石墨烯表面渦旋光束的局域動(dòng)力學(xué)特性分析

馬萬琦，崔志偉

（西安電子科技大學(xué) 物理學(xué)院， 西安 710071）

0 引言

近年來，石墨烯因具有優(yōu)異的光學(xué)、電學(xué)和力學(xué)特性而受到了國內(nèi)外研究學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-3］。石墨烯是由單層碳原子緊密堆積成二維蜂窩狀晶格結(jié)構(gòu)的一種碳質(zhì)新材料，其電導(dǎo)率由費(fèi)米能量決定，而電導(dǎo)率通過施加偏置電壓或外部電場在較寬范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)諧［4］。石墨烯一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)是其反射特性由精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和本征參數(shù)決定［5-6］，這些參數(shù)通過靜電摻雜改變費(fèi)米能級來進(jìn)行調(diào)制［7-9］。石墨烯的這種電光調(diào)制效應(yīng)作為增強(qiáng)光與物質(zhì)相互作用的新手段［10］，對于理解電磁波和光在石墨烯表面的反射特性有著非常重要的作用［11-12］。MERANO M推導(dǎo)得到了石墨烯的菲涅爾系數(shù)［13］，并基于該系數(shù)研究了石墨烯表面反射高斯光束的Goos-H?nchen（GH）位移和Imbert-Fedorov（IF）位移［14］。隨后，ZHUO Linqing等研究了石墨烯表面反射渦旋光束的IF位移［15］，結(jié)果表明，通過調(diào)節(jié)石墨烯的費(fèi)米能量，可有效控制渦旋光束的IF位移。

另一方面，渦旋光束由于其獨(dú)特的物理性質(zhì)和新穎的物理效應(yīng)及其極具潛力的應(yīng)用前景也受到越來越廣泛的關(guān)注，已成為光學(xué)和光電子學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一［16］。作為一種特殊形式存在的電磁波，具有特定振幅、相位和偏振態(tài)分布的渦旋光束不僅具有能量，而且具有動(dòng)量和角動(dòng)量。角動(dòng)量包括由偏振螺旋決定的自旋角動(dòng)量和由相位螺旋決定的軌道角動(dòng)量。能量、動(dòng)量和角動(dòng)量作為描述渦旋光束與物質(zhì)相互作用過程中局域動(dòng)力學(xué)特性的幾個(gè)重要物理量，有助于揭示物質(zhì)新的物理效應(yīng)和特性。國內(nèi)外眾多學(xué)者已對自由空間中以及聚焦情況下渦旋光束的能量、動(dòng)量和角動(dòng)量進(jìn)行了深入研究［17-22］。CUI Zhiwei等研究了渦旋光束反射和折射情況下的局域動(dòng)力學(xué)特性［23］。本文對石墨烯中渦旋光束局域動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。

1 理論模型

如圖1所示，考慮渦旋光束從空氣入射到石墨烯-襯底系統(tǒng)表面的反射，設(shè)空氣中的折射率為n0，石墨烯襯底的折射率為n1。石墨烯-襯底分界面位于全局坐標(biāo)系(x，y，z)中，z軸垂直于分界面并指向石墨烯襯底，位于襯底頂部的單層石墨烯在z=0的位置，沿z軸方向施加靜磁場B。(xi，yi，zi)和(xr，yr，zr)分別表示入射光束坐標(biāo)系和反射光束坐標(biāo)系，θi和θr分別表示中心波矢量的入射角和反射角。

圖 1 渦旋光束從空氣入射到石墨烯-襯底系統(tǒng)表面反射示意圖Fig.1 Illustration of the reflection a vortex beam illuminating from air onto the surface of a graphene-substrate system

1.1 石墨烯界面的菲涅爾反射系數(shù)

對于如圖1所示的石墨烯-襯底系統(tǒng)，根據(jù)邊界條件，可得到石墨烯界面的菲涅爾反射系數(shù)為［24］

1.2 石墨烯表面反射渦旋光束的矢量分析

眾所周知，滿足傍軸近似方程的拉蓋爾-高斯（Laguerre-Gaussian，LG）光束是一種典型的渦旋光束。當(dāng)徑向模數(shù)p=0時(shí)，在坐標(biāo)系(xi，yi，zi)中，zi=0處拉蓋爾高斯渦旋光束的標(biāo)量角譜表達(dá)式為［23］

式中，l為LG渦旋光束的角向模數(shù)，也稱為拓?fù)浜蓴?shù)，w0為光束初始平面處的束腰半徑，kix和kiy分別表示波矢ki在x和y方向的分量，ki=k0=2π/λ0為光束在自由空間中的波數(shù)，λ0為入射光束的波長。利用坐標(biāo)系之間的變換，得到反射渦旋光束在坐標(biāo)系(xr，yr，zr)中的角譜表述［25］

為了在布儒斯特角附近獲得較為準(zhǔn)確的結(jié)果，將菲涅爾反射系數(shù)rmn(m=p，s；n=p，s)在kix=0處作泰勒級數(shù)展開并取一階近似，施加邊界條件kix=?krx，得到［26］

將式（6）代入式（4），忽略二階項(xiàng)，便可以得到修正后的反射渦旋光束角譜表達(dá)式。然后，根據(jù)式（7）進(jìn)行傅里葉變換

得到

其中

式中，kr=k0為反射光束在自由空間中的波數(shù)，zR，r=為反射光束的瑞利距離。

在傍軸近似條件下，采用基于洛倫茲規(guī)范的矢量勢方法，反射渦旋光束的電場和磁場可寫為［27］

式中，

1.3 結(jié)構(gòu)光場動(dòng)力學(xué)參量的描述

能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量（Spin Angular Momentum，SAM）和軌道角動(dòng)量（Orbital Angular Momentum，OAM）作為結(jié)構(gòu)光場幾個(gè)重要的動(dòng)力學(xué)參量，有助于揭示結(jié)構(gòu)光場和物質(zhì)新的物理效應(yīng)和特性。但是對于結(jié)構(gòu)光場動(dòng)力學(xué)參量的描述，基于經(jīng)典力學(xué)和電磁理論建立的機(jī)械動(dòng)力學(xué)理論存在著一定的局限性。采用經(jīng)典的機(jī)械動(dòng)量描述結(jié)構(gòu)光場的動(dòng)力學(xué)特性時(shí)缺乏清晰的物理意義，無法對自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量進(jìn)行獨(dú)立描述，不能解釋結(jié)構(gòu)光場與物質(zhì)相互作用時(shí)局部動(dòng)量的傳遞和光對物質(zhì)施加的輻射壓力［28］。理論研究表明，在量子力學(xué)和相對論場論范疇內(nèi)，采用正則方法建立的光場動(dòng)力學(xué)理論可以很好的解決上述問題。對于均勻各向同性媒質(zhì)中的結(jié)構(gòu)光場，電磁場對偶形式的能量、正則動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的定義分別為［28］

式中，E和H為光場的電場和磁場，ω表示光束的角頻率，ε和μ分別為光場所在空間中介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，Im[?]表示虛部，上標(biāo)“?”代表復(fù)共軛，符號A?(?)B定義為A?(?)B=Ax?Bx+Ay?By+Az?Bz。上述定義的正則動(dòng)量和角動(dòng)量具有清晰的物理解釋，即動(dòng)量密度與場相位的局部梯度成正比；自旋角動(dòng)量密度是光場的內(nèi)稟屬性，與光場的偏振態(tài)有關(guān)；軌道角動(dòng)量與光場的傳輸路徑和空間相位結(jié)構(gòu)有關(guān)。

2 結(jié)果分析

將式（12）和（13）代入式（22）～（25），編寫程序進(jìn)行數(shù)值模擬，分析石墨烯表面渦旋光束的局域動(dòng)力學(xué)特性。本文著重分析光束的入射角和拓?fù)浜蓴?shù)，以及石墨烯-襯底系統(tǒng)的費(fèi)米能量和磁場對渦旋光束在石墨烯表面反射后局域動(dòng)力學(xué)特性的影響。若無特殊說明，計(jì)算參數(shù)取值為：渦旋光束的波長λ0=632.8 nm，拓?fù)浜蓴?shù)l=2，束腰半徑w0=1.0λ0，極化參數(shù)(α，β)=(1，i)/，入射角θi=45°；石墨烯襯底的折射率n1=1.517，費(fèi)米能量μF=0.25 eV，費(fèi)米速度vF=1×106m/s，電子電量e=1.6×10?19C，磁場強(qiáng)度B=6T；觀察平面所在位置zr=λ0，觀察點(diǎn)坐標(biāo)為xr=yr=λ0。

圖2是入射角對渦旋光束在石墨烯表面反射后能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的影響分布，其中θi=59.1°為布儒斯特角。從圖中可以看出，隨著入射角的增大，能量密度和動(dòng)量密度呈現(xiàn)出相似的變化規(guī)律。能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度分布在布儒斯特角附近均發(fā)生了突變。當(dāng)入射角小于布儒斯特角時(shí)，能量密度和動(dòng)量密度呈現(xiàn)出環(huán)形的非均勻分布，而當(dāng)入射角大于布儒斯特角時(shí)，能量密度和動(dòng)量密度逐漸呈現(xiàn)出月牙形的輪廓。相較于能量、動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度，自旋角動(dòng)量密度呈現(xiàn)出完全不同形狀的輪廓，且入射角的改變對自旋角動(dòng)量密度的影響較為顯著。當(dāng)入射角增加到θi=75°時(shí)，自旋角動(dòng)量呈現(xiàn)出與其它動(dòng)力學(xué)特性量類似的月牙型分布。當(dāng)入射角小于布儒斯特角時(shí)，軌道角動(dòng)量密度呈現(xiàn)出環(huán)形分布，峰值強(qiáng)度的位置隨著入射角的改變呈現(xiàn)出較大變化。

圖 2 入射角對渦旋光束在石墨烯表面反射后能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的影響Fig.2 Effect of the incident angle on the energy， momentum， SAM and OAM densities of the vortex beams reflected from a graphene-substrate interface

圖3是拓?fù)浜蓴?shù)對渦旋光束在石墨烯表面反射后能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的影響分布圖。從圖中可以看出，當(dāng)拓?fù)浜蓴?shù)l增大時(shí)，能量密度和動(dòng)量密度中心環(huán)的半徑增大，即逐漸向外擴(kuò)展，且峰值的位置發(fā)生較大改變。隨著拓?fù)浜蓴?shù)l的增大，自旋角動(dòng)量密度的分布由環(huán)形分布轉(zhuǎn)變?yōu)閮砂甑脑卵佬畏植?，軌道角?dòng)量密度的圓環(huán)半徑逐漸增大，且峰值位置發(fā)生較大改變。進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，能量密度和動(dòng)量密度的方向均呈現(xiàn)出順時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)，不同拓?fù)浜蓴?shù)l下的自旋角動(dòng)量密度與軌道角動(dòng)量密度的旋轉(zhuǎn)方向總是相反的。

圖4給出的是費(fèi)米能量對渦旋光束在石墨烯表面反射后能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的影響分布圖。從圖中可以看出，當(dāng)入射角θi<50°時(shí)，費(fèi)米能量對反射光束的能量密度影響較小，當(dāng)入射角θi>50°時(shí)，反射光束的能量密度呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。動(dòng)量密度和軌道角動(dòng)量密度變化趨勢相似，均隨著入射角的增大而增強(qiáng)，從θi=60°開始迅速增大，且當(dāng)θi<70°時(shí)，費(fèi)米能量越小，動(dòng)量密度和軌道角動(dòng)量密度越小；當(dāng)θi>70°時(shí)，費(fèi)米能量越小，動(dòng)量密度和軌道角動(dòng)量密度越大。自旋角動(dòng)量密度呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，谷值隨著費(fèi)米能量的增大而增大，且費(fèi)米能量越大，達(dá)到谷值的所對應(yīng)的入射角也越大。達(dá)到谷值前，費(fèi)米能量越小，自旋角動(dòng)量密度越小，達(dá)到谷值后，費(fèi)米能量越小，自旋角動(dòng)量密度越大。

圖 3 拓?fù)浜蓴?shù)對渦旋光束在石墨烯表面反射后能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的影響Fig.3 Effect of the topological charge on the energy， momentum， SAM and OAM densities of the vortex beams reflected from a graphene-substrate interface

圖 4 費(fèi)米能量對渦旋光束在石墨烯表面反射后能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的影響Fig.4 Effect of the Fermi energy on the energy， momentum， SAM and OAM densities of the vortex beams reflected from a graphene-substrate interface

圖5是磁場對渦旋光束在石墨烯表面反射后能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的影響分布圖。從圖中可以看出，當(dāng)入射角θi<50°時(shí)，磁場強(qiáng)度對反射光束的能量密度影響較小，當(dāng)入射角θi>50°時(shí)，反射光束的能量密度呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，且磁場強(qiáng)度越小，峰值越大。動(dòng)量密度和軌道角動(dòng)量密度呈現(xiàn)相似的變化趨勢，均隨著入射角的增大而增強(qiáng)，且從θi=60°開始迅速增大，當(dāng)θi>75°后，磁場強(qiáng)度對反射光束的動(dòng)量密度和軌道角動(dòng)量密度影響較小。自旋角動(dòng)量密度呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，谷值隨著磁場強(qiáng)度的增強(qiáng)而減小，且磁場強(qiáng)度越強(qiáng)，達(dá)到谷值的所對應(yīng)的入射角越小。達(dá)到谷值前，磁場強(qiáng)度越小，自旋角動(dòng)量密度越大，達(dá)到谷值后，磁場強(qiáng)度越大，自旋角動(dòng)量密度越大。

圖5 磁場對渦旋光束在石墨烯表面反射后能量、動(dòng)量、自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度的影響Fig.5 Effect of the magnetic field on the energy， momentum， SAM and OAM densities of the vortex beams reflected from a graphene-substrate interface

3 結(jié)論

理論分析和數(shù)值模擬研究了石墨烯表面渦旋光束的局域動(dòng)力學(xué)特性。建立了LG渦旋光束從空氣入射到石墨烯-襯底系統(tǒng)表面反射的全矢量理論模型，推導(dǎo)出了LG渦旋光束在石墨烯表面反射后電場和磁場分量的解析表達(dá)式。通過數(shù)值模擬，分析了光束參數(shù)和石墨烯材料參數(shù)對反射渦旋光束局域動(dòng)力學(xué)特性的影響。數(shù)值結(jié)果表明，石墨烯表面反射渦旋光束的能量、動(dòng)量、自旋/軌道角動(dòng)量密度分布在布儒斯特角附近發(fā)生突變。光束拓?fù)浜蓴?shù)的增大使能量、動(dòng)量和自旋/軌道角動(dòng)量密度的分布向外擴(kuò)展，峰值位置發(fā)生較大改變。當(dāng)入射角較小時(shí)，費(fèi)米能量和磁場對反射渦旋光束的能量密度影響較??；當(dāng)入射角度較大時(shí)，費(fèi)米能量越大或磁場越小，能量密度越大。動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度隨費(fèi)米能量和磁場的變化呈現(xiàn)相似的變化趨勢，當(dāng)θi<70°時(shí)，費(fèi)米能量越小或磁場越大，動(dòng)量和軌道角動(dòng)量密度越小。自旋角動(dòng)量密度隨費(fèi)米能量和磁場的變化隨著入射角的增大呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，費(fèi)米能量越大或磁場越小，達(dá)到谷值的所對應(yīng)的入射角越大。本文建立的理論模型和推導(dǎo)得到的電磁場分量表達(dá)式可用于計(jì)算石墨烯表面渦旋光束的螺旋度和手性，研究基于石墨烯對渦旋光束螺旋度和局域手性的調(diào)控，為新型光電子器件的設(shè)計(jì)等技術(shù)提供理論基礎(chǔ)與技術(shù)支撐。