NURBS曲線反算不同參數(shù)取值法在緯平針織物仿真中的比較

常辰玉，盧致文,2，劉 鋒，古皎霞，宋文芯

(1.太原理工大學(xué) 輕紡工程學(xué)院，山西 晉中 030600； 2.安徽省天助紡織科技集團(tuán)股份有限公司，安徽 阜陽 236000)

緯編針織物的三維仿真對(duì)降低生產(chǎn)成本、加快生產(chǎn)效率和提高生產(chǎn)質(zhì)量等均具有重要的現(xiàn)實(shí)研究意義，建立合理通用的緯編針織物三維結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行織物實(shí)體仿真的基礎(chǔ)[1]。緯編針織物從二維走向三維線圈建模的進(jìn)程中構(gòu)建了許多的仿真模型，主要分為基于皮爾斯(Pierce)模型、基于分段函數(shù)和基于樣條曲線3種方法[2]。

Pierce線圈模型使用最早且應(yīng)用廣泛，是較經(jīng)典和基礎(chǔ)的模型，其使用圓柱表示的圈柱連接半圓環(huán)表示的針編弧和沉降弧，結(jié)構(gòu)較理想化，為后續(xù)模型的研究與建立提供了基礎(chǔ)[3]；利夫(Leaf)模型得到了線圈長(zhǎng)度和線圈密度之間的關(guān)系[4]；芒登(Munden)模型得到了線圈長(zhǎng)度和織物尺寸之間的關(guān)系[5]。基于Pierce模型的線圈建模方法簡(jiǎn)單有效，但其本質(zhì)還是二維線圈模型，三維立體效果較弱。

為了增強(qiáng)線圈結(jié)構(gòu)模型的三維立體效果，基于分段函數(shù)的建模方法開始被提出。Kurbak等[6]將線圈根據(jù)不同部位進(jìn)行分割，每段都有其對(duì)應(yīng)函數(shù)。為了貼近織物幾何結(jié)構(gòu)的真實(shí)形態(tài)，分段函數(shù)往往比較復(fù)雜?；诜侄魏瘮?shù)建立的線圈模型在一定程度上能夠體現(xiàn)線圈的三維立體效果，但控制線圈彎曲變形部位時(shí)比較復(fù)雜困難，而且不能靈活地控制線圈走向，無法很好地適應(yīng)緯編針織物線圈變形的需求。

貝塞爾(Bezier)曲線具有數(shù)據(jù)點(diǎn)控制曲線和靈活調(diào)整曲線等很多優(yōu)點(diǎn)，但是當(dāng)改變其中某一個(gè)控制點(diǎn)時(shí)，整條曲線都會(huì)發(fā)生變化，不利于對(duì)線圈結(jié)構(gòu)的控制[7]；B樣條曲線是由任意數(shù)量的曲線段組成的、分段定義的整條曲線，具有多種優(yōu)良性質(zhì)，并且改變一個(gè)控制點(diǎn)并不影響其他曲線段的形狀，完全有效地控制了Bezier曲線存在的弊端；非均勻有理B樣條(NURBS)曲線在保留了B樣條曲線描述自由型形狀的優(yōu)點(diǎn)上，統(tǒng)一了Bezier曲線和B樣條曲線表達(dá)曲線弧的能力，而且還引入權(quán)因子用于調(diào)整曲線形狀[8]。樣條曲線提供統(tǒng)一的表達(dá)形式且計(jì)算穩(wěn)定，模擬精確且控制靈活，更加適于針織物中線圈結(jié)構(gòu)的控制。叢洪蓮等[9]、張麗哲等[10]和沙莎等[11]都基于NURBS曲線原理采用型值點(diǎn)中間添加輔助點(diǎn)共同代替控制點(diǎn)的方法控制針織物空間路徑；蒙冉菊等[12]、汝欣等[13]和楊恩惠等[14]利用NURBS曲線、采用弦長(zhǎng)參數(shù)化法確定節(jié)點(diǎn)矢量、使用型值點(diǎn)反算控制點(diǎn)擬合曲線建立針織物結(jié)構(gòu)形態(tài)。

本文在分析了緯平針織物幾何結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)化并進(jìn)行合理假設(shè)，使用改進(jìn)的成圈線圈模型組成緯平針組織三維結(jié)構(gòu)模型。基于NURBS曲線原理，采用均勻參數(shù)化法、弦長(zhǎng)參數(shù)化法和向心參數(shù)化法分別確定節(jié)點(diǎn)矢量，使用切矢邊界條件，取定合適的權(quán)因子，反算控制點(diǎn)，然后擬合曲線模擬線圈中心線路徑；探究使用不同節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算方法時(shí)，線圈中心線結(jié)構(gòu)的模擬效果，以期當(dāng)使用線圈中心線型值點(diǎn)反算控制點(diǎn)時(shí)，采用合適的計(jì)算方法確定節(jié)點(diǎn)矢量，對(duì)線圈中心線進(jìn)行三維仿真。最后使用NURBS曲面模擬緯平針組織紗線表面，通過加入光照與材質(zhì)增強(qiáng)織物的立體感，實(shí)現(xiàn)緯平針組織的三維仿真。

1 緯平針組織三維模型的建立

線圈是針織物的基本結(jié)構(gòu)單元，要建立緯平針組織的三維結(jié)構(gòu)模型，首先需要得到緯平針組織線圈的三維立體模型，通過線圈組合與連接形成緯平針組織三維結(jié)構(gòu)模型。

1.1 成圈線圈三維模型

成圈線圈的幾何結(jié)構(gòu)是左右對(duì)稱的，其左半部分又關(guān)于中心對(duì)稱，因此可以對(duì)成圈線圈進(jìn)行分解，成圈線圈分解如圖1中點(diǎn)段式虛線所示。

圖1 成圈線圈三維模型三視圖Fig.1 Knit loop 3D model. (a)Vertical view; (b)Left view; (c)Front View

根據(jù)成圈線圈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過緯平針織物中成圈線圈紗線走向，以及交織點(diǎn)和型值點(diǎn)表示位置，得到如圖1所示的成圈線圈三維模型三視圖。在線圈的相互嵌套處設(shè)置交織點(diǎn)[15]，如圖1中圓點(diǎn)B1和B2標(biāo)識(shí)處所示，線圈的上下部分各有1個(gè)交織點(diǎn)，分別表示該線圈與上下1行相應(yīng)線圈相互嵌套的位置；在線圈中心線上設(shè)置型值點(diǎn)表示線圈結(jié)構(gòu)，如圖1中三角點(diǎn)標(biāo)識(shí)處所示，T0和T8分別表示該線圈與左右側(cè)線圈連接處，即沉降弧最低處，T1和T7表示沉降弧與圈柱連接處，T2和T6表示圈柱中點(diǎn)，T3和T5表示針編弧和圈柱連接處，T4表示針編弧最高處。

1.2 緯平針組織三維模型

對(duì)緯平針織物進(jìn)行實(shí)物觀察、測(cè)量與分析，簡(jiǎn)化緯平針組織結(jié)構(gòu)并做出相應(yīng)假設(shè)，通過基本單元線圈的組合與連接得到如圖2所示的緯平針組織三維模型三視圖。圖2中設(shè)置線圈半徑用r表示，線圈寬度用D表示，線圈高度用H表示。從圖2的結(jié)構(gòu)分析和數(shù)據(jù)標(biāo)識(shí)可以得出，線圈寬度D為4個(gè)線圈直徑，即8r；線圈高度H由針編弧、沉降弧和圈柱的高度構(gòu)成，針編弧和沉降弧的高度都為2個(gè)線圈直徑，即4r，圈柱的高度可以移植為2個(gè)交織點(diǎn)之間的高度，而2個(gè)交織點(diǎn)之間的水平空間包含上1行線圈的沉降弧和下1行線圈的針編弧，由于上1行線圈的沉降弧和下1行線圈的針編弧在水平空間上存在1個(gè)線圈半徑r的重疊，所以2個(gè)交織點(diǎn)之間的高度為3r+r+3r，得到線圈高度H=4r+3r+r+3r+4r=15r；線圈相互嵌套時(shí)在緯平針組織厚度上為2個(gè)線圈直徑，且存在1個(gè)線圈半徑r的彎曲弧度縫隙，則其厚度為4r+r=5r。

圖2 緯平針組織三維模型三視圖Fig.2 Weft plain stitch 3D model. (a)Vertical view; (b)Left view; (c)Front View

2 基于NURBS曲線線圈中心線生成

NURBS曲線有統(tǒng)一表達(dá)形式，且具有改變?nèi)我?個(gè)控制點(diǎn)而不影響其他曲線段形狀結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，且其計(jì)算更加方便穩(wěn)定、控制更加靈活明顯。

2.1 NURBS曲線

一條k次NURBS曲線可以表示為分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù)：

(1)

式中：

(2)

式(1)(2)中：Ni,k(u)是由節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,…,un+k+1]計(jì)算確定的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)；wi是權(quán)因子，分別與控制點(diǎn)Pi相聯(lián)系，i=0,1,…,n，n表示數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量[16]。

NURBS曲線在實(shí)際的應(yīng)用過程中可以分為2種情況：一種是正算問題，即已知控制點(diǎn)求解曲線上的型值點(diǎn)并生成曲線；另一種情況是反算問題，即已知曲線上的型值點(diǎn)求解曲線的控制點(diǎn)，擬合通過已知型值點(diǎn)的曲線[17]。

2.2 三次NURBS曲線反算方法

通過建立緯平針組織三維模型，設(shè)定交織點(diǎn)B1的三維坐標(biāo)為(x,y,z)，則交織點(diǎn)B2的三維坐標(biāo)為(x,y+7r,z)，可以給出線圈中心線上的1組型值點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示。

表1 成圈線圈中心線型值點(diǎn)坐標(biāo)表Tab.1 Coordinate table of knit loop center line data point

構(gòu)造通過該組型值點(diǎn)的曲線，需要反算出控制點(diǎn)并擬合NURBS曲線使其完全通過線圈中心線型值點(diǎn)，這個(gè)過程稱為曲線的反算，一般包括如圖3中3個(gè)步驟。

圖3 NURBS曲線反算步驟圖Fig.3 NURBS curve reverse calculation steps

2.2.1 計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量

NURBS曲線使用型值點(diǎn)反算控制點(diǎn)時(shí)，一般令曲線的首末端點(diǎn)分別與首末型值點(diǎn)保持一致，并且n+1個(gè)型值點(diǎn)Ti(i=0,1,…,n)依次與NURBS曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)ui+k(i=0,1,…,n)一一對(duì)應(yīng)。因此NURBS曲線將由n+1+2個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n+2)定義，由于首末節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為k+1，且節(jié)點(diǎn)數(shù)量比控制點(diǎn)數(shù)量多重復(fù)度k+1個(gè)，本文使用3次NURBS曲線，k取值為3，則由n+3+4個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)矢量為U=[u0,u1,…,un+6]。

為了確定與n+1個(gè)型值點(diǎn)Ti(i=0,1,…,n)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)值ui+3(i=0,1,…,n)，需要對(duì)型值點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化處理[18]。

均勻參數(shù)化法使節(jié)點(diǎn)呈現(xiàn)等距離分布，適用于給定型值點(diǎn)的多邊形各弦長(zhǎng)基本相等的情況，具有一定的局限性，本文選取的線圈中心線型值點(diǎn)的分布已知符合該情況，其公式為：

(3)

弦長(zhǎng)參數(shù)化法解決了均勻參數(shù)化法存在的弊端，可以真實(shí)地反映出型值點(diǎn)的多邊形各弦長(zhǎng)的分布情況，得到順滑性較好的曲線形態(tài)，其公式為：

(4)

式中：L是中間變量。

向心參數(shù)化法可以真實(shí)地反映型值點(diǎn)的多邊形相鄰弦線的折拐情況，其公式為：

(5)

式中：L是中間變量。

2.2.2 計(jì)算邊界條件

未知控制點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n+2)個(gè)數(shù)n+3比給出的1組型值點(diǎn)Ti(i=0,1,…,n)個(gè)數(shù)n+1多2個(gè)，因此在求解方程組時(shí)需要增加2個(gè)適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，常用的邊界條件有切矢條件、開曲線條件和閉曲線條件。根據(jù)線圈中心線的特點(diǎn)，本文邊界條件使用切矢條件。切矢條件要求首末端點(diǎn)的切線方向固定，其關(guān)系式為：

(6)

式中：T0′和Tn′是型值點(diǎn)的首末端點(diǎn)切矢；Δi是中間變量。

2.2.3 反算控制點(diǎn)

三次NURBS曲線首末兩端點(diǎn)的重復(fù)度取4，首末控制點(diǎn)就是其首末型值點(diǎn)，即有P0=T0、Pn+2=Tn。邊界條件使用切矢條件，取權(quán)因子wi=1(i=0,1,…,n+2)，應(yīng)用矩陣的形式得到三次NURBS曲線控制點(diǎn)反算的線性方程組表達(dá)式為：

(7)

式中：Pi(i=1,2,…,n+1)是控制點(diǎn)，共同構(gòu)成了控制點(diǎn)列向量；令Δi=ui+1-ui(i=0,1,…,n+5)，有

(8)

共同構(gòu)成了系數(shù)矩陣；有

(9)

共同構(gòu)成了列向量。式(8)和式(9)中i=2,3,…,n。

求解上述線性方程組，即可獲得去除首末控制點(diǎn)P0和Pn+2的其余控制點(diǎn)。

2.3 線圈中心線模擬生成

在操作系統(tǒng)為Windows10 64位、CPU為AMD Ryzen 7 5800H with Radeon Graphics 3.20GHz、內(nèi)存為16G、顯示器分辨率為2 560像素×1 600像素的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中，使用Code：：Blocks集成開發(fā)環(huán)境、C++語言和OpenGL函數(shù)庫(kù)，借助計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的程序流程圖如圖4所示。通過輸入給定任意1個(gè)交織點(diǎn)的三維坐標(biāo)以及給定線圈半徑，并給出想要繪制線圈中心線的行數(shù)與列數(shù)，以及給出想要使用的節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算方法；根據(jù)緯平針組織三維模型計(jì)算得到線圈中心線型值點(diǎn)的坐標(biāo)；分別使用均勻參數(shù)化法、弦長(zhǎng)參數(shù)化法和向心參數(shù)化法3種方法進(jìn)行計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量；采用切矢條件計(jì)算邊界條件；取權(quán)因子wi=1(i=0,1,…,n+2)反算控制點(diǎn)；最后輸出使用控制點(diǎn)擬合NURBS曲線模擬的線圈中心線，以及計(jì)時(shí)器記錄的從輸入結(jié)束到此刻所使用的時(shí)間。

圖4 程序流程圖Fig.4 Program flow

2.4 線圈中心線模擬比較分析

使用3種參數(shù)化法計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量，最終得到的線圈中心線模擬效果三視圖如圖5所示。圖中方塊點(diǎn)標(biāo)識(shí)處是型值點(diǎn)的位置，其中圖5(d)是圖5(a)、圖5(b)和圖5(c)的重疊效果圖，圖5(e)是使用3種節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算方法模擬的緯平針組織3×3線圈中心線重疊效果圖。

圖5 線圈中心線模擬效果三視圖Fig.5 Loop center line simulation. (a)Uniform parameterization method; (b)Chord parameterization method; (c)Centripetal parameterization method; (d)Single loopcenter line overlap; (e)3×3 loop center line overlap

分析圖5得知，采用均勻參數(shù)化法、弦長(zhǎng)參數(shù)化法和向心參數(shù)化法3種方法分別計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量，得到的線圈中心線都通過型值點(diǎn)，得到的模擬效果圖重疊時(shí)線圈中心線路徑走向高度重合，并且模擬效果與緯平針組織三維模型線圈中心線結(jié)構(gòu)一致。

分別使用3種節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算方法模擬繪制20次50×50的線圈中心線，得到平均每次所用時(shí)間，3組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如表2所示。

表2 繪制時(shí)間結(jié)果表Tab.2 Drawing time result s

分析表2可知：實(shí)驗(yàn)1中平均每次繪制時(shí)間最短的是使用向心參數(shù)化法，為0.306 9 s；實(shí)驗(yàn)2中平均每次繪制時(shí)間最短的是使用弦長(zhǎng)參數(shù)化法，為0.303 9 s；實(shí)驗(yàn)3中平均每次繪制時(shí)間最短的是使用均勻參數(shù)化法，為0.307 3 s；采用3種方法進(jìn)行計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量，模擬繪制的線圈中心線速度快速且沒有明顯的時(shí)間差異。

基于以上模擬效果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)分析，得知使用的3種節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算方法，通過已知線圈中心線上的型值點(diǎn)反算控制點(diǎn)，擬合NURBS曲線模擬線圈中心線具有合理通用的效果?？紤]到各節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算方法的特性，建議當(dāng)選取型值點(diǎn)的多邊形弦長(zhǎng)基本相等時(shí)，為簡(jiǎn)便計(jì)算可選用均勻參數(shù)化法確定節(jié)點(diǎn)矢量；當(dāng)選取型值點(diǎn)的多邊形弦長(zhǎng)相差較大時(shí)，為體現(xiàn)各弦長(zhǎng)的分布情況可選用弦長(zhǎng)參數(shù)化法確定節(jié)點(diǎn)矢量；當(dāng)選取型值點(diǎn)相鄰弦線折拐較大時(shí)，為反映其折拐情況可選用向心參數(shù)化法確定節(jié)點(diǎn)矢量。

3 緯平針組織三維仿真的實(shí)現(xiàn)

本文設(shè)定緯平針織物紗線是具有圓形截面的均勻管狀，緯平針組織的三維實(shí)體仿真通過NURBS曲面進(jìn)行模擬。采用NURBS曲面模擬線圈的立體結(jié)構(gòu)時(shí)，NURBS曲面2個(gè)方向的參數(shù)分別由線圈截面圓和線圈中心線決定；得到線圈截面圓和線圈中心線2個(gè)方向的控制點(diǎn)，2個(gè)方向相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量都采用均勻參數(shù)化法進(jìn)行確定。通過NURBS曲面的相關(guān)函數(shù)繪制曲面模擬緯平針組織紗線表面，運(yùn)用光照與材質(zhì)相關(guān)函數(shù)增強(qiáng)緯平針組織三維實(shí)體仿真的效果。

緯平針組織三維仿真模擬圖如圖6所示，從三維線框圖中可以看出，黑色虛線的線圈中心線位于線框圖的中心位置；從三維實(shí)體圖中可以看出，其結(jié)構(gòu)形態(tài)與緯平針組織三維結(jié)構(gòu)模型一致，且具有良好的模擬效果。

圖6 緯平針組織三維仿真模擬圖Fig.6 Weft plain stitch 3D simulation. (a)3D wireframe; (b)3D entity

4 結(jié) 論

通過深入研究針織物成圈線圈幾何結(jié)構(gòu)模型并進(jìn)行改進(jìn)，獲得了緯平針組織線圈的三維立體模型，然后通過線圈組合與連接形成了緯平針組織三維結(jié)構(gòu)模型。根據(jù)緯平針組織三維結(jié)構(gòu)模型合理設(shè)定交織點(diǎn)位置，得出線圈中心線上型值點(diǎn)坐標(biāo)，基于非均勻有理B樣條(NURBS)曲線反算原理采用均勻參數(shù)化法、弦長(zhǎng)參數(shù)化法和向心參數(shù)化法3種不同的節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算方法，對(duì)緯平針組織線圈中心線進(jìn)行三維建模仿真，最后得到了合理通用的仿真效果，并考慮各節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算方法的特性，根據(jù)型值點(diǎn)的選取情況做出了相應(yīng)方法的選取建議?；贜URBS曲面原理，增加光照與材質(zhì)效果，對(duì)緯平針組織進(jìn)行三維實(shí)體仿真，得到了結(jié)構(gòu)上貼近實(shí)際緯平針織物的模擬效果。為NURBS曲線曲面實(shí)現(xiàn)緯編針織物的仿真模擬提供了對(duì)比驗(yàn)證與數(shù)據(jù)參考。