基于自然想法·融入數(shù)學史實·揭示數(shù)學本質(zhì)

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃課題——基于大單元教學的高中數(shù)學章節(jié)教學設計的研究（D/2021/02/713）.

作者簡介：李昌（1972— ），男，正高級教師，主要從事高中數(shù)學教學研究.

摘? 要：在課程體系中，離心率是圓錐曲線的幾何性質(zhì)，這容易讓學生誤認為定義離心率的邏輯起點是圓錐曲線的標準方程. 基于形狀刻畫功能定義的橢圓的離心率也與學生的直觀認知存在差異. 這些都為橢圓離心率的教學提供了空間和可能. 為此給出了利用圖形直觀形成自然想法、融入數(shù)學史實實現(xiàn)概念接納、在伸縮變換中理解離心率相等與形狀一致的關系、在代數(shù)變形中揭示數(shù)學本質(zhì)的教學路徑，并對此教學進行了深刻思考.

關鍵詞：橢圓；離心率；概念教學；數(shù)學史實

一、問題提出

離心率是圓錐曲線的核心概念，具有以數(shù)驅(qū)形的作用，既能統(tǒng)一橢圓、雙曲線和拋物線的定義和方程，又能區(qū)分它們的類型；既能定量刻畫圓錐曲線的形狀，又能溝通同一曲線不同定義間的聯(lián)系. 在高中數(shù)學課程體系中，離心率是圓錐曲線的幾何性質(zhì)，編排在標準方程之后，以體現(xiàn)解析幾何用方程研究曲線性質(zhì)的路徑和特點. 有些學生因此誤認為圓錐曲線的標準方程是離心率的上位概念和定義離心率的邏輯起點.

教學實踐中，學生通過觀察和比較橢圓的圖形就能直觀地看出長軸相同短軸越短或者短軸相同長軸越長的橢圓越扁平，就自然形成了用[ba]刻畫橢圓扁平程度的想法. 學生的自然想法與橢圓離心率的定義之間有一定的差異. 若僅從形狀刻畫功能來建立和理解橢圓離心率的概念，則難以兼顧學生的直觀認知，也容易使概念教學落入直接告知的窠臼.

筆者認為，這種差異和學生的誤解為橢圓離心率的教學提供了廣闊的空間. 為了使學生真正體會到人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）的腳注“雖然[ba]也能刻畫橢圓的扁平程度，但[ca]不僅能有效刻畫兩個焦點離開中心的程度，而且還蘊含著圓錐曲線幾何特征的統(tǒng)一性”的深刻內(nèi)涵. 筆者進行了如下教學與思考，期望得到大家的批評和指正.

二、教學路徑

1. 利用圖形直觀，形成自然想法

師：觀察圖1中三個橢圓的形狀，容易發(fā)現(xiàn)它們的形狀從外到內(nèi)越來越扁平，用什么圖形可以直觀地描述橢圓的扁平程度呢？

[圖1]

生1：可以用橢圓的外切矩形來描述. 如圖2，從外到內(nèi)，三個橢圓的外切矩形的長相同，寬越來越小，矩形也就越來越狹長，而橢圓也就越來越扁平.

[圖2]

師：如圖3，如果橢圓的長軸和短軸各不相同，如何比較它們的扁平程度呢？

[圖3][C1][C2][C3]

生2：用它們外切矩形的寬與長的比值[ba]來比較，比值越小橢圓越扁平，比值越大橢圓越接近于圓.

師：橢圓的外切矩形恰好框定了橢圓，其寬與長的比值既能刻畫自身的狹長程度，也能表示橢圓的扁平程度. 這種想法自然直觀，也與以直代曲的一般觀念相符.

【評析】基于以直代曲的一般觀念，用橢圓外切矩形的形狀代替橢圓的形狀，形成用[ba]刻畫橢圓形狀的自然想法，既奠定了建構橢圓離心率的認知基礎，又引發(fā)了學生的認知沖突，為后續(xù)融入數(shù)學史實創(chuàng)造了時機.

2. 融入數(shù)學史實，自然接納概念

師：在我們看來，用[ba]表示橢圓形狀的想法自然且直觀，但教材中用的卻是[ca]，并稱之為離心率[e]，那么[e]和[ba]有聯(lián)系嗎？[e]的數(shù)值與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？

生3：[e=1-ba2]. 當[e]接近于1時，[ba]接近于0，橢圓越扁；當[e]接近于0時，[ba]接近于1，橢圓接近于圓.

師：由此可見，在刻畫橢圓形狀的功能上，[ca]和[ba]沒有本質(zhì)區(qū)別. 那么，為什么不用[ba]而用[ca]呢？這要從數(shù)學史中尋找答案.

師生一起回顧橢圓離心率的數(shù)學史實.

圓錐曲線起源于古希臘時代圓錐面的截線，阿波羅尼奧斯是研究圓錐曲線的集大成者，在他之后的13個世紀里，人們對圓錐曲線的研究沒有什么新的進展. 直到16世紀，德國天文學家開普勒繼承了哥白尼的日心說，揭示了太陽系的行星是在以太陽為焦點的橢圓軌道上運行的事實. 他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點，并指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點. 他還發(fā)現(xiàn)只需恰當?shù)匾苿咏裹c就能把橢圓、雙曲線和拋物線從其中的一類連續(xù)地變化為另一類. 離心率的概念最早由開普勒于1604年在《新天文學》中提出，但沒有詳細介紹為什么用[ca]來定義離心率. 有學者從數(shù)學發(fā)生發(fā)展的角度推測，是為了研究行星運行的橢圓軌道與太陽的偏離程度而引入離心率的概念. 由于行星和太陽之間的距離既受軌道形狀的影響，又受軌道大小的影響，因此不能用最近和最遠距離來表示偏離程度. 經(jīng)過嘗試，發(fā)現(xiàn)[a+c-a-ca+c+a-c]的值[ca]能很好地刻畫橢圓的扁平程度，且與橢圓的大小無關，因此將其定義為偏心率，即數(shù)學上的離心率.

由上可見，17世紀的開普勒定義橢圓離心率的依據(jù)并不是橢圓的標準方程. 在數(shù)學發(fā)展史中，建立橢圓標準方程的時間比定義橢圓離心率的時間晚了200多年. 橢圓的標準方程[x2a2+y2b2=1 a>b>0]首次出現(xiàn)于19世紀英國數(shù)學家賴特的《圓錐曲線及其他曲線的代數(shù)體系》一文中. 而在17世紀以前，對橢圓的研究基本上停留在阿波羅尼奧斯的演繹幾何上. 17世紀法國數(shù)學家費馬在《平面與立體軌跡引論》中依據(jù)古希臘人的原始定義，用方程[a2-x2=ky2 k>0，k≠1]表示橢圓. 18世紀初，法國數(shù)學家洛必達在《圓錐曲線分析》中拋棄了原始定義，依據(jù)蒙特給出的軌跡定義推導出橢圓的方程為[y2=b2a2a2-x2]. 19世紀美國數(shù)學家柯芬給出的橢圓的方程是[a2y2+b2x2=a2b2]. 由此可見，用橢圓標準方程中的[ba]來刻畫橢圓扁平程度的想法與數(shù)學發(fā)生發(fā)展的歷史順序不符.

【評析】回顧有關橢圓離心率的數(shù)學史實，學生能明白離心率具有天文學上的淵源，能體會到圓錐曲線研究與運用的廣泛性. 對比橢圓方程和離心率出現(xiàn)的時間節(jié)點，學生就能明白標準方程不是定義離心率的邏輯起點，自然放棄用[ba]刻畫橢圓形狀的想法，接納離心率的概念. 對比形式各異的橢圓方程，學生能發(fā)現(xiàn)雖然它們實質(zhì)相同，但只有標準方程才是簡潔美、和諧美和對稱美的集中體現(xiàn).

3. 運用伸縮變換，理解形狀相同

師：先觀察圖3中三個橢圓[C1，C2，C3]的扁平程度，再根據(jù)它們的標準方程[x214+y212=1， x28+y22=1，][x24+y2=1]分別計算離心率，以此驗證觀察的結果.

生4：可以看出[C1]比[C2]和[C3]更圓，但難以分辨[C2]和[C3]形狀上的差異，計算離心率得[e1=77，e2=e3=32]，這驗證了觀察結果，也表明[C2]和[C3]的形狀相同.

師：你能根據(jù)[C2]和[C3]方程上的特征，歸納離心率相同的橢圓在標準方程上的聯(lián)系嗎？

生4：在它們的標準方程中，[a2]和[b2]對應成比例.

師：也就是說，在標準方程中，未知數(shù)[x2]和[y2]的系數(shù)對應成比例. 那么，能從幾何變換的視角來看待系數(shù)對應成比例的兩個方程表示的曲線嗎？以圖3中的[C2，C3]為例進行說明.

生5：把曲線[x24+y2=1]上每一點的橫坐標和縱坐標同時擴大為原來的[2]倍即得曲線[x28+y22=1]，因為伸縮變換不改變圖形的形狀，只改變圖形的大小，所以橢圓[C2]與[C3]形狀相同.

師：很好！在前面的學習中，我們在[Rt△BFO]中用勾股定理來表示橢圓標準方程中[a，b，c]的關系，并稱[Rt△BFO]為橢圓的特征三角形，如圖4所示. 你能用特征三角形中的邊角關系表示橢圓的離心率嗎？

[圖4][F][O][x][y][B][a][α][c]

生6：在[Rt△BFO]中，[FOBF=cos∠BFO]，即離心率[e=cos∠BFO].

師：這樣一來，橢圓的離心率[e]就轉化成[∠BFO]的余弦值了. 若設[∠BFO=α]，則銳角[α]的大小、離心率[e]的數(shù)值和橢圓形狀三者間有何關系？

生7：當銳角[α]越大時[e]越小，橢圓越接近于圓；當[α]越小時[e]越大，橢圓越扁平.

師：我們在離心率的概念和一個特殊的銳角[α]之間建立了對應關系，由銳角[α]張口的開闊程度能聯(lián)想到橢圓的扁平程度. 在學習中，為了建立和理解概念，尤其對于抽象程度高的概念，我們經(jīng)常為其賦予某個具體圖形，或者使其與某種生活情境建立聯(lián)系，這樣的圖形和情境被稱為概念的具象. 此處的銳角[α]就是離心率[e]的具象. 由于銳角[α]還可以看作直線[FB]的傾斜角，因此離心率[e]的具象還可以是一條特殊直線的傾斜角. 一般地，為一個概念建立的具象越多，對這個概念的理解就越深刻.

【評析】由形到數(shù)、由具體到抽象逐步引導學生理解橢圓離心率的形狀刻畫功能. 對橢圓形狀的觀察、比較及對離心率的計算，能促進學生對離心率刻畫功能的感性理解. 從幾何變換的視角理解離心率相等與橢圓形狀相同之間的關系，為枯燥的數(shù)量關系賦予了動態(tài)的變化過程. 為離心率建立的具象，實現(xiàn)了離心率概念的可視化，促進了學生的理解向縱深發(fā)展.

4. 運用代數(shù)變形，揭示數(shù)學本質(zhì)

師：在推導橢圓標準方程的過程中，有等式[ax-c2+y2=a2-cx]，觀察其幾何意義，思考橢圓定義中的距離及其運算的變化情況.

生8：橢圓上的動點[Px，y]到左焦點的距離消失了，距離的和也隨之消失.

師：現(xiàn)在保留動點到右焦點的距離，以出現(xiàn)[ca]為變形目標，把上述等式變形為[x-c2+y2=a2-cxa=][caa2c-x]. 能否將括號中的[a2c-x]也看作橢圓上的動點[Px，y]到某種幾何元素的距離？若能，可以看作點[Px，y]到哪種幾何元素的距離？

生9：一定不是兩點間的距離，因為兩點間的距離公式中有縱坐標的差.

師：能看作動點[Px，y]到直線的距離嗎？若能，此直線具有怎樣的特征？

生10：可以看作動點[Px，y]到垂直于[x]軸的直線[x=a2c]的距離. 因為[a>c]，點[Px，y]在橢圓上，有[x≤ a]，所以[x-a2c=a2c-x].

師：這就使得消失的距離再次出現(xiàn)，能否使消失的運算也再次出現(xiàn)，并使運算結果等于[ca]？

生11：在等式兩端同除以[a2c-x]，得[x-c2+y2a2c-x=ca].

師：這個等式有什么幾何意義？

生12：動點[Px，y]到橢圓右焦點的距離與它到直線[x=a2c]的距離的比值等于橢圓的離心率[e].

師：由此看出，離心率還反映了橢圓上的點在運動過程中保持了距離比值的不變性. 這是教材中一些例題、習題和探究的結論，也稱為橢圓的第二定義，這也是天文學家開普勒定義橢圓離心率的依據(jù).

【評析】以化簡橢圓標準方程過程中的等式為變形起點，以距離及其運算的變化為觀察要素，以出現(xiàn)[ca]為變形目標，從距離的視角探尋[a2c-x]的幾何意義. 在此過程中，把橢圓離心率的概念從刻畫形狀的功能化定義深化為更本質(zhì)的橢圓的第二定義，凸顯了離心率對兩種定義的溝通和聯(lián)結作用，深化了對離心率的本質(zhì)理解.

三、思考

1. 學生的自然想法是多種思維活動的自然匯聚

數(shù)學是自然的，自然之處在于思想和想法的自然. 用[ba]刻畫橢圓形狀的想法，是研究方法的自然延續(xù)和數(shù)學思維的主動參與，蘊含了一般觀念的思維引領. 首先，是解析幾何研究方法的自覺運用. 因為學生要經(jīng)歷觀察圖形形狀、獲得幾何特征、利用代數(shù)方程論證的思維過程. 其次，是以直代曲觀念的自然運用. 因為學生還沒有研究曲線型圖形形狀的經(jīng)驗，這是研究直線型圖形形狀的經(jīng)驗和方法的正向遷移和自然運用，也是一種潛意識的驅(qū)動和結果，體現(xiàn)了無形思想向有形技法的自然轉化. 最后，是化歸思想的自然運用. 學生在前面的學習中已經(jīng)知道把圓[x2+y2=a2]上點的縱坐標壓縮為原來的[k 0

學生的自然想法對于概念的形成和理解雖然有促進作用，但是數(shù)學教學卻不能停留在學生的自然想法上止步不前. 因此，本文的教學先依托學生的直觀認知形成自然的想法，再建立[ba]和[ca]在刻畫橢圓形狀上的等價性，最后融入數(shù)學史實，使學生在認知上實現(xiàn)了從[ba]到[ca]的自然接納. 這既順應了學生的自然想法，又實現(xiàn)了離心率概念的意義建構.

2. 建立離心率的具象可以促進對概念的深刻理解

以“率”命名的數(shù)學概念，如斜率、平均變化率、瞬時變化率和概率等都是用比值來刻畫某種數(shù)學量或數(shù)學關系的. 因為其抽象程度高，所以通常借助概念原型促進概念形成并深化概念理解. 橢圓的離心率定義為兩條線段的比值，由于這兩條線段在位置上處于局部重合的狀態(tài)，其幾何意義不明顯，不便于直接作為離心率的概念原型，故在教學中，將這兩條線段的比值轉化為橢圓的特征三角形的邊長之比，這樣就可以用橢圓的特征三角形的內(nèi)角或者特征三角形斜邊的傾斜角來表示橢圓的離心率. 開口角度的大與小會給人帶來視覺上的寬與窄的感覺. 因此，一個特殊的角就成了橢圓離心率的概念具象，這便于學生理解橢圓離心率的形狀刻畫功能.

3. 數(shù)學史表明標準方程不是離心率的邏輯起點

教學內(nèi)容在教材中的編排順序和數(shù)學思想方法的內(nèi)涵都要遵循嚴謹?shù)倪壿嬻w系，并符合學生的認知發(fā)展規(guī)律. 然而，數(shù)學的發(fā)展卻并不完全遵從邏輯的推演. 認知發(fā)展的歷史相似性表明，個體對數(shù)學知識的理解遵循數(shù)學思想的歷史發(fā)展順序. 因此，數(shù)學教學不能完全依靠邏輯推演的方式來實現(xiàn). 這要求教師既要從整體上分析內(nèi)容的結構體系，體會知識間的內(nèi)在聯(lián)系，深入理解概念的內(nèi)涵，又要在細節(jié)之處挖掘概念要義，感悟數(shù)學思想方法. 只有這樣，才能對所教內(nèi)容進行適當?shù)慕虒W法加工，才能讓學生對所學的知識既看得清它是這樣的而不是那樣的，又看得透它為什么是這樣的而不是那樣的. 教學中，通過回顧橢圓離心率的數(shù)學史實，梳理橢圓方程的演進歷史，學生自然就能明白橢圓的標準方程既不是離心率的上位概念，也不是定義離心率的邏輯起點，也就能感悟到橢圓離心率的定義中必然蘊含了更加深刻的內(nèi)涵，有待在學習中進一步挖掘.

4. 建立本質(zhì)聯(lián)系，提供認識圓錐曲線的新路徑

離心率雖然是人們?yōu)檠芯繄A錐曲線的性質(zhì)而提出的概念，但卻是伴隨圓錐曲線的產(chǎn)生而產(chǎn)生的性質(zhì)，體現(xiàn)了圓錐曲線的精華. 從學生的視角來看，如果僅是為了刻畫橢圓的形狀，那么利用標準方程中的[ba]就夠了，因為標準方程具有快速顯形的作用. 因此，只有讓學生真切地感受到[ca]特有的“好處”，才能實現(xiàn)對橢圓離心率概念的自然接納和深刻理解. 本文設置的揭示橢圓離心率與橢圓軌跡定義間內(nèi)在聯(lián)系的探究活動，目的是讓學生看到離心率還具有溝通橢圓不同定義的獨特功能，讓學生感受到離心率是研究和表達橢圓性質(zhì)的途徑. 實際上，對于像離心率這樣的核心概念，只有將其在單元知識體系中的凝聚作用展現(xiàn)出來，才能使其成為建構知識體系的邏輯線索，從而發(fā)揮其對知識體系的建構作用和對學生認知發(fā)展的促進作用.

參考文獻：

［1］袁丹鳳，徐章韜. 微言要義之離心率［J］. 數(shù)學通訊，2018（18）：1-3.

［2］徐章韜. 中學數(shù)學教材核心內(nèi)容分析：經(jīng)驗型面向教學的數(shù)學知識［M］. 北京：科學出版社，2022.

［3］鮑建生，周超. 數(shù)學學習的心理基礎與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.