多交叉曲梁簧片柔性鉸鏈的力學(xué)建模與性能分析

陳 鑫 劉江南 龍汪鵬 呂劍文

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

柔性鉸鏈無間隙、無摩擦的優(yōu)點使其在精密工程領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。由兩個彈性簧片在中點處交叉組成的雙交叉簧片柔性鉸鏈具有較大的運動行程和較低的轉(zhuǎn)動剛度，但轉(zhuǎn)動精度較低[1]。對此，學(xué)者們通過改變簧片交叉點位置[2]、設(shè)計變厚度簧片[3]等方式改進(jìn)其雙簧片結(jié)構(gòu)，但是均難以實現(xiàn)準(zhǔn)零軸漂的高轉(zhuǎn)動精度。

為進(jìn)一步提高轉(zhuǎn)動精度，學(xué)者們通過增加簧片數(shù)量n(n≥3)和采用對稱布局，設(shè)計分析了不同多交叉簧片柔性鉸鏈構(gòu)型。畢樹生團(tuán)隊率先提出了廣義三交叉簧片柔性鉸鏈[4]，通過加強簧片位移約束提高了轉(zhuǎn)動精度；后續(xù)通過改變交叉點位置，總結(jié)了多交叉簧片柔性鉸鏈的多種拓?fù)錁?gòu)型，并通過仿真進(jìn)行了綜合性能對比[5]；根據(jù)對比結(jié)果，重點研究了三交叉簧片形式的內(nèi)外環(huán)柔性鉸鏈的剛度特性[6]；并進(jìn)一步研究了圓周對稱的多交叉簧片柔性鉸鏈的內(nèi)部約束特性[7]。DU等[8]基于TRIZ創(chuàng)新原理，提出一種高精度的全對稱多交叉簧片柔性鉸鏈。上述研究中柔性鉸鏈的彈性簧片均為直梁型結(jié)構(gòu)。在多交叉簧片柔性鉸鏈構(gòu)型中，直梁簧片存在剛度和應(yīng)力較大、轉(zhuǎn)角范圍較小等不足[7]。

相比直梁簧片，曲梁簧片具有低剛度、低應(yīng)力的優(yōu)點，可實現(xiàn)較大撓度[9]。有學(xué)者將樣條曲梁簧片[10-11]、圓弧曲梁-直梁組合的折疊簧片[12]和雙曲梁簧片[13]應(yīng)用于環(huán)形柔性鉸鏈構(gòu)型[14-15]，以降低轉(zhuǎn)動剛度和增大轉(zhuǎn)角范圍。多交叉簧片柔性鉸鏈構(gòu)型相比環(huán)形柔性鉸鏈構(gòu)型具有更大轉(zhuǎn)角范圍[6]，但是應(yīng)用曲梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計研究鮮有報道，尚缺乏對應(yīng)的大變形力學(xué)分析模型。

本文以圓弧曲梁簧片為變形單元，在分析多交叉簧片柔性鉸鏈對稱拓?fù)錁?gòu)型的基礎(chǔ)上，提出一種在純轉(zhuǎn)矩作用下具有零軸漂特性的多交叉曲梁簧片柔性鉸鏈，實現(xiàn)轉(zhuǎn)動剛度和變形應(yīng)力的優(yōu)化。為精確分析其性能，基于梁約束模型(beam constraint model，BCM)[16]建立圓弧曲梁簧片變形模型，并推導(dǎo)圓弧曲梁變形應(yīng)力方程。應(yīng)用鏈?zhǔn)搅杭s束模型(chained beam constraint model，CBCM)[17]進(jìn)行多交叉曲梁簧片柔性鉸鏈的大變形力學(xué)分析建模，通過實驗和有限元仿真驗證理論模型的準(zhǔn)確性；進(jìn)一步分析不同簧片設(shè)計變量對柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度和簧片變形應(yīng)力的影響，探究不同剛度特性的參數(shù)設(shè)計方案。

1 圓弧曲梁簧片變形建模

圓弧曲梁簧片具有恒定曲率和較大的偏轉(zhuǎn)范圍[18]，有利于設(shè)計多交叉簧片柔性鉸鏈。首先定義圓弧曲梁簧片的相關(guān)設(shè)計變量，實現(xiàn)其參數(shù)化設(shè)計。進(jìn)而根據(jù)簧片尺寸建立載荷-位移關(guān)系和推導(dǎo)變形應(yīng)力方程，完成圓弧曲梁簧片的變形建模，為后續(xù)柔性鉸鏈的設(shè)計分析奠定基礎(chǔ)。

1.1 設(shè)計變量定義

在多交叉簧片柔性鉸鏈內(nèi)部，圓弧曲梁簧片的尺寸由其連接的靜剛體和動剛體決定，如圖1所示。在固定端點o處建立變形單元(element)坐標(biāo)系oxeye，xe軸指向柔性鉸鏈中心O。動剛體上自由端點A的位置決定簧片的初始形狀，用OA與xe軸的夾角表示，定義為位形角αλ。

圖1 圓弧曲梁簧片結(jié)構(gòu)示意圖

定義半徑系數(shù)λ以表征動、靜剛體的相對大小，進(jìn)而由靜剛體直徑D確定動剛體半徑Rλ：

Rλ=0.5Dλ/(1-λ)λ∈(0,1)

(1)

簧片弦長(chord length)Lc由αλ、Rλ、D確定：

(2)

當(dāng)OA長度為(Rλ+0.5D)時，簧片處于最大拉伸狀態(tài)。引入長度系數(shù)ξ(ξ>1)計算簧片弧長(arc length)La和曲率半徑(radius of curvature)Rc：

(3)

給定簧片圓心角φ，由簧片弧長La最大值確定長度系數(shù)ξ上限，得到ξ的取值范圍：

(4)

進(jìn)一步根據(jù)弦長Lc與弧長La的幾何關(guān)系，得到簧片位形角αλ的取值范圍：

(5)

設(shè)OA在簧片固定端切線方向的投影長度為L(下文簡記為投影長度)，其表達(dá)式為

L=Lccos(0.5φ)

(6)

直梁簧片的圓心角為0°，即L=Lc。為避免L≤0，設(shè)置φ∈[0°,90°)。設(shè)計簧片為恒等截面，寬度為W，厚度為T。

1.2 載荷-位移關(guān)系的建立

為描述簧片的受載變形，在坐標(biāo)系oxeye上建立變形坐標(biāo)系oxy，x軸沿簧片固定端切線方向，x軸與xe軸的夾角為α，如圖2所示。

圖2 圓弧曲梁簧片變形

在變形坐標(biāo)系oxy內(nèi)，定義簧片平面載荷-彎矩M、切向力F、法向力P和平面位移-轉(zhuǎn)角θ、切向位移Δx、法向位移Δy。使用投影長度L將所有平面載荷、位移變量進(jìn)行量綱一化處理：

(7)

式中，E為材料彈性模量；I為截面慣性矩。

根據(jù)梁約束模型，將位移作為自變量，得到簧片自由端的量綱一載荷-位移關(guān)系[16]：

(8)

kT=12L2/T2kp=12+p(0.2-p/700)

式中，κ為簧片量綱一曲率，κ=L/Rc=sinφ。

式(8)適用于小曲率條件(|κ|≤0.1)和中等變形條件(平面位移小于梁長的10%，|p|≤5.0)。

1.3 變形應(yīng)力方程推導(dǎo)

在變形坐標(biāo)系oxy內(nèi)，圓弧曲梁上任意點的量綱一縱坐標(biāo)和切向位移分別為y(x)、δy(x)。小曲率條件下，δy(x)關(guān)于量綱一法向力p的方程[16]為

(9)

式中，c1、c2、c3、c4為待定系數(shù)，|κ|≤0.1，x∈[0,1]。

基于Euler-Bernoulli梁假設(shè)，得到具有大長厚比(L/T≥10)的圓弧曲梁簧片的支配方程:

(10)

y(x)=δy(x)+0.5κx2

簧片兩端(x=0,1)的變形邊界條件[16]為

(11)

聯(lián)立式(9)～式(11)并對式(9)求導(dǎo)，得

(12)

圓弧曲梁簧片具有大長厚比，可視為Euler-Bernoulli梁而忽略剪應(yīng)力，故簧片上任意一點的應(yīng)力可近似為彎曲應(yīng)力σb和軸向應(yīng)力σt的疊加：

(13)

通過求解上述公式，得到簧片的變形應(yīng)力分布，并確定簧片最大變形應(yīng)力值及其位置。

2 柔性鉸鏈力學(xué)建模

通過在動、靜剛體之間對稱配置n個相同圓弧曲梁簧片，設(shè)計多交叉曲梁簧片柔性鉸鏈，其平面對稱軸根據(jù)簧片數(shù)量的奇偶設(shè)置于簧片1方向上或簧片1與簧片n中間方向上，如圖3a所示。

設(shè)對稱軸一側(cè)相鄰簧片的交叉半角為β，改變交叉半角和簧片數(shù)量，對應(yīng)得到不同的平面對稱構(gòu)型。為構(gòu)建通用力學(xué)模型用于柔性鉸鏈的設(shè)計分析，首先建立其變形方程(載荷平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程)，進(jìn)而分析零軸漂轉(zhuǎn)動載荷條件以確定構(gòu)型參數(shù)，并進(jìn)行大變形問題求解建模。

2.1 變形方程的建立

分別在柔性鉸鏈中心O和各簧片固定端點oi(i=1,2,…,n)處建立全局坐標(biāo)系OXY和局部坐標(biāo)系oeixeiyei，定義xei軸與X軸夾角為相位角為γi。將柔性鉸鏈動剛體上任意位置的全部載荷集中等效為隨轉(zhuǎn)角θ變化的A0點處廣義力(M,Fx,Fy)，如圖3b所示。

(a)平面對稱構(gòu)型

設(shè)(Mi,Fi,Pi)為簧片自由端點Ai處的分配作用力，簧片變形產(chǎn)生的反作用力與之平衡。以動剛體中心O′為力矩平衡點，廣義力(M,Fx,Fy)在O′點的合力矩為Mz，載荷平衡方程為

(14)

M+FyRλcosθ-FxRλsinθ

(15)

k1=cos(αλ-α)k2= sin(αλ-α)

α=arcsin(Rλsinαλ/Lc)-0.5φ

式中，α為xi軸與xei軸的夾角；αλ為簧片位形角。

柔性鉸鏈的變形協(xié)調(diào)方程為

(16)

k3=cos(γi+α)k4= sin(γi+α)

式中，dx=dX/L， dy=dY/L分別為X、Y軸上量綱一軸漂分量。

2.2 零軸漂轉(zhuǎn)動載荷條件分析

當(dāng)柔性鉸鏈零軸漂轉(zhuǎn)動時，各簧片變形和受力大小相同，簧片自由端的相同量綱一法向力和切向力分別為p和f，由式(8)求解。簡化式(14)后得到零軸漂轉(zhuǎn)動載荷條件：

(17)

相同位移條件下，量綱一曲率決定p和f的大小進(jìn)而影響廣義力(Fx,Fy)的相對大小。由式(8)可知，p和f不能同時為0，故式(17)中(Fx,Fy)皆為0時，簧片i相位角γi需滿足條件：

γi=2(i-1)β+γ1β=π/n

(18)

式中，γ1為簧片1相位角；n為簧片總數(shù)。

在此條件下，柔性鉸鏈平面構(gòu)型表現(xiàn)出全對稱特性，即簧片在圓周方向上均勻分布。此時，(Fx,Fy)作為干擾力，影響柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動精度。

無干擾力作用時，轉(zhuǎn)矩M為驅(qū)動力矩，柔性鉸鏈的所有簧片相同時，不同的簧片1相位角γ1和簧片結(jié)構(gòu)形式在理想情況下不影響轉(zhuǎn)動精度；有干擾力作用時，通過簧片總數(shù)n的奇偶取值和簧片1相位角γ1的合理設(shè)置，令對稱軸方向與干擾力方向重合，以利用對稱性[19]減弱其影響。

2.3 大變形問題求解建模

梁約束模型采用了變形曲率的線性近似，當(dāng)梁產(chǎn)生大變形(末端位移大于梁長的10%)時不再適用。采用鏈?zhǔn)搅杭s束(CBCM)模型[17]進(jìn)一步擴(kuò)展建模，通過梁的均等離散化處理(圖4)，減小曲率的近似誤差，以實現(xiàn)多交叉大曲率簧片柔性鉸鏈大變形分析問題的精確求解。

圖4 圓弧曲梁簧片離散化示意圖[17]

在坐標(biāo)系oixiyi內(nèi)，簧片i的自由端點坐標(biāo)為(Xi,Yi)，傾角為θi。在簧片i中單元j(j=1,2,…,N)的節(jié)點j-1處，沿切線方向建立局部坐標(biāo)系oijxijyij。將變形前xij軸與xi軸的夾角記為αij，產(chǎn)生變形(deformation)后的夾角記為αdij,相關(guān)計算式為

(19)

αdi1=0αdij=αij+θi-θijj=2,3,…,N

(20)

式中，θ為柔性鉸鏈轉(zhuǎn)角。

將簧片i中單元j自由端的待求解量綱一載荷和位移變量分別記為(mij,fij,pij)、(δyij,δxij,θij)，單簧片i的總變量數(shù)為6N，需要建立6N個求解方程。

在CBCM建模過程中，所分析的圓弧曲梁簧片仍屬于Euler-Bernoulli梁，每個離散單元皆適用于上述變形建模理論。

對每個離散單元應(yīng)用式(8)，建立3N個方程。由簧片圓心角φ∈[0， 90°)確定κ∈[0,1]，為保證每個離散單元的量綱一曲率|κ|≤0.1，取N=10。利用CBCM模型理論建立剩余3N個方程[17]。

(1)靜態(tài)平衡方程(共3N-3個方程)為

(21)

(2)幾何約束方程(共3個方程)為

(22)

將工作載荷或位移代入式(14)～式(16)，并對各柔性鉸鏈簧片列上述6N個方程，聯(lián)立求解得到各載荷和位移變量。變量代入后求解式(12)、式(13)，得到各簧片應(yīng)力分布和最大應(yīng)力。

3 模型驗證

通過仿真和實驗相結(jié)合，對比分析多交叉直梁、曲梁簧片柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度和最大應(yīng)力，驗證上述理論模型的準(zhǔn)確性，并根據(jù)分析結(jié)果檢驗多交叉曲梁簧片柔性鉸鏈在減小轉(zhuǎn)動剛度和最大應(yīng)力方面的實際效果。

3.1 柔性鉸鏈試件設(shè)計

為消除翹曲變形，采用兩組三交叉簧片柔性鉸鏈鏡像對稱組合得到柔性鉸鏈試件?；善蛣印㈧o剛體設(shè)計為可拆卸分體式結(jié)構(gòu)，如圖5所示。試件的靜剛體直徑D=56 mm，半徑系數(shù)λ=0.5。

圖5 柔性鉸鏈試件

試件采用3D打印加工，簧片設(shè)計參數(shù)如下?；善牧希壕廴樗?PLA)，彈性模量E=3.7 GPa，泊松比μ=0.35，屈服極限δs=58 MPa。曲梁簧片設(shè)計尺寸：曲率半徑Rc=70 mm，位形角αλ=10°，量綱一曲率κ≈0.730 95；對比直梁簧片設(shè)計尺寸：長度L=D，αλ= 0，κ= 0；恒定矩形截面尺寸：寬度W=5 mm，厚度T=1 mm。

3.2 實驗平臺和測試方案設(shè)計

柔性鉸鏈測試實驗平臺主要由法蘭扭矩傳感器 (量程0～1000 N·mm，綜合精度0.1%F.s)、精密XYR三軸位移平臺、智能數(shù)顯儀以及固定支架組成，如圖6所示。通過調(diào)整XY位移平臺，減小柔性鉸鏈安裝的軸線對齊誤差。

圖6 柔性鉸鏈實驗平臺

根據(jù)扭矩傳感器精度，設(shè)置一組連續(xù)預(yù)設(shè)轉(zhuǎn)角集，通過手動調(diào)整R軸轉(zhuǎn)角θ給平臺上柔性鉸鏈?zhǔn)┘愚D(zhuǎn)矩。對比測試多交叉直、曲梁簧片柔性鉸鏈，記錄各預(yù)設(shè)轉(zhuǎn)角θ對應(yīng)測得的數(shù)顯儀轉(zhuǎn)矩示數(shù)M，4次測量取平均值，得到M-θ關(guān)系曲線。

由于簧片應(yīng)力難以實際測量，故采用非線性有限元仿真方法計算柔性鉸鏈的最大應(yīng)力σmax。首先，對比實驗測試與Abaqus仿真(六面體網(wǎng)格劃分)計算得到的M-θ曲線，驗證仿真模型的準(zhǔn)確性，再利用仿真模型得到σmax-θ關(guān)系曲線。

3.3 實驗結(jié)果及分析

轉(zhuǎn)矩實驗結(jié)果(圖7)顯示，多交叉曲梁簧片柔性鉸鏈平均轉(zhuǎn)動剛度(174.75 N·mm·rad-1)低于多交叉直梁簧片柔性鉸鏈(550.04 N·mm·rad-1)。轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果(圖8)驗證了仿真模型的準(zhǔn)確性。

應(yīng)力仿真結(jié)果(圖9)顯示，曲梁簧片的σmax在θ∈[0,4.2°]時高于直梁簧片的σmax，但在θ>4.2°時遠(yuǎn)低于直梁簧片的σmax。θ∈[11°,18°]時，曲梁簧片的σmax基本不變，但當(dāng)θ>18°時σmax開始線性增大。從應(yīng)力分布情況來看，θ∈[0,11°]時，曲梁簧片σmax產(chǎn)生在其固定端根部，當(dāng)θ>11°時轉(zhuǎn)移至簧片中部。相比之下，直梁簧片的σmax保持在中部。

圖9 最大應(yīng)力仿真與理論模型結(jié)果對比

實驗測試、非線性FEM仿真與理論模型計算結(jié)果基本一致，驗證了理論模型的準(zhǔn)確性。θ=26°時，直、曲梁簧片柔性鉸鏈轉(zhuǎn)矩實驗測試與理論計算結(jié)果的相對誤差分別為1.12%、5.57%，主要誤差來源為試件幾何和裝配誤差，使得部分簧片在長度方向存在殘余壓/拉應(yīng)力，從而使剛度減小/增大。

4 柔性鉸鏈性能的理論計算分析

為優(yōu)化柔性鉸鏈的參數(shù)組合，基于理論模型分析半徑系數(shù)λ、量綱一曲率κ和位形角αλ對柔性鉸鏈性能(轉(zhuǎn)矩M、最大應(yīng)力σmax隨轉(zhuǎn)角θ的變化規(guī)律)的影響。分析時選取的靜剛體直徑、簧片材料和寬度與上文實驗設(shè)置相同。

4.1 半徑系數(shù)λ的影響

設(shè)量綱一曲率κ和位形角αλ皆為0，厚度T取值范圍為0.6～1.2 mm，分析不同半徑系數(shù)λ對轉(zhuǎn)矩M和最大應(yīng)力σmax的影響，λ∈[0.1273,0.5]。

固定轉(zhuǎn)角θ和厚度T，隨λ的增大，最大應(yīng)力σmax、轉(zhuǎn)矩M皆減小并且在小轉(zhuǎn)角、小厚度條件下線性減小。固定λ，σmax與T成線性正相關(guān)，M與T成非線性正相關(guān)，如圖10、圖11所示。當(dāng)柔性鉸鏈簧片厚度T確定時，半徑系數(shù)λ取0.5，以獲得低轉(zhuǎn)動剛度和大轉(zhuǎn)角范圍。

4.2 量綱一曲率κ的影響

設(shè)定半徑系數(shù)λ=0.5，繼續(xù)取簧片位形角αλ為0，厚度T取值范圍為0.5～1.5 mm，分析不同量綱一曲率κ對轉(zhuǎn)矩M和最大應(yīng)力σmax的影響。

固定轉(zhuǎn)角θ和厚度T，隨κ的增大，M、σmax皆先減小后增大，且各對應(yīng)在[0,1]中存在唯一κ值使M或σmax取極小值，分別記為轉(zhuǎn)矩極小值曲率κM和應(yīng)力極小值曲率κσ，如圖12、圖13所示。

圖12 轉(zhuǎn)矩隨量綱一曲率的變化關(guān)系

圖13 最大應(yīng)力隨量綱一曲率的變化關(guān)系

轉(zhuǎn)矩極小值曲率κM、應(yīng)力極小值曲率κσ與轉(zhuǎn)角θ成正相關(guān)，但與厚度T無關(guān)。固定θ時，κ的取值不影響M、σmax與T的相關(guān)性。

當(dāng)柔性鉸鏈最大設(shè)計轉(zhuǎn)角θmax確定時， 量綱一曲率κ在θmax確定的κM和κσ之間選取，以同時減小轉(zhuǎn)動剛度和最大應(yīng)力。

4.2 位形角αλ的影響

為便于比較，設(shè)定厚度T=1 mm，繼續(xù)取半徑系數(shù)λ=0.5，分析不同位形角αλ對轉(zhuǎn)矩M和最大應(yīng)力σmax的影響(αλ根據(jù)式(5)計算選取)，結(jié)果如圖14、圖15所示。

圖14 轉(zhuǎn)矩隨位形角的變化關(guān)系

圖15 最大應(yīng)力轉(zhuǎn)矩隨位形角的變化關(guān)系

固定轉(zhuǎn)角θ和厚度T，轉(zhuǎn)矩極小值曲率κM、應(yīng)力極小值曲率κσ、轉(zhuǎn)矩M和最大應(yīng)力σmax皆受位形角αλ的正負(fù)取值影響(相比αλ=0)：

當(dāng)αλ=-1.5°時，κM、κσ皆減??；量綱一曲率κ以κM為界向上或向下取值時，對應(yīng)轉(zhuǎn)矩M增大小或減??；量綱一曲率κ以κσ為界向上或向下取值時，最大應(yīng)力σmax增大或減小。αλ=1.5°時的參數(shù)影響規(guī)律與αλ=-1.5°時完全相反。

進(jìn)一步增大αλ，當(dāng)αλ=7°,κ=1時，轉(zhuǎn)矩M、最大應(yīng)力σmax皆減小，而且在15°～37°轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)M幾乎恒定，即柔性鉸鏈獲得零剛度特性[20]。

當(dāng)設(shè)計簧片位形角|αλ|較小時，隨θ的增大，通過改變量綱一曲率κ易獲得轉(zhuǎn)矩M在某一轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)減小，即柔性鉸鏈獲得負(fù)剛度特性。

當(dāng)柔性鉸鏈最大設(shè)計轉(zhuǎn)角θmax確定時，先根據(jù)式(5)選取負(fù)位形角-αλ以進(jìn)一步增大行程，再在(θmax,-αλ)確定的κM和κσ之間選取量綱一曲率κ，以同時減小轉(zhuǎn)動剛度和最大應(yīng)力，獲得相對更小的傳輸剛度[21](即最大許用應(yīng)力內(nèi)的轉(zhuǎn)動剛度)和更大轉(zhuǎn)角范圍。

當(dāng)有零剛度或負(fù)剛度特性的柔性鉸鏈設(shè)計需求時，優(yōu)先選取κ=1，并通過調(diào)整αλ完成具體剛度特性的參數(shù)設(shè)計。

4 結(jié)論

(1)本文提出了一種多交叉曲梁簧片柔性鉸鏈，建立其大變形理論分析模型并通過實驗驗證，探究了不同設(shè)計變量取值對其性能的影響。

(2)所設(shè)計的柔性鉸鏈能通過不同半徑系數(shù)λ、簧片量綱一曲率κ和位形角αλ的參數(shù)組合獲得正剛度特性、零剛度特性和負(fù)剛度特性。特別地，當(dāng)αλ=7°,κ=1時，設(shè)計柔性鉸鏈實現(xiàn)了22°大行程恒定轉(zhuǎn)矩運動。

(3)本文研究的多交叉曲梁簧片柔性鉸鏈及其參數(shù)性能分析結(jié)果，為大行程、低剛度、高精度多交叉簧片柔性鉸鏈的設(shè)計提供了新的思路和參考。后續(xù)將研究其他曲梁簧片結(jié)構(gòu)的變形特性以用于設(shè)計新型大行程柔性鉸鏈，并進(jìn)一步提升其承載能力以適應(yīng)大負(fù)載應(yīng)用需求。