等時(shí)圓
——求解物體沿光滑斜面滑行問(wèn)題中的橋梁

王偉民，牟銀勇

1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 太和 236652

2.重慶市育才中學(xué)，重慶 400050

1 引言

物體沿傾斜的光滑細(xì)桿從頂端由靜止?fàn)顟B(tài)自由滑行至底端所用時(shí)間的長(zhǎng)短，跟細(xì)桿的傾角和細(xì)桿的長(zhǎng)短都有關(guān)系，細(xì)桿越長(zhǎng)，細(xì)桿的傾角越小，物體沿細(xì)桿由頂端自由滑行至底端所用的時(shí)間就越長(zhǎng)?？梢宰C明，如果幾根光滑細(xì)桿的頂端重合，底端位于以頂端為豎直直徑一個(gè)端點(diǎn)的同一個(gè)圓周上，那么，物體沿各細(xì)桿由頂端自由滑行至底端所用的時(shí)間相等，都等于物體做自由落體運(yùn)動(dòng)下落與圓直徑相等的距離所用的時(shí)間。這個(gè)圓被稱為與光滑細(xì)桿對(duì)應(yīng)的等時(shí)圓，該規(guī)律即為等時(shí)圓的性質(zhì)。

2 等時(shí)圓性質(zhì)的論證

如圖1所示，設(shè)光滑細(xì)桿AB的傾角為α，AB兩點(diǎn)位于豎直平面內(nèi)⊙O的圓周上，且AC是⊙O的豎直直徑，⊙O的半徑為R。下面推導(dǎo)滑環(huán)P沿AB由頂端A自由滑行至底端B需要的時(shí)間跟⊙O半徑R及其他各相關(guān)物理量之間的關(guān)系式。

圖1 等時(shí)圓的物理和幾何關(guān)系

根據(jù)已知條件并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可知，細(xì)桿AB的長(zhǎng)度為AB=2Rsinα，將滑環(huán)重力mg分解為沿細(xì)桿方向的力F1和垂直于細(xì)桿方向的力F2。顯然，F(xiàn)1=mgsinα，所以，滑環(huán)沿細(xì)桿方向的加速度為a=gsinα。因此，滑環(huán)由A端自由滑行至B端需要的時(shí)間為

這一時(shí)間恰好為物體做自由落體運(yùn)動(dòng)下降與圓的直徑2R相等的高度需要的時(shí)間，問(wèn)題得證。

3 等時(shí)圓性質(zhì)的應(yīng)用

物體沿光滑細(xì)桿或光滑斜面由靜止釋放自由滑行問(wèn)題中，給出合適的條件，可以求解相關(guān)的未知物理量。對(duì)于涉及這方面內(nèi)容的題目，在求解問(wèn)題的過(guò)程中，如果增添合適的輔助等時(shí)圓，往往可以使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單明了。下面以兩個(gè)具體例子進(jìn)行說(shuō)明。

3.1 求解兩個(gè)滑動(dòng)物體的相對(duì)滑動(dòng)速度

例題1如圖2所示，豎直平面內(nèi)足夠長(zhǎng)的光滑細(xì)桿PA和PB的上端點(diǎn)重合，它們與水平面MN的夾角分別為α和。兩個(gè)小環(huán)分別套在兩根細(xì)桿上，由P點(diǎn)靜止釋放，求經(jīng)時(shí)間t后兩小環(huán)相對(duì)速度的大小。

圖2 小環(huán)在豎直面內(nèi)的細(xì)桿上運(yùn)動(dòng)

3.1.1 采用矢量運(yùn)算的方法進(jìn)行求解

這道題的解法比較多，我們先采用矢量運(yùn)算的方法進(jìn)行求解。

解析如圖3所示，設(shè)時(shí)間t后，套在兩根光滑細(xì)桿的兩個(gè)小環(huán)分別沿兩根細(xì)桿下滑至C點(diǎn)和D點(diǎn)位置，設(shè)此時(shí)它們的速度分別為vC和vD，則兩個(gè)速度的大小分別為

圖3 例題1分析圖

vC=gtsinα，vD=gtsinβ

將這兩個(gè)速度分別在水平方向和豎直方向分解，并寫成矢量式，有

以細(xì)桿PA上的小環(huán)為參照物，則細(xì)桿PB上小環(huán)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為

細(xì)胞持續(xù)缺氧,重要臟器的功能發(fā)生障礙,乳酸的清除能力降低,這是導(dǎo)致高乳酸血癥的重要原因之一[5]。乳酸是體內(nèi)葡萄糖無(wú)氧酵解的產(chǎn)物?；颊叩娜樗岢掷m(xù)時(shí)間和血乳酸水平是判斷病情嚴(yán)重程度和預(yù)后的重要指標(biāo)。單純監(jiān)測(cè)某一時(shí)刻的血乳酸濃度,不能作為準(zhǔn)確判斷治療措施的效果,不能準(zhǔn)確反映機(jī)體的狀態(tài)及疾病的發(fā)展情況。研究[6]表明:血乳酸水平越高,病死率越高;如血乳酸低于1.4mmol/L,則病死率為0;如血乳酸超過(guò)13 mmol/L,則病死率接近100%。因此,觀察血乳酸水平的動(dòng)態(tài)變化,計(jì)算血乳酸的清除率,可準(zhǔn)確反映出病情演變的趨勢(shì)。

所以，以細(xì)桿PA上的小環(huán)為參照物，細(xì)桿PB上的小環(huán)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的大小為

用同樣的方法可以求得兩個(gè)滑桿上的小環(huán)相對(duì)加速度大小為a=gsin（β-α）。

可以發(fā)現(xiàn)，上面的推理過(guò)程非常麻煩，求解過(guò)程的大部分內(nèi)容是數(shù)學(xué)中的三角變換，已經(jīng)把物理問(wèn)題的“物理味道”給沖淡了。那么，我們可否另辟蹊徑，尋找相對(duì)簡(jiǎn)便的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解呢？考慮到等時(shí)圓中，物體沿傾角不同的光滑斜面（或光滑細(xì)桿）從某個(gè)豎直圓周的最頂端（即該圓豎直直徑的上端點(diǎn)）靜止釋放，滑行到斜面（或細(xì)桿）與圓周的另一個(gè)交點(diǎn)所用的時(shí)間相等，所以，我們可以嘗試用增添輔助等時(shí)圓的方法來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。

3.1.2 采用添加輔助等時(shí)圓的方法進(jìn)行求解

如圖4所示，過(guò)P作豎直線PH，兩個(gè)小環(huán)在光滑細(xì)桿PA和PB上同時(shí)由P點(diǎn)靜止釋放。假設(shè)在某時(shí)刻沿細(xì)桿PA向下自由滑行的小環(huán)到達(dá)C點(diǎn)，作圓心在PH上，并且過(guò)PC兩點(diǎn)的圓⊙O（作PC的中垂線，與PH的交點(diǎn)便是需要作的圓的圓心位置）。顯然，在指定時(shí)刻，滿足條件的圓不僅存在，而且是唯一的。設(shè)⊙O交PB于點(diǎn)D，由等時(shí)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)沿細(xì)桿PA自由滑行的小環(huán)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，沿細(xì)桿PB自由滑行的小環(huán)剛好到達(dá)D點(diǎn)。因?yàn)镸N是⊙O的切線，由弦切角的性質(zhì)可知，∠CDP=∠APN=α。如圖5所示，如果在射線PH上O點(diǎn)下方任取一點(diǎn)I，以I為圓心、IP為半徑作圓，⊙I分別交PA、PB于E點(diǎn)和F點(diǎn)，由等時(shí)圓的性質(zhì)可知，在滑桿PA上滑行的小環(huán)滑行至E點(diǎn)時(shí)，在滑桿PB上滑行的小環(huán)恰好滑行至F點(diǎn)，易知，△PCD∽△PEF。這說(shuō)明兩個(gè)小環(huán)在由P點(diǎn)靜止釋放開(kāi)始自由滑行時(shí)計(jì)時(shí)，之后的任意時(shí)刻，它們所在的兩點(diǎn)與起始位置點(diǎn)組成的三角形都是相似的。所以，在任意時(shí)刻，兩小環(huán)在空間內(nèi)的相對(duì)方位始終保持不變。由初速度為零的勻變速直線運(yùn)公式和v=at可知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定時(shí)，從初始位置計(jì)時(shí)，運(yùn)動(dòng)一定時(shí)間后某時(shí)刻物體的位移正比于物體的加速度，這時(shí)刻物體的速度也正比于物體的加速度。在圖5中，由正弦定理可知所以。因此，從開(kāi)始滑行時(shí)計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t之后，在滑桿PA上滑行小環(huán)的滑行速度為vC=gtsinα。故經(jīng)時(shí)間t后兩根滑桿上的兩個(gè)小環(huán)的相對(duì)滑行速度為

圖4 利用等時(shí)圓分析小環(huán)的運(yùn)動(dòng)

圖5 利用等時(shí)圓分析小環(huán)運(yùn)動(dòng)的速度

3.2 求解物體滑行的最短時(shí)間

例題2如圖6所示，OA是坡比為3：4的斜坡，在斜坡底端O點(diǎn)正上方45 m處有一固定點(diǎn)P。一光滑細(xì)桿PC底端C放在斜面上且可自由調(diào)節(jié)位置，細(xì)桿始終過(guò)點(diǎn)P，套在細(xì)桿上的小環(huán)由P點(diǎn)靜止釋放，試求小環(huán)沿細(xì)桿滑行至斜面的最短時(shí)間？（取g=10 m/s2）

圖6 小環(huán)在斜坡上的桿上滑行

分析如圖7所示，作圓心在OP上、經(jīng)過(guò)點(diǎn)P并且與OA相切的圓⊙I，交PC于D。易知，這樣的圓不僅存在，而且該圓的位置和大小都是唯一確定的。設(shè)⊙I與斜面的切點(diǎn)為E，由圖可知，斜面OA上的所有點(diǎn)，除了切點(diǎn)E在⊙I的圓上之外，其余各點(diǎn)全部在⊙I的外面。連接PE，若將PE、PC視為光滑細(xì)桿的話，由等時(shí)圓的性質(zhì)可知，套在兩根光滑細(xì)桿上的兩個(gè)小環(huán)從P點(diǎn)同時(shí)靜止釋放，在細(xì)桿PC上的小環(huán)滑行至D點(diǎn)所用的時(shí)間與在細(xì)桿PE上的小環(huán)滑行至切點(diǎn)E所用的時(shí)間相等。因此，小環(huán)沿過(guò)切點(diǎn)E的細(xì)桿由P滑行至斜面所用的時(shí)間最短。

圖7 利用等時(shí)圓分析小環(huán)的運(yùn)動(dòng)

解析作EH⊥OP，垂足為H。因?yàn)镺A與⊙I相切，所以IE⊥OA，所以△IHE∽△IEO∽△EHO∽△OBA，所以這些相似直角三角形較短直角邊與較長(zhǎng)直角邊之比都等于斜坡的坡比3：4。設(shè)⊙I的半徑為r，則，所以

因此，小環(huán)在光滑細(xì)桿PE上向下自由滑行的加速度大小為

小環(huán)沿光滑細(xì)桿由P點(diǎn)滑行至斜面需要的最短時(shí)間為

對(duì)于例題2給出的問(wèn)題，也可以采用建立合適坐標(biāo)系的方式用解析法進(jìn)行求解。對(duì)于經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的任意向右下方傾斜的光滑細(xì)桿，建立小環(huán)在細(xì)桿上由P點(diǎn)靜止釋放沿細(xì)桿自由滑行到斜面過(guò)程中，需要的時(shí)間與相關(guān)參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系式，利用求導(dǎo)確定駐點(diǎn)的方法亦可確定問(wèn)題的答案，但這樣的方法解題過(guò)程將會(huì)非常復(fù)雜，而且學(xué)生不易理解。

4 兩個(gè)例題對(duì)應(yīng)問(wèn)題的解法總結(jié)

可以發(fā)現(xiàn)，例題1和例題2分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同類型的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。前者是兩個(gè)滑環(huán)分別沿兩個(gè)不同傾角光滑細(xì)桿同時(shí)開(kāi)始滑行經(jīng)歷確定的時(shí)間后，求解它們的相對(duì)滑動(dòng)速度；后者是求解滑環(huán)沿不同傾角光滑細(xì)桿從斜面上方的某個(gè)固定點(diǎn)滑行至斜面上的最短時(shí)間。雖然都采用了添加輔助等時(shí)圓的方法，但解決具體問(wèn)題的方法也存在差別。前者借助等時(shí)圓構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)并結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式中速度與位移的定量關(guān)系進(jìn)行解析；后者則借助等時(shí)圓，根據(jù)圓切線上的各點(diǎn)中唯有切點(diǎn)到圓上最高點(diǎn)的距離最短，并結(jié)合等時(shí)圓的性質(zhì)進(jìn)行求解。

當(dāng)然，對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，如果物理情境適當(dāng)改變，則對(duì)應(yīng)的物理問(wèn)題也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，在條件允許的情況下，我們依然可以采用增添輔助等時(shí)圓的方法進(jìn)行求解。比如，例題2對(duì)應(yīng)的物理情境，我們可以將坡比已知的斜面改換為其他曲面，例如改換為圓心、半徑確定（半徑大于圖7中⊙I的半徑）的圓柱體的側(cè)面，那么，我們?nèi)匀豢梢圆捎门c例題2解法類似的方法進(jìn)行求解，而且相比于其他方法解題過(guò)程更為簡(jiǎn)潔。

5 結(jié)語(yǔ)

等時(shí)圓，恰如一座橋梁，在運(yùn)動(dòng)學(xué)板塊物體沿光滑斜面（或光滑細(xì)桿）由靜止釋放自由滑行問(wèn)題中，將等時(shí)圓這座“橋梁”恰到好處地架設(shè)于已知條件和所求的問(wèn)題之間，利用等時(shí)圓的性質(zhì)，并結(jié)合圓的有關(guān)幾何性質(zhì)，有時(shí)可以起到化腐朽為神奇的作用，使常規(guī)解法下繁雜晦澀的求解過(guò)程變得簡(jiǎn)潔明快。