基于雙量化的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集

黃心宏, 張賢勇*

(1. 四川師范大學 數(shù)學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學Laurent數(shù)學中心, 四川 成都 610066; 3. 四川師范大學 智能信息與量子信息研究所, 四川 成都 610066)

粗糙集是智能信息處理的基本工具,其相關(guān)融合拓展模型具有研究意義,具體實例模型包括文獻[1]中融合模糊信息的模糊粗糙集、基于粒度集成的多粒度決策粗糙集[2-3]、文獻[4]中基于論域擴張的雙論域三支決策粗糙集等.進而,通過“模糊、多粒度、雙論域”三要素的不同融合方式,出現(xiàn)了雙論域量化模糊粗糙集[5]、雙論域多粒度模糊粗糙集[6]、雙論域多粒度模糊決策理論粗糙集[7].

直覺模糊信息系統(tǒng)具有粗糙隸屬度[8]與非隸屬度的雙重不確定性刻畫優(yōu)勢,相關(guān)直覺模糊關(guān)系[9]被引入進行粗糙集拓展建模.由此,出現(xiàn)了多粒度支持直覺模糊粗糙集[10]、雙論域直覺模糊概率粗糙集[11]以及文獻[12]中的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集等模型.特別地,在直覺模糊信息系統(tǒng)中結(jié)合“雙論域、多粒度”的粗糙集模型具有理論意義與應用前景,但研究較少;而現(xiàn)有文獻[12]使用多粒度直覺模糊集隸屬度最值統(tǒng)計來進行集成建模,所得樂觀模型與悲觀模型具有極端性缺陷.

針對文獻[12]中的雙論域多粒度直覺模糊環(huán)境,本文擬提取雙度量均值統(tǒng)計的多粒度融合從而采用雙量化集成技術(shù),構(gòu)建新型粗糙集模型并獲取改進性與應用性等.特別地,雙量化主要涉及相對度量與絕對度量及其融合,文獻[13]提出雙近似與雙量化交叉雙配的2類傳統(tǒng)粗糙集,文獻[14]進而針對序信息系統(tǒng)建立2類(單粒度)雙量化決策粗糙集,而最近的文獻[15]則綜述了雙量化技術(shù)及相關(guān)研究成果.由此,本文采用文獻[13-14]的“雙配”雙量化策略,對提取的多粒度概率的均值統(tǒng)計[3]以及多粒度基數(shù)的均值統(tǒng)計進行集成建模,得到2類擴張改進的均衡性雙論域多粒度直覺模糊粗糙集模型,并獲得相關(guān)優(yōu)化算法、數(shù)學性質(zhì)、實例分析等.

1 雙論域多粒度直覺模糊粗糙集

下面主要回顧直覺模糊關(guān)系[9]、文獻[12]中的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集模型.

R={〈(u,v),μR(u,v),νR(u,v)〉|

(u,v)∈U×V}

表示雙論域U、V上的直覺模糊關(guān)系,其中μR(u,v):U×V→[0,1]與νR(u,v):U×V→[0,1]分別表示對象u、v具有關(guān)系R的隸屬度和非隸屬度.這里(U,V,R)為雙論域直覺模糊近似空間.進而,直覺模糊關(guān)系的截集為

R(λ1,λ2)(u)={v∈V|μR(u,v)≥λ1,

vR(u,v)≤λ2},

其中,截集參數(shù)λ1+λ2∈[0,1].將R粒度擴張成一族直覺模糊關(guān)系R1,R2,…,Rm,進一步表示成

Ri={〈(u,v),μRi(u,v),νRi(u,v)〉|

(u,v)∈U×V}∈IF(U×V), i=1,2,…,m.

因此,可構(gòu)建雙論域多粒度直覺模糊近似空間(U,V,Ri).

定義 1[12]在(U,V,Ri)中,Ri∈IF(U×V),集合Y?V的下、上近似分別定義為：

(1)

其中

(2)

針對雙論域多粒度直覺模糊粗糙集,定義1采用(非)隸屬度取最值的方式進行模型構(gòu)建,相關(guān)模型具有傳統(tǒng)多粒度建模的樂觀與悲觀機制[12].由于取最值方式的偏差,所得模型具有極端性缺陷.因此,下面采用雙量化策略[13-14]建立改進模型與性質(zhì)研究.

2 雙論域多粒度直覺模糊粗糙集的雙量化建模

在雙論域多粒度直覺模糊粗糙集環(huán)境中,針對定義1((1)和(2)式)復雜的表現(xiàn)形式,本節(jié)采用雙量化技術(shù)[13-14],建立2類新型雙論域多粒度直覺模糊粗糙集模型.具體地,基于文獻[14]的描述框架,加入條件概率P,采用文獻[3]的多粒度概率統(tǒng)計均值方法,進而進行雙量化集成建模.雙量化近似刻畫涉及絕對度量、相對度量比較閾值0<β≤0.5≤α<1,程度k∈N.

定義 2[14]在S=(U,AT,V,f)中,屬性集AT={a1,a2,…,an},T?AT,f:U→Vaj(j=1,2,…,n).?X?U,基于優(yōu)勢關(guān)系的Ⅰ型雙量化粗糙集的下、上近似分別定義如下：

(3)

其中

進而,Ⅱ型雙量化粗糙集的下、上近似分別定義如下：

T≥={(w,u)∈U×U|

f(w,a)≥f(u,a),?a∈T}

為優(yōu)勢關(guān)系.

(5)

(6)

從層次擴張層面,將文獻[11,14]中R的直覺模糊關(guān)系截集、條件概率,更新成Ri的直覺模糊關(guān)系截集((7)式)、條件概率((8)式).

(Ri)(λ1,λ2)(u)={v∈V|μRi(u,v)≥λ1,vRi(u,v)≤λ2}.

(7)

P(Y|(Ri)(λ1,λ2)(u))=

(8)

定義 3(Ⅰ型均值模型) 在(U,V,Ri,P)中,Ri∈IF(U×V),?Y?V,基于雙量化的Ⅰ型均值多粒度直覺模糊粗糙集的下、上近似分別定義如下：

|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y|)≤k},

當m取1時可得到基于雙量化的Ⅰ型單粒度直覺模糊粗糙集.進而,(9)式對應的正域、負域、上邊界域、下邊界域、邊界域及精度定義如下：

命題 1在(U,V,Ri,P)中,Ⅰ型均值模型的基數(shù)與所得單粒度模型基數(shù)的平均之間無必然相等關(guān)系,即

定義 4(Ⅱ型均值模型) 在(U,V,Ri,P)中,Ri∈IF(U×V),?Y?V,基于雙量化的Ⅱ型均值多粒度直覺模糊粗糙集的下、上近似分別定義如下：

命題 2(U,V,Ri,P)中,Y?V,0<β≤0.5≤α<1,Ⅰ型均值模型與Ⅱ型均值模型的下上近似算子之間關(guān)系如下：

針對雙論域多粒度直覺模糊粗糙集背景,首先從多粒度層面,更新R的直覺模糊關(guān)系截集[11]和條件概率[14].進而,依托定義2的2類(單粒度)雙量化模型,建立2類基于雙量化的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集,得到“下近似絕對量化-上近似相對量化”模型和“下近似相對量化-上近似絕對量化”模型,即Ⅰ型均值模型和Ⅱ型均值模型,且以Ⅰ型均值模型為例,給出對應的三支區(qū)域及精度((10)式).具體地,采用文獻[3]的方式,將絕對度量和相對度量進行均值統(tǒng)計,實現(xiàn)粒度擴張,從而采用雙量化集成策略得到2類均值模型.當新建2類均值模型的粒度為1時,可退化得到基于雙量化的2類單粒度直覺模糊粗糙集;進一步,若直覺模糊關(guān)系退化為優(yōu)勢關(guān)系,則可退化成基于優(yōu)勢關(guān)系的單粒度雙量化粗糙集[15].由于模型構(gòu)建過程未使用常規(guī)的(非)隸屬度取最值的方式去定義樂悲觀模型,從而簡化多粒度直覺模糊集的表現(xiàn)形式.因此,所得模型具有理論擴張性與改進性.此外,基于定義3可得,“量化平均的多粒度集成”與“量化集成的統(tǒng)計平均”之間不具有交換性,因此得到命題1中的Ⅰ型均值模型的基數(shù)與所得單粒度模型基數(shù)的平均之間無必然相等關(guān)系,且對于Ⅱ型均值模型也具有類似結(jié)論,由相關(guān)定義易證.命題2則進一步探討2類均值模型下上近似算子之間的關(guān)系,結(jié)果由相關(guān)定義可證.其中,考慮參數(shù)k,Ⅰ型均值模型的下近似算子與Ⅱ型均值模型的上近似算子之間包含關(guān)系不成立;只考慮參數(shù)α、β,Ⅰ型均值模型的上近似算子包含Ⅱ型均值模型的下近似算子.

算法1給出所建立2類均值模型近似算子的計算算法.通過雙循環(huán),分別將絕對度量和相對度量進行統(tǒng)計均值,進一步判別元素,從而得到對應的下上近似結(jié)果.

算法 1Ⅰ型均值模型與Ⅱ型均值模型的下上近似計算算法:

輸出:Ⅰ型均值與Ⅱ型均值模型的下、上近似.

1:由(5)和(6)式計算α、β,

2:foru∈Udo,

3:forRi∈{R1,R2,…,Rm} do,

4:計算(Ri)(λ1,λ2)(u)、|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y|、|(Ri)(λ1,λ2)(u)|-|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y|、P(Y|(Ri)(λ1,λ2)(u))((7)～(9)和(11)式).

5:end for,

7:由(9)和(11)式的對應條件判別u,

8:end for,

9:得到與返回

3 雙量化模型性質(zhì)

對于所建立的2類均值模型(定義3和定義4),本節(jié)研究近似算子的集合運算、閾值單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì).主要以Ⅰ型均值模型為代表,Ⅱ型均值模型也具有類似結(jié)論.這些多粒度性質(zhì)主要基于文獻[14]單粒度性質(zhì)的粒度擴張得到,證明方法具有類似性.由于大部分性質(zhì)具有集成性、傳遞性、準確性,因此,對于部分性質(zhì)通常選取一個代表進行證明.

性質(zhì) 1在(U,V,Ri,P)中,關(guān)于全集與空集有：

證明由定義3可證.證畢.

性質(zhì) 2在(U,V,Ri,P)中,關(guān)于下、上近似的包含關(guān)系、子集、交并補運算有：

|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y2|)≤

|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y1|)≤k,

性質(zhì) 3在(U,V,Ri,P)中,?Y?V,若k1≤k2,關(guān)于參數(shù)k的單調(diào)性有

證明由定義3易證.證畢.

針對2類均值模型的下上近似算子,性質(zhì)1～3分別討論關(guān)于下、上近似算子的全集、空集運算,包含關(guān)系、子集、交并補集合運算及參數(shù)單調(diào)性,所得結(jié)果關(guān)聯(lián)并深化了文獻[14]的對應結(jié)果,但部分性質(zhì)獲得了弱化的新結(jié)果.具體地,性質(zhì)1對空集、全集運算進行了粒度擴張;性質(zhì)2基于文獻[14]進一步考慮近似算子補集的運算性質(zhì),獲得了弱化的新結(jié)果,但包含關(guān)系、子集、交、并集合運算具有擴張性;由于本文α、β可通過公式計算得到,因此,性質(zhì)3只考慮參數(shù)k的單調(diào)性,且擴張后的近似算子對于參數(shù)的單調(diào)性仍成立.上述這些情況后面將由實例進行驗證.

4 實例分析

本節(jié)通過企業(yè)供應鏈績效評價實例,分析說明構(gòu)建模型及其數(shù)學性質(zhì).

4.1 模型說明對于企業(yè)供應鏈績效評價問題,論域U={u1,u2,u3,u4,u5}為企業(yè)集合,V={v1,v2,v3,v4,v5}為屬性,其中,v1為客戶資源,v2為財務環(huán)境,v3為技術(shù)水平,v4為運營狀況,v5為銷售能力.4個專家對企業(yè)及其屬性的評價用直覺模糊關(guān)系來表示,見表1.

表 1 企業(yè)與屬性之間的直覺模糊關(guān)系

表 2 關(guān)系截集、絕對量化和相對量化計算結(jié)果

進一步由(9)和(10)式可得出Ⅰ型均值模型的下、上近似、三支區(qū)域及精度的結(jié)果,也可由算法1得出.

|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y|)≤k}={u3,u4,u5},

{u1,u2,u3,u5};

{u1,u2,u4};

根據(jù)上述Ⅰ型均值模型三支區(qū)域結(jié)果,實施三支決策方案,得到相關(guān)的決策制定方案如下：

1) 企業(yè)u3、u5供應鏈績效較好;

2) 企業(yè)u1、u2、u4需要更多的信息從而進一步判斷.

Ⅱ型均值模型及兩類單粒度模型也可類似計算.表3給出k的取值為1、2、3、4時,Ⅰ型均值模型與Ⅱ型均值模型的相關(guān)結(jié)果.根據(jù)表3的實例結(jié)果,可分析揭示2類均值模型下上近似算子之間的關(guān)系、只考慮參數(shù)k的單調(diào)性,從而驗證命題2、性質(zhì)2的第1)條、性質(zhì)3.Ⅱ型均值模型的語義及決策可類似解釋.對比表3的2類均值模型計算結(jié)果可得,k的取值越大,2類模型所對應邊界域的基數(shù)越小,即不確定的元素就越少,但k的取值與對應精度值并無直接關(guān)系.此外,表4給出k取值為2時,2類均值多粒度模型與退化所得單粒度模型的計算結(jié)果.由表4實例結(jié)果可得出2類均值多粒度模型的基數(shù)與退化所得單粒度模型基數(shù)的平均之間無必然相等關(guān)系,從而驗證命題1.2類單粒度模型的語義及決策也可類似解釋.另外,值得說明的是,在精度上,通過粒度融合得到的多粒度模型精度值并不高于單粒度模型.

相比文獻[12],新建Ⅰ型均值模型采用雙量化技術(shù)來進行改進建模,定義1模型[12]在本例中的近似算子結(jié)果如下：

{〈u1,0.1,0.6〉,〈u2,0.4,0.5〉,〈u3,0.7,0.2〉,

〈u4,0.2,0.6〉,〈u5,0.7,0.1〉},

{〈u1,0.6,0.1〉,〈u2,0.5,0.2〉,〈u3,0.7,0.2〉,

〈u4,0.6,0.2〉,〈u5,0.42,0.4〉}.

通過對比可得,文獻[12]模型的模糊集表現(xiàn)形式更加復雜,而新型Ⅰ型均值模型的粗糙集表現(xiàn)形式更簡便、直接并具可解釋性,有利于決策制定.

對比文獻[14],在本例中,與文獻[14]的相應結(jié)果類似,發(fā)現(xiàn)2類模型的三支決策方案并不完全相同.具體地,當k=2時,通過表3所示的2類模型三支區(qū)域的結(jié)果,使用三支決策制定方案,即Ⅰ型均值模型得出企業(yè)u3、u5供應鏈績效較好,企業(yè)u1、u2、u4需要更多的信息從而進一步判斷;Ⅱ型均值模型得出企業(yè)u5需要更多的信息從而進一步判斷,企業(yè)u1、u2、u3、u4供應鏈績效不好.因此,在實際決策時,可以同時考慮2類模型,將結(jié)果進行比較分析,并根據(jù)實際需求得出決策,也可通過進一步定義2類模型對應的風險函數(shù),從而對所得三支區(qū)域結(jié)果進行比較分析,得出最終決策.

從表4的2類均值多粒度模型與退化所得單粒度模型的計算結(jié)果可得,單粒度模型的三支區(qū)域結(jié)果并不相同,而通過粒度融合,2類均值多粒度模型分別得出最終結(jié)果,對于2類均值模型最終結(jié)果的不完全一致性,也可根據(jù)上述論述得出決策結(jié)果.

表 3 Ⅰ型均值模型與Ⅱ型均值模型的實例結(jié)果

表 4 2類均值多粒度模型與退化所得單粒度模型的實例計算結(jié)果(k=2)

相比退化所得單粒度模型而言,得出構(gòu)建均值多粒度模型對于信息融合的集成性.

4.2 性質(zhì)驗證下面以Ⅰ型均值模型為代表驗證部分性質(zhì).數(shù)據(jù)繼續(xù)采用上述的λ1=0.3,λ2=0.5,k=2,β=0.287 7,Y={v3,v4}及相應計算結(jié)果.

首先說明性質(zhì)1.

因此,性質(zhì)1成立.

下面驗證性質(zhì)2的第2)～5)條,Y1={v3,v4}.

2) 取Y2={v1,v3,v4},使Y1?Y2有

另取Y2={v1,v2,v4},有

{u3}?{u1,u2,u3,u5}=

因此,性質(zhì)2的第2)～5)條成立.

5 結(jié)束語

本文在雙論域多粒度直覺模糊環(huán)境下,將雙度量進行統(tǒng)計均值,進而采用雙量化集成策略,建立2類基于雙量化的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集模型,得到相關(guān)算法、近似算子性質(zhì),其主要以Ⅰ型均值模型為代表.建立的2類均值模型簡化文獻[12]模型的復雜表現(xiàn)形式,將文獻[14]的性質(zhì)進行理論拓展,具有改進性、擴張性、應用適用性.后續(xù)相關(guān)的群決策制定、規(guī)則提取、屬性約簡還值得進一步深入研究.