Gronwall不等式的推廣

石 婷，孫 甜，張 輝

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

Gronwall不等式是一類非常重要的不等式，其廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。該不等式主要通過微分或積分等方式獲得未知函數(shù)的數(shù)值估計(jì)，在利用偏微分方程進(jìn)行能量估計(jì)方面尤為重要。然而，經(jīng)典的Gronwall不等式在具體應(yīng)用時(shí)有一定的局限性。許多學(xué)者對該不等式進(jìn)行了改進(jìn)和推廣[1-8]。例如，文獻(xiàn)[1]研究了具有多個(gè)奇異點(diǎn)的廣義Gronwall不等式。文獻(xiàn)[2]將經(jīng)典的Gronwall不等式應(yīng)用到由實(shí)際問題所提出的偏微分方程組。文獻(xiàn)[4]通過構(gòu)造輔助函數(shù)，得到了證明Gronwall不等式的一個(gè)新方法，拓寬了學(xué)術(shù)思維。也有學(xué)者運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法對一般的Gronwall不等式進(jìn)行延拓，推廣了高階線性不等式、一階線性Gronwall 不等式等，且其推廣結(jié)果有著廣泛應(yīng)用[6-8]。本文從經(jīng)典的Gronwall 不等式出發(fā)，對其基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)并獲得相應(yīng)結(jié)果。與其他文獻(xiàn)相比，本文推廣方式?jīng)]有改變不等式的基本結(jié)構(gòu)，而形式也沒有變復(fù)雜，可以使讀者更好理解其基本思想，為開展深入研究提供了有益參考。

1 經(jīng)典Gronwall不等式

經(jīng)典的積分型Gronwall不等式可以表述如下[9]：

定理1設(shè)E(t)是定義在[0,T]上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

其中，c、M均為正常數(shù)，則對任意的t∈[0,T]，有E(t)≤Mect。

2 Grownwall不等式的推廣

通過改變經(jīng)典的積分型Gronwall 不等式條件，如定理1 的不等式（1），考慮被積函數(shù)的冪次發(fā)生改變、常系數(shù)換成變系數(shù)，以及被積函數(shù)再乘以一個(gè)函數(shù)的多種組合情況，可得到定理2-8。

2.1 對積分號內(nèi)E(t)的次數(shù)進(jìn)行改進(jìn)

文獻(xiàn)[10]推廣了n維空間下的Gronwall不等式，但其被積函數(shù)的冪次為1。在本文中，我們將討論被積函數(shù)的冪次不再是1時(shí)，即當(dāng)E(t)的次數(shù)滿足0<α<1與α>1的兩種情形（此時(shí)討論的是一維空間，n維空間可以類似推導(dǎo)），分別得到如下兩個(gè)結(jié)論。

定理2設(shè)E(t)是定義在[0,T]上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

由定理2可知，當(dāng)被積函數(shù)E(t)的次數(shù)為0<α<1時(shí)，E(t)可以找到一個(gè)控制函數(shù)。

定理3設(shè)E(t)是定義在[0,T]上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

2.2 對常數(shù)c和M進(jìn)行改進(jìn)

同時(shí)改變定理1中c、M的條件，利用分離變量的方法，找到合適的積分因子，從而也能夠找到一個(gè)E(t)的控制函數(shù)。

定理4設(shè)E(t)是定義在[0,T]上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)，c(t)、M(t)為正連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

2.3 對積分號內(nèi)E(t)乘以一個(gè)正連續(xù)函數(shù)來改進(jìn)

在定理1基礎(chǔ)上將被積函數(shù)乘以一個(gè)正連續(xù)函數(shù)k(t)，推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，利用變量分離和通過找合適的積分因子的方法，也可以得到類似于定理1的結(jié)論，即找到一個(gè)E(t)的控制函數(shù)。

定理5設(shè)E(t)是定義在[0,T]上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)，k(t)為正連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

以上只是對定理5證明的一種思路。事實(shí)上，通過不等式（7）直接變形，然后對變形后的結(jié)果直接積分，也可以得到定理5的結(jié)論。以下給出定理5的另一種證明。

2.4 對積分號內(nèi)E(t)乘以一個(gè)正連續(xù)函數(shù)與其次數(shù)來改進(jìn)

文獻(xiàn)[11]建立了函數(shù)矩陣中的一個(gè)Gronwall型積分不等式，另外文獻(xiàn)[12]對Gronwall不等式進(jìn)行了推廣并應(yīng)用在一階常微分方程Cauchy 初值問題研究中，但被積函數(shù)冪次均為1。因此，本文考慮了當(dāng)E(t)的次數(shù)為0<α<1和α>1時(shí)的結(jié)果，并分別得到定理6和定理7。

定理6設(shè)E(t)是定義在[0,T]上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)，k(t)為正連續(xù)函數(shù)，同時(shí)0<α<1，且滿足不等式

2.5 對常數(shù)c、M以及積分號內(nèi)E(t)乘以一個(gè)正連續(xù)函數(shù)來改進(jìn)

同時(shí)改變定理5中不等式（7）的c、M條件，利用分離變量的方法找到合適的積分因子，也能夠找到一個(gè)E(t)的控制函數(shù)，從而得到定理8。

定理8設(shè)E(t)是定義在[0,T]上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)，k(t)、c(t)、M(t)為正連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

同時(shí)對上式兩邊t積分，得

由條件可知E(t)≤cI(t)+M，則不等式可轉(zhuǎn)化為

3 結(jié)束語

通過對經(jīng)典Gronwall不等式諸多條件運(yùn)行推廣來得到了更為一般性的結(jié)論，同時(shí)由條件給出的函數(shù)和積分的不等式關(guān)系，結(jié)合分離變量和積分求解等方法得到函數(shù)E(t)的控制函數(shù)，并對E(t)值大小進(jìn)行了上限估計(jì)。