基于修正協(xié)方差近似二階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的電池荷電狀態(tài)估算*

王伯運(yùn) 何耀 鄭昕昕

（合肥工業(yè)大學(xué)，合肥 230009）

1 前言

目前，鋰離子電池荷電狀態(tài)（State Of Charge，SOC）估計(jì)方法主要有安時(shí)積分法[1]、卡爾曼濾波系列算法[2]、開路電壓法[3]、基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法[3]等。安時(shí)積分法根據(jù)電流對(duì)時(shí)間的積分進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)初始SOC 進(jìn)行SOC 的實(shí)時(shí)計(jì)算。但該方法難以獲取精確的SOC 初值，無法滿足車輛行駛過程中的實(shí)時(shí)性要求。開路電壓法的理論依據(jù)是電池在長時(shí)間靜置的條件下，開路電壓（Open Circuit Voltage，OCV）與SOC存在相對(duì)固定的函數(shù)關(guān)系[4]。精確的開路電壓獲取條件苛刻，該方法無法滿足車輛行駛過程中的實(shí)時(shí)性要求?？柭鼮V波法能給出SOC的估計(jì)值及估計(jì)誤差，同時(shí)具有收斂快、估算精度高、對(duì)SOC初值不敏感等優(yōu)點(diǎn)，因而得到廣泛應(yīng)用[5]。

目前，已有眾多學(xué)者利用卡爾曼濾波及其衍生算法估算電池SOC。崔耕韜[6]等使用擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）算法估計(jì)鋰電池SOC，在恒流放電工況下電池的SOC 估計(jì)誤差約為2.1%。周斌[7]等在二階RC 等效電路模型下利用模糊控制聯(lián)合擴(kuò)展卡爾曼濾波、安時(shí)積分和開路電壓等算法建立電池SOC 的聯(lián)合估算模型進(jìn)行估算。李巖[8]等在傳統(tǒng)的無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法基礎(chǔ)上加入球型選點(diǎn)規(guī)則，提升了算法的估算精度。胡波[9]等基于等效電路模型的遞推最小二乘法（Recursive Least Square，RLS）結(jié)合容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter，CKF）的方法提升了算法的估算精度。

相比于UKF 和CKF 算法，EKF 算法利用提前計(jì)算雅可比矩陣的方式實(shí)現(xiàn)以較低的計(jì)算壓力對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行觀測(cè)。EKF 算法在泰勒公式展開實(shí)現(xiàn)線性化的過程中將高階項(xiàng)省略，算法本身有一定缺陷，且由于測(cè)量噪聲不可控，對(duì)誤差敏感[10]。在算法迭代過程中協(xié)方差易出現(xiàn)病態(tài)，導(dǎo)致SOC 估計(jì)出現(xiàn)較大誤差。

修正協(xié)方差近似二階擴(kuò)展卡爾曼濾波（Modified Covariance Approximate Second-Order Extended Kalman Filter，MVASOEKF）算法在EKF 算法的基礎(chǔ)上，采用應(yīng)用均值變換的二階近似、方差和協(xié)方差變換一階近似[11]的方式來盡可能減小因省略高階項(xiàng)引入的誤差，且在計(jì)算過程中不斷更新計(jì)算雅可比矩陣，使協(xié)方差在更新迭代過程中漸漸收斂，減少了協(xié)方差病態(tài)問題的出現(xiàn)。因此，本文建立二階RC等效電池模型，將實(shí)測(cè)端電壓數(shù)據(jù)與等效模型數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證電池模型精度，選用MVASOEKF 算法，在MATLAB/Simulink 平臺(tái)上進(jìn)行SOC 估算，將SOC 的實(shí)測(cè)值與MVASOEKF 和EKF 算法的估計(jì)值進(jìn)行對(duì)比。

2 鋰離子電池模型

在等效電路模型[12]中，電池被視為由電阻、電容等簡(jiǎn)單的電氣元件組成的電路模型，該模型能夠很好地反映電池的外部特性，比較符合電池實(shí)際工作過程中的表現(xiàn)。常見的等效電路模型有戴維南（Thevenin）模型[13]、RC 模型[14]、新一代汽車合作伙伴計(jì)劃（The Partnership for a New Generation of Vehicles，PNGV）模型[15]和Rint 模型[16]。模型的選取要考慮模型的精度和復(fù)雜度等因素的影響，從精度、復(fù)雜度和魯棒性等多個(gè)維度對(duì)11 種等效電路模型比較的結(jié)果表明，二階RC模型是較理想的選擇[17]。

二階RC等效電池模型如圖1所示，其中R0為歐姆內(nèi)阻，R1為電池濃差極化電阻，C1為電池濃差極化電容，U1為極化電壓，R2為電池電化學(xué)極化電阻，C2為電池電化學(xué)極化電容，U2為極化電壓，UL為端電壓，Uoc為開路電壓，I為回路電流。

圖1 二階RC電池模型

由基爾霍夫電流定律可知：

由基爾霍夫電壓定律可知：

式中，Ssoc為電池荷電狀態(tài)。

3 電池模型參數(shù)識(shí)別

3.1 混合脈沖功率特性試驗(yàn)

在二階RC 模型中需要精確識(shí)別出SOC 與R0、R1、C1、R2、C2等內(nèi)部參數(shù)的關(guān)系。目前，混合動(dòng)力脈沖功率特性（Hybrid Pulse Power Characteristic，HPPC）因測(cè)量方便快捷而被廣泛使用[18-19]。本文根據(jù)美國《FreedomCAR 電池測(cè)試手冊(cè)》[20]中的規(guī)定進(jìn)行混合脈沖功率特性試驗(yàn)對(duì)電池參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。試驗(yàn)采用1 C 的脈沖充放電電流，先放電10 s，之后靜置40 s，再充電10 s，最后靜置。使用的Panasonic-18650 鋰離子電池參數(shù)如表1 所示，通過分析試驗(yàn)得到的電壓波形圖辨識(shí)出電池內(nèi)部參數(shù)。圖2所示為Ssoc=0.5時(shí)HPPC脈沖電流與電壓變化曲線。

表1 Panasonic-18650電池參數(shù)

圖2 HPPC脈沖電流與電壓變化曲線

3.2 模型參數(shù)識(shí)別

3.2.1 SOC與開路電壓的關(guān)系

在每次試驗(yàn)放電結(jié)束后將電池靜置2 h，靜置后的電壓可視為電池的開路電壓，記錄每次脈沖放電試驗(yàn)后的SOC與其對(duì)應(yīng)的開路電壓，如表2所示，再利用MATLAB 擬合工具擬合出二者的關(guān)系曲線如圖3所示，其關(guān)系式為：

表2 SOC與OCV的關(guān)系

圖3 OCV-SOC擬合曲線

3.2.2 內(nèi)阻R0辨識(shí)

在充放電開始和停止瞬間，鋰電池端電壓會(huì)發(fā)生突變，是由歐姆內(nèi)阻R0造成的?？梢赃x取兩電壓差的均值與電流的比值作為內(nèi)阻R0：

式中，UA、UB、UC、UD分別為圖2b 中A、B、C、D點(diǎn)的電壓。

3.2.3 極化電容與極化電阻辨識(shí)

在圖2 中B點(diǎn)到C點(diǎn)所在時(shí)刻之間，鋰電池端電壓從UB平滑過渡到UC，這是由2 個(gè)RC 電路造成的，在此時(shí)間段極化電容存在緩慢充電的過程，極化電容兩端的電壓呈現(xiàn)指數(shù)增長，從而導(dǎo)致端電壓出現(xiàn)明顯下降。

從D點(diǎn)到E點(diǎn)所在時(shí)刻電池處于靜置狀態(tài)，此階段下的二階RC 電路可以視為零輸入響應(yīng)。對(duì)電路進(jìn)行時(shí)域分析，可以得到端電壓UL與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系：

式中，τ1=R1C1、τ2=R2C2分別為2 個(gè)RC 電路中的時(shí)間常數(shù)。

將D點(diǎn)到E點(diǎn)所在時(shí)刻期間的回彈電壓與時(shí)間t的關(guān)系曲線通過MATLAB 中的擬合工具箱中的自定義二階指數(shù)函數(shù)擬合，擬合結(jié)果為：

式中，H、G、K、h、g為擬合曲線的待定系數(shù)。

將式（5）與式（6）聯(lián)立相等可以得到電池模型內(nèi)部參數(shù)：

由此，利用上述辨識(shí)方法，可以確定電池模型在不同SOC點(diǎn)處的內(nèi)部參數(shù)，如表3所示。

表3 不同SOC點(diǎn)處電池內(nèi)部參數(shù)

4 MVASOEKF算法

非線性離散系統(tǒng)由狀態(tài)方程和觀測(cè)方程組成，系統(tǒng)公式分別為：

式中，xk為k時(shí)刻的狀態(tài)量；uk為系統(tǒng)k時(shí)刻的輸入量；yk為k時(shí)刻的系統(tǒng)觀測(cè)量；wk-1、vk分別為(k-1)時(shí)刻均值為0 的過程噪聲和k時(shí)刻均值為0 的測(cè)量噪聲，且兩者互不相關(guān)：

式中，Qk、Rk分別為k時(shí)刻過程噪聲的協(xié)方差矩陣和測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣；E[X]為隨機(jī)變數(shù)X的期望值。

在每一個(gè)時(shí)刻，利用一階泰勒展開法將f(xk-1,uk-1)和g(xk,uk)線性化：

結(jié)合式（11）、式（12）、式（14）、式（15），可以得到非線性系統(tǒng)線性化后的表達(dá)式：

MVASOEKF算法的具體流程如下：

a.初始化階段

式中，為0 時(shí)刻的狀態(tài)變量修正值初值；P0|0為0時(shí)刻預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣初值；x0為0 時(shí)刻的狀態(tài)量初值；Var(x0)為變量x0的方差。

b.預(yù)測(cè)階段

計(jì)算狀態(tài)方程雅可比矩陣Ak為：

狀態(tài)變量預(yù)測(cè)值|k-1為：

狀態(tài)變量預(yù)測(cè)值誤差協(xié)方差矩陣Pk|k-1為：

式中，Pk|k-1為(k-1)時(shí)刻的狀態(tài)變量修正誤差協(xié)方差矩陣。

c.狀態(tài)更新修正階段

觀測(cè)方程雅可比矩陣為：

卡爾曼濾波增益矩陣為：

狀態(tài)變量值為：

d.二次狀態(tài)修正更新階段

重新計(jì)算觀測(cè)方程的雅可比矩陣Ck為：

重新計(jì)算卡爾曼濾波增益矩陣Kk為：

狀態(tài)變量修正誤差協(xié)方差矩陣Pk|k為：

式中，E為單位矩陣。

狀態(tài)變量修正值|k為：

MVASOEKF 算法以電池的SOC、電容C1、C2兩端的電壓U1、U2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，以電流I作為輸入量、電池端電壓UL作為觀測(cè)量，根據(jù)式（1）、式（2）和安時(shí)積分表達(dá)式建立電池模型狀態(tài)空間方程：

式中，Cn為電池額定容量。

電池觀測(cè)方程為：

將式（28）、式（29）進(jìn)行離散化處理后的狀態(tài)方程為：

式中，Ts為采樣周期；I(k)為k時(shí)刻的電流。

輸出方程為：

綜合式（30）、式（31）可得空間方程為：

記MVASOEKF算法相關(guān)矩陣為：

式中，Xk為狀態(tài)變量矩陣；Bk為輸入矩陣。

5 驗(yàn)證試驗(yàn)與結(jié)果

5.1 驗(yàn)證試驗(yàn)

依據(jù)MVASOEKF 原理以及電池辨識(shí)的參數(shù)，建立等效電池模型和SOC 估算模型。將實(shí)測(cè)的端電壓數(shù)據(jù)與等效模型數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比以驗(yàn)證電池模型精度；將實(shí)測(cè)的SOC 值與采用MVASOEKF 和EKF算法的SOC 估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木_度。本文使用Panasonic-18650鋰離子電池，電池參數(shù)性能見表1。

5.2 試驗(yàn)結(jié)果

5.2.1 電池模型精度驗(yàn)證

本文采用北京公交動(dòng)態(tài)測(cè)試（Beijing Bus Dynamic Stress Test，BBDST）工況對(duì)模型進(jìn)行精度測(cè)試，該工況是對(duì)北京公交車起步、加速、滑行、制動(dòng)、急加速、停車等各環(huán)節(jié)中的電池組數(shù)據(jù)采集后進(jìn)行處理所得到的[21]。此工況數(shù)據(jù)為整個(gè)電池包的數(shù)據(jù)，本文的研究對(duì)象為鋰離子電池單體，故需要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)工況功率按比例縮小，BBDST工況試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 BBDST工況數(shù)據(jù)

BBDST工況試驗(yàn)電池等效模型估計(jì)值及誤差如圖5所示，從圖5中可以看出，二階RC等效電池模型可以將絕對(duì)誤差整體控制在50 mV以內(nèi)，并且電池模型估計(jì)誤差峰值只會(huì)出現(xiàn)在高電壓和低電壓時(shí)刻，即高SOC 和低SOC 狀態(tài)。當(dāng)SOC 在0～10%和90%～100%的范圍內(nèi)時(shí)，電池模型的估計(jì)輸出電壓會(huì)出現(xiàn)較大偏差，并出現(xiàn)估計(jì)誤差的峰值，但是新能源汽車鋰離子電池的實(shí)際工作范圍一般為10%～90%，因此所建立的等效電池模型可以滿足電動(dòng)汽車的要求。

圖5 電池等效模型估計(jì)值及誤差

5.2.2 MVASOEKF算法驗(yàn)證

MVASOEFK 與EKF 算法初始參數(shù)設(shè)為P0|0=diag(0.04,0.04,0.04)，測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣R0=[0.8]，過程噪聲的協(xié)方差矩陣Q0=diag(10-4,10-4,10-4)。圖6、圖7 所示分別為電池SOC 初值為0.98 和0.70 時(shí)BBDST工況下的電池SOC估算結(jié)果。

圖6 初始SOC為0.98時(shí)的估算值及誤差

圖7 初始SOC為0.70時(shí)的估算值及誤差

由圖6 可知，當(dāng)SOC 的初值確定時(shí)（Ssoc=0.98），在RC 二階電池模型下，MVASOEKF 與EKF 算法都能夠與真實(shí)SOC 變換趨勢(shì)一致，在第2 000 s 前SOC誤差會(huì)出現(xiàn)峰值，這是由等效二階電池模型在SOC為100%到90%之間時(shí)的估算誤差引起的。

由圖7可知，在SOC 的初值不確定的情況下，即算法初始設(shè)定值（Ssoc=0.7）與實(shí)際電池SOC 有明顯差異時(shí)，以絕對(duì)誤差值5%為標(biāo)準(zhǔn)，EKF、MVASOEKF算法都可以在一定時(shí)間內(nèi)使SOC 估算值逼近真實(shí)值，MVASOEKF 算法約需20 s，EKF 算法約需200 s，這說明MVASOEKF 算法具有更強(qiáng)的收斂性。在解決初值誤差和電池模型誤差問題后，EKF 算法的平均絕對(duì)誤差在2.0%左右，MVASOEKF 算法的平均絕對(duì)誤差在0.5%左右。

為了更加清楚地評(píng)價(jià)2種SOC 估計(jì)算法的精度與可靠性，本文采用平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error，MAE）、平均相對(duì)誤差（Mean Relative Error，MRE）、均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）3種指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果如表4、表5所示。

表4 初始SOC為0.98時(shí)不同算法下的估算精度 %

表5 初始SOC為0.70時(shí)不同算法下的估算精度 %

由表4、表5 可知，相比于EKF 算法，MVASOEKF 算法的MAE、MRE 和RMSE 值都更小，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來看，MVASOEKF 算法模型具有更高的精度和可靠性。

綜上所述，MVASOEKF 算法具有更快的收斂性，更高的估算精度和更強(qiáng)的魯棒性。

6 結(jié)束語

本文首先建立二階RC 等效電路模型，并利用SOC的安時(shí)積分表達(dá)式和戴維南定理建立電池狀態(tài)空間方程，最后通過MVASOEKF 算法估算電池的SOC。電池模型的參數(shù)通過MATLAB 中的擬合工具和混合脈沖功率特性試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行離線對(duì)比擬合辨識(shí)，確保數(shù)據(jù)的可靠性。MVASOEKF 算法利用近似二階的擴(kuò)展卡爾曼濾波法減少因非線性變換中忽略高階泰勒項(xiàng)而引入的SOC 估算誤差，并且通過修正更新協(xié)方差的方式解決了在迭代過程中協(xié)方差易出現(xiàn)病態(tài)的問題。MVASOEKF 與EKF 算法相比，雖增加了一定的計(jì)算量，但是SOC 估計(jì)準(zhǔn)確度有了明顯改善，并且收斂性與魯棒性更好。