基于課題研究的創(chuàng)新拔尖人才培養(yǎng)初探
——以“丘成桐中學數學獎”為例

戴中元 (華東師范大學第二附屬中學 201203)

“丘成桐中學數學獎”是丘成桐先生于2007年12月發(fā)起，為激發(fā)和提升全球中學生對于數學研究的興趣和創(chuàng)新能力，發(fā)現和培養(yǎng)有前途的青年數學才俊而設立的．該獎項面向全球中學生，舍棄了試卷和標準答案，學生的作品以研究報告的形式提交，經過國內外數學家三輪審核和最后決賽答辯，評出獎項．后又加入了物理、化學、生物、計算機、經濟建模等學科，組成了新的丘成桐中學科學獎(下稱“丘獎”)．筆者結合這些年指導學生參加丘獎的經歷以及華東師大二附中的課題引導來探討它對中學數學教育的影響．

1 丘獎為中學生的理論研究提供了舞臺

華東師大二附中有六個百分百，其中之一就是百分百的學生做課題研究.學校在新生入校時即會舉辦走近科學夏令營，讓學生領略到科學的魅力，找到自身感興趣的方向，然后在學?？萍驾o導團老師的指導下開展研究.每年均有許多學生參加全國青少年科技創(chuàng)新大賽，并連續(xù)20余年入圍英特爾國際工程學大獎賽，迄今已有5位學生榮獲小行星命名．

不同于英特爾大獎賽側重于實驗科學和工程學，丘獎更側重于理論研究．

筆者高中時即對不等式非常感興趣，閱讀了諸如《不等式理論方法》《常用不等式》等參考書，并寫信向國內這方面的專家楊學枝老師求教，楊老師非常認真地答復我并郵寄了《不等式研究通訊》給我，我學習了許多知識，也研究了一些問題，但當時在中學階段除了高考只有奧賽這條道路，沒有做數學課題的氛圍，所以只是淺嘗輒止．

在2008年第一屆丘成桐中學數學獎中，復旦附中學生韓京俊的《完全對稱不等式的取等判定》榮獲優(yōu)勝獎，之后又出版了《初等不等式的證明方法》，進入大學后他開始符號計算領域的研究.他的興趣最初來自于高中數學競賽里的不等式問題，競賽要求參賽者手工證明不等式，那能不能找到一個通法用計算機的符號運算解決不等式證明問題呢？在這一興趣的驅使之下，韓京俊很早就展開了對符號運算領域的研究，大一時他就解決了中科院楊路教授在《中國科學》上提出的公開問題．韓京俊后來從事代數幾何研究，現在美國約翰霍普金斯大學任J.J.Sylvester助理教授．像韓京俊這樣的例子還有許多，丘獎為許多熱愛探究的學生提供了展示舞臺，為他們和大學教授之間建立起橋梁；提前學習了解現代數學的內容，用不同于中小學的模式學習知識，充分激發(fā)了中學生的潛能，并堅定了之后走科研道路的信心．

2 華東師大二附中的數學科創(chuàng)活動

華東師大二附中的科技創(chuàng)新班是由一批學有余力、喜愛科學、勇于探索的學生組成，他們每周有一個下午的卓越課程和一個晚上的時間可以去學校4樓科創(chuàng)教室自由地開展課題研究，學校為他們配備了物理、化學、生物、工程、機器人等實驗室，做數學課題的學生則可以選擇數學建模實驗室．

2.1 數學課題研究討論班

數學課題研究小組是由有志于做數學課題的學生組成，要求具備扎實的數學基本功，對數學有濃厚的興趣，平時在課內學習之外有時間閱讀數學方面的科普書和專業(yè)書，有一定的自學能力，有探索精神和抗挫折的能力[1]．每周的卓越課程，我會組織學生開展數學課題研究討論班，本課程有些類似于大學的數學討論班，由學生主講自己所學知識和所做的數學研究，教師幫助解答問題和提供參考意見．

數學課題組進行課題選題討論，閱讀數學拓展類書籍(如《數學建?！返?，查閱文獻(如《美國數學月刊》《數學文化》《數學傳播》《數理人文》《數學通報》《數學通訊》等)，課題進展匯報，專題學習匯報等活動．專題學習匯報主要由學生自己查閱感興趣的數學領域，然后制作匯報PPT，由老師審閱及和同學討論修改后向所有課題組同學匯報，在期中、期末考試等課業(yè)負擔比較重的時候由指導老師來講．

在專題學習匯報討論班中，發(fā)現由學生視角導入對其他學生更易于接受和理解，并且學生能更積極地提出問題．在討論班過程中經常要求學生最后用一個具體的例子來講解自己所學的數學知識，使聽的學生真正將這些內容弄懂．另外討論班可以使做不同課題的學生加強溝通和交流，了解其他人在做什么，在短時間內學習更多的知識，并且相互借鑒和啟發(fā)．

表1 華東師大二附中歷年入圍丘獎決賽的數學課題

2.2 現代數學巡禮選修課

“現代數學巡禮”是周五下午的全校性選修課[2]，內容是以高中課內知識為出發(fā)點，進行拓展、加深，注重思想，介紹問題的由來、發(fā)展、背景、影響以及在實際生活中的應用．介紹比較有名的問題(如費馬大定理、黎曼猜想等)，或較新的重大突破(如張益唐在孿生素數方面的工作)，普及數學文化方面的知識，如數學的對稱與和諧、數學中的創(chuàng)造、數學的統(tǒng)一性等．觀看數學家的電影(如納什、圖靈、拉馬努金、高斯、希帕提婭、陳省身、華羅庚等)，數學科普紀錄片(如《數學漫步》《平面國》《數學的故事》《尋找隱藏的維度》《神秘的混沌理論》等)．

表2 “現代數學巡禮”的部分課程

“現代數學巡禮”為對數學感興趣的學生打開了一扇新的窗戶，從中可以學到許多課本上沒有的數學知識(如幻方、魔術中的數學)，又可以了解到數學在生活中的具體應用(如博弈論、圖論、分形)，激發(fā)學生對數學的熱情，從中體會到數學的美和價值，許多學生就是從這門課走入了課題研究的樂園．

2.3 大學先修課程

從2013年開始清華大學和北京大學就在中學設立大學先修課程.北京數學會理事長柳彬在課程啟動時曾說：“16歲的中學生在智力上已經成熟，有能力學習大學數學知識．”華東師大二附中在數學方面開設了《微積分》《線性代數》《抽象代數》《概率論》等課程，筆者曾長期擔任學校的微積分講師，由于上海地區(qū)很長時間不講導數，這門課很好地彌補了這個不足，并且對物理競賽的學生使用求導、積分工具起到了很大的幫助．我校許多學生都在清華大學和北京大學先修課的考試中取得了優(yōu)異成績，這方面的工作得到北京師范大學張英伯教授的肯定[3]．在2021年兩次清華領軍計劃的選拔中，二附中共有7位學生成功入選，這和我校長期堅持開設大學先修課、鼓勵學生自學是分不開的．

同時大學先修課也為高中生學習深入的大學數學知識鋪設了道路，為他們做課題研究奠定了更加堅實的理論基礎．例如，復旦附中的陳子弘同學(2015年銀獎獲得者)高中階段即自學Stein的三卷調和分析，且在普林斯頓的本科生雜志上發(fā)表論文，而我校的劉臻化同學(2015年金獎獲得者)則利用課余時間自學了代數數論和解析數論的部分內容．丘先生也在接受采訪中提到丘獎剛開始時因為國內高中生不懂微積分[4]，所以大多數學生做的都是初等數學問題．隨著丘獎影響力逐漸擴大，更多有深度、用高等數學方法解決的課題占比越來越大，有些被評委會認為達到了碩士論文的水平，可見丘獎對中學生學習大學知識起到了巨大的推動作用，學生的視野更加開闊，知識儲備和科研能力得到了大幅提高．

3 數學課題案例分析

3.1 研究性學習

雖然經常在教學研討時提到研究性學習，但筆者認為平時在課堂中的這些方式至多被稱為啟發(fā)式教學，而“研究性學習”應至少具備這樣三點：

一是獨立性，學生必須在大部分時間內單獨進行探究，如果身旁總是有別人的幫助或者提示，那么應歸屬于啟發(fā)式教學范疇．

二是長時性，“研究”是利用有計劃與有系統(tǒng)的資料收集、分析和解釋的方法，獲得解決問題的過程，試想如果問題只需用很短的時間就能解決，那怎能稱為“研究”呢？

三是不確定性，既然是研究，就會有成功和失敗，如果在做之前就能完全確定結果，那至多只是驗證工作．

圖1 與凸四邊形四頂點共橢圓的點的區(qū)域

根據以上三點，做課題是一種非常好的自主研究性學習．下面以沈伊茜同學的《凸四邊形外接橢圓及其性質研究》中的部分結果為例進行說明.首先容易驗證凸四邊形必然存在外接橢圓，且有無窮多個，那么很自然地想到如果加入第5個點能否將這個橢圓確定下來.這里采用從特殊到一般的方法，先從矩形入手，然后依次討論平行四邊形、等腰梯形、非等腰梯形，可以發(fā)現與原來四點共橢圓的點的區(qū)域是前面這幾幅圖中的陰影部分，且梯形中的一條邊界是過四點的拋物線，最后將結論自然地推廣到一般四邊形(對邊不平行)的情況，此時過這四個點的拋物線有2條，而此時滿足要求的點就是以這2條拋物線為邊界的．

在得到共橢圓的點集后，與四頂點共拋物線的點集就是這2條拋物線，那么猜測剩下的點與四頂點共雙曲線.經過驗證發(fā)現果然如此，并且還可得到在圖2淺灰色部分的點所得的雙曲線兩支上各有2個頂點，而深灰色部分所得的雙曲線的一支上有4個頂點．

圖2 與凸四邊形四頂點共雙曲線的點的區(qū)域

該篇文章中這個結論的思路是從特殊到一般，在課堂中已做過很多類似的問題，但我認為這些都不如做課題體會來得深，這就是研究性學習和其他學習方式的不同點，它帶給人一種超越自我的感覺．同時這個課題還體現了幾何之美，三種圓錐曲線在這里得到了完美的融合，該課題得到了丘先生的贊譽，并榮獲了2014年丘獎的銅獎.這對沈同學是非常大的激勵，之后做任何事情都信心十足，成績一直位列班級第一，后考入清華大學．還有許多學生也是如此，由此可見課題研究對學生的作用不僅是本學科，對其他方面也有極大的促進作用．

3.2 堅持自主選題

現在許多高中生課題都是直接由大學教師或研究生指定，我認為這會失去課題探究的初心，變得和數學競賽一樣，又成了解決別人提出的問題，并且很多學生根本不知道這項研究的意義何在．平時課內學習課本知識時，少有人問為什么要學習等差數列、指數函數這樣的知識，而研究過程則告訴學生為什么要走這條路、這條路還有哪些地方沒人去過，說不定可以發(fā)現新的事物，這是課內淺嘗輒止的學習所做不到的．丘先生曾說：“近40年來，中國的數學發(fā)展很快，但還是不滿意，最大的問題是人們解決問題，不是自己提出問題.”所以二附中堅持學生自主選題，在每次的科技夏令營中會向學生介紹過去的各種課題，并歸納出幾種選題的思路：

(1)從課本中尋找問題

例如，葛敬元同學的《復函數奇偶性及其他性質的圖象研究》就是將函數的奇偶性推廣到復函數，給出了相應的ω奇、ω偶的概念，并將它應用于圖象變換，使其具有給定的對稱性，課題獲2016年丘獎華東賽區(qū)二等獎．鈕敏學、蔡偌箐同學的《形如ax+bx=cx的簡單指數方程解的無理性判定》是從指數函數的例題3x+4x=5x中得來，這個方程根據指數函數的單調性可知有唯一解，且因為3,4,5是勾股數，所以它的解是x=2，那么如果底數是其他正整數呢？猜測除了極少數特殊情況外解都是無理數.兩位學生自學伽羅華理論，并利用復數知識進行了細致的討論，并將其推廣到左邊有3項及3項以上的情況，該課題獲2013年丘獎華東賽區(qū)一等獎．

(2)從生活中尋找問題

網絡論壇中有水軍，微博中有僵尸粉，丁懿銘同學利用統(tǒng)計學把這些無效用戶的特征提取出來．例如，用真實照片的用戶更有可能是虛假的，然后利用它們來對用戶進行測試，得到了不錯的結果，她的課題《基于貝葉斯理論的微博僵尸粉識別研究》獲2014年丘獎銅獎．而華立成同學則是從田忌賽馬問題出發(fā)，研究n(n≥4)匹馬情況下齊威王和田忌的勝負情況，得到了許多有趣的結論．例如，如果馬匹數足夠多，那么兩人獲勝的概率是相同的，并從哲學角度進行了分析．在最后答辯時因為有外籍評委，丘先生率先提問：“Who’s Tian Ji？”華同學借這個機會又普及了中國古代運籌學思想，他的《多馬匹情形下的田忌賽馬問題研究》獲2015年丘獎優(yōu)勝獎．

(3)從習題中尋找問題

有這樣一道立體幾何習題：是否存在空間五邊形，它的每條邊長度都是1，相鄰兩邊所成的角都是直角？答案是否定的，那么如果將五邊形改為其他邊形呢？將直角改成其他角度呢？這實際上是平面正多邊形在空間中的推廣.孫越陽同學仔細研究了內角為90°的情況，得出了內角為90°的空間正多邊形在n≥6時都存在，其中關鍵的一步是構造七邊形的情況(圖3)，然后系統(tǒng)性地研究了在n比較小時，空間正n邊形內角的范圍，并在4維空間中討論了相關問題，她的課題《對空間中立體幾何相接數及其衍生定理的研究》獲得2019年丘獎華東賽區(qū)二等獎．

圖3 內角為直角的空間正七邊形HGJKLIE

(4)對現有問題進行推廣

潘星宇同學將平面幾何中的Soddy點推廣到空間中，她將尺規(guī)作圖中的直尺和圓規(guī)推廣到空間中畫平面和圓錐的平尺和傘規(guī)，得到了許多有趣的結果．例如，古希臘三大幾何作圖問題就可以通過這兩個新的作圖工具得到解決，她的《三角形中神奇的點》獲得2013年華東賽區(qū)一等獎．楊岳同學在課余學習了許多高等數學知識，他應用 Jacobi三重積恒等式和歐拉五邊形數定理推導了一套新的恒等式，并對三角函數進行了推廣，他的《一類無窮乘積的計算方法和三角函數的一種推廣》獲2021年丘獎華東賽區(qū)三等獎．葉果然同學則是通過對博物館守衛(wèi)問題進行拓展，考慮到像俄羅斯冬宮這樣中間為廣場的建筑，他的《一個有空洞的多邊形建筑的內部守衛(wèi)問題》獲2016年丘獎華東賽區(qū)三等獎．

(5)從數學游戲中尋找問題

鄭植勻同學的數學課題來源于“打地鼠”游戲，用數學語言來說就是一個城堡中的房間在圖G的頂點上，一個住在城堡中的公主每天住在與她前一天相鄰的房間，王子們不知道公主所住的房間，但每天傍晚這些王子可以分別查看一間房間中是否住著公主，求最少需要幾個王子才可以有必定找到公主的策略．對于圖G，這個數被定義為最小王子數，記為ρ(G)，這個概念刻畫了圖的某種“連通”性質．鄭同學利用鄰接矩陣等代數工具給出了許多特殊圖的ρ(G)，并給出它的不等式估計．例如，可以計算圖4的ρ(G)=7，他的《簡單圖上的王子與公主問題》獲得了2021年丘獎華東賽區(qū)一等獎．清華附中的楊青明老師及學生從數獨游戲中獲取靈感，發(fā)明了《形獨》游戲，并衍生出各種玩法，還將它開發(fā)成App讓更多人能夠玩到這款益智游戲．在二附中，施洪亮副校長與何智宇老師開設數學游戲的選修課[5]，在數學文化節(jié)中有游戲專場，開設魔方、數獨、24點等比賽，并在暑期組織學生參加MIT組織的數學游戲主題夏令營，讓學生在游戲的快樂中體會到數學的魅力，思考數學問題，所以數學游戲也是數學課題的重要來源之一．

圖4 最小王子數ρ(G)=7

(6)從數學建模和數學競賽中尋找問題

方瀟硯同學對軍事非常感興趣，他利用解析幾何知識建立數學模型來研究古代陣型，通過不同的曲線的兵陣面，得出每種陣法的攻擊力和防御力，并將其應用到古代的各種有名戰(zhàn)爭中．例如，劉裕北伐的卻月陣，分析交戰(zhàn)雙方的勝敗得失，他的《運用蘭開斯特模型探究古代戰(zhàn)爭中弓弩殺傷模型和陣型選擇》獲2021年丘獎華東賽區(qū)三等獎．徐子卿同學則非常喜歡不等式，他將中等數學中的一道不等式題進行推廣，研究結果獲2013年丘獎華東賽區(qū)二等獎．數學建模比賽和數學競賽是個取之不盡的寶庫，許多競賽問題只考慮了某些特殊情況，而留有更廣闊的空間給學生進行探索．

(7)從科普雜志和數學叢書中尋找問題

倪丹同學對數論非常感興趣，在高一時即研讀《數論中未解決的問題》，她對數論中的孤獨數、友誼數非常感興趣，在選修課中向其他同學介紹這方面的相關知識和進展，目前還有許多數無法判定為究竟是友誼數還是孤獨數，于是她對許多情況進行了討論，對函數值的有界性及分布進行了分析，并估計了友誼數在正整數集中的密率，她的《關于函數f(n)=δ(n)/n的幾項探究》獲2019年丘獎銅獎．同樣對數論感興趣的還有劉臻化同學，他對Dirichlet定理進行了研究，給出了新的代數證明方法，并給出了某個級數的漸近公式，他兩次參加丘獎，分獲三等獎和金獎．

以上是我校部分學生選題的出發(fā)點，迄今為止學生所選課題方向涵蓋了絕大部分中學階段的數學分支和數學方法(括號內為對應高中知識)，如平面幾何、解析幾何、立體幾何、抽象代數(指數方程)、模糊數學(集合論)、組合數學(數列)、圖論、不等式、代數數論、解析數論、復變函數(函數奇偶性)、機械化證明、數學建模、微積分、博弈論、貝葉斯統(tǒng)計、概率論(數學期望)、層次分析法等．

3.3 課題研究的四個層次

以下是筆者歸納的課題研究的四個層次(圖5)．

圖5 課題研究的四個層次

(1)有些學生因為學業(yè)壓力，無法在課題上投入太多時間，但他們通過選修課和科技營的講座了解到數學的意義和生活的緊密聯系，改變對數學冷漠抽象的印象，不再用“菜場算錢”來衡量數學的價值．

(2)這部分學生敢于突破課標的限制，去思考課堂內沒有講的內容，只需要教師在課堂教學中適當的引導．這樣的學生在今后的學習過程中不再唯唯諾諾，按照別人規(guī)定好的步伐前進，而是能夠建構起自己的知識體系，對自己要求更高，要知其然，知其所以然．

(3)對找到問題且動手去做的學生，他們不僅鍛煉了科研的各種能力，如文獻搜索能力，溝通表達能力，使用Latex撰寫論文、制作PPT和展板向別人展示自己的能力，而且對自己的認知更加清晰，更了解自己喜歡什么、興趣在什么方向、擅長做哪些事情，他們在填報大學志愿時比別的學生更加堅定，可謂是“明天小小科學家”(教育部某項比賽名稱)．

(4)在課題研究中獲得非常有意義的結果，這種意義不是學術上的，而是超出高中生自身水平、創(chuàng)造力的．在這個過程中可能遇到過挫折、停頓，但是經過不懈地努力學習，不斷地嘗試，最終柳暗花明又一村，這種體會就如同辛棄疾的詞句：“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處．”

在二附中大多數選擇做數學課題的學生都能達到第三層次，甚至第四層次．

3.4 指導教師的收獲

中學生的好奇心是非常強的，很多學生不滿足于解難題，我成為一名中學教師的重要原因就是希望能為他們提供一個探索未知的環(huán)境，為他們做課題研究提供助力．

在和學生討論的過程中有時我自覺知道答案，但也不直接告訴學生，讓他自己去思考，結果發(fā)現學生做得比我想得還要好，無論是結果還是方法的新穎程度都要更勝一籌．有時我因為知道的東西多反而產生了定勢思維，如前面提到的凸四邊形外接橢圓的問題，我認為射影變換在這里不適用，因為它會把圓變成雙曲線或者拋物線，但學生運用平行投影的方法很輕松地就解決了．有些學生能夠在和我討論過程就得出新的結果，但也有一些學生遲遲找不到感覺，這時我會堅定地支持他，為他提供可以嘗試的思路和小問題，但仍盡可能讓他自己去思考，就像學自行車先在后面扶一下，當車騎起來的時候就放手，而學車人仍然以為很安全，在不知不覺中就學會了騎車．

復旦附中的汪杰良老師是筆者在上海市數學業(yè)余學校讀書時的老師，他課余就經常指導學生做課題研究，本文前述的韓京俊就是汪老師的學生，他還撰寫了兩本這方面的專著：《通往國際科學“奧賽”金牌之路——數學“研究型教學”的成功實踐》《激發(fā)學生學好數學的潛能——復旦大學附屬中學學生撰寫數學小論文的實踐》，對筆者的工作啟發(fā)很大，是這方面的前輩和引路人．

和學生探討課題的過程非常愉快，有時三四個小時悄悄過去也不覺得累，當學生作出好的結論時總是由衷地感到高興．在此過程中不僅獲得了很多樂趣，學到了許多數學知識和技巧，也驚嘆于學生的創(chuàng)新能力，這是沒有做過這方面工作的人所無法體會的．

4 從宏觀角度看丘獎

丘獎的設立為中學生開辟了一條有別于競賽的新的道路，中國學生的數學知識儲備逐年提高．于是在此條件下，清華領軍計劃應運而生，這為那些真正對數學感興趣的學生鋪平了道路，不必參加高考或聯賽，可以提前進入大學學習數學，參與求真書院的各種講座活動，和世界一流數學家近距離交流．這獲得了國內眾多中學生的積極響應，由此丘先生又在中學設立丘成桐少年班，為更多低年級的天才學生提供良好的成長環(huán)境，這些舉措可謂一環(huán)扣一環(huán)，每項都落到實處，為中國數學發(fā)展的土壤澆水施肥．

丘先生在香港特別行政區(qū)設立了恒隆數學獎，在臺灣地區(qū)也設立了丘獎，他還不辭辛勞，多次到全國各地的中學舉辦講座，和中學生面對面交流，并將求真書院的學生帶回家，讓學生感受到濃濃的“家”的感覺．同時丘先生還主編了多套叢書，有國外引進的優(yōu)秀教材，也有《數學與人文》這樣的科普叢書，丘先生認為要做好的學問，要有文化的根底，不僅要讀中國古詩詞，也可以看莎士比亞，聽《浮士德》歌劇，聽貝多芬的音樂[6]．并且在本科、研究生，直到獲得教職后的每個階段，丘先生都幫助設立了各種獎項和比賽(表3)，給予莘莘學子以嚴格的要求和不斷的激勵．

表3 丘先生在各學段設立的班級、比賽、獎項和主編叢書

例如，丘成桐大學生數學競賽就希望每位學生要在本科生階段打好基礎，2021年青橙獎獲得者韋東奕就曾在多個方向的比賽中獲得金獎．而丘獎則是所有這些的起始點，它讓中學生更加勇敢地走向數學前沿，是所有后續(xù)的奠基石；同時也讓中學生的視野更為寬廣，在中學階段就產生對數學(或其他學科)的濃厚興趣．最后祝愿丘獎越辦越好，能使更多的中學生從做課題中體會到數學的快樂！