鐵路既有曲線混合約束非線性最優(yōu)化整正研究

馬敬武 謝建明 王 偉 謝紅太

（1.華設(shè)設(shè)計(jì)集團(tuán)股份有限公司， 南京 210014；2.四川大學(xué)， 成都 610065）

既有鐵路曲線整正是鐵路工務(wù)部門(mén)維修作業(yè)中的一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容。曲線整正可使軌道結(jié)構(gòu)保持標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，但列車運(yùn)行中不可避免的輪軌碰撞使得軌道結(jié)構(gòu)位置發(fā)生了變化，尤其線路曲線段的變化嚴(yán)重威脅著列車的運(yùn)行安全。鐵路運(yùn)營(yíng)維護(hù)中，曲線整正方法主要包括繩正法、偏角法和坐標(biāo)法［1-2］。繩正法用于鐵路日常維修，但易出現(xiàn)鵝頭問(wèn)題；偏角法用于鐵路大中修，行車干擾較大；坐標(biāo)法用于提速鐵路大中修，精度高，不受行車干擾［3-4］。

近些年，很多學(xué)者對(duì)既有鐵路曲線整正做了諸多研究，主要包括：劉鑫提出既有鐵路曲線線性約束和非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化曲線整正研究，使得曲線整正約束條件和目標(biāo)函數(shù)更精確、合理和科學(xué)［5-6］；丁克良等利用最小二乘平差法，根據(jù)鐵路線路特征及曲線整正要求，提出基于曲線平差法的數(shù)學(xué)模型計(jì)算曲線撥道量［7］；王保成等根據(jù)既有無(wú)縫線路提速后曲線整正的實(shí)際要求以及保證撥正前后軌道長(zhǎng)度不變，提出利用測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)直接進(jìn)行無(wú)縫線路曲線整正的方法［8］；楊輝等考慮了規(guī)范約束和控制點(diǎn)約束，基于罰函數(shù)的思想將曲線整正非線性約束轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，建立曲線整正最優(yōu)化模型［9］；秦方方等分析了擬合既有鐵路平面線形時(shí)產(chǎn)生的主要誤差，依據(jù)逆向重構(gòu)理論，提出基于三次樣條曲線的鐵路既有曲線整正方法；劉永孝等基于坐標(biāo)法的漸伸線誤差分析研究提出，曲線任意點(diǎn)撥距可通過(guò)對(duì)曲線測(cè)點(diǎn)沿徑向到撥后設(shè)計(jì)曲線的距離來(lái)計(jì)算，該方法能夠修正控制點(diǎn)的約束條件以達(dá)到約束條件對(duì)控制點(diǎn)撥距的限制；劉文濤等利用最小二乘法求得初始半徑及緩和曲線長(zhǎng)，但計(jì)算數(shù)據(jù)較大且圓曲線長(zhǎng)度較難確定［10-11］；繆鹍等針對(duì)鐵路既有曲線整正，提出基于PSO的既有線曲線整正方法，解決了現(xiàn)有計(jì)算中曲線線形參數(shù)初始值識(shí)別過(guò)程復(fù)雜的問(wèn)題［12］。

本文在分析了傳統(tǒng)曲線整正組成約束條件不足和曲線整正改變軌道幾何長(zhǎng)度造成的無(wú)縫線路鎖定軌溫變化［13］等基礎(chǔ)上，提出了一種鐵路既有曲線混合約束非線性最優(yōu)化整正的研究方法。

1 鐵路線形概略分段

鐵路標(biāo)準(zhǔn)線形由直線、緩和曲線和圓曲線組成。隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，鐵路檢測(cè)維修和養(yǎng)護(hù)技術(shù)也隨之提高。軌檢車作為重要的檢測(cè)手段，成為判斷軌道質(zhì)量狀態(tài)的重要工具。合理利用軌檢車數(shù)據(jù)，并依此指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)作業(yè)，對(duì)保持軌道良好狀態(tài)水平十分重要。姚連璧等利用三次樣條函數(shù)，將所有測(cè)點(diǎn)擬合成一條曲線，并計(jì)算各測(cè)點(diǎn)的曲率，通過(guò)穩(wěn)健估計(jì)法在曲率圖上進(jìn)行鐵路線形的識(shí)別［14］；石培澤采用十一點(diǎn)曲率法得到測(cè)點(diǎn)近似曲率，按照設(shè)定閾值識(shí)別主點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)主點(diǎn)坐標(biāo)位置劃分既有線路各點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)線形的粗略分段［15］。

分析軌檢車數(shù)據(jù)，為進(jìn)一步探究測(cè)點(diǎn)的準(zhǔn)確性和適用性，用曲率變化率進(jìn)行定量說(shuō)明。曲率變化率示意如圖1所示，對(duì)其中超過(guò)管理限值的點(diǎn)進(jìn)行處理［16］，可獲得符合線形要求的曲率圖。由曲率圖概略反應(yīng)直線、緩和曲線和圓曲線等鐵路線形參數(shù)，如圖2所示，oa和de段為直線段，ab和cd段為緩和曲線，bc段為圓曲線段。

圖1 曲率變化率示意圖

圖2 曲率示意圖

2 計(jì)算初始值

2.1 計(jì)算初始圓心和半徑

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，按照3點(diǎn)定圓，在曲率梯形圖bc段取n + 2個(gè)點(diǎn)，可以確定n個(gè)圓心，再把圓心依次連接，組成1個(gè)n邊形，n邊形的幾何重心就是要求的初始圓心。選取n邊形某一點(diǎn)為頂點(diǎn)，將其分成n - 2個(gè)不交叉重疊的三角形，如圖3所示。設(shè)圓心o1，o2，…，on的坐標(biāo)分別為（p1，q1），（p2，q2），…，（pn，qn），o1為頂點(diǎn)，則n邊形幾何重心坐標(biāo)（也即為初始圓心坐標(biāo)）為：

圖3 n邊形幾何重心示意圖

初始半徑R為：

2.2 計(jì)算初始緩和曲線長(zhǎng)度

單曲線線形要素示意如圖4所示，p1，p2是內(nèi)移距，當(dāng)圓心和半徑確定，內(nèi)移距即可確定。

圖4 單曲線線形要素示意圖

3 曲線整正優(yōu)化方法

3.1 設(shè)計(jì)變量

參照?qǐng)D4 在前直線段上選取 A（xA，yA）、B（xB，yB）兩點(diǎn)，后直線段上選取 C（xC，yC）、D（xD，yD）兩點(diǎn)，則偏角對(duì)于特定的曲線，前后直線不變，則偏角α不變。經(jīng)分析研究，不同的緩和曲線長(zhǎng)度和半徑，對(duì)應(yīng)的撥道量不同，所以本次設(shè)計(jì)l01、R、l02為變量，即X→= （l01，R，l02）T。

3.2 約束條件

在保證曲線偏角α不變的基礎(chǔ)上，綜合考慮的約束條件有：

（1）起、終點(diǎn)撥道量為0。

（2）軌道幾何長(zhǎng)度保持不變。

（3）橋、隧等大型構(gòu)筑物控制點(diǎn)位置撥道量小于規(guī)定的限值。

（4）曲線半徑和緩和曲線長(zhǎng)度滿足TB 10098 -2017《鐵路線路設(shè)計(jì)規(guī)范》和TG／GW102 - 2019《普速鐵路線路修理規(guī)則》的規(guī)定，曲線半徑取整，緩和曲線長(zhǎng)度為10 m整倍數(shù)。

針對(duì)上述約束條件，設(shè)約束方程表達(dá)式為：

式中：H、G——基本約束矩陣，H→=（h1，h2，…，hm）、

→G→=（g1，g2，…，gn）；

→m和n——基本約束個(gè)數(shù)；

→X——設(shè)計(jì)變量；

→W——基本約束矩陣中的設(shè)計(jì)允許值，W→=（w1，w2，… wm）T；

→L——曲線長(zhǎng)度。

式中：w1、w2、w3——規(guī)范中對(duì)應(yīng) l01、R、l02的最小允許值；

w4、w5、w6——規(guī)范中對(duì)應(yīng) l01、R、l02的最大允許值的負(fù)值；

w7——規(guī)范中圓曲線長(zhǎng)度的最小允許值。

3.3 目標(biāo)方程

以撥道量的平方和最小為目標(biāo)，即

式中：D——N個(gè)分量的向量函數(shù)，其分量di（X）是分片函數(shù)的子式。

綜上，可得曲線整正優(yōu)化計(jì)算模型：

由式（9）可得，該計(jì)算模型為含有不等式和等式混合線性約束的非線性目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化模型。

3.4 目標(biāo)方程求解

利用可行方向法求解本文計(jì)算模型。如果式（9）存在非零向量dk同時(shí)滿足Gdk= 0，則dk是X處的可行下降方向。設(shè)Xk為可行域中的可行點(diǎn)，從Xk出發(fā)，沿dk作一維搜索，得后繼迭代點(diǎn)Xk+1= Xk+λkdk，為保證Xk+1的可行性，進(jìn)而求解式（10）帶約束的一維最優(yōu)化問(wèn)題。

本節(jié)課的讀中活動(dòng)，教師有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用閱讀技能分析特定段落，提高學(xué)生解讀英語(yǔ)篇章組織結(jié)構(gòu)的能力，將其遷移到寫(xiě)作中，做到了“讀中有寫(xiě)”。

具體計(jì)算步驟如下：

（1）初始值 X0，令 k→= 0，允許誤差ε＞ 0。

（2）根據(jù)Xk處的起作用約束，把H分解為H1和H2，W分解為W1和W2，使得 H1TXk=W1，H2TXk=W1，計(jì)算

（3）求解式（11）最優(yōu)解 dk：

按式（12）求出λmax；求解最優(yōu)解λk，令 Xk+1= Xk+λkdk， k→= k + 1，返回步驟（2）。

3.5 計(jì)算流程

本文模型計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 計(jì)算流程示意圖

4 實(shí)例驗(yàn)證

本文模型在蘭新鐵路大中修中得以應(yīng)用驗(yàn)證。蘭新鐵路，東起甘肅省蘭州市，途經(jīng)萬(wàn)里長(zhǎng)城西端嘉峪關(guān)，西至新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市，全長(zhǎng)2 423 km。其中蘭州至嘉峪關(guān)段全線為雙線電氣化鐵路，嘉峪關(guān)至烏魯木齊段為單線電氣化鐵路。

以蘭新鐵路K 109 + 280～K 109 + 820段為例，曲線偏角α= 10.6°（左偏），半徑R = 2 000 m，緩和曲線長(zhǎng)度L0= 160 m，沿線經(jīng)過(guò)1座小橋和1座中橋，橋頭橋尾可作為撥道量控制點(diǎn)位置。首先利用軌檢車采集坐標(biāo)數(shù)據(jù)，軌檢車數(shù)據(jù)里程相對(duì)于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際里程會(huì)有一定的飄移，但在計(jì)算中，每次迭代計(jì)算都是某一點(diǎn)或者一小段的計(jì)算，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大［18］。隨后利用計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言Python進(jìn)行自主編程計(jì)算最優(yōu)撥道量。

4.1 計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)和偏角

計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)和偏角如表1所示。

表1 交點(diǎn)坐標(biāo)和偏角表

4.2 計(jì)算初始圓心坐標(biāo)、半徑和緩長(zhǎng)

計(jì)算初始圓心坐標(biāo)、曲線半徑和緩和曲線長(zhǎng)度如表2所示。

表2 初始圓心坐標(biāo)、半徑和緩長(zhǎng)表

4.3 計(jì)算撥道量并優(yōu)化

表3 間隔20m測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)及撥道量表

5 結(jié)論

（1）為了使得軌道幾何長(zhǎng)度在撥道前后不變，可以將其長(zhǎng)度作為約束條件，可以滿足半徑和緩長(zhǎng)取整的要求。

（2）相比于傳統(tǒng)撥道量，優(yōu)化后的撥道量結(jié)果明顯較好，表明該模型具有較好的準(zhǔn)確性和優(yōu)越性。

（3）本文模型約束條件均來(lái)源于TB 10098 - 2017《鐵路線路設(shè)計(jì)規(guī)范》、TG／GW 102 - 2019《普速鐵路線路修理規(guī)則》，所以該方法適用于客貨共線、重載鐵路以及鐵路大提速既有曲線整正。