子過于復(fù)雜,難以直接求出函數(shù)的值域。排除了以上三種方法之后,學(xué)生只好將函數(shù)式子化簡,按照配方法的思路,將自變量式子的分母分解為（1+x2）2,同理,將分子分解為x（1-x2）,通過等量變換,學(xué)生最終得到了這樣的式子。

通過學(xué)習(xí),學(xué)生掌握“從問題本身出發(fā),以理論作為指導(dǎo),找出解題方法,然后根據(jù)式子特征找到最佳解題方法”的解題思路。

(3)本題解題難點究竟在哪里? 學(xué)生認為,如果直接分析函數(shù)的值域,解題過程就會變得十分煩瑣。于是,在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生會將思考的角度放在“能否應(yīng)用數(shù)學(xué)思想來完成解題”上。得到教師的啟示后,學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題中,自變量的式子與三角函數(shù)中的萬能公式十分接近。依此思路,學(xué)生會令,將函數(shù)變?yōu)槿呛瘮?shù),得。

(4)結(jié)合整合的式子,如何運算和求解? 學(xué)生結(jié)合所學(xué)“求取三角函數(shù)值域”的知識得:y∈。

在完成了本題的練習(xí)之后,學(xué)生便掌握“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,到關(guān)聯(lián)解題理論依據(jù)”“列舉解題的基本方法,結(jié)合實際問題進行有效選擇”“找出問題的重點難點,應(yīng)用數(shù)學(xué)思想來對問題進行轉(zhuǎn)換,結(jié)合新問題的條件,解決原有問題”這三種巧妙的解題技巧。

三、 引導(dǎo)學(xué)生參與有趣的學(xué)習(xí)活動

有的學(xué)生認為解題的過程太枯燥,難以沉下心來專心解題。因此,教師可以開展趣味化學(xué)習(xí)活動,讓學(xué)生能夠在良好的學(xué)習(xí)氛圍中愉快地開展解題學(xué)習(xí)。

比如,教師可以引導(dǎo)學(xué)生以角色扮演的方式呈現(xiàn)出自己完成的一道經(jīng)典習(xí)題(這一題需要呈現(xiàn)出一種解題思想)。

例3:已知銳角α,β,γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求證:。

讓一名學(xué)中生來解題,學(xué)中生采用三角方法來進行求解,但是發(fā)現(xiàn)計算過程變得十分煩瑣。此時,教師可以引導(dǎo)學(xué)中生觀看這一式子的特征。而根據(jù)已知條件和未知答案,學(xué)中生會發(fā)現(xiàn)例3 中已知條件的式子與立體幾何中長方體對角線的性質(zhì)公式有些相似。此時,學(xué)生可以模仿教師的解題思想,畫出一個長方體的圖像(如圖1所示),應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想進行解題。在圖1 中設(shè)長方體ABCDA1B1C1D1的長、寬、高分別為a,b,c,令它的對角線AC1與棱AB,AD,AA1的夾角分別為α,β,γ,那么可知cos2α+cos2β+cos2γ=1,并且可 以 得 到,那么可得。

圖1

學(xué)生最終得到“當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號,即α=β=γ時結(jié)論成立”的結(jié)果。

學(xué)生在完成習(xí)題的講解后,還要分享自己的解題感受。實際上,并非習(xí)題沒有給出必要條件,而是學(xué)生在處理文字信息時,難以很快察覺到習(xí)題中存在這種已知條件。如果把抽象的文字信息反映在數(shù)學(xué)圖形上,就能夠很快在圖形中找出對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。