均布載荷作用下十次對稱二維準晶梁的辛解析法

李光芳，范俊杰

（1.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；3.內(nèi)蒙古鴻德文理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000）

隨著科技的發(fā)展，新材料由于具有優(yōu)異性能而成為重要的研究領(lǐng)域，其中準晶是目前研究比較廣泛的新材料。準晶體是一種介于晶體和非晶體之間的固體，具有特殊的準周期有序結(jié)構(gòu)，因此準晶表現(xiàn)出很多優(yōu)異的性能，如耐熱、耐磨、高硬度、高強度等，使其具有很大的應(yīng)用潛力。近年來，研究者們在準晶彈性理論方面的研究取得了很大的進展。結(jié)合勢函數(shù)理論和Fourier變換法，李顯方等［1］研究了一維六方準晶中的直線型位錯和移動螺型位錯問題。Radi和Mariano［2］運用Stroh方法研究了二維準晶中的Griffith裂紋問題。高陽等［3］采用復(fù)變函數(shù)方法研究了帶有裂紋或橢圓孔口立方準晶的斷裂力學(xué)問題。李翔宇［4］利用勢函數(shù)方法研究了一維六方準晶中的平面裂紋問題。劉官廳等［5］運用解析函數(shù)理論研究了一維六方準晶中無限平行位錯與半無限裂紋相互作用的問題。

Hamilton體系可表示一切真實的、耗散可忽略不計的物理過程，該體系廣泛存在，且具有普適性。辛方法是基于Hamilton系統(tǒng)的分離變量法，通過求解本征值可得到彈性問題的解析解。馮康［6］于20世紀80年代初開始研究Hamilton體系的計算方法，并首次將辛方法用于計算固體力學(xué)。姚偉岸等［7］將Hamilton體系引入到了彈性力學(xué)問題求解中，突破了傳統(tǒng)彈性力學(xué)求解時帶來的高階偏微分方程等困難。目前，Hamilton體系辛方法已被廣泛應(yīng)用到各個領(lǐng)域，如彈性力學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)等。Leung等［8］采用辛方法研究了壓電復(fù)合材料板的力學(xué)性能。徐新生等［9］研究了彈性圓板屈曲問題的辛方法。王華等［10］建立了點群為12 mm準晶平面彈性問題的辛方法。周震寰等［11］在哈密頓力學(xué)框架下，研究了有限尺寸一維六方壓電準晶雙材料中的Ⅲ型界面V型缺口的斷裂行為。喬艷芬等［12］運用辛方法分析了二維八次對稱準晶的平面彈性問題。

在工程領(lǐng)域中，梁結(jié)構(gòu)是重要的承重構(gòu)件，多年來，此類結(jié)構(gòu)的彈性力學(xué)性能吸引了廣大學(xué)者的研究。然而，由于準晶結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，目前準晶梁的研究較少。本文利用Hamilton體系辛方法，在建立十次對稱二維準晶梁Hamilton對偶方程的基礎(chǔ)上，求解相應(yīng)Hamilton算子矩陣的零本征解及其約當(dāng)型本征解，得到了其聲子場和相位子場應(yīng)力和位移的解析表達式，為工程應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。

1 十次準晶梁的Hamilton對偶方程

假設(shè)z軸為十次準晶的周期方向，x-y平面為準周期平面。在平面直角坐標(biāo)系中，考慮十次準晶梁，其截面為平面矩形區(qū)域

根據(jù)十次準晶變形幾何方程［13］

平衡方程（不計體力）

和本構(gòu)方程

其中：σij，ui和εij分別表示聲子場的應(yīng)力、位移和應(yīng)變，Hij，wi和wij分別表示相位子場的應(yīng)力、位移和應(yīng)變。Cij和Ki分別表示聲子場和相位子場的彈性常數(shù)，R表示聲子場和相位子場耦合彈性常數(shù)。引入位移向量

在不考慮體力的情況下，Lagrange密度函數(shù)可表示為

其中一點表示對x的偏導(dǎo)數(shù)，即

為勢能密度函數(shù)。可得q的對偶變量為

由式（3），（4）和（8），可得十次準晶梁Hamilton對偶方程為

其中v=(ux，uy，wx，wy，σxx，σyx，Hxx，Hyx)T為全狀態(tài)向量，為Hamilton算子矩陣。在矩陣H中，

且AT表示A的自伴算子矩陣，ai(i=1，2，…，10)和bi(i=1，2，…，6)是彈性常數(shù)（見附錄A）。

由最小勢能原理，可得方程

根據(jù)變分法，由式（10）可得齊次側(cè)邊邊界條件為（當(dāng)y=±h時）

2 Hamilton體系辛方法

2.1 分離變量法及零本征值的本征解

由分離變量法，令

將其代入方程（9），可得

及本征方程

其中μ是本征值，Y(y)是本征函數(shù)向量。

對于具有側(cè)邊自由條件的矩形區(qū)域彈性問題，必存在零本征值的本征解。通過求解零本征值的本征方程

可得基本本征解

這四個本征向量是方程（9）滿足邊界條件（11）的解，記作

進一步，通過求解約當(dāng)型本征方程

其中上標(biāo)i，(i-1)分別代表第i，(i-1)階約當(dāng)型（或基本）本征解，可得約當(dāng)型本征解

其中ai(i=11，12，…，15)是彈性常數(shù)（見附錄B）。這些約當(dāng)型本征解可組成方程（9）的解

這些解的線性組合可表示出齊次邊界問題的通解。

在此基礎(chǔ)上，對于非齊次邊界情形，求解方程

得四階約當(dāng)型本征解

其中c1，c2是待定常數(shù)，ai(i=16，17，…，20)是彈性常數(shù)（見附錄C）。由式（16）、（19）和（22）可得方程（9）的一個特解為

因此，方程（9）的通解可表示為

其中，mi(i=1，2，…，11)為待定系數(shù)。

根據(jù)實際問題的邊界條件可以求出通解中的待定系數(shù)mi(i=1，2，…，11)和常數(shù)c1，c2，進而可求出相應(yīng)的應(yīng)力和位移的解析表達式。

2.2 受均布載荷懸臂梁的解析解

作為應(yīng)用，下面討論受均布載荷懸臂梁彎曲問題的解析解。設(shè)有矩形截面的十次準晶懸臂梁，x-y平面為準周期平面，深度為2h，長度為l，不計體力，受均布載荷q，如圖1。其邊界條件可以表示為

當(dāng)y=-h時，σyy=-q。

當(dāng)y=h時，σyy=Hyy=0。

當(dāng)x=0時，

圖1 均布載荷作用下十次對稱二維準晶懸臂梁Fig.1 Decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

當(dāng)x=l，y=0時，

將式（24）代入邊界條件（25），可得

其中a21，a22，a23是彈性常數(shù)（見附錄C）。將式（26）代入式（24），可以得到所討論問題的應(yīng)力和位移的解析表達式。

聲子場和相位子場應(yīng)力表達式為

聲子場和相位子場位移表達式為

其中a24和a25是彈性常數(shù)（見附錄C）。

從式（27）可看出，聲子場應(yīng)力的表達式與經(jīng)典彈性力學(xué)相應(yīng)問題的結(jié)果完全一致［14］。

3 數(shù)值算例

假設(shè)十次準晶懸臂梁的幾何參數(shù)為：l=1 m，h=0.08 m；均布載荷為q=10 KN/m2；十次準晶彈性常數(shù)為C11=234.33 GPa，C12=57.41 GPa，K1=122 GPa，K2=24 GPa［15］。目前實驗尚未測得耦合彈性常數(shù)R的值。下面討論x=0.5 m時，耦合彈性常數(shù)R對應(yīng)力和位移的影響。

圖2分別表示了x=0.5 m處均布載荷作用下懸臂梁的無量綱相位子場應(yīng)力隨y的變化趨勢。從圖2可看出，相位子場應(yīng)力隨著彈性耦合常數(shù)R的增大而增大。

圖3分別表示了x=0.5 m處均布載荷作用下懸臂梁的無量綱聲子場和相位子場位移隨y的變化趨勢。從圖3可看出，位移隨彈性耦合常數(shù)R的增大而增大，且聲子場位移比相位子場位移大一個數(shù)量級。

4 結(jié)論

本文建立了十次對稱二維準晶平面彈性問題的Hamilton體系，在此基礎(chǔ)上得到了均布載荷作用下十次準晶懸臂梁問題的解析解。該方法與預(yù)先確定試函數(shù)的經(jīng)典半逆解法有著根本的不同，且應(yīng)力和位移可以一起計算出來。Hamilton體系辛方法為準晶彈性理論的研究提供了新途徑。

圖2 均布載荷作用下十次對稱二維準晶懸臂梁無量綱相位子場應(yīng)力曲線Fig.2 Normalized stress curves of phason field of decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

圖3 均布載荷作用下十次對稱二維準晶懸臂梁無量綱位移曲線Fig.3 Normalized displacement curves of decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

5 附錄

附錄A

附錄B

附錄C