非正態(tài)響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的貝葉斯建模與優(yōu)化

馬 妍, 汪建均,*, 馮澤彪

(1. 南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 江蘇 南京 210094; 2. 南京郵電大學(xué)管理學(xué)院, 江蘇 南京 210003)

0 引 言

20世紀(jì)70年代,日本著名的質(zhì)量工程專家田口玄一(Genichi Taguchi)博士以正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和信噪比為基礎(chǔ)提出了穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方法。穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)旨在通過(guò)選擇可控因子的最佳設(shè)置,以減少或控制噪聲因子對(duì)產(chǎn)品或過(guò)程波動(dòng)的影響,從而設(shè)計(jì)出對(duì)噪聲因子變化不敏感的產(chǎn)品或過(guò)程?，F(xiàn)代質(zhì)量工程的主流觀點(diǎn)認(rèn)為:波動(dòng)是導(dǎo)致質(zhì)量問(wèn)題產(chǎn)生的根本原因。盡管人們無(wú)法完全消除由噪聲因素所導(dǎo)致的波動(dòng),但是可以對(duì)其進(jìn)行減小或控制[1]。通常情況下,噪聲因子可以在試驗(yàn)過(guò)程中被控制,但不能在工藝操作或產(chǎn)品使用過(guò)程中被控制。噪聲因子就是在正常生產(chǎn)過(guò)程或使用條件下難以被控制的因子[2-3]。噪聲因子包括很多類型,常見(jiàn)的表現(xiàn)形式有:① 工藝參數(shù)的變化。例如,反應(yīng)罐中的溫度很重要,如果要考慮由其變化所產(chǎn)生的影響,通常將其視為可控因子。但是,溫度在實(shí)際生產(chǎn)中會(huì)產(chǎn)生波動(dòng),因此通常要將溫度這個(gè)參數(shù)的波動(dòng)看成噪聲因子。② 原材料參數(shù)的變化。在制造過(guò)程中,零部件的實(shí)際值與名義值總會(huì)有偏離。由于原材料參數(shù)通常被視為可控因子,此類誤差所形成的噪聲因子也被稱為“內(nèi)噪聲”。③ 環(huán)境的變化。環(huán)境條件對(duì)響應(yīng)變量也會(huì)有直接的影響,而通常又未被納入可控因子的范圍內(nèi)。例如,溫度、濕度、輸入電壓等環(huán)境的變化可能會(huì)直接影響輸出響應(yīng)的波動(dòng)。上述隨著使用條件和環(huán)境變化的波動(dòng)通常被視為外干擾,也稱為“外噪聲”。此外,產(chǎn)品所承受的外部載荷、元器件的耗損降級(jí)等噪聲因素也可能會(huì)引起輸出響應(yīng)的波動(dòng)。

在產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程或用戶使用過(guò)程中,噪聲因子時(shí)刻影響產(chǎn)品或過(guò)程的穩(wěn)健性能。如何有效地減小或控制噪聲因子對(duì)產(chǎn)品或過(guò)程輸出響應(yīng)的波動(dòng),構(gòu)成了穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。盡管Taguchi的質(zhì)量哲學(xué)思想已被學(xué)術(shù)界所普遍接受,但其方法在穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)技術(shù)[4]存在相當(dāng)大的爭(zhēng)議[5],如信噪比效率低下、設(shè)計(jì)變量缺乏靈活性、正交試驗(yàn)無(wú)法考慮因子之間的交互效應(yīng)、試驗(yàn)設(shè)計(jì)計(jì)劃缺乏經(jīng)濟(jì)性等。為此,一些統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了響應(yīng)曲面方法(response surface methodology, RSM)。RSM[6]是由響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜆?gòu)建和數(shù)值優(yōu)化技術(shù)所組成的系統(tǒng)科學(xué)方法。RSM已被廣泛地應(yīng)用于各種產(chǎn)品或過(guò)程的質(zhì)量設(shè)計(jì),在連續(xù)質(zhì)量改進(jìn)活動(dòng)中提供。著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家Myers等[7]指出,從更為廣泛的意義上看,RSM已成為工業(yè)試驗(yàn)的核心。因此,一些統(tǒng)計(jì)學(xué)家使用RSM來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品或過(guò)程的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)。例如,著名的質(zhì)量專家Myers[8]曾在質(zhì)量領(lǐng)域的國(guó)際期刊《Journal of Quality Technology》上發(fā)表了一篇非常有影響力的綜述性論文。在這篇代表性的綜述論文中,Myers[8]指出，在過(guò)去的20多年內(nèi),RSM在穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)研究中作為方差縮減和過(guò)程改進(jìn)的替代方法備受關(guān)注。RSM正轉(zhuǎn)向廣義線性模型(generalized linear model, GLM)的使用,包括以logistic和泊松回歸為例的應(yīng)用研究。此外,其他的RSM還包括多響應(yīng)優(yōu)化方法、非參數(shù)方法和半?yún)?shù)方法。隨著計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)的發(fā)展,以RSM為基礎(chǔ)的模擬建模與優(yōu)化方法也引起了相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注。例如,著名學(xué)者Kleijnen[9]曾圍繞上述的研究問(wèn)題,從模擬優(yōu)化的視角展開(kāi)了深入的分析與總結(jié),在國(guó)際期刊《European Journal of Operational Research》發(fā)表了有代表性的綜述論文。

在工業(yè)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析中,RSM作為傳統(tǒng)Taguchi方法的替代方法,有效地彌補(bǔ)了Taguchi方法的不足之處。例如,Myers等[10]借鑒了Taguchi所提出的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)基本思想,提出了一種非常具有吸引力的替代方法——RSM方法。首先,假設(shè)噪聲因子在某種已知分布的范圍內(nèi)變化。然后,通過(guò)響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)所獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù),分別擬合輸出響應(yīng)與可控因子、噪聲因子之間的均值模型和方差模型,即雙響應(yīng)曲面模型[11]。最后,借鑒Taguchi穩(wěn)健設(shè)計(jì)思想對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)化(即在最小化響應(yīng)均值與設(shè)計(jì)目標(biāo)值之間的偏差的同時(shí),最大限度地減小響應(yīng)方差),以獲得理想的可控因子設(shè)計(jì)值。上述的雙響應(yīng)曲面建模方法非常巧妙地回避了Taguchi方法在實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)所面臨的一些有爭(zhēng)議性的技術(shù)問(wèn)題。需要指出的是,傳統(tǒng)的方法(如RSM方法、Taguchi方法等)通常假定響應(yīng)數(shù)據(jù)滿足正態(tài)或同方差。然而,在實(shí)際的質(zhì)量設(shè)計(jì)中,分析人員經(jīng)常會(huì)遇到非正態(tài)響應(yīng)的質(zhì)量設(shè)計(jì)問(wèn)題[12]。GLM方法可以看成是一般RSM方法的一種擴(kuò)展,通常被視為涉及非正態(tài)響應(yīng)的RSM。例如,針對(duì)非正態(tài)響應(yīng),Myers等[13]曾利用GLM來(lái)構(gòu)建輸出響應(yīng)與可控因子、噪聲因子之間的函數(shù)關(guān)系,從而實(shí)現(xiàn)了在GLM建?？蚣芟路钦龖B(tài)響應(yīng)的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)。

在實(shí)際生產(chǎn)或制造過(guò)程中,除了噪聲因素的影響,模型參數(shù)、模型結(jié)構(gòu)、預(yù)測(cè)誤差等不確定性因素將在相當(dāng)大的程度上影響響應(yīng)曲面的建模精度與分析結(jié)果。例如,Kleijnen[9]指出,在當(dāng)今的不確定性世界中,穩(wěn)健優(yōu)化是極其重要的,在不可控制的環(huán)境中,若忽視不確定性的影響,運(yùn)用RSM或者Kriging模型所得的最優(yōu)結(jié)果可能是難以令人滿意的。然而,在傳統(tǒng)的響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)與建模優(yōu)化中,質(zhì)量工程師或研究人員往往忽視了模型不確定性對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響[14]。

近年來(lái),在復(fù)雜產(chǎn)品或先進(jìn)制造過(guò)程的質(zhì)量設(shè)計(jì)研究中,考慮不確定性質(zhì)量設(shè)計(jì)的建模方法引發(fā)了眾多學(xué)者的研究興趣。當(dāng)前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要運(yùn)用不確定性分析方法(如置信區(qū)間[7,15-16]、模糊數(shù)學(xué)[17]、貝葉斯統(tǒng)計(jì)[18-23]以及組合建模[24]等)分析模型參數(shù)或模型結(jié)構(gòu)的不確定性對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。貝葉斯方法不僅在建模過(guò)程中能夠有效地考慮以往的先驗(yàn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)信息,而且能夠在數(shù)據(jù)分析中對(duì)以往的先驗(yàn)信息不斷地進(jìn)行更新和修正。因此,利用貝葉斯方法開(kāi)展不確定性的質(zhì)量設(shè)計(jì)研究已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注和重視。例如,針對(duì)多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,Peterson[25]在多變量回歸模型框架下考慮了試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性、模型參數(shù)的不確定性以及輸出響應(yīng)的波動(dòng),通過(guò)優(yōu)化輸出響應(yīng)落入對(duì)應(yīng)規(guī)格限的概率來(lái)獲得最優(yōu)的參數(shù)設(shè)計(jì)值。Miro-Quesada等[26]擴(kuò)展了Peterson的研究工作,在貝葉斯響應(yīng)曲面構(gòu)建中考慮了噪聲因子波動(dòng)的影響,有效地刻畫(huà)了模型參數(shù)以及噪聲因子等不確定性因素對(duì)產(chǎn)品或過(guò)程的影響。針對(duì)多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,文獻(xiàn)[27]在貝葉斯響應(yīng)曲面建模的框架下,結(jié)合質(zhì)量損失函數(shù)和后驗(yàn)概率方法提出了一種新的貝葉斯優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法運(yùn)用貝葉斯抽樣技術(shù)獲取多響應(yīng)的貝葉斯后驗(yàn)樣本,并利用輸出響應(yīng)的抽樣值構(gòu)建了質(zhì)量損失和符合性概率兩種優(yōu)化度量指標(biāo),充分地考慮了模型參數(shù)不確定性以及響應(yīng)波動(dòng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。Ouyang等[28]基于似不相關(guān)回歸模型提出了一種貝葉斯分層建模的優(yōu)化方法,同時(shí)考慮操作人員的偏好信息,提出了一種兩階段的優(yōu)化策略。在此基礎(chǔ)上,Ouyang等[29]進(jìn)一步拓展了此前的工作,在貝葉斯建?？蚣芟驴紤]了變量之間的高相關(guān)性、非正態(tài)性和變量選擇問(wèn)題,提出了一種基于似不相關(guān)回歸模型的馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monte Carlo, MCMC)抽樣算法。該抽樣算法可以從完整的聯(lián)合后驗(yàn)分布中產(chǎn)生后驗(yàn)樣本,從而能夠獲得穩(wěn)健的貝葉斯估計(jì)。此外,Yanikoglui等[30]結(jié)合模擬的試驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建了同時(shí)包含可控因子和噪聲因子(或環(huán)境輸入變量)的均值和方差的雙響應(yīng)曲面的元模型(或替代模型),并在此基礎(chǔ)上提出了一種可調(diào)節(jié)的穩(wěn)健優(yōu)化方法。針對(duì)噪聲因子,假設(shè)可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)獲得其均值、方差或協(xié)方差的信息,然后利用所觀測(cè)的噪聲因子信息來(lái)獲得可控因子的最佳設(shè)計(jì)值。結(jié)合噪聲因子的在線測(cè)量結(jié)果,Zhou等[31]提出了一種序貫的支持向量機(jī)方法,并利用該方法將前一階段的最優(yōu)可控因子設(shè)置進(jìn)行更新,不斷地進(jìn)行迭代,從而獲得最佳的參數(shù)設(shè)計(jì)值。Jiang等[32]通過(guò)使用高保真模擬器來(lái)考慮噪聲因子的影響,提出了一種結(jié)合質(zhì)量損失對(duì)數(shù)正態(tài)過(guò)程模型和高斯過(guò)程模型的新方法,來(lái)預(yù)測(cè)期望質(zhì)量損失。針對(duì)可觀測(cè)的噪聲因子,Yang等[33]結(jié)合時(shí)間序列模型與貝葉斯方法,提出了一種在線穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方法,利用該方法對(duì)期望損失函數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整,從而獲得了可控因子的最佳設(shè)計(jì)值。然而,以往的研究通常假設(shè)輸出響應(yīng)服從正態(tài)分布,然后利用多項(xiàng)式模型或似不相關(guān)回歸模型來(lái)構(gòu)建輸出響應(yīng)與可控因子、噪聲因子之間的響應(yīng)曲面模型。此外,如何在貝葉斯模型的框架下考慮參數(shù)不確定性以及響應(yīng)的波動(dòng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,如何有效地度量噪聲因子對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,也是穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)研究領(lǐng)域中非常值得關(guān)注的科學(xué)問(wèn)題。

針對(duì)非正態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題,本文首先利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合可控因子、噪聲因子以及輸出響應(yīng)之間的響應(yīng)曲面模型,然后結(jié)合經(jīng)驗(yàn)貝葉斯先驗(yàn)信息獲取模型參數(shù)的抽樣值。其次,假設(shè)噪聲因子服從已知分布,并利用所估計(jì)的參數(shù)抽樣值獲取輸出響應(yīng)的后驗(yàn)抽樣值。最后,利用所獲的響應(yīng)后驗(yàn)抽樣值來(lái)構(gòu)建符合性概率,并采用遺傳算法對(duì)所構(gòu)建的符合性概率函數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 GLM的貝葉斯分析

1.1 GLM

1972年,Nelder等[34]首次提出了GLM。GLM提供了一組能夠廣泛應(yīng)用于回歸分析的統(tǒng)一模型,不僅適用于正態(tài)響應(yīng),也適用于一些常見(jiàn)的非正態(tài)響應(yīng)。在處理非正態(tài)響應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí),常見(jiàn)的方法是利用數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法先將非正態(tài)響應(yīng)轉(zhuǎn)化為正態(tài)響應(yīng)。然而,數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法可能會(huì)引起多目標(biāo)沖突,即要求同時(shí)滿足正態(tài)性、方差齊性和線性可加性可能導(dǎo)致的沖突。GLM利用聯(lián)系函數(shù)靈活地建立起響應(yīng)方差與響應(yīng)均值之間的函數(shù)關(guān)系,從而能夠適用于廣泛的指數(shù)族分布類型。因此,無(wú)論是連續(xù)性或是離散性的響應(yīng)變量yi,均能表示為指數(shù)族的概率分布形式,其基本的表達(dá)形式如下:

f(yi|θi)=exp{a-1(φi){yiθi-φ(θi)}+c(yi;φi)}

(1)

GLM的經(jīng)典估計(jì)方法是極大似然方法。為了簡(jiǎn)化起見(jiàn),通常假設(shè)φi為已知的,且XT=(x1,x2,…,xn)。在上述假設(shè)下,似然函數(shù)可以表示為

(2)

與式(2)對(duì)應(yīng)的得分向量為

(3)

與式(2)對(duì)應(yīng)的Fisher信息矩陣為

(4)

1.2 基于GLM的貝葉斯分析

在GLM的貝葉斯分析中,首先需要對(duì)模型參數(shù)給出合適的先驗(yàn)分布。在式(2)中通常假設(shè)模型參數(shù)b服從N(b0,Σ),其中假設(shè)b0和Σ可以通過(guò)已知的信息獲得。在給定的試驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)下,其模型參數(shù)b的后驗(yàn)分布為

(5)

通常情況下,上述參數(shù)的后驗(yàn)估計(jì)難以處理[35]。事實(shí)上,在GLM框架下,上述模型參數(shù)的后驗(yàn)分布往往不存在任何封閉的表達(dá)式。因此,即使是針對(duì)中等規(guī)模的模型參數(shù),試圖通過(guò)數(shù)值積分方法來(lái)獲得模型參數(shù)的后驗(yàn)均值和方差等統(tǒng)計(jì)量都將難以實(shí)現(xiàn)。針對(duì)上述問(wèn)題,最為方便的方法是采用MCMC對(duì)GLM進(jìn)行模擬抽樣,進(jìn)而利用所獲得的后驗(yàn)抽樣值進(jìn)行后續(xù)的統(tǒng)計(jì)推斷。上述過(guò)程通?？梢允褂肕etropolis-Hastings算法實(shí)現(xiàn),但如果后驗(yàn)是對(duì)數(shù)凹的,則也可以使用Gilks等[36]提出的自適應(yīng)拒絕采樣(adaptive rejection sampling, ARS)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2 非正態(tài)響應(yīng)曲面的貝葉斯建模與參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 結(jié)合因子效應(yīng)原則的貝葉斯變量選擇

針對(duì)非正態(tài)響應(yīng)的質(zhì)量設(shè)計(jì)問(wèn)題,需要考慮的首要問(wèn)題是如何識(shí)別出顯著性的因子及其交互效應(yīng),即解決變量選擇問(wèn)題。然而,與通常傳統(tǒng)回歸分析的變量選擇不同的是,在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的變量選擇需要考慮試驗(yàn)設(shè)計(jì)的因子效應(yīng)原則[28](如效應(yīng)稀疏、效應(yīng)排序、效應(yīng)遺傳)。為此,結(jié)合以往的研究經(jīng)驗(yàn)[10,19],在GLM的貝葉斯建?？蚣芟?將試驗(yàn)設(shè)計(jì)的因子效應(yīng)原則以貝葉斯先驗(yàn)信息的形式加以考慮。在此,將一個(gè)變量指示器γj納入到GLM的線性預(yù)報(bào)器ηi中,其表達(dá)式為

(6)

式中:γj為二元變量指示器;xij為輸入因子；βj為輸入因子對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)。若變量指示器γj=1,則對(duì)應(yīng)的變量包含在模型中;若變量指示器γj=0,則將對(duì)應(yīng)的變量從模型中剔除出去。針對(duì)上述的二元變量指示器γj,通常假設(shè)其滿足相互獨(dú)立且概率為p的貝努利(Bernouli)分布,即

(7)

式中：pj代表變量指示器γj=1的概率,即pj=Prob(γj=1)。在缺乏先驗(yàn)信息時(shí)，通常假設(shè)各變量的顯著性為等概率,即此時(shí)pj=0.5。在此,將結(jié)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)的因子效應(yīng)原則來(lái)設(shè)置合理的變量顯著性概率。例如,在篩選試驗(yàn)中,當(dāng)主效應(yīng)相對(duì)較多時(shí),通常會(huì)根據(jù)效應(yīng)稀疏原則(顯著性的因子通常是少數(shù)的,即試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的帕累托原則)將變量指示器的先驗(yàn)概率pj設(shè)置為0.2。然而,Bergquist等[38]建議當(dāng)主效應(yīng)數(shù)目較少時(shí),可以將變量指示器的先驗(yàn)概率pj設(shè)置為0.5。變量指示器的獨(dú)立性先驗(yàn)表明:一個(gè)主效應(yīng)的顯著性不依賴于另外一個(gè)主效應(yīng)是否顯著。然而,因子效應(yīng)排序原則表明:與高階效應(yīng)相比,低階效應(yīng)更可能是顯著的;同階效應(yīng)具有同等程度的顯著性。因此,在篩選試驗(yàn)的分析過(guò)程中,通常優(yōu)先考慮因子的主效應(yīng)以及二階交互效應(yīng),很少考慮三階及三階以上的交互效應(yīng)。此外,在考慮因子交互效應(yīng)的顯著性時(shí),需要結(jié)合因子效應(yīng)遺傳原則。若因子交互項(xiàng)AB是顯著的,那么其親本因子A和B中至少有一個(gè)是顯著的。在篩選試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析中,若模型僅包含交互效應(yīng)而未包含所對(duì)應(yīng)的親本因子,則該模型違反了試驗(yàn)設(shè)計(jì)的遺傳效應(yīng)原則,應(yīng)該將其剔除。因此,本文將在貝葉斯建?？蚣苤薪Y(jié)合變量指示器的先驗(yàn)概率,進(jìn)一步考慮因子效應(yīng)原則,從而更好地識(shí)別出顯著性因子,建立更加符合實(shí)際、更為精確的響應(yīng)曲面模型。以交互效應(yīng)AB為例,結(jié)合上述的因子效應(yīng)原則,其交互效應(yīng)AB的變量指示器的先驗(yàn)概率p可以假設(shè)為

(8)

式中:(γA,γB)=(0,0)代表主效應(yīng)A和主效應(yīng)B都是不顯著的。在這種情況下,其交互效應(yīng)所對(duì)應(yīng)變量指示器的先驗(yàn)概率p00通常是非常小的(如0.01)。(γA,γB)=(1,0)代表主效應(yīng)A是顯著的,而主效應(yīng)B是不顯著的,其交互效應(yīng)所對(duì)應(yīng)的變量指示器的先驗(yàn)概率p10通?？梢约僭O(shè)為比較小的數(shù)(如0.1)。(γA,γB)=(1,1)代表主效應(yīng)A和主效應(yīng)B都是顯著的。此時(shí),其交互效應(yīng)所對(duì)應(yīng)的變量指示器的先驗(yàn)概率p11可以假設(shè)為比較大的數(shù)(如0.3)。若假設(shè)所有的模型參數(shù)βj之間是相互獨(dú)立的,則針對(duì)模型參數(shù)βj,可以采用Ntzoufras[39]所提出的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯先驗(yàn),其表達(dá)式為

(9)

(10)

式中：T和B分別代表變量指示器后驗(yàn)樣本γ(t)的總數(shù)和燃燒期(即舍棄收斂前的抽樣值)。如果變量指示器γ(t)=1,則其二元指示器I(·)=1,反之亦然。通過(guò)式(10),能夠?qū)λ紤]的變量進(jìn)行顯著性排序,并根據(jù)研究的需要篩選出合適的顯著性因子或效應(yīng),以開(kāi)展后續(xù)的響應(yīng)曲面建模與參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.2 考慮噪聲因子的貝葉斯響應(yīng)曲面建模

在實(shí)驗(yàn)室的環(huán)境下,某些噪聲因素(如溫度等)是可以測(cè)量和控制的。在這種情形下,研究人員通常希望能夠在試驗(yàn)過(guò)程中將這些噪聲因子納入到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中,考慮利用可控因子、噪聲因子以及噪聲因子與可控因子之間的交互效應(yīng)來(lái)構(gòu)建響應(yīng)模型,從而能夠通過(guò)選擇可控因子的最佳參數(shù)設(shè)計(jì)以減小或控制噪聲因子對(duì)產(chǎn)品或過(guò)程波動(dòng)的影響,從而實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品/過(guò)程的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)。為此,結(jié)合第2.1節(jié)的因子篩選結(jié)果,將所篩選的顯著性因子劃分為可控因子x和噪聲因子z,則式(6)中GLM的線性預(yù)報(bào)器η將變?yōu)?/p>

ηi=xiβc+ziβn+xiziβcn,i=1,2,…,n

(11)

式中:xi,zi分別代表可控因子和噪聲因子的主效應(yīng);xizi代表可控因子和噪聲因子的交互效應(yīng);βc代表可控因子的估計(jì)系數(shù);βn代表噪聲因子的估計(jì)系數(shù);βcn代表可控因子和噪聲因子交互效應(yīng)的估計(jì)系數(shù)。在此,進(jìn)一步簡(jiǎn)化式(9)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯先驗(yàn),針對(duì)式(11)中的模型參數(shù)β賦予如下的先驗(yàn)形式:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

2.3 結(jié)合最小均方誤差與貝葉斯后驗(yàn)概率的穩(wěn)健參數(shù)優(yōu)化

當(dāng)?shù)?.2節(jié)中所獲得的模擬響應(yīng)抽樣值達(dá)到其穩(wěn)態(tài)分布時(shí),其響應(yīng)抽樣值ynew能夠進(jìn)一步被用來(lái)建立其后續(xù)的優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)。在給定的試驗(yàn)數(shù)據(jù)data下,假設(shè)輸出響應(yīng)的規(guī)格限為A,其模擬輸出響應(yīng)ynew(x)落在其對(duì)應(yīng)規(guī)格限A的貝葉斯后驗(yàn)概率函數(shù)為

(17)

(18)

上述的最小均方誤差函數(shù)更多關(guān)注輸出響應(yīng)與目標(biāo)值之間的偏差,以及輸出響應(yīng)的波動(dòng),即更多關(guān)注的是產(chǎn)品/過(guò)程的穩(wěn)健性。在實(shí)際應(yīng)用中,研究人員需要在最大化符合性概率與最小化均方誤差之間進(jìn)行權(quán)衡。為此,本文提出了一種行之有效的優(yōu)化策略,其具體的優(yōu)化模型如下:

(19)

式中:p0代表所期望滿足的符合性概率,即產(chǎn)品或過(guò)程的合格率;L和U分別代表可控因子在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)的上界和下界。在滿足所期望的符合性概率的條件下,通過(guò)最小化均方誤差函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品或過(guò)程的穩(wěn)健性,從而實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品/過(guò)程的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)。上述的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是在輸出響應(yīng)后驗(yàn)樣本基礎(chǔ)之上構(gòu)建獲得,因此其目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均表現(xiàn)為高度復(fù)雜的非線性特征,傳統(tǒng)的優(yōu)化方法(如線性規(guī)劃等)將難以獲得理想的優(yōu)化結(jié)果。為此,本文將借鑒以往的研究經(jīng)驗(yàn),利用混合遺傳算法對(duì)上述優(yōu)化模型,即式(19),進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

2.4 本文所提方法的實(shí)施步驟

針對(duì)非正態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題,本文提出了一種考慮噪聲因子的貝葉斯建模與穩(wěn)健參數(shù)優(yōu)化方法,其具體的實(shí)施步驟如下。

步驟 1在GLM框架下結(jié)合貝葉斯先驗(yàn)信息考慮試驗(yàn)設(shè)計(jì)的因子效應(yīng)原則(如效應(yīng)稀疏、效應(yīng)排序、效應(yīng)遺傳),從而篩選出顯著性因子效應(yīng)。

步驟 2將所識(shí)別出的顯著性因子劃分為可控因子和噪聲因子,對(duì)所構(gòu)建的貝葉斯響應(yīng)曲面模型的參數(shù)賦予經(jīng)驗(yàn)貝葉斯先驗(yàn)信息,從而利用Gibbs抽樣方法獲得模型參數(shù)的抽樣值。

步驟 3考慮產(chǎn)品制造或使用過(guò)程的實(shí)際情況,并根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)信息來(lái)確定噪聲因子的分布信息。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步結(jié)合上述參數(shù)的迭代抽樣值,來(lái)更新GLM的均值函數(shù),從而獲得考慮噪聲因子情形下的輸出響應(yīng)模擬抽樣值。

步驟 4利用所獲得的輸出響應(yīng)模擬抽樣值分別構(gòu)建最小均方誤差函數(shù)和貝葉斯后驗(yàn)概率函數(shù),并將二者進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合,構(gòu)建一種新的優(yōu)化模型,即在滿足貝葉斯后驗(yàn)概率大于預(yù)先設(shè)定的期望概率的情況下,最小化均方誤差。上述的優(yōu)化策略不僅能夠關(guān)注產(chǎn)品或過(guò)程的符合性概率,也能夠有效地實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品或過(guò)程的穩(wěn)健性。

步驟 5利用混合遺傳算法對(duì)所構(gòu)建的優(yōu)化模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,從而獲得理想的參數(shù)設(shè)計(jì)值。在R軟件中,需要將式(19)約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一種考慮懲罰的適應(yīng)度函數(shù),然后對(duì)所構(gòu)建的適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,獲得最優(yōu)的參數(shù)設(shè)計(jì)值。

3 實(shí)例分析

3.1 電阻率試驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的有效性和可靠性,本文選擇某測(cè)試晶片的電阻率實(shí)驗(yàn)[41]來(lái)加以說(shuō)明和分析。在該電阻率實(shí)驗(yàn)中,影響電阻率y變化的設(shè)計(jì)因子主要為:離子注入的劑量x1、時(shí)間x2、氧化層的厚度x3,以及溫度x4。研究人員旨在通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法來(lái)尋求影響某測(cè)試晶片電阻率的最佳參數(shù)設(shè)計(jì)值。為此,研究人員選擇全因子設(shè)計(jì)24開(kāi)展相關(guān)的研究?？紤]到在實(shí)際的應(yīng)用中,溫度難以被控制,在此將其視為噪聲因子z,具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 電阻率試驗(yàn)的研究結(jié)果

3.2 考慮因子效應(yīng)原則的變量篩選

然后,由于對(duì)模型參數(shù)缺乏必要的先驗(yàn)信息,在此假設(shè)模型參數(shù)的顯著性是等概率的,即假設(shè)式(7)的pj=0.5。在此基礎(chǔ)上,結(jié)合式(9)和式(10)計(jì)算出各模型參數(shù)所對(duì)應(yīng)的變量指示器后驗(yàn)概率值。根據(jù)變量指示器后驗(yàn)概率的計(jì)算結(jié)果可知,因子效應(yīng)的顯著性排序分別為:x2,x4,x1,x3x4,x2x4,x1x4,x3。遺傳效應(yīng)原則是指若交互效應(yīng)x3x4顯著,則所對(duì)應(yīng)的主效應(yīng)x3或x4至少有一個(gè)是顯著的。在貝葉斯變量選擇中,強(qiáng)遺傳效應(yīng)與弱遺傳效應(yīng)通常通過(guò)二階或高階交互效應(yīng)所對(duì)應(yīng)的變量指示器的先驗(yàn)概率加以區(qū)分。例如,在強(qiáng)遺傳效應(yīng)下,其二階交互效應(yīng)所對(duì)應(yīng)的變量指示器的先驗(yàn)概率如果設(shè)置為0.3,則在弱遺傳效應(yīng)原則下其所對(duì)應(yīng)的變量指示器的先驗(yàn)概率需要設(shè)置得更低一些,如0.1。需要指出的是,本文在設(shè)置變量指示器的先驗(yàn)概率時(shí),不僅考慮了因子效應(yīng)原則,而且還利用經(jīng)驗(yàn)貝葉斯先驗(yàn)方法考慮了以往研究方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。由于本文所選的實(shí)際案例所涉及的主效應(yīng)因子數(shù)目較少,且僅考慮了二階交互效應(yīng),因此在考慮因子效應(yīng)原則時(shí),希望通過(guò)強(qiáng)遺傳效應(yīng)對(duì)可能顯著的交互效應(yīng)設(shè)置較大的先驗(yàn)概率,以保留更多的顯著性變量,從而方便與以往的研究方法進(jìn)行對(duì)比和分析。根據(jù)因子效應(yīng)遺傳原則和因子效應(yīng)排序原則,若交互效應(yīng)x3x4是顯著的,其主效應(yīng)x3、x4往往也可被認(rèn)為是顯著的。為此,需要重新調(diào)整一下顯著性因子的先驗(yàn)信息,即假設(shè)pgamma1→c(1,1,1,1,0,0,0.3,0,0.3,0.3),利用式(10)重新計(jì)算可知顯著性因子的排序結(jié)果更新為:x2,x4,x1,x3,x3x4,x2x4,x1x4。上述的研究結(jié)果與以往文獻(xiàn)[11]的變量篩選結(jié)果存在較小的差別,但更加符合試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本效應(yīng)原則。

3.3 響應(yīng)曲面建模與優(yōu)化

4 討 論

4.1 噪聲因子波動(dòng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

在產(chǎn)品或過(guò)程的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)中,研究者始終關(guān)注的是如何通過(guò)選擇可控因子的最佳參數(shù)設(shè)計(jì)值,減少或控制噪聲因子對(duì)產(chǎn)品或過(guò)程波動(dòng)的影響。因此,探討噪聲因子的波動(dòng)變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,將有助于質(zhì)量工程師或研究人員更為深刻地理解控制和減少噪聲因子的波動(dòng)對(duì)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品或過(guò)程的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的重要意義。在第3.3節(jié)所獲得的最佳參數(shù)設(shè)計(jì)值下,通過(guò)改變?cè)肼曇蜃拥姆讲钜苑从吃肼曇蜃拥牟▌?dòng)變化,進(jìn)而分析了噪聲因子方差變化時(shí)其輸出響應(yīng)的均方誤差和符合性概率的變化情況,其具體的研究結(jié)果如表2所示。

表2 噪聲因子方差變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

從表2可知,隨著噪聲因子的方差從0.06逐步增加到0.20,其均方誤差也逐步增大,同時(shí)其符合性概率則逐步減小。因此,在實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品或過(guò)程的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí),需要收集噪聲因子變化的歷史數(shù)據(jù)信息或采用傳感器等新興技術(shù)在線獲取噪聲因子變化的信息,充分利用噪聲因子的變化信息以更好地提高產(chǎn)品或過(guò)程的穩(wěn)健性和可靠性,從而提升產(chǎn)品或過(guò)程的質(zhì)量設(shè)計(jì)水平。

4.2 不同研究方法的比較

在此,進(jìn)一步考慮了因子遺傳效應(yīng)原則(特別是強(qiáng)遺傳效應(yīng)和弱遺傳效應(yīng))對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。為了比較在強(qiáng)遺傳效應(yīng)和弱遺傳效應(yīng)原則下所篩選出的顯著性變量差異對(duì)最終優(yōu)化結(jié)果的影響,根據(jù)弱遺傳效應(yīng)和以往研究的經(jīng)驗(yàn)信息,調(diào)整了主效應(yīng)和交互效應(yīng)的先驗(yàn)信息,即pgamma1→c(1,1,0.5,1,0.1,0.1,0.3,0.1,0.3,0.1)。此時(shí),利用式(10)重新計(jì)算其變量指示器的后驗(yàn)概率,根據(jù)其研究結(jié)果可知,主效應(yīng)x3的后驗(yàn)概率將降低到0.062 9,因此在弱遺傳效應(yīng)原則下,可將其視為非顯著性主效應(yīng),最終篩選出的顯著性效應(yīng)為x1,x2,x4,x1x4,x2x4。在此基礎(chǔ)上,根據(jù)強(qiáng)、弱遺傳效應(yīng)所識(shí)別出的顯著性變量的差異,利用本文所提方法對(duì)上述兩種情形下的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較,其優(yōu)化結(jié)果如表3所示。此外,本文還考慮在滿足符合性概率不小于0.9的約束下,假設(shè)噪聲因子的波動(dòng)方差為0.1、運(yùn)用傳統(tǒng)的GLM進(jìn)行非正態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì),其優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 不同研究方法的比較

從表3的研究結(jié)果可知,在強(qiáng)遺傳效應(yīng)的作用下,所獲得的性能指標(biāo)(如均方誤差和符合性概率)均表現(xiàn)更優(yōu)。此外,無(wú)論是在弱遺傳效應(yīng)或是強(qiáng)遺傳效應(yīng)下,本文所提方法在性能指標(biāo)上均要比不考慮因子效應(yīng)原則的傳統(tǒng)GLM方法更為優(yōu)越。需要特別指出的是,本文所提方法是建立在參數(shù)模擬抽樣基礎(chǔ)之上的,在實(shí)際應(yīng)用中要注意對(duì)所獲取的參數(shù)抽樣值進(jìn)行收斂性診斷,以確保根據(jù)其抽樣值所構(gòu)建的優(yōu)化指標(biāo)的穩(wěn)健性和可靠性。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)非正態(tài)響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題,本文利用貝葉斯建模與抽樣技術(shù)構(gòu)建了均方誤差函數(shù)和符合性概率函數(shù),提出了一種考慮噪聲因子的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)方法。案例研究結(jié)果也表明,噪聲因子的波動(dòng)變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果具有非常顯著的影響,當(dāng)噪聲因子的方差變大時(shí),輸出響應(yīng)的均方誤差會(huì)隨之變大,同時(shí)其符合性概率會(huì)隨之逐步變小。因此,在實(shí)際產(chǎn)品或過(guò)程的質(zhì)量設(shè)計(jì)中,全面地了解和掌握噪聲因子的變化信息對(duì)提高產(chǎn)品或過(guò)程的質(zhì)量設(shè)計(jì)水平是至關(guān)重要的。與以往方法比較而言,本文所提方法是在GLM的貝葉斯建模與優(yōu)化框架下開(kāi)展的相關(guān)研究工作,因此本文所提方法不僅適用于正態(tài)響應(yīng),也適用于更為廣泛的指數(shù)族分布類型,如常見(jiàn)的Gamma分布、泊松分布等響應(yīng)類型。此外,本文所提方法不僅考慮了噪聲因子的波動(dòng)變化對(duì)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果的影響,而且還結(jié)合貝葉斯方法考慮了模型參數(shù)不確定性以及輸出響應(yīng)波動(dòng)對(duì)非正態(tài)響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

伴隨著物聯(lián)網(wǎng)、傳感器技術(shù)的迅猛發(fā)展,在復(fù)雜產(chǎn)品或高端裝備的制造過(guò)程中對(duì)噪聲因子進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量,然后利用統(tǒng)計(jì)與人工智能技術(shù)對(duì)所收集的質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析已經(jīng)成為當(dāng)前亟待研究的重要課題,因此如何結(jié)合統(tǒng)計(jì)、大數(shù)據(jù)分析技術(shù)開(kāi)展產(chǎn)品質(zhì)量設(shè)計(jì)將是未來(lái)需要進(jìn)一步深入研究的重要課題。