完全AC分解

侯婷婷, 楊曉燕

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

1 預(yù)備知識(shí)

若無特殊說明, 本文所有的環(huán)R均為結(jié)合環(huán), 所有的R-模均為左R-模.復(fù)形ΣsM定義為

則

M?n=0→Cn(M)→Mn-1→Mn-2→….

對(duì)

supM=sup{n∈|Hn(M)≠0},

如果M正合, 則記supM=-∞.設(shè)M,N是復(fù)形,

dM?RN(x?y)=dM(x)?y+(-1)|x|x?dN(y).

如果對(duì)任意的n∈,Hn(f):Hn(M)→Hn(N)是同構(gòu), 則稱f:M→N是復(fù)形同態(tài)間的擬同構(gòu).令f:M→N是復(fù)形同態(tài), 映射錐復(fù)形cone(f)定義為

如果A⊥1=B, A=⊥1B, 則稱(A,B)是左R-模中的余撓對(duì), 其中

定義1[4,7]令(A,B)是左R-模中的余撓對(duì),X是鏈復(fù)形.

1) 如果X正合, 且對(duì)任意的n,Zn(X)∈A, 則稱X是A復(fù)形;

2) 如果X正合, 且對(duì)任意的n,Zn(X)∈B, 則稱X是B復(fù)形;

3) 如果對(duì)任意的n,Xn∈A, 且對(duì)任意B復(fù)形B有HomR(X,B)正合, 則稱X是dg-A復(fù)形;

4) 如果對(duì)任意的n,Xn∈B, 且對(duì)任意A復(fù)形A有HomR(A,X)正合, 則稱X是dg-B復(fù)形.

定義3[9]1) 如果存在左R-模的正合列

…→P1→P0→F→0,

則稱左R-模F是FP∞的, 其中Pi是有限生成投射模;

定義4[6]如果存在一個(gè)平坦模的正合列

F=…→F1→F0→F-1→F-2→…,

使得:

1)M?Ker(F0→F-1);

2) 對(duì)任意絕對(duì)clean右R-模A,A?-作用上述正合列仍是正合的.

則稱左R-模M是Gorenstein AC平坦模.

將Gorenstein AC平坦模類記為GFac.

注11) {平坦模}?{Gorenstein AC平坦模}?{Gorenstein平坦模}.

2) 由文獻(xiàn)[9]中定理2.12知, 對(duì)于任意環(huán)R,N是level模當(dāng)且僅當(dāng)N+是絕對(duì)clean模,N是絕對(duì)clean模當(dāng)且僅當(dāng)N+是level模.由文獻(xiàn)[9]中命題A.5知, 若C是鏈復(fù)形,M是右R-模, 則M?RC正合當(dāng)且僅當(dāng)HomR(C,M+)正合, 從而在上述Gorenstein AC平坦模的定義中, 對(duì)任意絕對(duì)clean右R-模A,A?-作用正合等價(jià)于對(duì)任意level左R-模L, HomR(-,L)正合.又因?yàn)樗械钠教鼓Ｊ莑evel模, 所以對(duì)任意平坦左R-模F, HomR(-,F)正合, 從而可保證下面構(gòu)造完全AC分解的可行性.

證明: 因?yàn)镚1是Gorenstein AC平坦模, 所以由文獻(xiàn)[6]中引理4.4知, 存在短正合列

0→G1→F→G2→0,

其中F是平坦模,G2是Gorenstein AC平坦模.考慮下列推出圖:

從而有下列推出圖:

在正合列

0→G0→G→G2→0

中,G0和G2是Gorenstein AC平坦模, 所以G是Gorenstein AC平坦模.由上述兩個(gè)推出圖可得

0→K→F→G→M→0

正合, 其中F是平坦模,G是Gorenstein AC平坦模.另一個(gè)正合序列可對(duì)偶地由拉回圖得到.

2 主要結(jié)果

1)π是M的一個(gè)dg-平坦分解;

2)T是一個(gè)對(duì)任意的絕對(duì)clean右R-模A,A?-作用正合的平坦模的正合列, 且對(duì)任意的i∈,Zi(T)是Gorenstein AC平坦模;

3)τ:T→F是一個(gè)態(tài)射, 使得對(duì)任意的i?0時(shí), 有τi=idTi.

如果對(duì)任意的i∈,τi是可裂滿態(tài)射, 則稱M的一個(gè)完全AC分解是可裂的.

定義6令R是環(huán),M是復(fù)形.M的Gorenstein AC平坦維數(shù)記為GFac-dimM, 定義為

GFac-dimM=inf{sup {l∈

若M正合, 則記GFac-dimM=-∞, 若不存在滿足上述條件的n, 則記GFac-dimM=∞.

定理1令R是環(huán),M是復(fù)形,n是整數(shù), 則下列結(jié)論等價(jià):

1) GFac-dimM≤n;

3) supM≤n, 且對(duì)任意的F?M有Cn(F)∈GFac, 其中F是dg-平坦復(fù)形;

3)?4).由3)知supM≤n, 且存在一個(gè)dg-平坦復(fù)形F?M, 使得Cn(F)∈GFac.由文獻(xiàn)[6]中引理4.4可得A?-作用正合的正合列

0→Cn(F)→Tn-1→Tn-2→…,

其中Ti是平坦模,A是任意的絕對(duì)clean右R-模.令

T′=…→Fn+1→Fn→Tn-1→Tn-2→…,

且T′是正合的.又

cone1F≤n-1=0→Fn-1→Fn-1⊕Fn-2→Fn-2⊕Fn-3→…,

令

4)?5)顯然成立.

推論1令R是環(huán),M是復(fù)形.則GFac-dimM≤fdRM成立, 且當(dāng)fdRM<∞時(shí)等號(hào)成立.

證明: 如果fdRM=∞, 則不等式顯然成立.若M正合, 則結(jié)論顯然成立.下面假設(shè)M不正合,fdRM=n<∞, GFac-dimM=m, 則由定理1可得m≤n.下證m=n.用反證法, 設(shè)m

0→Cn(F)→Fn-1→…→Fm→Cm(F)→0,

且當(dāng)n>i≥m時(shí)有Ci(F)∈GFac, 于是Cn-1(F)∈GFac, 且

0→Cn(F)→Fn-1→Cn-1(F)→0

是正合列.因?yàn)閒dRM=n, 所以Cn(F)是平坦模, 從而Cn-1(F)有有限的平坦維數(shù).又因?yàn)镚orenstein AC平坦模是Gorenstein平坦模, 所以Cn-1(F)是有有限平坦維數(shù)的Gorenstein平坦模, 從而由文獻(xiàn)[11]知Cn-1(F)是平坦模.故

F?n-1=0→Cn-1(F)→Fn-2→…

是平坦模的序列.因?yàn)镕?M, 所以F?n-1?M, 且存在復(fù)形的短正合列

0→F′→F→F?n-1→0.

又因?yàn)镕?n-1是平坦模的序列, 所以上述復(fù)形短正合列是層次純正合的.由文獻(xiàn)[12]中命題6.2知,F?n-1是dg-平坦復(fù)形, 因此fdRM≤n-1.矛盾.故m=n, 從而GFac-dimM≤fdRM.

注2M的Gorenstein AC平坦維數(shù)也可定義為

GFac-dimM=inf{n∈是M的完全AC分解, 使得對(duì)i≥n有τi是雙射}.

0→M→C→L→0,

0→K→F′→C→0,

進(jìn)而F→M是M的dg-平坦分解.因?yàn)镚Fac-dimM≤n, 所以由定理1可得Cn(F)∈GFac.由文獻(xiàn)[6]中引理4.4知, 存在A?-作用正合的正合列

因此T′是A?-作用正合的正合列, 其中A是任意的絕對(duì)clean右R-模.則可得如下拉回圖: