USBL安裝偏差聯(lián)合模型構(gòu)建與校準(zhǔn)方法

劉慧敏，陸 凱，單 瑞,2，楊 源，李勇勇，杜 凱

（1.中國地質(zhì)調(diào)查局青島海洋地質(zhì)研究所，青島 266237；2.自然資源部海底科學(xué)重點實驗室，杭州 310012；3.天津航海儀器研究所，天津 300131）

超短基線聲學(xué)定位系統(tǒng)（Ultra Short Baseline System,USBL）廣泛應(yīng)用于水下科學(xué)考察、離岸海底勘探、海洋工程以及水下導(dǎo)航等領(lǐng)域。作為全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（Global Navigation Satellite System,GNSS）、航姿參考系統(tǒng)（Attitude and Heading Reference System,AHRS）、聲學(xué)測距與測向技術(shù)的結(jié)合，USBL 的安裝偏差校準(zhǔn)是維持不同測量系統(tǒng)坐標(biāo)參考框架統(tǒng)一的關(guān)鍵[1-3]。USBL 的角度安裝偏差是指USBL 換能器的儀器坐標(biāo)系與船體坐標(biāo)系之間的角度偏差，固定安裝后一般保持不變，而隨著測量距離的增加，角度安裝偏差成為影響USBL 深海遠(yuǎn)距離定位精度的重要因素。因此USBL 在安裝使用前，必須要進(jìn)行嚴(yán)格的角度安裝偏差校準(zhǔn)。校準(zhǔn)時一般利用提前布設(shè)的水下校準(zhǔn)信標(biāo)，將安裝偏差校準(zhǔn)等效于參數(shù)估計，可對換能器水平距離安裝偏差和角度安裝偏差進(jìn)行最優(yōu)估計。然而，受國外研發(fā)機(jī)構(gòu)和商業(yè)公司對USBL 校準(zhǔn)技術(shù)的商業(yè)保護(hù)，USBL安裝偏差校準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型、方程和數(shù)值算法研究均鮮有公開。

國際上，法國海洋開發(fā)研究所的Opderbecke[4]首次構(gòu)造了含有角度安裝偏差旋轉(zhuǎn)矩陣的目標(biāo)函數(shù)，并采用循環(huán)迭代的方式計算角度安裝偏差。該方案執(zhí)行相對簡單，但無法估計安裝位移偏差和聲速誤差的影響。中國臺灣的chen 等[5]基于規(guī)則的幾何航跡下角度安裝偏差對定位誤差的不同影響進(jìn)行幾何求解，但測量船要按嚴(yán)格的軌跡航行才能得到理想的校準(zhǔn)效果。2005年，唐秋華和吳永亭等[6]人首次提出將參數(shù)估計方程拆為兩步，第一步是根據(jù)距離交匯估計目標(biāo)應(yīng)答器或者安裝位移偏差；第二步是采用一定的準(zhǔn)則根據(jù)定位方程估計角度安裝偏差。兩步法校準(zhǔn)方案提出后，國內(nèi)武漢大學(xué)、海洋二所和哈爾濱工程大學(xué)都基本采用了該校準(zhǔn)方程，并深入研究了該校準(zhǔn)方法，取得了一系列有意義的研究成果[7-10]。2019年，孫大軍等[11]提出利用矩陣分解對三個姿態(tài)角度偏差進(jìn)行解耦，提高了校準(zhǔn)精度，但需要已知參考信標(biāo)的坐標(biāo)。近年來，還有學(xué)者結(jié)合船載慣性導(dǎo)航系統(tǒng)或多普勒計程儀，通過構(gòu)造含超短基線的角度安裝偏差的誤差方程，濾波解算USBL 的安裝失準(zhǔn)角，獲得了較高的精度[12-15]。這類方法屬于USBL 和組合導(dǎo)航設(shè)備直接的角度偏差校準(zhǔn)，不屬于本文研究范疇。

基于以上的研究成果，本文進(jìn)一步研究了校準(zhǔn)的聯(lián)合數(shù)學(xué)模型和數(shù)值算法，提出一種USBL安裝偏差校準(zhǔn)方案。不同于以往將參數(shù)估計方程進(jìn)行拆分的校準(zhǔn)方案，本文首先結(jié)合克羅尼克積給出高斯-馬爾科夫數(shù)學(xué)模型假設(shè)下的參數(shù)估計聯(lián)合解，然后基于失準(zhǔn)矩陣初始解和協(xié)方差矩陣求解其固定解。同時聯(lián)合模型還可以對距離安裝偏差、聲速誤差進(jìn)行增廣，提高模型的適用性。結(jié)合南海的USBL 校準(zhǔn)試驗驗證了所提方案的性能。

1 USBL 校準(zhǔn)原理與聯(lián)合模型

如圖1所示，校準(zhǔn)前首先需要布設(shè)海底超短基線校準(zhǔn)信標(biāo)。校準(zhǔn)過程中，安裝有超短基線換能器的測量船沿著校準(zhǔn)軌跡航行，同步采集并記錄GNSS 定位數(shù)據(jù)、船的航向和姿態(tài)數(shù)據(jù)以及聲學(xué)相對定位數(shù)據(jù)（測距和測向信息）。數(shù)據(jù)采集模式一般分為靜態(tài)模式（定點）采集數(shù)據(jù)和動態(tài)模式（走航）。靜態(tài)模式時校準(zhǔn)位置位于信標(biāo)的正上方的四個方位和等水深固定方位的四個校準(zhǔn)點進(jìn)行采集，每組采集的數(shù)據(jù)個數(shù)相同。動態(tài)模式基于船的直線航向，航跡規(guī)劃一般可分為四方位和八方位的直線校準(zhǔn)模式，通過對稱的航跡采集數(shù)據(jù)[18]。

圖1 聯(lián)合海底信標(biāo)的USBL 校準(zhǔn)示意圖Fig.1 USBL calibration schematic with the seafloor beacon

設(shè)k時刻GNSS 天線在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的位置為，USBL 校準(zhǔn)信標(biāo)在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，GNSS 和USBL之間的固定安裝距離偏差為為換能器相對于海底校準(zhǔn)信標(biāo)的聲學(xué)相對位置，其數(shù)學(xué)關(guān)系如下：

傳統(tǒng)的兩步法計算方案首先對式(1)變形并求模，得到其距離觀測方程：

不同于以往的兩步法校準(zhǔn)模型，本文直接將式(1)進(jìn)行變形，并構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型。首先，通過對式(1)移項并左乘，可得：

式(4)的左側(cè)可視為已知的3×1 觀測值矩陣，其右側(cè)可視為系數(shù)矩陣和位置參數(shù)組合。設(shè)USBL 采集了m對校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，根據(jù)式(4)構(gòu)造高斯-馬爾科夫模型：

其中，Y為3×m的觀測值陣，；A為 3m×3 的系數(shù)陣，；PU為m×3 的矩陣，且；QY為3m×3m的協(xié)方差矩陣；?表示克羅尼克積運(yùn)算，且滿足運(yùn)算：表示求矩陣的拉伸向量，可將矩陣內(nèi)的元素按列自左到右依次首尾相接，重組成只有一列的向量；E()·表示數(shù)學(xué)期望；D()·表示數(shù)學(xué)方差。

構(gòu)造以上的高斯-馬爾科夫模型并結(jié)合矩陣克羅尼克積與拉伸向量運(yùn)算，便于直接求姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣的初始解和條件協(xié)因數(shù)矩陣。將式(5)的高斯馬爾科夫模型構(gòu)造成代價函數(shù)參數(shù)估計問題：

2 聯(lián)合校準(zhǔn)模型的數(shù)值算法

2.1 聯(lián)合模型的初始解

其條件協(xié)因數(shù)矩陣為：

初始解雖未考慮姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性，但給出了姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣在隨機(jī)框架下的最小二乘最優(yōu)解和條件協(xié)因數(shù)矩陣。

2.2 聯(lián)合模型的固定解

若考慮姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性，可以通過求解隨機(jī)框架下的最小二乘最優(yōu)解和條件協(xié)因數(shù)陣，即等價于求式(12)代價函數(shù)參數(shù)估計問題：

其中，λ為已知的阻尼矩陣。在迭代過程中利用殘差向量與改正數(shù)構(gòu)造迭代判斷條件，通過選擇合適的阻尼尺度因子與阻尼矩陣相乘或相除，使得阻尼矩陣可在迭代過程中自適應(yīng)調(diào)整。

圖2 為簡化的迭代流程。

圖2 基于LM 迭代法的角度安裝偏差解算流程圖Fig.2 Flow chart of angle installation deviation solving based on LM iterative method

（1）選擇迭代終止參數(shù)μ1和μ2，可由經(jīng)驗或設(shè)備測距精度選擇合理的較小值。阻尼矩陣λ初始值可選擇為單位陣，阻尼尺度因子η通常為較小值。根據(jù)輸入的，通過式(13)(14)計算。

（4）進(jìn)行迭代判斷：

如果ε＜μ2，則。如果，此時停止迭代，輸出最優(yōu)解。如果，則，并重新從步驟（2）繼續(xù)計算。

如果ε≥μ2，則，并重新從步驟（3）繼續(xù)計算。

（5）輸出角度安裝偏差的最優(yōu)解。

得到角度安裝偏差的最優(yōu)解時，還可以基于角度安裝偏差的最優(yōu)解，計算校準(zhǔn)信標(biāo)更準(zhǔn)確的坐標(biāo)和其條件協(xié)方差矩陣。

3 聯(lián)合校準(zhǔn)模型的增廣

3.1 換能器水平距離安裝誤差補(bǔ)償模型

若考慮式(1)中換能器水平距離安裝誤差的校準(zhǔn)，對式(1)增廣為：

其中，B為3m×2 的系數(shù)陣，。將式(19)轉(zhuǎn)化為構(gòu)造代價函數(shù)的參數(shù)估計問題：

基于克羅尼克積的法方程表示為：

3.2 聲速誤差補(bǔ)償模型

若校準(zhǔn)過程中無法獲得準(zhǔn)確的聲速剖面，由于USBL 校準(zhǔn)航跡的入射角聚類清晰，本文給出一種簡化的聲線彎曲補(bǔ)償增廣模型[18]：

對式(22)變形并求模，其測距觀測方程表示為：

4 實驗驗證

為驗證本文提出的聯(lián)合校準(zhǔn)數(shù)值算法的精度，在南海海域進(jìn)行了USBL 的校準(zhǔn)試驗，如圖3所示。安裝浮力衣的USBL 校準(zhǔn)釋放信標(biāo)布放深度約為115 m，由測量船搭載的康斯伯格HiPap 102PMGC 超短基線定位系統(tǒng)進(jìn)行了靜態(tài)模式校準(zhǔn)數(shù)據(jù)采集。定位系統(tǒng)采用Veripos APEX 差分GNSS 接收機(jī)，水平定位精度優(yōu)于0.1 m。采用HiPap 102P MGC 集成的姿態(tài)測量模塊提供姿態(tài)數(shù)據(jù)，并同步采集校準(zhǔn)信標(biāo)的相對位置。試驗區(qū)的平均聲速為1489.7 m/s。具體參與校準(zhǔn)的導(dǎo)航設(shè)備性能參數(shù)如表1所示。

圖3 USBL 校準(zhǔn)試驗概圖Fig.3 The sketch of USBL calibration test

表1 設(shè)備參數(shù)Tab.1 Equipment parameter

圖4 為靜態(tài)模式下測量船依次在校準(zhǔn)信標(biāo)四個等距離（一般使用等水深）點采集的四組靜態(tài)數(shù)據(jù)，距離信標(biāo)的平面距離約100 m，然后在校準(zhǔn)信標(biāo)正上方的四個方向（90 °夾角）各采集四組靜態(tài)數(shù)據(jù)，共八組。每個采樣點取200 個聲學(xué)定位數(shù)據(jù)，并結(jié)合GNSS和姿態(tài)數(shù)據(jù)構(gòu)成校準(zhǔn)數(shù)據(jù)對，共1600 對。

圖4 USBL 靜態(tài)校準(zhǔn)的GNSS 采集位置Fig.4 Position of GNSS with USBL static calibration

圖5 給出了校準(zhǔn)過程中的航向角歷元序列，表2給出八組數(shù)據(jù)的航向以及換能器與應(yīng)答器之間水平距離的均值和方差統(tǒng)計量。靜態(tài)模式開啟動力定位后，航向角均方差保持在1 °以內(nèi)，除第四和第六組數(shù)據(jù)外，其余的測距均方差優(yōu)于1 m，測量船換能器的航向角和海面位置符合校準(zhǔn)要求。

圖5 USBL 靜態(tài)校準(zhǔn)的航向Fig.5 The heading of USBL static calibration

表2 測量船八組觀測的空間位置統(tǒng)計Tab.2 Statistics of spatial position observed by eight groups of survey ship

如圖6所示，依靠動力定位，縱搖角最小值和最大值分別為-2.3 °和2.1 °，平均值為-0.47 °；橫搖角最小和最大值分別為-2.7 °和2.8 °，平均值為0.01 °。整個校準(zhǔn)期間的航向數(shù)據(jù)和姿態(tài)數(shù)據(jù)維持穩(wěn)定的狀態(tài)，基本滿足動力定位要求的3 m 以內(nèi)的定位精度以及四級海況下橫縱搖2.5 °左右，保證了校準(zhǔn)期間的定位和姿態(tài)精度。

圖6 USBL 靜態(tài)校準(zhǔn)的姿態(tài)數(shù)據(jù)Fig.6 The attitude of USBL static calibration

整個校準(zhǔn)期間應(yīng)答器的信噪比（信號/噪聲）如圖7所示，其中信噪比值越高，說明環(huán)境噪聲越低。信噪比跟測量船與信標(biāo)的相對位置有關(guān)。校準(zhǔn)期間測量船在校四個等距離點時所采集的四組靜態(tài)數(shù)據(jù)信噪比最高，而在信標(biāo)的上方時，信噪比相對較低。

圖7 USBL 應(yīng)答器信噪比Fig.7 USBL transponder signal-to-noise ratio

USBL 未校準(zhǔn)時，由于存在未校準(zhǔn)的角度安裝偏差（約5 °）和距離安裝偏差，此時水下信標(biāo)的平面位置較為分散，且存在一定聚集特征，如圖8所示，圖中DRMS 表示1600 組數(shù)據(jù)求出的平面定位均方根誤差。

圖8 USBL 未校準(zhǔn)時的水下信標(biāo)平面位置Fig.8 The horizontal position of underwater USBL beacon without calibration

為驗證本文的聯(lián)合校準(zhǔn)數(shù)值算法的精度和有效性，同時采用了傳統(tǒng)的兩步法校準(zhǔn)算法、聯(lián)合校準(zhǔn)數(shù)值算法和康斯伯格配套的后處理軟件APOS 校準(zhǔn)模塊最終解算報告進(jìn)行對比分析，其中，APOS 后處理軟件解算的距離安裝偏差和角度安裝偏差與聯(lián)合校準(zhǔn)法基本一致，圖9 給出兩步法和聯(lián)合法的平面定位散點圖。

圖9 兩種方法解算的信標(biāo)平面位置Fig.9 The horizontal position of USBL with two methods

傳統(tǒng)的兩步法校準(zhǔn)算法和聯(lián)合校準(zhǔn)數(shù)值算法解算的信標(biāo)位置殘差在北向、東向和垂直方向統(tǒng)計如圖10-12所示?？芍獰o論是兩步法還是聯(lián)合法都可以求得信標(biāo)的坐標(biāo)、距離安裝偏差和角度偏差，基本滿足USBL 的校準(zhǔn)需求。與兩步法相比，聯(lián)合法的北向、東向和垂直方向的定位殘差高斯分布概率密度曲線的對稱軸更接近0，更為細(xì)長且對稱分布。原因在于，處理過程中對參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合解，顧及了USBL 的方向信息對海底信標(biāo)位置和距離安裝偏差的影響，從而三個方向的定位殘差更接近0，具有更好的聚斂性，進(jìn)而提高了校準(zhǔn)的精度。

圖10 兩種方法解算的北向定位殘差統(tǒng)計圖Fig.10 The position residual bar in northing with two methods

圖11 兩種方法解算的東向定位殘差統(tǒng)計圖Fig.11 The position residual bar in easting with two methods

圖12 兩種方法解算的垂直方向定位殘差統(tǒng)計圖Fig.12 The position residual bar in vertical with two methods

進(jìn)一步比較聯(lián)合方法的精度，對信標(biāo)定位誤差、距離安裝偏差和角度安裝偏差進(jìn)行了統(tǒng)計，如表3所示。同時采用康斯伯格公司配套的后處理軟件APOS對距離安裝偏差和角度安裝偏差進(jìn)行了同步的標(biāo)定。對比三種方案的結(jié)果，兩步法水平定位偏差的RMS約為0.69 m，聯(lián)合法的RMS 約為0.60 m，提高了0.09 m，本文方法求解的信標(biāo)水平位置的RMS 提高了約13%，垂直定位精度與兩步法相當(dāng)。聯(lián)合法解算的水平距離安裝偏差RMS 為0.04 m，兩步法RMS 為0.26 m。USBL 校準(zhǔn)觀測的平均斜距約為137 m，根據(jù)式(25)以及水平定位偏差的RMS計算角度安裝偏差精度，兩步法解算的精度為0.29°，而聯(lián)合法約為0.25 °。聯(lián)合法同APOS 軟件結(jié)果相比，二者結(jié)果非常接近，分析可能造成不一致的原因在于本文需要驗證兩種算法的理論精度未舍去稍微超限的6 組數(shù)據(jù)。

表3 信標(biāo)定位誤差、距離安裝偏差和角度安裝偏差精度統(tǒng)計表Tab.3 Positioning error,distance installation deviation and angle installation deviation accuracy statistics

為了驗證本文提出的增廣模型的有效性，采用六種方案進(jìn)行兩組實驗，并進(jìn)行對比分析。方案1：未考慮換能器水平距離安裝誤差的聯(lián)合法；方案2：考慮換能器水平距離安裝誤差的兩步法；方案3：考慮換能器水平距離安裝誤差的聯(lián)合法；方案4：未考慮聲速誤差的聯(lián)合法；方案5：考慮聲速誤差的兩步法；方案6：考慮聲速誤差的聯(lián)合法。其中方案1、方案2和方案3 對換能器水平距離安裝誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行測試；方案4、方案5 和方案6 對聲速誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行測試。

實驗一：設(shè)換能器水平距離安裝偏差為[2 m,1 m]。

基于式(26)給出了方案1、方案2 和方案3 解算的測距相對誤差。

對比三種解算方案，如圖13所示。由于方案1未考慮換能器水平距離安裝誤差的影響，其解算的精度最差。特別在第二組和第三組采樣時，由于GNSS接收機(jī)、換能器與校準(zhǔn)信標(biāo)的相對位置的關(guān)系，其測距誤差受到的影響最大。而考慮到水平安裝距離偏差，本文方法解算的測距相對誤差明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的兩步法，驗證了本文方法對測距安裝誤差和角度安裝偏差進(jìn)行聯(lián)合求解的有效性。

圖13 方案1、方案2 和方案3 解算的測距相對誤差Fig.13 Distance relative error for scheme 1,2 and 3

實驗二：設(shè)聲速誤差為10 m/s。

對比三種解算方案，如圖14所示。由于方案4未考慮聲速誤差的影響，其解算的測距精度最差?？紤]聲速誤差，本文方法和兩步法解算的測距相對誤差基本一致，主要原因是本文方法和兩步法同樣對觀測模型進(jìn)行了求模運(yùn)算，二者求解的聲速誤差一致。實驗驗證了本文方法對聲速誤差和角度安裝偏差進(jìn)行求解的有效性。

圖14 方案4、方案5 和方案6 解算的測距相對誤差Fig.14 Distance relative error for scheme 4,5 and 6

5 結(jié)論

本文提出了一種超短基線定位系統(tǒng)聯(lián)合校準(zhǔn)的數(shù)值算法。與以往僅用距離觀測解算校準(zhǔn)信標(biāo)位置的兩步法思路不同，本文方法充分利用了USBL 的方位觀測信息，結(jié)合克羅尼克積給出高斯-馬爾科夫數(shù)學(xué)模型假設(shè)下的校準(zhǔn)信標(biāo)位置和姿態(tài)失準(zhǔn)角參數(shù)估計聯(lián)合初始解，基于失準(zhǔn)矩陣初始解和協(xié)方差矩陣?yán)肔evenberg-Marquardt 迭代法計算三個姿態(tài)失準(zhǔn)角。聯(lián)合校準(zhǔn)模型顧及了USBL 的方向信息對海底信標(biāo)位置和距離安裝偏差的影響，并對換能器水平距離安裝偏差、聲速誤差等校準(zhǔn)參數(shù)進(jìn)行增廣，可根據(jù)實際情況選擇和解算USBL 校準(zhǔn)參數(shù)。南海實測試驗結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)的兩步法，本文方法求解的信標(biāo)水平定位偏差RMS 提高了0.09 m，水平距離安裝偏差RMS 為0.04 m，角度安裝偏差RMS 約為0.25 °，其距離和角度安裝偏差與APOS 后處理軟件結(jié)果基本一致，通過對參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合解，提高了校準(zhǔn)精度，具有工程應(yīng)用價值。