不等重復(fù)試驗(yàn)的多因素方差分析

李沅遙，李晨曦，李 雯

(宜賓學(xué)院 理學(xué)部，四川 宜賓 644007)

生產(chǎn)活動(dòng)和科學(xué)試驗(yàn)中，結(jié)果的產(chǎn)生往往受多個(gè)因素影響，不同因素對(duì)結(jié)果的影響存在差異。方差分析[1-2]是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)推斷一個(gè)或多個(gè)因素在其水平發(fā)生變化時(shí)是否對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生顯著影響的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

教材[1-2]給出了單因素方差分析和有無(wú)交互作用的雙因素方差分析的基本理論。戴金輝[3]等將有無(wú)交互作用的雙因素方差分析進(jìn)行比較，完善了雙因素方差分析理論。陳崇雙[4]等對(duì)單因素與雙因素方差分析進(jìn)行了線(xiàn)性回歸模型重構(gòu)，證明了方差分析的顯著性F檢驗(yàn)與回歸方程的顯著性檢驗(yàn)等價(jià)。但在實(shí)際的生產(chǎn)活動(dòng)中，影響因素往往是3個(gè)及以上，針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，劉曉華[5]給出了重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)相等時(shí)的多元方差分析模型，但由于試驗(yàn)材料昂貴等因素，不等重復(fù)試驗(yàn)經(jīng)常出現(xiàn)。基于王石青[6]和俞純權(quán)[7]的不等重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析，以三因素方差分析為例，進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，并用乙醇偶合制備C4烯烴的實(shí)例加以說(shuō)明。

1 不等重復(fù)試驗(yàn)的三因素方差分析

為減少損失，在正式生產(chǎn)前會(huì)對(duì)影響結(jié)果的因子進(jìn)行試驗(yàn)。由于客觀因素(時(shí)間、成本昂貴等)不等重復(fù)試驗(yàn)經(jīng)常出現(xiàn)。以不等重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析為理論依據(jù)，將影響因素拓展到3個(gè)，建立了不等重復(fù)試驗(yàn)三因素方差分析的數(shù)學(xué)模型。

1.1 模型建立

假定某項(xiàng)試驗(yàn)受3個(gè)因素的影響，分別為A、B、C。因素A有l(wèi)個(gè)水平，記為A1、A2、…、Al，因素B有m個(gè)水平，記為B1、B2、…、Bm，因素C有r個(gè)水平，記為C1、C2、…、Cr。在(Ai,Bj,Ct)組合下進(jìn)行了nijt次試驗(yàn)，Xijtk表示在組合(Ai,Bj,Ct)下進(jìn)行第k次試驗(yàn)所得的觀測(cè)值，每個(gè)樣本相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布Xijtk～(μijt,σ2)。

各因子的主效應(yīng)及交互效應(yīng)定義為：

αi=μi??-μ為因子A的主效應(yīng)；

βj=μ?j?-μ為因子B的主效應(yīng)；

γt=μ??t-μ為因子C的主效應(yīng)；

ηij=μij?-αi-βj-μ為因子A和因子B的交互效應(yīng)；

ηit=μi?t-αi-γt-μ為因子A和因子C的交互效應(yīng)；

ηjt=μ?jt-βj-γt-μ為因子B和因子C的交互效應(yīng)；

ηijt=μijt-(μij?-μi??)-(μ?jt-μ?j?)-(μi?t-μ??t)-μ為因子A、B和C的交互效應(yīng)。

不等重復(fù)試驗(yàn)的三因素?cái)?shù)學(xué)模型為：

(1)

在此模型下進(jìn)行研究分析，任意因子、兩因子的交互作用、三因子的交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著，只需判斷因子水平的改變對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否造成明顯改變?，F(xiàn)檢驗(yàn)因子的各水平效應(yīng)及因子間的交互效應(yīng)是否相等，作出以下7個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)：

H0A：αi=0，i=1、2、…、l

H0B：βj=0,j=1、2、…、m

H0C：γt=0,t=1、2…、r

H0AB：對(duì)任意i、j，均有ηij=0

H0AC：對(duì)任意i、t,均有ηij=0

H0BC：對(duì)任意j、t,均有ηjt=0

H0ABC：對(duì)任意i、j、t,均有ηijt=0

1.2 模型分析

為研究不等重復(fù)試驗(yàn)的三因素方差分析，引入以下符號(hào)：

由(1)可得以下式子：

(2)

基于不等試驗(yàn)次數(shù)的雙因素方差分析中平方和的分解思想，不等重復(fù)試驗(yàn)的三因素方差分析的總偏差平方和可分解為：

(3)

偏差平方和分解為：

(4)

SE、SA、SB、SC、SAB、SAC、SBC、SABC分別為誤差、因素A、因素B、因素C、AB交互作用、AC交互作用、BC交互作用、ABC交互作用的偏差平方和，且滿(mǎn)足：

ST=SE+SA+SB+SC+SAB+SAC+SBC+SABC，

其中自由度為：

fT=n-1，fA=l-1，fB=m-1，fC=r-1；

fAB=(l-1)(m-1)，fAC=(l-1)(r-1)，

fBC=(m-1)(r-1)；

fABC=(l-1)(m-1)(r-1)，fE=n-lmr。

以上自由度滿(mǎn)足：

fT=fE+fA+fB+fC+fAB+fAC+fBC+fABC。

1.3 模型檢驗(yàn)

HOA,HOB,HOC,HOAB,HOAC,HOBC,HABC成立時(shí)，由(1)、(2)、(4)可將(3)轉(zhuǎn)化為：

若F>Fα，則拒絕原假設(shè)。在不同水平下，隨機(jī)變量間有差異，認(rèn)為該因素或因素的交互作用對(duì)結(jié)果的影響是顯著的。若F

2 實(shí)例說(shuō)明

C4烯烴廣泛應(yīng)用于化工產(chǎn)品及醫(yī)藥生產(chǎn)中，而乙醇是生產(chǎn)制備C4烯烴的原料，制備過(guò)程中，催化劑組合(即Co負(fù)載量、Co/Sio2和HAP裝料比、乙醇濃度的組合)與溫度會(huì)對(duì)C4烯烴的選擇性、C4烯烴收率及乙醇的轉(zhuǎn)化率產(chǎn)生影響。因此通過(guò)對(duì)催化劑組合設(shè)計(jì)，探索乙醇催化偶合制備C4烯烴的工藝條件，具有非常重要的意義和價(jià)值，表1為裝料比為1∶1時(shí)的乙醇轉(zhuǎn)化率。

表1 裝料比為1∶1時(shí)的乙醇轉(zhuǎn)化率Tab.1 Ethanol conversion at 1∶1 loading ratio

用A表示溫度，1代表250℃，2代表300℃，3代表350℃；B表示乙醇的濃度，1代表1.68 mL/min，2代表mL/min；C表示Co負(fù)載量，1代表1 wt%，2代表5 wt%。

進(jìn)行方差分析前，對(duì)乙醇的轉(zhuǎn)化率進(jìn)行正態(tài)性、獨(dú)立性及方差齊性的檢驗(yàn)。結(jié)果表明，樣本不符合正態(tài)性及方差齊性，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，利用spss26進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表2、表3所示。

表2 正態(tài)性檢驗(yàn)表Tab.2 Normality test list

*.真顯著性下限；a.里利氏顯著性修正。

表3 方差齊性檢驗(yàn)表Tab.3 List of homogeneity test of variance

由表2P>0.05，表明變換后的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，由表三因素A(溫度)、B(乙醇的濃度)、C(Co的負(fù)載量)P值均大于0.05，可認(rèn)為變換后的數(shù)據(jù)滿(mǎn)足方差齊性。

對(duì)變換后的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析，可見(jiàn)乙醇轉(zhuǎn)化率，結(jié)果如表4。

表4 三因素方差分析表Tab.4 Variance analysis of three factors

由表4可知，取定α=0.05時(shí)，溫度、乙醇濃度、乙醇濃度與Co的負(fù)載量的交互作用，溫度、乙醇濃度、Co的負(fù)載量三者的交互作用對(duì)乙醇的轉(zhuǎn)化率有顯著的影響，而Co的負(fù)負(fù)載量、溫度與乙醇濃度的交互作用及溫度與Co負(fù)載量的交互作用對(duì)乙醇的轉(zhuǎn)化率影響并不顯著。

3 結(jié)束語(yǔ)

在不等重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析的基礎(chǔ)上將影響因素?cái)U(kuò)展到3個(gè)，給出了不等重復(fù)試驗(yàn)的三因素方差分析模型，分別從模型建立、平方和分解及統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造等方面進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了模型的可行性，構(gòu)建了不等重復(fù)試驗(yàn)的多因素方差分析模型。