基于雙曲函數(shù)的通用型荷控憶阻器電路等效模型分析

孫軍偉 楊建領(lǐng) 劉 鵬 王延峰

(鄭州輕工業(yè)大學(xué)電氣信息工程學(xué)院 鄭州 450000)

1 引言

1971年，美國加州大學(xué)的蔡少棠(Leon O.Chua)教授[1]從數(shù)學(xué)對稱性的角度推測存在第4種無源元件，并且將其命名為憶阻器。2008年，惠普(Hewlett Packard, HP)實(shí)驗(yàn)室[2]將電阻開關(guān)元件與記憶電阻理論聯(lián)系起來，首次制作出憶阻器物理實(shí)體，掀起了憶阻器研究的熱潮。隨著技術(shù)的發(fā)展，各種材料制成的憶阻器被相繼發(fā)現(xiàn)[3–5]。如文獻(xiàn)[3]和[4]中提到的Standford-PKU模型，該模型在HfO2和HfOx / TiOx雙層器件材料中得到了驗(yàn)證。為了進(jìn)一步拓展憶阻器的應(yīng)用，提出了一種TEAM(threshold adaptive)憶阻器模型[5]。隨著對憶阻器研究的不斷深入，憶阻器所具有的低能耗、非易失性、體積小等特性逐漸被發(fā)現(xiàn)。利用這些特性，憶阻器被應(yīng)用到許多領(lǐng)域。例如：聯(lián)想記憶[6–8]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9,10]、混沌電路[11,12]、情感學(xué)習(xí)[13,14]等。但由于制作實(shí)體憶阻器條件的苛刻性，短時(shí)間內(nèi)大量制備憶阻器實(shí)體是不現(xiàn)實(shí)的。為解決此難題，研究者開始用現(xiàn)有的、可大量制備的物理元件搭建憶阻器電路模擬模型。不僅降低了制備憶阻器的成本，還有助于減少復(fù)雜環(huán)境對憶阻器產(chǎn)生的影響。

基于此，越來越多的憶阻器模擬器被實(shí)現(xiàn)。根據(jù)電路理論，憶阻器可分為磁控型和荷控型兩類。由于大多數(shù)運(yùn)算放大器、乘法器等器件容易實(shí)現(xiàn)電壓的數(shù)學(xué)運(yùn)算，且接入外部電路而不改變外部電路電氣性能，因此磁控憶阻器的電路實(shí)現(xiàn)比較容易。例如：Yu等人[15]提出了基于變?nèi)荻O管的3次磁控憶阻器模型。洪慶輝等人[16]在惠普憶阻器的基礎(chǔ)上，用基本元件搭建了磁控和荷控憶阻器等效電路。實(shí)際上，惠普實(shí)驗(yàn)室[2]制作出的第1個(gè)憶阻器實(shí)體元件是一種荷控憶阻器。相比于磁控憶阻器，荷控憶阻器較符合物理實(shí)際，較容易應(yīng)用到實(shí)際中。例如：Yang等人[17]利用惠普憶阻器模型，搭建的基于憶阻器的識別、分類以及召回電路。憶阻器具有的可塑性使其在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類腦電路的實(shí)現(xiàn)過程中具有重要意義，也是目前憶阻器最具有發(fā)展?jié)摿Φ难芯糠较?。而神?jīng)元激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中一種重要的具有上界和下界的單調(diào)可微函數(shù)，通常把雙曲正切函數(shù)作為神經(jīng)元激活函數(shù)。因此，Bao等人[18]提出了一種基于雙曲正切函數(shù)的磁控憶阻器模型，并將其應(yīng)用到Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。閔富紅等人[19]提出一種基于雙曲余弦函數(shù)的磁控憶阻器模型，并進(jìn)行了憶阻混沌電路動(dòng)力學(xué)分析。Corinto等人[20]利用二極管搭建橋式電路以及電容、電阻和電感等元件，搭建了一種雙曲函數(shù)型的荷控憶阻器模型。Barboni[21]在此基礎(chǔ)上，提出了一種雙曲正弦函數(shù)無源荷控憶阻器模擬器。但至今未有人提出實(shí)現(xiàn)多種雙曲函數(shù)的通用荷控憶阻器模型，雙曲函數(shù)型的憶阻器模型有助于拓展憶阻器在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用。因此，對荷控型憶阻器以及通用型雙曲函數(shù)憶阻器進(jìn)行研究對拓寬未來憶阻器的應(yīng)用場景具有重要意義。

本文提出一種基于雙曲函數(shù)的通用型荷控憶阻器模擬器。首先提出該憶阻器模擬器對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用運(yùn)算放大器、乘法器等元件并結(jié)合3種雙曲函數(shù)之間的特點(diǎn)，搭建出對應(yīng)的電路模型。電路模擬器主要由加減法電路、指數(shù)電路、除法電路等模塊組成。荷控憶阻器等效電路通過控制電路中開關(guān)的閉合改變接入電路中的電路模塊，分別實(shí)現(xiàn)雙曲正弦型、雙曲余弦型以及雙曲正切型的荷控憶阻器模擬器。所設(shè)計(jì)的模擬器符合記憶元件的3個(gè)本質(zhì)特性，驗(yàn)證了模型的合理性。

對比文獻(xiàn)[15,16,19–21]，本文具有以下特點(diǎn)：首先，在多種憶阻器數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出3種不同雙曲函數(shù)對應(yīng)的憶阻器數(shù)學(xué)模型。接著，根據(jù)提出的3種雙曲函數(shù)荷控憶阻器的數(shù)學(xué)模型結(jié)合荷控憶阻器電路模型的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了基于雙曲函數(shù)的荷控憶阻器電路模型。最后，結(jié)合3種雙曲函數(shù)之間的相互聯(lián)系，搭建對應(yīng)的通用型憶阻器電路模擬器模型，并對其進(jìn)行仿真驗(yàn)證。該通用型荷控憶阻器模擬器通過改變接入電路中的部分模塊，分別實(shí)現(xiàn)基于雙曲正弦、雙曲余弦以及雙曲正切函數(shù)的荷控憶阻器，拓寬了憶阻器模擬器應(yīng)用范圍。

2 雙曲荷控憶阻器數(shù)學(xué)模型

憶阻器元件分為磁控型憶阻器和荷控型憶阻器。對于荷控型憶阻器元件，其兩端的電壓和通過的電流可以表示為

M(q)代表憶阻器元件的阻值，單位為歐姆(Ω)。電荷量q(t)為荷控憶阻器元件的內(nèi)部狀態(tài)變量。本文提出了一種雙曲荷控憶阻器模型，對應(yīng)憶阻值表達(dá)式如式(2)。

其中，a,b,c,d,p均為參數(shù)，且c,d的值不同時(shí)為零，a>0，p>0。式(2)中雙曲正弦函數(shù)可以替換成雙曲余弦以及雙曲正切函數(shù)(雙曲正切函數(shù)時(shí)，不含常數(shù)p)。由電路理論知，電荷量等于電流對時(shí)間的積分，即

q(0)表示通過憶阻器電荷量的初始量，這里假設(shè)其初值為0。根據(jù)式(2)，荷控憶阻器的輸出不僅與此刻的輸入信號有關(guān)，而且與之前的輸入信號有關(guān)，體現(xiàn)了憶阻器的“記憶”特性。

為了驗(yàn)證模型的正確性，對憶阻器數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真。設(shè)輸入信號為正弦周期信號，其表達(dá)式如式(4)

圖1對應(yīng)雙曲正弦、雙曲余弦以及雙曲正切函數(shù)型的荷控憶阻器模型在給定上述參數(shù)下的伏安特性曲線。由該圖可以看出，相同參數(shù)條件下，不同雙曲函數(shù)對應(yīng)的憶阻器模型呈現(xiàn)不同的斜8字形，但圖形均位于第1、第3象限，且在原點(diǎn)處相交。當(dāng)參數(shù)b,c,d分別取不同的值時(shí)(c,d不同時(shí)為0)，對應(yīng)雙曲函數(shù)荷控憶阻器數(shù)學(xué)模型中電荷量的多項(xiàng)式也不相同。雙曲正弦、雙曲余弦以及雙曲正切函數(shù)荷控憶阻器模型在不同參數(shù)下數(shù)學(xué)模型和電路模型分別見表1—表3。

圖1 伏安特性曲線圖

表1 雙曲正弦荷控憶阻器數(shù)學(xué)模型和電路模型

表3 雙曲正切荷控憶阻器數(shù)學(xué)模型和電路模型

3 通用型雙曲荷控憶阻器電路模型

通用型雙曲函數(shù)荷控憶阻器模型的電路實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖2所示。首先，將輸入電壓信號通過電壓-電流轉(zhuǎn)換電路變成電流信號接著對產(chǎn)生的電流信號進(jìn)行積分處理，得到荷控憶阻器模型的內(nèi)部狀態(tài)變量q。接著通過函數(shù)信號產(chǎn)生電路，得到3種雙曲函數(shù)對應(yīng)的電荷量關(guān)系式，B代表放大倍數(shù)，最終得到雙曲函數(shù)荷控憶阻器模型。

圖2 通用雙曲函數(shù)荷控憶阻器模型結(jié)構(gòu)框圖

搭建的通用型雙曲荷控憶阻器等效電路模型，如圖3、圖4所示。電路中運(yùn)算放大器U1, U3, U4的型號為AD844AN，U10, U11為741運(yùn)算放大器，其他運(yùn)算放大器的型號為3354AM。T1和T2為2N2102三極管，M1-M4采用AD633JN模擬乘法器。

圖3左側(cè)為電壓-電流轉(zhuǎn)換電路，右側(cè)為模型等效電路圖。輸入電壓信號通過電壓-電流轉(zhuǎn)換電路，將電壓信號Vin變成電流信號Iout，Iout分為3路輸入模型等效電路。圖4是函數(shù)信號產(chǎn)生電路，主要作用是產(chǎn)生雙曲函數(shù)型的電荷量信號。

在圖3中的電壓-電流轉(zhuǎn)換電路中，電阻Rz6為負(fù)載電阻，在一定的允許范圍內(nèi)進(jìn)行變化。當(dāng)電路滿足Rz1=Rz3, Rz2=Rz4相等時(shí)，該電路的輸入電壓和輸出電流的關(guān)系為

圖3 雙曲荷控憶阻器模型電路圖

電流信號Iout=i，i作為模型等效電路的輸入信號。電阻R1, R2, 電容C1以及運(yùn)算放大器U1組成電流積分電路，電阻R3和運(yùn)算放大器U2組成電壓電流轉(zhuǎn)換電路，其輸入和輸出關(guān)系分別表示為式(7)和式(8)

輸出電壓信號V2=Va，Va為函數(shù)處理電路的輸入信號。函數(shù)信號產(chǎn)生電路如圖4所示。函數(shù)信號產(chǎn)生電路的作用是，切換電路中開關(guān)的閉合狀態(tài)，得到相應(yīng)的雙曲函數(shù)信號。電流信號i流經(jīng)由U3和電阻R4, R5構(gòu)成的電流-電壓轉(zhuǎn)換電路，輸出信號變成電壓信號V3，表達(dá)式為

同理，運(yùn)算放大器U4的輸出信號為V4=i·R7。M1為乘法器，其輸入信號為U3的輸出信號和函數(shù)信號產(chǎn)生電路的輸出信號Vb。輸出信號VM1為

其中，K代表乘法器M1的比例系數(shù)，取K=1(本文所有乘法器的比例系數(shù)均為1，且均用K表示)。電阻R8, R9, R10和運(yùn)算放大器U5組成反相加法器，其輸出電壓V5為

電阻R11, R12, R13以及運(yùn)算放大器U6，構(gòu)成反相放大電路，輸入和輸出的關(guān)系式為

函數(shù)信號產(chǎn)生電路如圖4所示，該部分主要完成對輸入電荷量的指數(shù)、除法、加減法等計(jì)算，產(chǎn)生最終的雙曲函數(shù)型電荷量信號。電阻R14～R17和運(yùn)算放大器U7組成反相加法電路，電阻R18, R19以及運(yùn)算放大器U8組成反相放大電路。當(dāng)開關(guān)S1和開關(guān)S2閉合，加入直流電壓源u1的值不為0時(shí)。其輸入信號和輸出信號關(guān)系為

圖4 函數(shù)信號產(chǎn)生電路

圖4中的指數(shù)電路，左側(cè)為溫度補(bǔ)償電路，右側(cè)為指數(shù)運(yùn)算電路。T1和T2是特性完全一致的三極管，C2為反饋電容。其輸入和輸出信號的關(guān)系為

UT是三極管的PN結(jié)溫度電壓當(dāng)量，一般取常溫(300 K)下為UT=26 mV。電阻R20, R21, R22，運(yùn)算放大器U9以及乘法器M3組成除法電路，完成指數(shù)信號的取倒數(shù)計(jì)算。輸入電壓和輸出電壓的關(guān)系為

反相加法電路由電阻R29-R31及運(yùn)算放大器U12組成，電阻R34-R37和運(yùn)算放大器U14組成同相減法電路，輸出表達(dá)式為式(16)

根據(jù)運(yùn)算放大器U14正負(fù)極的虛短和虛斷條件得到m和n的值為

當(dāng)開關(guān)S1, S2, S6, S7, S8, S9閉合，開關(guān)S3, S4,S5, S10斷開的時(shí)候，函數(shù)信號電路產(chǎn)生的信號為

將式(19)和式(2)進(jìn)行對比，得b,c,d的值分別為

圖4中，開關(guān)S1, S2的狀態(tài)決定了該荷控憶阻器數(shù)學(xué)模型中對應(yīng)的關(guān)于電荷量q的多項(xiàng)式。開關(guān)S3-S10的狀態(tài)決定了該通用型荷控憶阻器模型對應(yīng)的雙曲函數(shù)類型，開關(guān)的具體位置和初始狀態(tài)見圖4。下面以雙曲正弦荷控憶阻器模型為例進(jìn)行說明。當(dāng)S, S6, S7, S8, S9全部閉合，S3, S4, S5, S10全部斷開，對應(yīng)雙曲正弦荷控憶阻器模型。聯(lián)立式(8)—式(12)，式(21)得

上述為S1, S2閉合，u1不為0時(shí)，雙曲正弦荷控憶阻器對應(yīng)的電路模型公式，其他情況下雙曲正弦荷控憶阻器的數(shù)學(xué)模型和電路模型見表1。為了避免開關(guān)狀態(tài)切換過程中的誤操作，開關(guān)S3和S4,S5和S6, S7和S8以及S9和S10均設(shè)置為聯(lián)動(dòng)狀態(tài)，即同時(shí)打開(閉合)，或者保持兩個(gè)開關(guān)處于不同的狀態(tài)，開關(guān)S為常閉狀態(tài)，如圖4所示。當(dāng)S, S3, S4,S6, S9全部閉合，S5, S7, S8, S10全部斷開，電路模型為雙曲余弦荷控憶阻器；當(dāng)S3, S4, S5, S7, S8,S10全部閉合，S, S6, S9全部斷開，電路模型為雙曲正切荷控憶阻器。具體的數(shù)學(xué)模型和電路模型表達(dá)式分別見表2，表3。

表2 雙曲余弦荷控憶阻器數(shù)學(xué)模型和電路模型

表1中a,b,c,d,p,ρ均為參數(shù)，且c,d的值不同時(shí)為零，若二者同時(shí)為0，電路實(shí)現(xiàn)的是阻值固定的電阻，不再是憶阻器元件。a 的取值范圍為：a>0，且a不等于0，a若為0，電路的實(shí)現(xiàn)的是一個(gè)阻值為p的電阻。p是參數(shù)，其值只有對應(yīng)電路模型為雙曲正切荷控憶阻器模型時(shí)為0，其余情況取值均大于0。

表2中的參數(shù)需要滿足條件

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文利用Multisim14.0對搭建的電路進(jìn)行驗(yàn)證。設(shè)給定輸入電流信號i(t)=A·sin(2πft)，元件的數(shù)值設(shè)置為Rz1=Rz3=500 kΩ, R1=0.01 Ω,Rz2=Rz4=200 kΩ, Rz5=100 Ω, R2=50 kΩ,Rz6=200 Ω, R3～R7為2 kΩ，R8, R9, R11-R19均為20 kΩ，R23=15.7 kΩ, R24=1 kΩ, R25=150 kΩ，R20～R22, R27-R42均為10 kΩ，C1=250 μF，C2=100 nF，u1=0.01 V，u2=0.5 V，u3=15 V。在開關(guān)S, S1, S2, S6, S7, S8, S9全部閉合，S3, S4,S5, S10全部斷開，u1不為0時(shí)的條件下(對應(yīng)雙曲正切函數(shù)時(shí)，S斷開)，3種雙曲荷控憶阻器模型的對應(yīng)不同輸入信號幅值以及不同輸入信號頻率下的仿真結(jié)果分別如圖5—圖7所示。

圖5 雙曲正弦荷控憶阻器模型仿真圖

圖7 雙曲正切荷控憶阻器模型仿真圖

由圖5—圖7得，該雙曲函數(shù)荷控憶阻器模擬器的伏安特性曲線均呈斜8字形，且位于第1、第3象限，過坐標(biāo)原點(diǎn)。該伏安特性曲線的形狀和加入的交流電流源頻率有關(guān)，隨著頻率的升高，對應(yīng)伏安特性曲線形成的面積越小。分別對3種雙曲函數(shù)憶阻器模型取不同的幅值和頻率。加入交流電源的幅值越大，伏安特性曲線形成的面積越大。當(dāng)頻率趨于無窮大時(shí)，伏安特性曲線逐漸收縮為一條傾斜的直線，此時(shí)該模擬器也不再具有憶阻特性，而是一個(gè)定值電阻。綜上，該憶阻器模擬器符合記憶元件的3個(gè)基本特性，因此可以被認(rèn)為是一個(gè)憶阻器元件。表1—表3中其他情況下的荷控憶阻器模型均可驗(yàn)證。

5 結(jié)束語

本文將雙曲函數(shù)和荷控憶阻器模型結(jié)合起來，搭建了一種基于雙曲函數(shù)通用型荷控憶阻器模型。該模擬器可以實(shí)現(xiàn)基于雙曲正弦，雙曲余弦以及雙曲正切函數(shù)的荷控憶阻器。通過分析該模擬器在不同幅值以及不同頻率下的伏安特性曲線得出，該模擬器基本符合記憶元件的3個(gè)基本特征，由此驗(yàn)證了模擬器的正確性。所設(shè)計(jì)的通用型雙曲荷控憶阻器模擬器，將雙曲函數(shù)型的憶阻器模擬器和荷控憶阻器結(jié)合，有望使基于雙曲函數(shù)的通用型荷控憶阻器元件作為類腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元關(guān)鍵元件，大大降低了制備實(shí)體電路的難度，促進(jìn)憶阻器在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類腦電路方向的進(jìn)一步發(fā)展。