壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器遲滯非線性誤差的建模與分析

王義冬，李慶春，趙 慧

(1.中國人民解放軍 92228部隊(duì)，北京 100074; 2.海軍裝備部裝備項(xiàng)目管理中心，北京 100074；3.北京振興計(jì)量測試研究所，北京 100074)

0 引言

微結(jié)構(gòu)光學(xué)陣列(micro array structure)能夠?qū)崿F(xiàn)普通元件難以實(shí)現(xiàn)的陣列、微小、集成、成像和波前轉(zhuǎn)換等新功能，因此獲得越來越廣泛運(yùn)用[1]。慣性約束聚變(ICF,inertial confinement fusion)和人工復(fù)眼(ACE,artificial compound eye)成像系統(tǒng)中均存在微結(jié)構(gòu)光學(xué)陣列的應(yīng)用：ICF是以激光作為驅(qū)動(dòng)源，實(shí)現(xiàn)受控?zé)岷司圩兊囊豁?xiàng)創(chuàng)新技術(shù)[2-6]；ACE是高精度導(dǎo)彈常用的導(dǎo)引頭。在ICF中微結(jié)構(gòu)光學(xué)陣列實(shí)現(xiàn)對(duì)高能激光束的調(diào)制控制，在ACE中微結(jié)構(gòu)光學(xué)陣列實(shí)現(xiàn)校正像差和色差，提高導(dǎo)彈精確制導(dǎo)能力和突防能力[7]。

自由曲面(freeform surface)的應(yīng)用使得光學(xué)成像系統(tǒng)朝著超視距、高分辨、大視場、寬光譜和靈巧化的方向發(fā)展[8]。光學(xué)成像系統(tǒng)在軍事偵查、導(dǎo)彈導(dǎo)航、地質(zhì)遙感、救災(zāi)避險(xiǎn)等方面得到極大地運(yùn)用，成為各國角逐的重要領(lǐng)域。麥克斯韋望遠(yuǎn)鏡(JCMT, James Clerk Maxwell telescope)中的遠(yuǎn)紅外相機(jī)[9-10]，其采用9塊光學(xué)復(fù)雜曲面金屬鋁反射鏡， 與上一代SCUBA相機(jī)比，該相機(jī)視場角提升了12倍，掃描速度提升了上千倍，結(jié)構(gòu)卻更加緊湊，充分證明了自由曲面在光學(xué)成像系統(tǒng)應(yīng)用中的巨大優(yōu)勢。

在多周期、大振幅微結(jié)構(gòu)光學(xué)陣列的加工中以及自由曲面高頻非對(duì)稱誤差的補(bǔ)償加工中，一般情況下要求刀具的帶寬大于100 Hz，行程在1 mm以內(nèi)，故傳統(tǒng)的單點(diǎn)金剛石車削(SPDT， single point diamond turning)難以保證制造精度和效率，快速刀具伺服系統(tǒng)(FTS, fast tool servo)提供了一種高精度、高效率的加工方法。

FTS是安裝在超精車機(jī)床上，其由超精車機(jī)床的X軸、C軸、Z軸和微進(jìn)給軸組成，F(xiàn)TS的系統(tǒng)性能指標(biāo)主要取決于微進(jìn)給軸，該軸輸出位移取決于超精車床的主軸位置和X軸的位置。

FTS加工出來的面形是由C軸、X軸和微進(jìn)給軸聯(lián)動(dòng)切削而成，理論上可以加工出任意的微結(jié)構(gòu)光學(xué)陣列和自由曲面，這是因?yàn)镕TS推動(dòng)刀具運(yùn)動(dòng)部分的質(zhì)量較超精車Z軸小，可以實(shí)現(xiàn)高頻往復(fù)運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)TS的行程通常小于1 mm，帶寬一般在1 kHz以內(nèi)。超精車機(jī)床的X軸、C軸和Z軸聯(lián)動(dòng)加工面形就是慢刀伺服系統(tǒng)(STS,slow tool servo)[11]，STS相比較于FTS其運(yùn)動(dòng)頻響較低，其頻響在100 Hz以下，存在動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力不足、加工效率低、加工時(shí)間長等缺點(diǎn)。

隨著微結(jié)構(gòu)光學(xué)陣列以及光學(xué)自由曲面的在軍事國防、國民經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，對(duì)兼顧大行程、高頻響和高跟蹤精度FTS的需求較為迫切，而FTS的控制能力是制約FTS精度的關(guān)鍵技術(shù)之一。壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的FTS，其控制難點(diǎn)主要是由壓電陶瓷本身特性造成的，壓電陶瓷具有輸入電壓和輸出位移的遲滯非線性、蠕變、多值性和記憶性[12-13]等特性，這給壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的FTS伺服控制帶來了挑戰(zhàn)。

壓電陶瓷的遲滯非線性是制約壓電陶瓷FTS控制精度的最重要因素[14]。遲滯非線性可以通過電荷電流控制來校正[15]，但該方案不僅可能導(dǎo)致漂移和飽和問題，還可能大幅降低工作范圍。另一種解決方案是建立遲滯模型，以便建立前饋補(bǔ)償算法來校正遲滯非線性[16]?，F(xiàn)在建立遲滯模型的方法主要有兩種，一種是基于壓電陶瓷工作原理的物理建模，另一種是不考慮其工作原理將遲滯曲線看成數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)象建模?，F(xiàn)象建模得到了廣泛應(yīng)用，其簡單性和準(zhǔn)確性使得在工程應(yīng)用上具有物理建模不具備的優(yōu)勢。常見的數(shù)學(xué)模型有Preisach模型[17]、廣義麥克斯韋滑移滯回模型[18]、Duhem模型[19]、Dahl模型[20]、Chua-Stromsmoe模型[21]、Prandtl-Ishlinski模型[22]、Bouc-Wen模型[23]、Jiles-Atherton模型[24]、橢圓擬合模型[25]。當(dāng)壓電陶瓷運(yùn)動(dòng)頻率增加，其遲滯非線性表現(xiàn)出和頻頻率相關(guān)的特性，Xiao等人[26]、Deng等人[27]、Tian等人[28]在頻率相關(guān)遲滯模型方面進(jìn)行了較多研究。為擬合遲滯模型的曲線，需要估計(jì)出遲滯模型中的參數(shù)，常用的參數(shù)辨識(shí)方法有最小二乘法、粒子群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法、免疫算法和蟻群算法，以及基于上述算法的眾多改進(jìn)算法。

PID控制在壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的FTS的伺服控制中具有重要工程實(shí)踐意義，PID控制的簡便易實(shí)現(xiàn)及對(duì)系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性沒有過度要求，使得PID控制成為FTS伺服控制中的主要控制手段[29]。這是因?yàn)閴弘娞沾傻哪Ｐ鸵资軠囟取⑹褂脮r(shí)間和環(huán)境等因素影響。實(shí)踐中壓電陶瓷的模型參數(shù)不是固定的，使得一些復(fù)雜控制算法的簡便性、時(shí)效性和經(jīng)濟(jì)性較差。但是PID控制不能抑制非線性誤差，故前饋控制和PID的復(fù)合控制算法在工程上大量應(yīng)用。此處的前饋控制主要是補(bǔ)償系統(tǒng)的非線性誤差，前饋控制能夠大幅增大系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，在中高頻工況下具有較大優(yōu)勢，而且前饋控制可以補(bǔ)償?shù)粝到y(tǒng)的非線性部分。對(duì)遲滯模型求解，然后再求得遲滯逆模型，進(jìn)而對(duì)FTS系統(tǒng)進(jìn)行基于逆模型的前饋補(bǔ)償。

本文主要對(duì)壓電陶瓷遲滯非線性誤差進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，將遲滯非線性誤差分為頻率無關(guān)遲滯現(xiàn)象和頻率相關(guān)遲滯現(xiàn)象。接著對(duì)BW和PI的頻率無關(guān)遲滯模型進(jìn)行修正和對(duì)比，確定了采用PI模型描述本文的頻率無關(guān)遲滯現(xiàn)象。然后設(shè)計(jì)基于Hammerstein模型的頻率相關(guān)遲滯模型。提出了壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器遲滯非線性誤差的建模方法，并分析了其有效性和準(zhǔn)確性，給FTS伺服控制提供了一種實(shí)用的前饋控制器。

1 壓電陶瓷的非線性效應(yīng)

為了提高FTS系統(tǒng)的控制精度，則須對(duì)FTS的驅(qū)動(dòng)元件(壓電陶瓷)的工作特性具有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。通過對(duì)壓電陶瓷輸入不同信號(hào)的開環(huán)性能測試，分析了其輸出位移的非線性現(xiàn)象，其結(jié)果如圖1～3所示。

對(duì)壓電陶瓷輸入頻率為1 Hz幅值為5 V的正弦信號(hào)，將壓電陶瓷的時(shí)間-位移曲線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的電壓-位移曲線，如圖1所示，此曲線為類似橢圓形，該現(xiàn)象表述了壓電陶瓷的非線性。圖1所示現(xiàn)象稱為壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象，也反映壓電陶瓷的多值性。

圖1 1 Hz正弦輸入信號(hào)的壓電陶瓷非線性效應(yīng)

對(duì)壓電陶瓷輸入相同頻率為1 Hz幅值分別為8 V、7 V、6 V、5 V、4 V、3 V、2 V和1 V的正弦信號(hào)，繪制出電壓-位移曲線如圖2所示，從圖2中可得壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象會(huì)隨著幅值的增大而增大，而且還可以看出壓電陶瓷運(yùn)動(dòng)的第一個(gè)周期和之后的周期有差異，即初載曲線和之后的曲線有區(qū)別，這也是壓電陶瓷的蠕變和記憶性造成的，壓電陶瓷使用之前預(yù)熱一段時(shí)間可以避免初載曲線的問題，故本文將不再討論該問題。

圖2 不同幅值信號(hào)下的壓電陶瓷非線性效應(yīng)

對(duì)壓電陶瓷輸入相同幅值5 V，頻率分別為0.5 Hz、1 Hz、5 Hz、10 Hz、100 Hz、200 Hz和400 Hz的正弦信號(hào)，繪制壓電陶瓷的電壓-位移曲線如圖3所示，從圖3可以看出壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象會(huì)隨著頻率的增大而增大，從而表現(xiàn)出壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象是和輸入信號(hào)頻率相關(guān)的，其中10 Hz以上的遲滯曲線和10 Hz以下的遲滯曲線具有較大差異，本文將10 Hz以下的遲滯現(xiàn)象認(rèn)為和輸入信號(hào)頻率是無關(guān)的(以下簡稱頻率無關(guān))，將10 Hz以上的遲滯現(xiàn)象認(rèn)為和輸入信號(hào)的頻率是相關(guān)的(以下簡稱頻率相關(guān))。

圖3 不同頻率信號(hào)下的壓電陶瓷非線性效應(yīng)

從以上分析可知，壓電陶瓷的遲滯非線性表現(xiàn)出和幅值、頻率相關(guān)的復(fù)雜性，這種非線性誤差嚴(yán)重影響了壓電陶瓷的伺服控制精度。并且這種非線性誤差的最大值可以超過輸出行程的15%，故不能通過傳統(tǒng)、便捷和線性的控制算法(如PID算法)解決，只能通過前饋算法進(jìn)行補(bǔ)償。設(shè)計(jì)前饋算法的前提是可以準(zhǔn)確獲得遲滯非線性的數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)模型求逆就可得到前饋控制器。

2 頻率無關(guān)和頻率相關(guān)遲滯模型及其修正

2.1 Bouc-Wen模型及其修正

Bouc R于1967年提出了一種描述位移與恢復(fù)力之間遲滯關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上由Y.K.Wen完善[30]，最終形成用非線性微分方程描述系統(tǒng)遲滯曲線的Bouc-Wen模型，其具有控制器簡單的優(yōu)點(diǎn)，該模型的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為[1]：

(1)

將式(1)轉(zhuǎn)化為描述壓電陶瓷遲滯曲線的公式如下：

(2)

式中，y(t)為壓電陶瓷位移輸出，u(t)為壓電陶瓷的電壓輸入，其中n具有控制曲線平滑性的作用。

在壓電陶瓷的前饋控制中，需要將標(biāo)準(zhǔn)BW模型編寫入PowerPMAC運(yùn)動(dòng)控制器，故需將式(2)進(jìn)行離散化處理以便于編程。其離散化公式為：

(3)

標(biāo)準(zhǔn)BW模型遲滯曲線是關(guān)于中心對(duì)稱的，而壓電陶瓷的遲滯曲線是復(fù)雜的、非對(duì)稱的。本文在標(biāo)準(zhǔn)Bouc-Wen模型的非線性項(xiàng) 里增加若干非對(duì)稱項(xiàng)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)BW模型修正使之具有非對(duì)稱性，稱之為非對(duì)稱BW模型，其公式如下[31]：

(4)

式中，β1、β2、β3、β4、β5、β6為新引入的參數(shù)用來改變標(biāo)準(zhǔn)BW模型的對(duì)稱性。對(duì)式(4)進(jìn)行離散化處理以便于編程。其離散化公式為：

(5)

2.2 Prandtl-Ishlinskii模型及其修正

PI模型最早是用來描述塑性彈性變形[22]。PI模型具有解析形式、且有逆模型公式以及模型參數(shù)易于辨識(shí)等優(yōu)點(diǎn)，但是無法表述頻率相關(guān)的遲滯模型，其在壓電陶瓷遲滯非線性控制方面具有重要應(yīng)用。

雙邊play算子，如圖4所示[12]，其輸出定義為：

圖4 雙邊play算子

(6)

fr(u,x)=max(u-r,min(u+r,x))

(7)

式中，當(dāng)u(t)∈Cm[0,tE]，Cm[0,tE]為分段連續(xù)函數(shù)的集合,0=t0

在描述壓電陶瓷的遲滯非線性時(shí)由于雙邊算子中的輸入始終具有u(t)≥0的關(guān)系，故采用單邊play算子可以更簡潔的描述壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象，如圖5所示[13]，其輸出定義為：

(8)

fr(u,x)=max(u-r,min(u,x))

(9)

式中的各參數(shù)及含義和雙邊play算子的一致，此處不再贅述。

圖5 單邊play算子

利用不同閾值r的單邊play算子加權(quán)疊加而成的PI模型可以表示為：

(10)

式中，y(t)為PI模型輸出，w(t)為不同閾值的單邊Play算子對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)，F(xiàn)r[u](t)為單邊算子。

PI模型需要編寫入PowerPMAC運(yùn)動(dòng)控制器中，則需將式(8)～(10)進(jìn)行離散化處理以便編程，其離散化公式為：

(11)

式中，y(k)為PI模型輸出值，u壓電陶瓷輸入值，ri是PI遲滯模型的閾值，wi是PI遲滯模型的密度函數(shù)，Npi為單邊play算子的個(gè)數(shù)。

2.3 基于Hammerstein模型的頻率相關(guān)遲滯模型

本文提到一種基于Hammerstein模型的頻率相關(guān)遲滯模型來描述壓電陶瓷的頻率相關(guān)遲滯現(xiàn)象[32]。Hammerstein模型由一個(gè)非線性模塊和一個(gè)線性模塊組成，其模型結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 Hammerstein模型示意圖

Hammerstein模型中的非線性模塊N(·)定義為PI遲滯模型，Hammerstein模型中的非線性模塊G(z)定義為ARX模型，其模型公式為：

(12)

ARX模型中的參數(shù)需要進(jìn)行辨識(shí)，具體辨識(shí)方法是：將壓電陶瓷的電壓輸入信號(hào)u(t)通過PI遲滯模型，得到Hammerstein模型的中間變量yu(t)；將yu(t)和掃頻實(shí)驗(yàn)的結(jié)果y′(t)作為ARX模型的輸入和輸出，利用Matlab的系統(tǒng)辨識(shí)工具箱(system identification)對(duì)ARX模型中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，可得ARX模型。PI遲滯模型和得到的ARX模型共同組成Hammerstein模型，該模型就是壓電陶瓷的頻率相關(guān)遲滯模型。

3 頻率無關(guān)和頻率相關(guān)遲滯曲線的辨識(shí)

3.1 隨機(jī)粒子群算法的設(shè)計(jì)

對(duì)于非對(duì)稱Bouc-Wen模型，其中d、α、β1、β2、β3、β4、β5、β6、n八個(gè)參數(shù)需要用智能算法對(duì)其估計(jì)。對(duì)于修正的Prandtl-Ishlinski模型，其中Npi個(gè)密度函數(shù)wi需要用智能算法對(duì)其估計(jì)。本文采用粒子群算法(PSO，particle swarm optimization)作為估計(jì)上述參數(shù)的智能算法。

粒子群算法是由Eberhart和Kenndy在1995年提出[33]。PSO本質(zhì)上是一種隨機(jī)搜索算法，一種智能優(yōu)化技術(shù)。該算法具有概念簡明、參數(shù)設(shè)置少、實(shí)現(xiàn)容易、精度高和收斂快等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于優(yōu)化問題和搜索問題中。相比其他傳統(tǒng)優(yōu)化算法，PSO收斂到全局最優(yōu)解的概率較大，它適合在動(dòng)態(tài)、多目標(biāo)優(yōu)化的環(huán)境中尋優(yōu)，具有更快的計(jì)算速度和全局搜索能力，對(duì)待優(yōu)化的函數(shù)沒有嚴(yán)苛要求(如可微分、時(shí)間連續(xù)等)，對(duì)多變量、高度非線性、不連續(xù)及不可微分的情況優(yōu)勢更加突出。

PSO初始化為一群隨機(jī)粒子，然后通過迭代找到最優(yōu)解。在每次迭代中，粒子通過跟蹤兩種極值完成迭代更新：一種是個(gè)體極值，也就是粒子本身所找到的最優(yōu)解；另一種是全局極值，也就是整個(gè)粒子群當(dāng)前找到的最優(yōu)解。

為了避免陷入局部最優(yōu)解，本文采用隨機(jī)權(quán)重的PSO。其原理是將標(biāo)準(zhǔn)PSO中的隨機(jī)權(quán)重w設(shè)定為隨機(jī)數(shù)，當(dāng)粒子在接近最優(yōu)解時(shí)，隨機(jī)產(chǎn)生的w可能為較小值，由此加快收斂速度，還能避免w線性遞減不能收斂到全局最優(yōu)解的問題。

隨機(jī)權(quán)重的PSO的計(jì)算步驟如下：

1)設(shè)置模型參數(shù)和最大迭代次數(shù)M，隨機(jī)設(shè)置每個(gè)粒子的位置和飛行慣性(速度)。

2)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值。

3)獲取當(dāng)前的個(gè)體極值和全局極值。

4)更新粒子的飛行慣性(速度)和位置。

5)更新慣性權(quán)重。

6)判斷是否達(dá)到算法停止條件(誤差足夠小或達(dá)到最大迭代次數(shù))，如果達(dá)到條件則退出算法并輸出結(jié)果，否則返回到第2)步繼續(xù)迭代。

采用圖2所示的遲滯曲線，設(shè)置隨機(jī)權(quán)重粒子群算法模型參數(shù)如表1所示，其中采樣時(shí)間為0.1 ms。

表1 隨機(jī)權(quán)重PSO算法模型參數(shù)

表中，Npso為粒子群的粒子數(shù)，c1為個(gè)體學(xué)習(xí)因子，c2為群體學(xué)習(xí)因子，wmax為慣性權(quán)重最大值，wmin為慣性權(quán)重最小值，σ為隨機(jī)權(quán)重方差，M為最大迭代次數(shù)。

定義隨機(jī)權(quán)重粒子群算法中的適應(yīng)度函數(shù)，其公式為：

(13)

定義以下函數(shù)來評(píng)價(jià)擬合效果：

(14)

(15)

NMAX為歸一化最大擬合誤差，NRMS為辨識(shí)精度(歸一化均方根誤差)。

3.2 頻率無關(guān)遲滯曲線的辨識(shí)

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)BW中的d、α、β、γ、n五個(gè)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，其中n限制為正整數(shù)，隨機(jī)權(quán)重PSO的模型參數(shù)如表1。辨識(shí)結(jié)果如圖7所示。

圖7 標(biāo)準(zhǔn)Bouc-Wen模型辨識(shí)結(jié)果

標(biāo)準(zhǔn)BW模型辨識(shí)結(jié)果為，F(xiàn)rms=0.522，NMAX=2.754%，NRMS=1.848%。從中可以看出辨識(shí)效果較差，對(duì)FTS所要求的精度而言，該誤差是不能接受的。

為了克服標(biāo)椎BW模型的缺點(diǎn)，采用非對(duì)稱BW模型來辨識(shí)遲滯曲線。利用隨機(jī)權(quán)重粒子群算法對(duì)非對(duì)稱BW模型中的d、α、β1、β2、β3、β4、β5、β6、n九個(gè)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，其中n限制為正整數(shù)，隨機(jī)權(quán)重粒子群算法模型參數(shù)和表1一致，辨識(shí)結(jié)果如圖8所示。

圖8 非對(duì)稱Bouc-Wen模型辨識(shí)結(jié)果

非對(duì)稱BW模型辨識(shí)結(jié)果為，F(xiàn)rms=0.282，NMAX=1.739%，NRMS=0.997%，辨識(shí)精度相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)BW模型有了較大提升，但是擬合曲線的形狀不理想。

為了進(jìn)一步提高辨識(shí)精度，采用修正的PI模型擬合遲滯曲線。利用隨機(jī)權(quán)重權(quán)重算法對(duì)式(11)中的Npi個(gè)密度函數(shù)wi進(jìn)行辨識(shí)，為了兼顧模型精度和PI模型在控制系統(tǒng)中的處理速度，Npi的值取為10，隨機(jī)權(quán)重粒子群算法模型參數(shù)和表1一致。辨識(shí)結(jié)果如圖9所示。

圖9 Prandtl-Ishlinskii模型模型辨識(shí)結(jié)果

PI模型辨識(shí)結(jié)果為，F(xiàn)rms=0.111，NMAX=0.650%，NRMS=0.392%，辨識(shí)的變量參數(shù)如表2中的Case2所示。

更改隨機(jī)權(quán)重粒子群算法中的粒子群數(shù)量和最大迭代次數(shù)，重新對(duì)式(11)辨識(shí)，結(jié)果如表2所示。對(duì)比表中的Case1、 Case2和 Case3，可知最大迭代次數(shù)的增加并不一定會(huì)使辨識(shí)精度增加，其一般取值在[300,600]之間；對(duì)比表中的Case2、 Case4和 Case5，可知粒子群數(shù)量的增加并不一定使得辨識(shí)精度的增加，其一般取值在[30,80]之間。

為了驗(yàn)證隨機(jī)權(quán)重粒子群算法的可靠性，將辨識(shí)算法更換為遺傳算法(GA, genetic algorithm)[30]。具體利用Matlab軟件中的遺傳算法工具箱對(duì)式(11)中的10個(gè)密度函數(shù)wi進(jìn)行辨識(shí)，對(duì)這10個(gè)參數(shù)的區(qū)間全部設(shè)置在[-1×10-16,1×10-16]之間，設(shè)置種群大小為50個(gè)。

PI模型由GA算法辨識(shí)的結(jié)果為，F(xiàn)rms=0.111，NMAX=0.653%，NRMS=0.393%，辨識(shí)的變量參數(shù)如表3所示，相對(duì)比圖12的辨識(shí)結(jié)果和辨識(shí)精度并沒有提升。對(duì)比隨機(jī)權(quán)重粒子群算法和MATLAB遺傳算法工具箱對(duì)式(11)的辨識(shí)情況可以發(fā)現(xiàn)，在辨識(shí)精度和運(yùn)算時(shí)間方面隨機(jī)權(quán)重粒子群算法具有明顯優(yōu)勢，證明了隨機(jī)權(quán)重粒子群算法的可靠性和實(shí)用性。

綜上所述，隨機(jī)權(quán)重粒子群算法的最大迭代次數(shù)一般取值在[300,600]之間、粒子群數(shù)量一般取值在[30,80]之間，這兩個(gè)參量對(duì)辨識(shí)精度的影響有限，并且將隨機(jī)權(quán)重粒子群算法與Matlab遺傳算法工具箱的辨識(shí)情況進(jìn)行比較，以上證明了隨機(jī)權(quán)重粒子群算法可靠性和實(shí)用性；采用隨機(jī)權(quán)重粒子群算法分別對(duì)標(biāo)準(zhǔn)BW模型、非對(duì)稱BW模型、修正PI模型進(jìn)行辨識(shí)，對(duì)應(yīng)的辨識(shí)精度分別為1.848%、0.977%、0.392%，本文最終選擇PI模型作為壓電陶瓷的遲滯模型。

表2 修正PSO辨識(shí)Prandtl-Ishlinskii模型參數(shù)的結(jié)果

表3 GA辨識(shí)Prandtl-Ishlinskii模型參數(shù)的結(jié)果

3.3 頻率相關(guān)遲滯曲線的辨識(shí)

由圖5所示分析結(jié)果，可知壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象是和頻率相關(guān)的。對(duì)壓電陶瓷進(jìn)行1 Hz至100 Hz，幅值為5 V的掃頻實(shí)驗(yàn)，繪制如圖14所示的遲滯曲線。在10 Hz以下時(shí)遲滯模型的建立按照頻率無關(guān)的遲滯模型處理，當(dāng)壓電陶瓷頻率大于10 Hz時(shí)，頻率的影響將不能忽略。

用表2中Case2所述的PI模型去擬合圖10的遲滯曲線，得到的擬合效果如圖11所示，其擬合誤差的最大值為4.692 μm，誤差的均方根值為1.827 μm。從中可以看出PI模型的擬合曲線幾乎全部重合為一個(gè)遲滯環(huán)，這是因?yàn)镻I模型為頻率無關(guān)的遲滯模型，故不能用來描述頻率相關(guān)遲滯模型。

圖10 1～100 Hz開環(huán)掃頻的遲滯曲線

圖11 1～100 Hz開環(huán)掃頻的遲滯曲線

本文采用一種基于Hammerstein模型的頻率相關(guān)遲滯模型來描述壓電陶瓷的頻率相關(guān)遲滯現(xiàn)象，其中 定義為PI遲滯模型，其公式為(11)，公式中的參數(shù)為表2中Case2的數(shù)據(jù)。利用Matlab的系統(tǒng)辨識(shí)工具箱對(duì)ARX模型中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，可得辨識(shí)精度為97.73%的ARX模型，其表達(dá)式為：

(16)

PI遲滯模型和式(16)所示的ARX模型共同組成Hammerstein模型。

用Hammerstein模型擬合圖11所示的遲滯曲線，其擬合誤差的最大值為0.531 μm，誤差的均方根值為0.218 μm。相比較于只用PI模型擬合，誤差的最大值降低了88.683%，誤差的均方根值降低了88.068%，說明Hammerstein模型在描述頻率相關(guān)的遲滯模型時(shí)具有較好效果。Hammerstein模型為描述壓電陶瓷頻率相關(guān)遲滯現(xiàn)象提供了一種簡單實(shí)用的方法。

4 結(jié)束語

本文為了補(bǔ)償壓電陶瓷遲滯非線性誤差，實(shí)驗(yàn)分析了該非線性誤差的特性，將其分為頻率無關(guān)現(xiàn)象和頻率相關(guān)現(xiàn)象。利用隨機(jī)權(quán)重粒子群算法分別對(duì)標(biāo)準(zhǔn)BW模型、非對(duì)稱BW模型、修正PI模型進(jìn)行辨識(shí)，對(duì)應(yīng)的辨識(shí)精度分別為1.848%、0.977%、0.392%，最終選擇PI模型作為壓電陶瓷的頻率無關(guān)遲滯模型。設(shè)計(jì)了基于Hammerstein模型的頻率相關(guān)遲滯模型，相比PI模型對(duì)頻率相關(guān)遲滯曲線的擬合，其誤差的最大值降低了88.683%，誤差的均方根值降低了88.068%。本文提出了壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器遲滯非線性誤差的建模方法，并分析了其有效性和準(zhǔn)確性，給FTS伺服控制提供了一種實(shí)用的前饋控制器。