類比法在分式習題中的應用

南京市浦口區(qū)第三中學

滕宏蓮

在平時的教學中，經(jīng)常會遇到一些較難的習題.若直接讓學生做，學生往往一籌莫展，毫無思路；而若是教師單個逐題講解，雖然學生當時掌握了，但由于是靠記憶去模仿，缺少了主動理解，過一段時間會很容易忘記.難題往往思維邏輯性強，考查的知識點多.而通過類比來講解，類比知識間的前后聯(lián)系和區(qū)別，將新學習的知識內(nèi)化到原有的知識結(jié)構(gòu)之中，找到新舊知識的連接點，就能夠使知識順其自然地呈現(xiàn)出來.這樣不僅可以減少教師的講解，還能增加學生的主動學習、主動思考，學生的記憶也會更加深刻.這樣由被動學習轉(zhuǎn)化為主動學習，可以大大提高課堂效率，這也是實現(xiàn)高效課堂的一種途徑.

在數(shù)學的學習中，怎樣運用對比和類比呢？簡單地說就是對比兩者的不同，類比兩者的相同，通過歸納，獲得有關(guān)問題的結(jié)論或者解決問題的方法.類比時要注意兩者的不同，對比時要注意兩者的相同.

1 運用類比法解決分式方程的增根和無解問題

分式方程中的增根問題、無解問題、解為正數(shù)(或非負數(shù)等)都是計算中的難點.如果就題論題，孤立地求解，學生學起來會非常困難.教師若能夠運用對比和類比法，知識的講授會更加自然.同時，能夠減少教師的講解，在教師的引導下，學生能夠獨立自主地解決問題.

1.1 運用類比和對比解決增根問題

若直接把這個題拿出來讓學生做，大部分學生會無從入手.例1有兩個難點，第1個難點是學生不知道方程有增根這句話如何用，第2個難點是因為有兩個未知數(shù)x和a，不知如何解.

針對這個問題，教師先讓學生解一個有增根的方程.

解：方程兩邊同乘x-2，得1-x=-1-2(x-2)，解得x=2.

把x=2代入x-2中，得x-2=0，所以x=2是分式方程的增根，故方程無解.

這個題目是將例1中的a變?yōu)閿?shù)字1，求出x=2是方程的增根，分式方程無解.通過這個題讓學生感受增根是怎樣產(chǎn)生的.增根是由于解出來的x使分式方程中的分母為0,使得分式?jīng)]有意義而產(chǎn)生的.

例1解題過程如下：

解：方程兩邊同乘x-2,得1-x=-a-2(x-2)，解得x=-a+3.

因為方程有增根，且增根為x=2，所以-a+3=2，求得a=1.

1.2 運用對比和類比解決無解問題

初中階段學習的分式方程皆可轉(zhuǎn)化為一元一次方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程或其他方程的情況不在初中階段的學習范圍內(nèi).在此前提下，若分式方程有增根，則分式方程無解.但反過來并不成立，無解并不意味著分式方程只有增根，增根是無解的一種情況.但是要讓學生理解這一點并不容易.教學時，若讓學生將這兩種題型進行對比，從中發(fā)現(xiàn)兩者的不同，無解與增根問題就會迎刃而解.

學生出現(xiàn)的問題是把無解等同于有增根.很多習題也確實屬于無解等同于有增根的情況.平時練習冊中的習題一般是先易后難，比較簡單的題目中方程無解就是方程有增根，所以學生先入為主認為方程無解和方程有增根是同一種情況.當遇到不止增根這種情況的習題時，出錯率自然大大提高.

熟練地掌握無解不等同于有增根是解題的關(guān)鍵，我們可以類比例1解例2，可將例2與例1作對比，引導學生發(fā)現(xiàn)不同，主動尋找例2的問題所在，從而解決問題.

例2的解題過程如下：

2 運用類比法解答分式的加減運算

我們知道“分式與分式方程”這一章可以類比分數(shù)來學習，其中分式有意義可以類比分數(shù)的分母不能為零，分式的基本運算可類比分數(shù)的基本運算，等等.但這一章最難莫過于“分式的加減”中異分母的加減.突破分式異分母的運算，還是要類比分數(shù)的運算.

異分母的計算最終都要轉(zhuǎn)化為同分母的計算，找最簡公分母是解題的關(guān)鍵，也是學生最容易出錯的地方.在平時教學中，結(jié)合課本例題以及練習題，筆者將異分母加減的習題進行了歸類，歸為四類：一類是分母之間無公因式；二類是分母之間為倍數(shù)；三類是分母之間不是倍數(shù)關(guān)系，但有公因式；四類是整式與分式加減.這四類習題由易到難，學生更易掌握.下面通過四個例題來講述這四類題型.

例4、例5和例6的學習同樣都是類比分數(shù)的運算，以問題為導向，引導學生主動主動探究，并總結(jié)這類題的運算方法.

簡單的一個分類，就能使學生類比分數(shù)來學習分式，不僅有利于理解，更是提高了學生主動探究的能力.這些例題層層遞進，由易到難，由淺入深，在不經(jīng)意間就解決了異分母的加減這一難點.通過類比來解答問題，讓學生的學習由被動接受變?yōu)榱酥鲃犹骄?，課堂的效率大大提高.在平時的教學中，只要善于發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系與規(guī)律，多一些引導，少一些灌輸，讓學生真正成為課堂的主人，那么我們的課堂就更加高效.

3 教學感悟

有關(guān)分式的教學，教師利用“類比”的手段組織教學活動，對比出新舊知識的關(guān)聯(lián)度，揭示出知識間的相同因素和不同因素，為學好分式有關(guān)概念、性質(zhì)、應用做好鋪墊，實現(xiàn)從具體運算到抽象運算的升華，可以幫助學生實現(xiàn)由分數(shù)到分式的遷移，平穩(wěn)過渡到分式的學習中.

波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人.”通過類比和對比，可以幫助學生找到解決問題的方法和思路.在遇到難題或者陌生問題時，要善于聯(lián)想和類比平時所學的知識和方法，挖掘條件、深度思考、轉(zhuǎn)化結(jié)論，進而找到解決問題的最佳途徑，提高學習效率.