基于超網絡的局部區(qū)域新冠肺炎傳播仿真研究

劉 泉， 李 賀， 賈媚媚， 于 凱， 張新剛

(1.南陽師范學院 計算機科學與技術學院； 河南省數(shù)字圖像大數(shù)據智能處理工程研究中心，河南 南陽 473061；2.新疆財經大學 公共管理學院，新疆 烏魯木齊 830012)

0 引言

新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)的暴發(fā)和蔓延給人類社會造成了極大危害，對人民的生命財產和社會經濟發(fā)展造成了重大損失.世界衛(wèi)生組織公布，截至2022年11月6日，全球新冠肺炎確診病例超過6.29億例[1].對于新冠肺炎的傳播和演化機理的研究具有非常重要的意義，引起了學界的極大關注.

目前，針對新冠肺炎的傳播不少研究者進行了深入研究.ZHOU等[2]使用SEIR模型對新型冠狀病毒肺炎的基本再生數(shù)進行了預測研究.YANG等[3]根據優(yōu)化的SEIR模型，使用深度學習的方法，預測中國新冠肺炎疫情將在二月下旬達到高峰，四月底趨于緩和.SUN等[4]構建了SEIQR模型，用來研究COVID-19在武漢的傳播，并考慮了封鎖和醫(yī)療資源對COVID-19傳播的影響.LIN等[5]考慮個人行為反應和政府行為，基于SEIR模型提出了一個新冠肺炎傳播的概念模型.GUO等[6]構建了一個具有非局部時滯和邏輯增長的流行病模型，其研究結果表明非局地時滯項在傳染病傳播過程中起著非常重要的作用.尹楠[7]對有限區(qū)域內新型冠狀病毒肺炎疫情仿真模擬，并提出了相關建議.汪婧等[8]把感染人群進行細分，通過構建的SEIiRD模型，仿真分析了不同感染人群的傳播率對疫情發(fā)展的影響.JIA等[9]使用擴展的SIR模型，考慮干預措施的影響，用馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法估計意大利的新冠肺炎基本再生數(shù).許小可等[10]根據學生和老師的接觸網絡數(shù)據，模擬了新冠肺炎在校園內的傳播.ZHAO等[11]利用MH參數(shù)估計方法和優(yōu)化的SEIR模型，對疫情嚴重的南非、埃及和阿爾及利亞三種干預情景(抑制、緩解、溫和)下的疫情傳播進行了模擬和預測.LIU等[12]考慮異質接觸網絡，模擬了2019冠狀病毒病在“鉆石公主”游輪上的兩階段爆發(fā).這些研究，大多使用微分方程進行建模，假定個體之間的交互是等概率的，忽略了其所處的接觸環(huán)境等的差異，而使用元胞自動機和復雜網絡等方法可以彌補這些缺陷[13-14].目前，一些研究使用元胞自動機和復雜網絡方法對傳染病的傳播進行了研究，主要集中在網絡拓撲結構對傳染病傳播的影響[15]、接種等免疫措施的影響[16]以及基于信息或行為構建多重網絡對傳染病傳播的研究[17-19].

傳統(tǒng)的復雜網絡結構中，每條邊只能連接兩個節(jié)點，對多個節(jié)點之間的交互作用表達能力較弱.基于此，不少學者使用超網絡來描述更為復雜的節(jié)點關系.超網絡包括基于超圖的超網絡[20]和基于網絡的超網絡[21].在本文描述中，超網絡主要是指基于超圖的超網絡.例如，在科研合作網絡中，一篇論文對應于網絡中的一條超邊，論文中的一個作者對應于超邊中的一個節(jié)點.通常一篇論文中包含多個作者，對應于一條超邊包含多個節(jié)點.基于超圖的超網絡目前已經得到不少學者的關注，在信息傳播[22-24]、輿論演化[25]、知識傳播[26]等多個領域都得到了廣泛研究，但是超網絡結構下針對密切接觸傳染病傳播的研究還較為少見.

現(xiàn)實世界中人們往往存在于多個密切接觸的聯(lián)系之中，這些密切接觸將會導致傳染病的傳播.例如，工作在同一個辦公室、生活在同一套房屋之中、乘坐同一趟航班或參加同一個聚會，這些都會形成密切接觸關系.一旦某個個體患上傳染病，那這些密切接觸的人員都有很大可能被傳染.超網絡中的一條超邊可以包含任意多個節(jié)點，一條超邊可以對應于一次親密接觸的聯(lián)系，超邊內的節(jié)點有更大的概率被相互感染.相較于傳統(tǒng)的復雜網絡，超網絡的這種特性更加適合用來描述密切接觸關系，也更適用于密切接觸傳染病的聚集傳播研究之中.

基于上述分析，本文使用超網絡來表示社會接觸網絡.基于SCEIR模型，并考慮潛伏期的持續(xù)時間，構建了超網絡的新冠肺炎傳播模型.使用超網絡中的超邊來表示有一次密切接觸的人群，使模型能夠較好地模擬密切接觸的范圍，由此來研究新冠肺炎的演化過程和傳播規(guī)律，以期為傳染病的防控提供可行性建議.

1 局部區(qū)域傳染病聚集傳播特征分析

在本文中，局部區(qū)域是指某一特定的封閉區(qū)域，如一個城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)、社區(qū)或校園.在傳染病暴發(fā)的特定時間段，為阻止傳染病的跨區(qū)域傳播，政府部門采取遠距離交通出行限制，實行封城措施.例如中國武漢和意大利米蘭為應對新冠疫情采取的封城措施、某些高校在開學之后采取的封閉式管理措施，這些措施將使城市和校園成為一個相對封閉的區(qū)域.

新冠肺炎具有典型的聚集傳播特征.新冠肺炎感染者以家庭、同事或朋友關系圈集聚的現(xiàn)象被多次報道，這些都說明新冠肺炎傳播有很強的聚集特點.2020年2月2日，山東省報告發(fā)生多起典型家庭聚集性疫情，截至當日，全省已發(fā)現(xiàn)聚集性疫情60起，其中49起為家庭聚集性、6起同事間聚集性、5起集體暴露[27].天津動車客車段聚集性發(fā)病是一起非常典型的同事、親屬和密切接觸者之間聚集傳播的案例.天津動車客車段首位確診病例楊某某(該市第2例患者)，出現(xiàn)在1月21日.該市確診的第5例患者、6例患者與第2例患者系同事；第8例病例，系天津動車客車段職工；第11例患者為第6例病例家屬；第12例和13例患者為第5例病例家屬；第16例病例為第5例病例親屬；第17例病例為第5例病例同事；第20例病例為天津動車客車段職工，曾與第6例病例有密切接觸史[28].

根據上述傳播過程，可以抽象出傳播超網絡如圖1所示.為方便理解，圖1中節(jié)點編號采用天津市衛(wèi)健委公布的患者病例編號.e1、e2、e3、e4、e5、e6、e7為超邊編號.超邊e1包含節(jié)點2、5、6、22、28、47，即e1={2、5、6、22、28、47}.

通過對上述的案例傳播過程的歸納，可以發(fā)現(xiàn)密切接觸傳染病傳播過程具有如下特征：(1)患病個體能夠同時將疾病傳播給某次密切接觸的整個人群；(2)個體存在多個密切聯(lián)系的關系中，有可能進行多次的密切接觸.

傳統(tǒng)復雜網絡中的邊僅可以聯(lián)系兩個節(jié)點，只能描述節(jié)點之間的二維關系，因而很難將傳染病傳播中的群體接觸描述清楚.然而，超網絡中的一條超邊可以包含任意一個節(jié)點，適合描述多個節(jié)點之間的關系，可以更直接地反映密切接觸所導致的傳染病在人群中的傳播過程.超邊還可以用于判斷節(jié)點的密切接觸范圍，適宜進行傳播追蹤溯源工作.因此，本文選擇超網絡來描述個體之間復雜的接觸關系，進而構建模型來描述傳染病在超網絡中的傳播過程.

圖1 超網絡結構下的天津動車客車段職工新冠肺炎傳播過程示意圖

2 超網絡中的新冠肺炎傳播模型構建

2.1 超網絡的構造

現(xiàn)實中每條超邊包含的節(jié)點數(shù)量(超邊基數(shù))往往不是一個固定值[20]，如一個家庭關系超網絡中，每個家庭的成員數(shù)量可能是不相同的.因此，超邊基數(shù)服從某一分布，更具有現(xiàn)實意義[20].故本文構建的超網絡模型為隨機超網絡，而非均勻超網絡.一條超邊可以對應于現(xiàn)實社會中的一戶家庭，可能是一次同學聚會，也可能是乘坐同一趟航班或同一趟拼車，那么，這趟同乘中的所有乘客就構成了一條超邊.

借鑒文獻[29]中的構建方法，本文的超網絡構造步驟如下：

(1) 初始時，網絡中有m0個節(jié)點和包含這些節(jié)點的一條超邊.

2.2 傳播模型描述

根據新冠肺炎傳播和防治過程，可以將人群分為五種：易感者、密切接觸者、潛伏者、感染者、免疫者.易感者為可以被感染的健康人群；密切接觸者為同染病者(包含潛伏者和感染者)有過密切接觸的人群；潛伏者為已經染病但是尚未表現(xiàn)出癥狀的人群；感染者為已經染病并且表現(xiàn)出癥狀的人群；免疫者為表示已經因為治愈并獲得免疫、被有效隔離、因病死亡等原因已經不對流行病傳播產生影響的人群.將人群抽取為網絡中的節(jié)點，根據上述五類人群，節(jié)點具有對應的五種狀態(tài)：易感態(tài)(S態(tài))、密切接觸態(tài)(C態(tài))、潛伏態(tài)(E態(tài))、感染態(tài)(I態(tài))、免疫態(tài)(R態(tài)).人們之間的關系就構成了節(jié)點的連邊，網絡結構采用2.1小節(jié)方法生成.

節(jié)點狀態(tài)的演化過程具體如下：

(1) 初始時，存在N0個處于I態(tài)的節(jié)點，N1個處于E態(tài)的節(jié)點，作為初始傳播節(jié)點，其余節(jié)點處于S態(tài).

(2) 在每一個時間步t，對于所有E態(tài)節(jié)點，當Ti≥1時，選擇g條包含該節(jié)點的超邊，所選擇超邊包含的所有S態(tài)節(jié)點將轉變?yōu)镃態(tài)，其中有α的概率轉變?yōu)镋態(tài).E態(tài)節(jié)點隨著染病時間Ti的增加，有μ的概率發(fā)病，轉化為I態(tài)；否則，繼續(xù)處在E態(tài).其中，Ti表示節(jié)點i在E態(tài)的持續(xù)時間，即當節(jié)點i從S態(tài)轉變?yōu)镋態(tài)時，設置Ti=1；在下一個時間步，設置Ti=2，以此類推；當節(jié)點從E態(tài)變?yōu)镮態(tài)時，將置Ti=0.

(3)I態(tài)節(jié)點有β的概率被隔離或治療，轉化為R態(tài)；否則繼續(xù)處于I態(tài)，隨機選擇一條包含該節(jié)點的超邊，所選擇超邊包含的所有S態(tài)節(jié)點將轉變?yōu)镃態(tài)，其中有α的概率轉變?yōu)镋態(tài).當I態(tài)節(jié)點被隔離或治療時，其之前的密切接觸者有γ的概率將被隔離，進入R態(tài).

(4)R態(tài)節(jié)點在以后的時間步中一直處于免疫態(tài)，不再對其余節(jié)點有影響，退出演化過程.

(5) 當系統(tǒng)中不再存在E態(tài)和I態(tài)節(jié)點時，整個傳播過程結束.

由此，可以得到動力學模型如下：

(1)

Sk(t),Ck(t),Ek(t),Ik(t),Rk(t)分別表示t時步超度為k的易感態(tài)節(jié)點、密切接觸態(tài)節(jié)點、潛伏態(tài)節(jié)點、感染態(tài)節(jié)點、免疫態(tài)節(jié)點的相對密度，滿足歸一化條件Sk(t)+Ck(t)+Ek(t)+Ik(t)+Rk(t) = 1；ΘI(t)表示一個超度為k的易感節(jié)點通過一條超邊與一個感染態(tài)節(jié)點相連的概率；ΘE(t)表示一個超度為k的易感節(jié)點通過一條超邊與一個潛伏態(tài)節(jié)點相連的概率.對于度不相關網絡，ΘI(t)的表達式[24]為

(2)

通過類似的計算方法，可得ΘE(t)的表達式為

(3)

圖2 SCEIR模型傳播機理圖

3 仿真分析

使用2.1小節(jié)中的構造方法生成超網絡進行仿真實驗.為了去除仿真過程中的隨機性影響各參數(shù)下的仿真實驗均獨立重復運行500次.在某地區(qū)新冠肺炎暴發(fā)的初始時刻，假設網絡中有1個I態(tài)節(jié)點和4個E態(tài)節(jié)點，其余為S態(tài)節(jié)點.參數(shù)μ取值參照文獻[30]中潛伏期分布數(shù)據.

3.1 網絡結構分析

根據《中國家庭發(fā)展報告》，2012年居民家庭戶的平均規(guī)模為3.02人，1人戶數(shù)量和2人戶數(shù)量占全部家庭戶的40%[31].借鑒上述的統(tǒng)計信息，本文設置q1=0.34，q2=0.25，q3=0.15，q4=0.1，q5=0.08，q6=0.05，q7=0.02，q8=0.01.構建超網絡的初始節(jié)點為8，包含在一條超邊中.生成網絡的節(jié)點規(guī)模為N= 10000，參數(shù)設置為h=2，m=1，計算得到節(jié)點超度的均值為7.34.所構建的網絡雙對數(shù)坐標下的節(jié)點超度分布如圖3所示.所生成的網絡中，大部分節(jié)點的接觸次數(shù)較少，僅僅少部分的節(jié)點具有較多的接觸次數(shù).真實世界中人類接觸網絡具有小世界和無標度特性[32]，從圖3中可以看出本文構建超網絡的節(jié)點超度符合冪律分布，本文構建的超網絡可以較好地描述人類的接觸模式.

3.2 傳染率α對傳播范圍的影響

傳染率α對終態(tài)時累計感染人數(shù)的影響作用，如圖4所示.從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，隨著傳染率的增大，最終感染的總人數(shù)也逐漸增大.網絡中節(jié)點超度的均值為7.34，代表著每個節(jié)點平均可能有7.34次的接觸次數(shù).參數(shù)d對應含義為實際產生的密切接觸次數(shù)，當d的取值越大時，說明出行管控越松散，反之則出行管控越嚴格.從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，終態(tài)感染總人數(shù)隨著d值的增大而增多，說明出行管控力度對最終的感染人數(shù)具有重要的影響作用，出行管控越嚴格，最終的感染人數(shù)越少.這與文獻[33]的結果相吻合，文獻[33]的研究表明暫停城市內公共交通，關閉娛樂場所和禁止公共聚會與總體控制該流行病有關.在其他參數(shù)相同的情況下，對比γ= 0.5和0.8，隨著γ的增加，終態(tài)感染總人數(shù)逐漸減少，即加大密切接觸者的隔離力度時，累計感染總人數(shù)逐漸減少.

圖3 節(jié)點超度分布圖

圖4 傳播率α對累計感染人數(shù)的影響(β=0.5)

3.3 參數(shù)β對傳播范圍的影響

參數(shù)β表示傳染態(tài)節(jié)點被治療或隔離的概率，其對累計感染人數(shù)的影響作用，如圖5所示.為簡化起見，在本文中傳染態(tài)節(jié)點一旦被治療或隔離，將其設置為免疫態(tài)，其將不能再傳染其他人.從圖5可以發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)β的增大，累計感染人數(shù)逐漸減少.當β值較小時，累計感染人數(shù)下降幅度較大.特別值得注意的是，隨著β值增大到一定程度，即當β> 0.7時，終態(tài)的累計感染人數(shù)下降幅度不再顯著.這說明在醫(yī)療資源有限的情況下，可以選擇將部分輕癥患者居家隔離.當參數(shù)取值β= 0.95，α= 0.8，γ= 0.9時，最終累計感染人數(shù)值為57，占總人數(shù)的比例為5.7‰，說明即使病毒有很強的傳染能力，對感染病人和其密切接觸者的隔離控制力度較強時，最終的傳播范圍也是較小的.

3.4 密切接觸者被隔離概率γ對傳播范圍的影響

密切接觸者被隔離概率γ表示密切接觸者被隔離力度，其值越大，表示隔離力度越強.密切接觸者被隔離概率γ對累計感染人數(shù)的影響曲線，如圖6所示.隨著密切接觸者被隔離概率γ的增大，累計感染人數(shù)逐漸減少.當參數(shù)α，β有不同的取值時，曲線展現(xiàn)出相同的變化趨勢.對比參數(shù)α= 0.5，β= 0.2和α= 0.8，β= 0.6取值時的曲線可以發(fā)現(xiàn)，兩條曲線幾乎重合，說明當病毒的傳染性較弱時，對密切接觸者采取的隔離力度可以相應地降低.圖6的結果表明，感染態(tài)節(jié)點的密切接觸者更有可能被感染態(tài)節(jié)點傳染，其進而傳染給其他節(jié)點，故密切接觸者的追溯和隔離對傳染病的傳播具有重要的影響.

圖5 參數(shù)β對累計感染人數(shù)的影響(d=1)

圖6 隔離概率γ對累計感染人數(shù)的影響(d=1)

3.5 隔離措施對傳播時間的影響

圖7 參數(shù)傳播β和γ對持續(xù)時間的影響(α=0.8，d=1)

傳染態(tài)節(jié)點被治療或隔離的概率β和密切接觸者被隔離概率γ對傳播持續(xù)時間的影響，如圖7所示(傳播時間的單位為2.2小節(jié)模型中的時步).隨著β和γ的不斷增大，傳播持續(xù)時間逐漸減小.說明對感染者和其密切接觸者的隔離措施，可以減小疾病的最終傳播持續(xù)時間.當參數(shù)取值為α=0.5，β=0.1，γ=0.05時，傳播持續(xù)時間有最大值，為56個時步.說明對于傳播性極強的傳染病，如果隔離管控措施極弱時，預計將有兩個月的傳播期(這里假設每個時步為一天).當參數(shù)取值為β=0.9，γ=0.05時，傳播持續(xù)時間為17.67個時步；當參數(shù)取值為β= 0.9，γ= 0.95時，傳播持續(xù)時間有最小值，為7.43個時步.值得注意的是，傳播持續(xù)時間最小值取值情況，對應于傳染病在某地暴發(fā)的初期即采取最高等級的防疫措施，這種情況一般出現(xiàn)在某地尚未暴發(fā)，而其他地方已經暴發(fā)一段時間，已經得到人們的廣泛重視.

4 結論

針對新冠肺炎傳播和控制問題，本文使用超網絡來構建社會接觸網絡，采用SCEIR模型并考慮潛伏期的持續(xù)時間和密切接觸者的隔離，構建了一種基于超網絡的新冠肺炎傳播模型，研究影響傳染病傳播的主要因素.仿真結果表明：出行管控措施越嚴格，最終的感染人數(shù)越少；隨著傳染態(tài)節(jié)點被治療或隔離的概率增大，累計感染人數(shù)逐漸減少，但當其增大到一定程度時，累計感染人數(shù)下降幅度不再顯著，說明醫(yī)療資源有限的情況下，可以選擇將部分輕癥患者居家隔離；對感染者和其密切接觸者的隔離措施，可以減少疾病的最終傳播持續(xù)時間.

本文模型可以較好地模擬局部地區(qū)的新冠肺炎傳播情形.當病毒的傳染性較強時，對密切接觸者的隔離力度需要較大；當病毒的傳染性較弱時，對密切接觸者采取的隔離力度可以相應地降低.本文的工作有助于深入理解新冠肺炎的傳播規(guī)律，構建的超網絡結構是靜態(tài)結構，相對于實際情況還有一定的局限性，在未來的研究中將構建更加符合實際情況的社會接觸網絡結構來模擬傳染病的傳播情況.同時，在傳染病實際救治過程中，可能會由于病人過多，存在醫(yī)療資源嚴重匱乏等問題，這也需要在未來研究中優(yōu)化.

說明：本文研究針對2022年11月之前的數(shù)據，故在文字描述上仍采用新型冠狀病毒肺炎(新冠肺炎)，未采用國家衛(wèi)健委2022年12月26日的更名——新型冠狀病毒感染.