變長(zhǎng)度柔性雙足機(jī)器人行走控制及穩(wěn)定性分析

廖發(fā)康，周亞麗，張奇志

（北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192）

0 引言

1990 年，McGeer［1］提出了被動(dòng)動(dòng)態(tài)行走（Passive Dynamic Walking，PDW）模型，在雙足機(jī)器人領(lǐng)域取得了里程碑意義的研究成果。與主動(dòng)控制系統(tǒng)［2］相比，基于PDW原理設(shè)計(jì)的機(jī)器人效率要高得多，因?yàn)榇祟?lèi)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)是通過(guò)腿的自然擺動(dòng)來(lái)維持的，而不是通過(guò)安裝在每個(gè)關(guān)節(jié)上的電機(jī)來(lái)驅(qū)動(dòng)的。但是被動(dòng)行走步態(tài)單一，抗擾性能較差，容易出現(xiàn)混沌特性，進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)［3］；而且由于擺動(dòng)腿落地瞬間，與地面之間的沖擊存在能量損失，采用剛性腿的被動(dòng)行走機(jī)器人不能在水平面上持續(xù)行走，且剛性腿太僵硬，不具有擬人性。1989 年，Blickhan［4］首次提出了彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型，用以描述人類(lèi)的奔跑和跳躍。研究表明觸地時(shí)間和跳躍頻率不是簡(jiǎn)單地由彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率決定的，而是很大程度上受著陸速度矢量的影響。雖然人類(lèi)的腿具有復(fù)雜的神經(jīng)控制系統(tǒng)，但在跑步階段，腿會(huì)表現(xiàn)出簡(jiǎn)單的彈簧狀行為，可以用彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型來(lái)描述。2006 年，Geyer 等［5］對(duì)彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行擴(kuò)展，該模型將雙支撐作為行走過(guò)程中的重要組成部分，用簡(jiǎn)單的彈簧負(fù)載倒立擺（Spring-Loaded Inverted Pendulum，SLIP）模型模擬了人類(lèi)在平面上的運(yùn)動(dòng)。Geyer 的研究表明：帶彈簧的柔性腿可以準(zhǔn)確地再現(xiàn)人體行走過(guò)程中髖關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡和站立時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性。雙足機(jī)器人采用柔性腿代替剛性腿，借助于彈簧的彈性勢(shì)能，可以實(shí)現(xiàn)平地上的類(lèi)人行走。2010 年，Rummel 等［6］通過(guò)對(duì)機(jī)器人行走時(shí)腿部剛度與魯棒性之間的關(guān)系研究，得出了可變腿剛度能有效地抑制外部干擾的結(jié)論。2012 年，Visser等［7］把SLIP 擴(kuò)展為變腿剛度模型（Variable leg stiffness-SLIP，V-SLIP），顯著提高了雙足機(jī)器人對(duì)外界干擾的魯棒性。2013 年，Visser 等［8］將V-SLIP 模型擴(kuò)展為考慮擺動(dòng)腿動(dòng)力學(xué)的V-SLIP 模型（V-SLIP model with Swing Leg dynamics，V-SLIP-SL），即在每條腿的末端增加了一個(gè)腳質(zhì)量。仿真結(jié)果表明，在控制器的作用下，機(jī)器人具有足夠的魯棒性，能夠抑制由擺動(dòng)腿動(dòng)態(tài)所引起的擾動(dòng)。2020 年，Pelit 等［9］以被動(dòng)SLIP-SL 模型作為模板，為5 連桿全驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人的質(zhì)心和擺動(dòng)腳提供所需的軌跡。仿真結(jié)果表明，該控制器可以跟蹤由SLIP-SL 模型獲得的軌跡，并且簡(jiǎn)單的SLIP-SL 模型比高自由度模型在計(jì)算方面更有優(yōu)勢(shì)。

盡管雙足機(jī)器人的擴(kuò)展及變剛度控制能使機(jī)器人擁有良好的魯棒性能，但變剛度實(shí)驗(yàn)裝置的設(shè)計(jì)和制造［10-11］都比較復(fù)雜，而變長(zhǎng)度的實(shí)驗(yàn)裝置要簡(jiǎn)單得多［12］。2008 年，Asano 等［13］針對(duì)平面伸縮腿雙足機(jī)器人模型，提出了一種簡(jiǎn)單的控制律，在不考慮零力矩點(diǎn)（Zero Moment Point，ZMP）條件的情況下，通過(guò)伸縮擺動(dòng)腿即可輕松實(shí)現(xiàn)水平步態(tài)生成。2012 年，Asano［14］引入了一個(gè)由8 個(gè)伸縮腿組成的平面無(wú)緣輪模型，并將該方法推廣到帶有制動(dòng)彈簧的平面伸縮腿雙足機(jī)器人，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。2018年，Harata 等［15］研究了包含伸縮腿的欠驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人的穩(wěn)定性。將輸出跟隨控制律應(yīng)用于機(jī)器人的線性化運(yùn)動(dòng)方程中，將被控機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程指定為一個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)，建立了誤差轉(zhuǎn)移方程來(lái)評(píng)估穩(wěn)定性，通過(guò)數(shù)值計(jì)算說(shuō)明了腿部伸縮運(yùn)動(dòng)對(duì)穩(wěn)定性的影響。

上述文獻(xiàn)的變長(zhǎng)度伸縮腿控制基本采用的都是剛性腿，本課題組在此基礎(chǔ)上，對(duì)雙足機(jī)器人變長(zhǎng)度的柔性伸縮腿控制展開(kāi)研究。2019 年，張奇志等［16］研究半被動(dòng)伸縮腿雙足機(jī)器人行走控制和周期解的全局穩(wěn)定性問(wèn)題，設(shè)計(jì)了腿伸縮長(zhǎng)度的支撐腿角度反饋控制率，證明了伸縮腿雙足機(jī)器人行走過(guò)程不動(dòng)點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；同年，宋嘉琦等［17］采用變長(zhǎng)度柔性伸縮腿結(jié)構(gòu)，研究了半被動(dòng)雙足機(jī)器人的平面穩(wěn)定行走的控制問(wèn)題，結(jié)果表明變長(zhǎng)度控制算法可以實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的穩(wěn)定行走，并具有較強(qiáng)的抗干擾性。2022 年，張瑞等［18］用半被動(dòng)變長(zhǎng)度彈性伸縮腿雙足機(jī)器人模型，提出了一種基于能量的仿人控制方法。結(jié)果表明，所提出的控制策略可使雙足機(jī)器人在水平面上實(shí)現(xiàn)起步行走過(guò)程，并對(duì)外部的擾動(dòng)具有一定的抗擾性。

本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上，提出了考慮軀干影響和擺動(dòng)腿動(dòng)力學(xué)的變腿長(zhǎng)度柔性雙足機(jī)器人（Variable Leg length SLIP with Torso and Swing Legs dynamics，VL-TSLIPSL）模型。首先，建立柔性雙足機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，仿真求解出雙足機(jī)器人被動(dòng)行走的自然步態(tài)，將其作為期望步態(tài)；其次，采用反饋線性化控制方法，通過(guò)對(duì)雙足機(jī)器人腿長(zhǎng)度變量和髖關(guān)節(jié)力矩的控制，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的穩(wěn)定周期行走；最后，采用Newton-Raphson 迭代法和龐加萊映射相結(jié)合，求解不動(dòng)點(diǎn)并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 雙足機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

1.1 機(jī)器人模型描述

雙足機(jī)器人的模型如圖1 所示。由質(zhì)量為M的髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)、中心質(zhì)量為m的剛性桿及兩條長(zhǎng)度可變的柔性腿組成，每條腿的末端各有一個(gè)腳質(zhì)量mf。髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為[x，y]=：qh∈Qh，其中Qh表示二維的實(shí)數(shù)域。軀干長(zhǎng)度為l，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I；腿長(zhǎng)度為L(zhǎng)0+ui，L0為原長(zhǎng)度，ui(i=1，2)為可控的長(zhǎng)度增量。兩腿各有一個(gè)彈性系數(shù)為k0的單向彈簧。髖關(guān)節(jié)力矩τ1和τ2用來(lái)控制軀干姿態(tài)角α和擺動(dòng)腿與法線夾角β。

圖1 VL-TSLIP-SL模型Fig.1 VL-TSLIP-SL model

圖2 為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。其初始狀態(tài)是左腿作支撐腿，右腿作擺動(dòng)腿，呈垂直站立（Vertical Leg Orientation，VLO）狀態(tài)，擺動(dòng)腿不與地面接觸，此時(shí)為單支撐（Single Support，SS）階段。當(dāng)髖關(guān)節(jié)下降到高度S時(shí)，此時(shí)的S＝L0sinθ稱(chēng)為切換高度，擺動(dòng)腿以原始長(zhǎng)度L0和角度θ接觸地面，然后機(jī)器人進(jìn)入雙支撐（Double Support，DS）階段。當(dāng)髖關(guān)節(jié)升高到高度S時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入SS 階段，左腿變?yōu)閿[動(dòng)腿，右腿變?yōu)橹瓮龋紤]到雙腿的對(duì)稱(chēng)性，圖2 中所表示的從左腿作支撐腿到右腿作支撐腿的過(guò)程稱(chēng)為機(jī)器人的一個(gè)步態(tài)周期，如此循環(huán)反復(fù)。

圖2 雙足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程Fig.2 Moving process of biped robot

由此可得，從SS 過(guò)渡到DS 的條件是：

DS 切換為SS 的條件為：

其中Li是后支撐腿的長(zhǎng)度。

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

在圖1 中，以支撐腿與地面的接觸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立圖中所示直角坐標(biāo)系，利用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。定義拉格朗日函數(shù)為：

其中：K為系統(tǒng)的動(dòng)能，P為系統(tǒng)的勢(shì)能。

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

其中：n為系統(tǒng)的自由度，qi為系統(tǒng)的變量，F(xiàn)i為作用于系統(tǒng)的廣義力。

1.2.1 單支撐階段的動(dòng)力學(xué)方程

SS 階段的簡(jiǎn)化模型如圖3 所示。右腿是擺動(dòng)腿，長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，與法線夾角為β，因?yàn)樵诖穗A段不需要對(duì)右腿進(jìn)行變長(zhǎng)度控制，所以假設(shè)為剛性腿。在這個(gè)階段，左腿長(zhǎng)度增量為u1，力矩τ1和τ2是控制髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，軀干姿態(tài)角和擺動(dòng)腿夾角的控制輸入，系統(tǒng)狀態(tài)變量為［x，y，α，β］T=：qSS∈QSS（QSS={qSS∈QSS|L0sinθ＜y＜L0}）。

圖3 SS階段的簡(jiǎn)化模型Fig.3 Simplified model of SS phase

分別計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能K和勢(shì)能P，可得拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式為：

1.2.2 雙支撐階段的動(dòng)力學(xué)方程

DS 階段的簡(jiǎn)化模型如圖4 所示。此時(shí)雙腿接觸地面，由于右腿與法線的夾角β可以通過(guò)髖關(guān)節(jié)位置和腳觸地點(diǎn)計(jì)算得到，因此系統(tǒng)的狀態(tài)變量為[x，y，α]T=：qDS∈QDS。在這個(gè)階段中，雙腿長(zhǎng)度增量u1、u2和力矩τ1是控制髖關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)和軀干姿態(tài)角的控制輸入，其中QDS為QDS={qDS∈QDS| 0 ＜y≤L0sinθ}。

圖4 DS階段的簡(jiǎn)化模型Fig.4 Simplified model of DS phase

采用與SS 階段相同的推導(dǎo)方法，得到DS 階段的動(dòng)力學(xué)方程：

由式（9）～（10）可知，系統(tǒng)在SS 階段為欠驅(qū)動(dòng)模型，在DS 階段為全驅(qū)動(dòng)模型，但總的來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式

為了便于后續(xù)的反饋線性化控制器的設(shè)計(jì)，在這里將動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間表達(dá)式。在SS 階段，令：

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制目標(biāo)

對(duì)于文中所要研究的雙足機(jī)器人，設(shè)定的控制目標(biāo)是：在保證軀干直立的情況下，使髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)跟蹤期望高度y*(x)和期望水平速度，并使擺動(dòng)腿按期望軌跡β*（x）擺動(dòng)。由于機(jī)器人在穩(wěn)定行走過(guò)程中，水平位置x在時(shí)間上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，因此本文采用x替代時(shí)間t作為自變量，即采用空間軌跡方法。

為了避免符號(hào)混亂，省略函數(shù)參數(shù)z1。定義控制目標(biāo)的誤差函數(shù)為：

控制目標(biāo)是使誤差盡可能收斂到0 的鄰域。

2.2 反饋線性化控制

本文通過(guò)反饋線性化方法設(shè)計(jì)控制器，來(lái)控制腿的伸縮長(zhǎng)度和髖關(guān)節(jié)力矩，使機(jī)器人的行走能夠逐漸逼近期望的步態(tài)，軀干傾角和擺動(dòng)腿夾角收斂到期望角度。需要說(shuō)明的是：由于系統(tǒng)在SS 階段有4 個(gè)自由度，但是只有3 個(gè)控制輸入，屬于欠驅(qū)動(dòng)狀態(tài)，因此采用部分反饋線性化（Partial Feedback Linearization，PFL）的控制方式［19］，水平方向速度誤差ev在SS 階段不受控制。在DS 階段，兩腳都與地面接觸，不需要對(duì)誤差eβ的動(dòng)態(tài)控制，屬于全驅(qū)動(dòng)狀態(tài)，因此采用標(biāo)準(zhǔn)反饋線性化的控制方式?？紤]到在單支撐階段，不是用3個(gè)控制輸入控制4 個(gè)被控變量；而是用3 個(gè)控制輸入控制3個(gè)被控變量，另一個(gè)被控量不控制，所以單支撐欠驅(qū)動(dòng)和雙支撐全驅(qū)動(dòng)的反饋線性化控制器的設(shè)計(jì)是一樣的。

2.2.1 單支撐階段

在SS 階段，控制變量為髖關(guān)節(jié)高度軌跡y、軀干姿態(tài)角α和擺動(dòng)腿夾角β，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

為了將該非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性標(biāo)準(zhǔn)型，首先需要確定誤差的關(guān)系度γSS={γp，γα，γβ}。

對(duì)于位置誤差ep：

所以關(guān)系度γp=2，同理可得γα和γβ的關(guān)系度也為2。因此，在SS 階段中，誤差的關(guān)系度γSS=｛γp，γα，γβ｝=｛2，2，2｝。

根據(jù)反饋線性化原理，可得誤差動(dòng)力學(xué)方程為：

2.2.2 雙支撐階段

在DS 階段，控制變量為髖關(guān)節(jié)高度y、軀干姿態(tài)角α和前進(jìn)速度x˙。采用與SS 階段相同的方法，可以得到關(guān)系度γDS={γp，γα，γv}={2，2，1}，則誤差動(dòng)力學(xué)方程為：

3 軌道穩(wěn)定性分析

被動(dòng)行走周期步態(tài)的特點(diǎn)是系統(tǒng)的狀態(tài)變量每隔一個(gè)周期重復(fù)取值一次，在狀態(tài)空間中表現(xiàn)為周期軌道，又稱(chēng)極限環(huán)，因此被動(dòng)行走周期步態(tài)的局部穩(wěn)定性采用軌道穩(wěn)定性來(lái)定義。從直觀上講，周期步態(tài)是軌道穩(wěn)定的是指周期軌道對(duì)應(yīng)的某個(gè)狀態(tài)受到有限擾動(dòng)后偏離了原有的周期軌道，但系統(tǒng)的狀態(tài)最終運(yùn)動(dòng)到其附近的一條周期軌道上。如果狀態(tài)受到擾動(dòng)后，系統(tǒng)在自身的作用下仍能回到原來(lái)所在的周期軌道上則稱(chēng)周期步態(tài)是軌道漸近穩(wěn)定的。

分析周期軌道穩(wěn)定性的常用辦法是通過(guò)龐加萊映射（Poincaré map）將周期軌道穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題［20-21］。本文將擺動(dòng)腿觸地瞬間所在的超平面取為龐加萊截面Σ，兩個(gè)連續(xù)觸地事件之間的關(guān)系可以用龐加萊映射表示為P：Σ→Σ，即

其中：P代表龐加萊映射，為龐加萊截面上的6 維狀態(tài)變量。狀態(tài)變量不包含髖關(guān)節(jié)位置（x，y），這是因?yàn)樗轿恢脁為自變量，垂直位置y可由y=L0sinθ計(jì)算得到。因此，選擇合適的龐加萊節(jié)截面及采用空間軌跡的分析方法，可以將狀態(tài)變量維數(shù)由8 維降低到6 維，可以有效降低算法的復(fù)雜性及運(yùn)算量。

對(duì)于周期相位軌跡，龐加萊截面上的狀態(tài)變量為常數(shù)，即

其中：φ*為龐加萊映射的不動(dòng)點(diǎn)。因此，通過(guò)龐加萊映射，雙足機(jī)器人的穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為龐加萊映射不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題。

3.1 求解不動(dòng)點(diǎn)

求解龐加萊映射不動(dòng)點(diǎn)的常用方法是Newton-Raphson迭代法。用φk表示軌道第k次穿過(guò)龐加萊截面的點(diǎn)，由式（19）可知φk+1=P(φk)，設(shè)φk+1=φk+Δφk，利用一階泰勒公式對(duì)龐加萊映射函數(shù)P（x）進(jìn)行局部線性化，可以得到如下關(guān)系：

使用φk+1=φk+Δφk進(jìn)行迭代，直到Δφk小于給定的閾值誤差，便求得不動(dòng)點(diǎn)φ*。

3.2 軌道穩(wěn)定性判據(jù)

對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)φ*附近的小擾動(dòng)Δφ*，采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，龐加萊映射函數(shù)可以表示為：

其中：?P為龐加萊映射函數(shù)相對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)的梯度，稱(chēng)為雅可比矩陣。?P其表達(dá)式為：

該矩陣的特征值λ稱(chēng)為被動(dòng)行走系統(tǒng)的Floquet 乘子。由于Δφk+1=(?P)Δφk，所以，當(dāng)雅可比矩陣的所有特征值滿足|λ| ＜1 時(shí)，必有＜1，即隨著k的增加，Δφk→0，誤差會(huì)隨著步長(zhǎng)的增加而逐漸減小，極限環(huán)將逐漸收斂到原周期軌道，由軌道穩(wěn)定性定義可知系統(tǒng)的周期步態(tài)是軌道穩(wěn)定的。

4 仿真分析

表1 系統(tǒng)參數(shù)和初始條件Tab.1 System parameters and initial conditions

4.1 步態(tài)分析

圖5 給出的是髖關(guān)節(jié)軌跡、軀干姿態(tài)角α和擺動(dòng)腿夾角β的軌跡圖。可以看出，所提出的控制器能夠維持穩(wěn)定的周期步態(tài)，并保持軀干直立。從圖6 中可以看出，得到的誤差曲線收斂于零的鄰域。在DS 階段，因?yàn)閿[動(dòng)腿角度β在此階段沒(méi)有定義，所以eβ≡0。此外，如前所述，系統(tǒng)在SS 階段處于欠驅(qū)動(dòng)狀態(tài)，采用的是部分反饋線性化的控制方式。即僅在DS 階段控制髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)的水平速度。從圖6（d）中可以看出：誤差ev在DS 階段趨于零，而在單支撐階段，存在一定的誤差。

圖5 髖關(guān)節(jié)軌跡、軀干傾角軌跡和擺動(dòng)腿夾角軌跡Fig.5 Hip trajectories，torso attitude angle trajectory，and swing leg included angle trajectory

圖6 穩(wěn)態(tài)誤差變化曲線（灰色區(qū)域?yàn)镈S階段）Fig.6 Error change curves in steady state（the areas printed in grey are DS phases）

圖7 給出了穩(wěn)定狀態(tài)下的控制輸入變化曲線，黑色虛線對(duì)應(yīng)腿原長(zhǎng)度（L0=1 m）。理想的SLIP 參考模型可以在沒(méi)有任何控制輸入的情況下（即u1=u2=0）維持穩(wěn)定的步態(tài)。本文提出的VL-TSLIP-SL 模型包括軀干姿態(tài)和擺動(dòng)腿控制，這些非理想動(dòng)態(tài)都被認(rèn)為是系統(tǒng)的外部擾動(dòng)，因此需要較大的控制輸入來(lái)抑制這些擾動(dòng)。在圖7 中可以清楚地看到控制輸入隨著機(jī)器人的行走作出的變化，由于擺動(dòng)腿夾角β在DS 階段沒(méi)有定義，所以在DS 階段τ2≡0。此外，由于在行走的過(guò)程中，左右腿交替作為擺動(dòng)腿，所以在SS 階段，控制輸入u1和u2交替為零。

圖7 穩(wěn)態(tài)控制輸入變化曲線Fig.7 Control input change curves in steady state

系統(tǒng)的能量曲線如圖8 所示，其中虛線為理想SLIP 模型的能量水平。可以看出，總能量在SLIP 模型的能量水平上波動(dòng)。一方面原因是控制器作用在軀干和擺動(dòng)腿上，需要消耗能量；另一方面原因是期望軌跡由傅里葉級(jí)數(shù)擬合而來(lái)，存在著一定的偏差。因此，實(shí)際上能量水平不是恒值，存在一定的波動(dòng)。

圖8 系統(tǒng)的能量曲線Fig.8 Energy curves of system

4.2 穩(wěn)定性驗(yàn)證

4.2.1 特征值分布

對(duì)于雅可比矩陣，由于無(wú)法得到解析解，在實(shí)際的機(jī)器人系統(tǒng)中，通常采用數(shù)值方法進(jìn)行求解。數(shù)值解法的步驟如下：

步驟1 用Newton-Raphson 迭代法得到不動(dòng)點(diǎn)φ*=

步驟2 每次對(duì)一個(gè)狀態(tài)變量施加擾動(dòng)，其他狀態(tài)變量保持不變。

步驟3 觀察龐加萊映射的首次返回值。

步驟4 計(jì)算式（25）中對(duì)應(yīng)列的元素值。

步驟5 重復(fù)6 次，即每個(gè)狀態(tài)變量各1 次。

步驟6 計(jì)算雅可比矩陣的特征值，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

對(duì)于本文提出的雙足機(jī)器人系統(tǒng)，存在一個(gè)不動(dòng)φ*=（0.000 3，1.090 8，1.147 6，-1.058 8，0.000 6，0.010 5）T，對(duì)不動(dòng)點(diǎn)施加一個(gè)大小為1 × 10-3的小擾動(dòng)，則雅可比矩陣為：

計(jì)算特征值為：-0.050 7+0.000 0i；-0.000 2+0.0000i；0.482 9+0.427 5i；0.482 9-0.427 5i；0.347 1；0.0042。

其最大特征值的模為0.644 9＜1，因此不動(dòng)點(diǎn)φ*是穩(wěn)定的，該系統(tǒng)是軌道穩(wěn)定的。

4.2.2 極限環(huán)

圖9 給出了雙足機(jī)器人以穩(wěn)定的周期步態(tài)行走足夠長(zhǎng)的時(shí)間后的相位軌跡。由于機(jī)器人雙腿步態(tài)的對(duì)稱(chēng)性，雙腿交替為支撐腿與擺動(dòng)腿，因此只畫(huà)出了從左腿以原長(zhǎng)觸地瞬間到右腿以原長(zhǎng)觸地瞬間的極限環(huán)。在極限環(huán)之外，本文用小棍圖來(lái)表示雙足機(jī)器人行走的步態(tài)，腳末端的黑點(diǎn)表示腿與地面接觸。相位軌跡的循環(huán)方向用箭頭表示。

階段Ⅰ：A點(diǎn)到B點(diǎn)（DS階段）。

如圖9（a）所示，從標(biāo)記為A 的瞬間，即機(jī)器人單雙支撐切換瞬間開(kāi)始行走，（也就是左腿以原長(zhǎng)剛接觸地面變?yōu)橹瓮葧r(shí)刻），此時(shí)機(jī)器人處于DS 狀態(tài)。A 點(diǎn)位于龐加萊截面上，因此髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)的水平速度==1.147 6 m/s。由于系統(tǒng)有足夠的能量，它將繼續(xù)向前移動(dòng)，伸展左腿，直到達(dá)到其原長(zhǎng)度（點(diǎn)B）。

圖9 系統(tǒng)的相位軌跡Fig.9 Phase trajectories of system

階段Ⅱ：B點(diǎn)到C點(diǎn)（SS階段）。

在B 點(diǎn)瞬間，左腿失去與地面的接觸，以原長(zhǎng)向前擺動(dòng)，機(jī)器人從DS 階段切換到右腿SS 階段。可見(jiàn)B 點(diǎn)也在龐加萊截面上，因此髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)的水平速度=1.147 6 m/s。當(dāng)機(jī)器人到達(dá)C 點(diǎn)時(shí)，右腿垂直站立，左腿處于擺動(dòng)階段。

階段Ⅲ：C點(diǎn)到D點(diǎn)（SS階段）。

在C 點(diǎn)，機(jī)器人系統(tǒng)處于VLO 狀態(tài)。為保證步態(tài)對(duì)稱(chēng)，髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)的垂直速度=0 m/s。右腿保持與地面接觸，左腿繼續(xù)向前擺動(dòng)。當(dāng)機(jī)器人到達(dá)D 點(diǎn)時(shí)，左腿以其原長(zhǎng)度接觸地面，雙足機(jī)器人從右腿SS 階段切換到DS 階段。然后兩條腿互換角色，相位軌跡回到下一個(gè)行走階段的A 點(diǎn)（實(shí)際上，A 點(diǎn)和D 點(diǎn)是同一點(diǎn)）。

圖9（b）為三維相位軌跡，可以更直觀地看出，隨著機(jī)器人按照x軸方向的行走，極限環(huán)依次螺旋上升，系統(tǒng)狀態(tài)變量已形成穩(wěn)定的極限環(huán)，雙足機(jī)器人處于穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。

從特征值的計(jì)算及圖9 的相軌跡可以看出，雖然在單支撐階段采用了部分反饋線性化控制方法，但是雅可比矩陣的特征值均位于單位圓內(nèi)，形成穩(wěn)定的極限環(huán)，證明系統(tǒng)是軌道穩(wěn)定的。

4.3 擾動(dòng)抑制性能

為了驗(yàn)證控制策略在擾動(dòng)下的有效性，在x=3.692 m處，施加Fd=［Fx，F(xiàn)y］T=（10，20）TN 的擾動(dòng)，持續(xù)0.644 3 m，結(jié)果如圖10 所示。

在圖10 中，虛線表示對(duì)系統(tǒng)施加擾動(dòng)的瞬間。可以看出，系統(tǒng)在擾動(dòng)下能夠保持穩(wěn)定的步態(tài)，經(jīng)過(guò)一個(gè)短暫的過(guò)渡階段后，系統(tǒng)恢復(fù)到穩(wěn)定的周期步態(tài)。對(duì)于髖關(guān)節(jié)高度y，由于采用的是變腿長(zhǎng)度控制，機(jī)器人在受到擾動(dòng)時(shí)，控制器控制伸縮腿，使系統(tǒng)能保持在原有的期望軌跡上；對(duì)于前進(jìn)速度x˙和軀干α，大約在2 步內(nèi)收斂到期望軌跡；對(duì)于擺動(dòng)腿夾角β，大約在4 步內(nèi)收斂到期望軌跡。總體上來(lái)看，機(jī)器人能夠抵抗外部擾動(dòng)，繼續(xù)平穩(wěn)地行走。

圖10 系統(tǒng)受到擾動(dòng)后的響應(yīng)Fig.10 Response of system after disturbance

為了進(jìn)一步研究變長(zhǎng)度控制器的性能，對(duì)機(jī)器人施加不同的干擾，通過(guò)重復(fù)性實(shí)驗(yàn)研究其擾動(dòng)抑制區(qū)域?？紤]到實(shí)際情況，干擾力限制在±100 N 內(nèi)。結(jié)果如圖11 所示。深灰色區(qū)域?yàn)闊o(wú)變長(zhǎng)度情況下的抗干擾區(qū)域，淺灰色區(qū)域?yàn)樽冮L(zhǎng)度情況下的抗干擾區(qū)域。對(duì)于圖11（a），當(dāng)機(jī)器人處于SS 階段時(shí)，在3.692 m 處施加擾動(dòng)；對(duì)于圖11（b），當(dāng)機(jī)器人處于DS 階段時(shí)，在5.996 m 處施加擾動(dòng)?？傻贸?，系統(tǒng)處于DS 階段的抗干擾性能優(yōu)于SS 階段，這是因?yàn)橄到y(tǒng)在SS 階段為欠驅(qū)動(dòng)，在DS 階段為全驅(qū)動(dòng)?？傮w而言，該控制方法對(duì)擾動(dòng)具有較好的魯棒性。

圖11 系統(tǒng)對(duì)不同擾動(dòng)力的響應(yīng)Fig.11 Response of system to different disturbance force

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了VL-TSLIP-SL 模型，該模型由一個(gè)髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)、一個(gè)剛性軀干和兩條柔性腿組成，每條腿的末端都有一個(gè)腳質(zhì)量。本模型包含了軀干姿勢(shì)控制和擺動(dòng)腿動(dòng)力學(xué)。利用拉格朗日第二方程構(gòu)造機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)控制雙腿長(zhǎng)度，控制機(jī)器人的實(shí)際步態(tài)軌跡逐漸收斂到期望步態(tài)軌跡。由于系統(tǒng)的高耦合和非線性特點(diǎn)，采用反饋線性化的方法將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的步態(tài)漸近穩(wěn)定。利用Newton-Raphson 迭代法結(jié)合龐加萊映射分析可知，雙足機(jī)器人周期軌道的穩(wěn)定性等價(jià)于龐加萊映射不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性。最后，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了其軌道穩(wěn)定性和抗干擾性能。未來(lái)的工作將進(jìn)一步研究機(jī)器人的參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。此外，在本文理論研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)際樣機(jī)的驗(yàn)證是需要進(jìn)一步研究的課題。