基于PLS的多維力傳感器動(dòng)態(tài)力反演研究

董建平 周興林 朱 攀

(武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院 湖北 武漢 430081)

0 引 言

傳感器的被測(cè)量是通過(guò)測(cè)量信號(hào)的反演得到的。工業(yè)測(cè)試中靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)力測(cè)量技術(shù)較為成熟，而關(guān)于動(dòng)態(tài)測(cè)量技術(shù)的研究尚不完善[1]。動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí)被測(cè)量是與時(shí)間強(qiáng)相關(guān)的，利用靜態(tài)的測(cè)量方法得到的結(jié)果不準(zhǔn)確[2]。

另外，根據(jù)測(cè)力分量數(shù)目的不同，傳感器可以分為單維、多維。多維力傳感器主要用于力與位置精密控制領(lǐng)域，如在汽車(chē)輪胎接觸應(yīng)力測(cè)試[3]、機(jī)械裝置[4]、醫(yī)療器械和機(jī)器人技術(shù)[5]等方面，其在精密測(cè)控領(lǐng)域是不可或缺的。

實(shí)現(xiàn)多維力傳感器動(dòng)態(tài)測(cè)量需要經(jīng)過(guò)動(dòng)態(tài)標(biāo)定和反演，反演是本文關(guān)注的重點(diǎn)。由于設(shè)計(jì)、制造和安裝方面的限制，多維力傳感器的彈性體(敏感元件)往往為一體化結(jié)構(gòu)，因此各維測(cè)力方向上會(huì)產(chǎn)生干擾，即存在維間耦合，這嚴(yán)重影響了傳感器的測(cè)量精度，減輕或消除維間耦合是多維力傳感器測(cè)量中急需解決的問(wèn)題。目前學(xué)界存在兩種解決思路，其一是從結(jié)構(gòu)上消除耦合誤差[6]，這對(duì)傳感器的制造和安裝精度要求較高；其二是設(shè)計(jì)解耦系統(tǒng)，采用解耦算法減輕耦合誤差的影響，提高測(cè)量精度[7-8]。

實(shí)際測(cè)量中，數(shù)據(jù)都是帶有噪聲的，解算出的輸入力與真實(shí)力之間存在偏差，多維力傳感器的動(dòng)態(tài)力反演需要減小耦合誤差，據(jù)此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了一系列研究。徐科軍等[9]針對(duì)腕力傳感器提出了不變性解耦，采用解耦網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)解耦模型的降階，通過(guò)簡(jiǎn)化運(yùn)算減小誤差，取得了良好效果。但這種方法有較大的限制性，對(duì)于非最小相位系統(tǒng)需要考慮模型的穩(wěn)定性。同年，徐科軍等[10]進(jìn)一步提出迭代動(dòng)態(tài)解耦方法，對(duì)不變性動(dòng)態(tài)解耦方法進(jìn)行優(yōu)化，能夠較好地減輕耦合影響，但在求解高階復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，構(gòu)建解耦網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)十分困難。宋國(guó)民等[11]將傳感器的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣，從而弱化維間耦合的影響，實(shí)現(xiàn)近似解耦。夏秋等[12]提出了基于獨(dú)立成分分析(ICA)的多維力傳感器解耦方法，表示經(jīng)過(guò)獨(dú)立成分分析，傳感器的測(cè)量效果優(yōu)于對(duì)角優(yōu)勢(shì)化補(bǔ)償方法，能有效提高傳感器的測(cè)量精度。國(guó)外關(guān)于動(dòng)態(tài)反演的研究大多是采用濾波器。Eichst?dt等[13]根據(jù)補(bǔ)償濾波器的設(shè)計(jì)方法把數(shù)字反卷積濾波器分為FIR濾波器和IIR濾波器,以此來(lái)削弱噪聲影響。瑞典學(xué)者Hessling[14]根據(jù)測(cè)量系統(tǒng)有理傳遞函數(shù)模型和數(shù)字濾波器模型得到被測(cè)量。

本文采用偏最小二乘法(Partial Least Squares,PLS)對(duì)被測(cè)量進(jìn)行反演，通過(guò)交叉驗(yàn)證選取參數(shù)，利用均方差篩選主成分，從而減輕測(cè)量噪聲的影響，設(shè)計(jì)的兩個(gè)仿真算例表明，該方法能有效減輕噪聲影響，提高測(cè)量精度，且解算過(guò)程穩(wěn)定有效。

1 多維力傳感器反演模型

多維力傳感器的敏感元件工作在線性區(qū)域，在線性時(shí)不變(LTI)條件下，傳感器測(cè)量系統(tǒng)可看作多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)。線性時(shí)不變條件下的輸入輸出可以表示為卷積關(guān)系：

(1)

式中：hji(t)hji(t)表示從第i個(gè)輸入到第j個(gè)輸出uj(t)通道的沖激響應(yīng)函數(shù)，其中有i=0,1,…,p,并且j=0,1,…,q。

其矩陣表達(dá)形式為：

(2)

式中：uj為第j個(gè)輸出的向量形式；fi為第i個(gè)輸入的向量形式；Hji為與hji(t)相對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)核函數(shù)矩陣。

假設(shè)多維力傳感器系統(tǒng)輸入和輸出分別為f和u：

f=[f1,f2,…,fp]T

(3)

u=[u1,u2,…,uq]T

(4)

動(dòng)態(tài)特性矩陣用H來(lái)表示：

(5)

MIMO系統(tǒng)可表示為：

u=Hf

(6)

上述方程的求解通常是不適定的，對(duì)測(cè)量過(guò)程中的擾動(dòng)十分敏感，求解過(guò)程中容易出現(xiàn)矩陣的病態(tài)問(wèn)題。為避免求解的病態(tài)問(wèn)題，可將傳感器的動(dòng)態(tài)力反演看作作用位置已知的載荷識(shí)別問(wèn)題，對(duì)傳感器輸入量的反演即為模型的系數(shù)辨識(shí)。

可采用建立回歸模型，將輸入量f作為傳感器系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別的方法來(lái)獲得輸入信號(hào)的近似解，通過(guò)優(yōu)化使其可以表達(dá)真實(shí)信號(hào)的特征，具有更好的穩(wěn)定性。

2 偏最小二乘算法

偏最小二乘(Partial Least Squares,PLS)是一種利用潛在變量對(duì)觀測(cè)變量集之間的關(guān)系進(jìn)行建模的廣泛方法。它包括回歸和分類任務(wù)以及降維技術(shù)和建模工具。所有偏最小二乘方法的基本假設(shè)是，觀測(cè)數(shù)據(jù)是由一個(gè)系統(tǒng)或過(guò)程產(chǎn)生的，該系統(tǒng)或過(guò)程是由少量潛在(非直接觀測(cè)或測(cè)量)變量驅(qū)動(dòng)的。利用PLS將觀測(cè)到的數(shù)據(jù)投影到其潛在結(jié)構(gòu)中是建模的核心[15]。將PLS用于求解式(6)，當(dāng)u為一維變量時(shí)，PLS可以視為一個(gè)正則化的最小二乘擬合[15]。

PLS與其他方法的不同之處在于PLS對(duì)XYT進(jìn)行特征值分解，適用于解決變量之間的共線性較高的情況。PLS將原始數(shù)據(jù)投射到更緊湊的潛在變量空間中，能夠分析單個(gè)變量的重要性，建立自變量與因變量之間的關(guān)系，刪除影響較小的變量，使模型包含最少的變量數(shù)，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)弱化噪聲影響的目的。且計(jì)算和執(zhí)行簡(jiǎn)單，具有較好的穩(wěn)定性[16]。

2.1 算法原理

分別從自變量集合X和因變量集合Y中提取成分t1和u1，使得t1和u1盡可能多地表達(dá)它們各自的數(shù)據(jù)信息，并且t1與u1和X與Y的相關(guān)系數(shù)取到最大值，將X與Y提取成分后的殘余信息作為新的集合來(lái)提取t2和u2。對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行迭代，直到滿足精度要求。經(jīng)過(guò)主要成分信息的提取，將次要信息去除，可最大程度地減輕或消除噪聲影響，提高傳感器的測(cè)量精度。

2.2 算法實(shí)現(xiàn)步驟

本文將PLS方法用于多維力傳感器的動(dòng)態(tài)反演，建立一個(gè)單變量的偏最小二乘回歸模型(記為PLS1[16])，下面是PLS1的建模方法。

2.2.1第一、二成分選擇

將數(shù)據(jù)進(jìn)行處理(減去均值、除以標(biāo)準(zhǔn)差)獲得新的X和Y。分別從X和Y中選擇第一成分t1和u1。

t1=Xp1

(7)

u1=Yq1

(8)

提取出的成分t1和u1要最大程度地包含X和Y中的變異信息，且t1對(duì)u1有最大的解釋能力[17]，即要求Cov(t1,u1)達(dá)到最大。

分別求取XTYYTX和YTXXTY最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即可得p1和q1，從而可得成分t1，本文中q1=1，u1=Y。分別建立回歸方程有：

(9)

分別以殘差矩陣X1和Y1作為新的X和Y，用上面的方法求得第二成分t2。求取新的特征矩陣對(duì)應(yīng)的特征向量p2，則：

t2=X1p2

(10)

建立X1和Y1對(duì)t2的回歸方程，有：

(11)

2.2.2原始數(shù)據(jù)系數(shù)計(jì)算

同以上方法，可對(duì)第h成分th進(jìn)行提取。h可采用交叉驗(yàn)證估計(jì)均方誤差的方法獲得。由上述方法不斷計(jì)算可得：

(12)

式中：E和F是殘差矩陣[18]。

式(12)的矩陣形式如下：

(13)

式(13)即為Y關(guān)于X的回歸方程，其中系數(shù)B=PRT。在算法計(jì)算過(guò)程中收集P和R的值就可以得到原始矩陣的系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)輸入量的反演。

2.3 交叉驗(yàn)證

在通過(guò)偏最小二乘法建立模型時(shí)，成分參數(shù)的選擇尤為重要，若h值選擇過(guò)小，則不足以較為完整的表達(dá)數(shù)據(jù)信息；若h值選擇過(guò)大，則會(huì)代入噪聲信息。本文采用十折交叉驗(yàn)證(10-fold cross validation)的方法選取參數(shù)，方法如下：

將數(shù)據(jù)分為十等份，取出其中一份作為測(cè)試數(shù)據(jù)，其余九份數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，每次選擇不同份的數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)，交叉驗(yàn)證重復(fù)十次，并將十次交叉驗(yàn)證過(guò)程中訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)的識(shí)別準(zhǔn)確率作為結(jié)果。

這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于，保證每個(gè)子集都參與訓(xùn)練且都被測(cè)試，有效降低泛化誤差。本文通過(guò)十折交叉驗(yàn)證估計(jì)均方根誤差，選取均方根誤差最小的參數(shù)作為選取的成分?jǐn)?shù)。

通過(guò)估計(jì)均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)的方法選擇最佳的成分?jǐn)?shù)目h。均方根誤差用以評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的擬合狀況，它的值越小，表明預(yù)測(cè)模型與真實(shí)模型的擬合程度越高，RMSE定義為：

(14)

衡量模型是否適合訓(xùn)練數(shù)據(jù)的指標(biāo)R2定義為：

(15)

3 仿真驗(yàn)證

通過(guò)仿真分析對(duì)本文提出的方法進(jìn)行有效性驗(yàn)證。多維力傳感器的兩兩通道間存在干擾，以文獻(xiàn)[9]中一個(gè)二輸入二輸出系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真分析，其傳遞函數(shù)模型為：

(16)

3.1 矩形脈沖動(dòng)態(tài)力輸入信號(hào)

為了驗(yàn)證PLS算法的有效性，將兩個(gè)矩形脈沖信號(hào)作為多維力傳感器的動(dòng)態(tài)力輸入，如圖1所示，矩形脈沖信號(hào)具有非常豐富的頻率信息，能夠十分有效地驗(yàn)證算法的優(yōu)化效果，得到的輸出信號(hào)如圖2所示。為輸出信號(hào)添加SNR為10 dB的高斯白噪聲，如圖3所示。

圖1 矩形脈沖動(dòng)態(tài)力輸入信號(hào)

圖2 矩形脈沖信號(hào)的傳感器輸出信號(hào)

圖3 添加噪聲后的輸出信號(hào)

若不進(jìn)行處理，直接通過(guò)輸出信號(hào)反演輸入信號(hào)，輸入信號(hào)發(fā)生失真，得到的結(jié)果是無(wú)意義的，如圖4所示。

圖4 直接反演求解的輸入信號(hào)

根據(jù)2.2節(jié)所述步驟，利用PLS算法來(lái)實(shí)現(xiàn)傳感器動(dòng)態(tài)力的重建，可通過(guò)交叉驗(yàn)證估計(jì)均方根誤差的方法確定提取的成分?jǐn)?shù)量h，如圖5所示?？梢钥闯?，隨著成分?jǐn)?shù)的增加，均方差逐漸減小，從第四個(gè)成分?jǐn)?shù)開(kāi)始逐漸變緩，在h=6處均方差基本達(dá)到最小，滿足參數(shù)要求，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖5 交叉驗(yàn)證選取成分?jǐn)?shù)

圖6 重建信號(hào)與真實(shí)信號(hào)對(duì)比

從PLS求解值與真實(shí)值的對(duì)比結(jié)果中可以看出，通過(guò)PLS算法得到的曲線與真實(shí)值趨勢(shì)一致，圍繞真實(shí)值上下輕微波動(dòng)，這是由于矩形脈沖信號(hào)包含豐富的頻率信息。相較于直接根據(jù)測(cè)量值反演被測(cè)量的結(jié)果，該方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)，求解值能夠有效表達(dá)真實(shí)值。

3.2 雙半正弦信號(hào)輸入

將雙半正弦信號(hào)作為傳感器的輸入信號(hào)，進(jìn)一步驗(yàn)證PLS算法的有效性。如圖7所示，分別以兩個(gè)雙半正弦信號(hào)作為輸入信號(hào)。

圖7 雙半正弦輸入信號(hào)

為輸出信號(hào)添加信噪比為10 dB的高斯白噪聲(圖8)，由文中2.3節(jié)所述，利用十折交叉驗(yàn)證估計(jì)均方差，選取最小值以確保數(shù)據(jù)保留較高精度，如圖9所示，從h為3時(shí)均方根誤差變化較為平緩，當(dāng)h=5時(shí)均方根誤差基本達(dá)到最小值，故選取參數(shù)為5既能表達(dá)大部分信息，又可避免噪聲的影響。通過(guò)重建得到的輸入信號(hào)與真實(shí)值對(duì)比結(jié)果如圖10所示，可以看出，PLS求解值能有效地表示真實(shí)值的特征。

圖8 添加噪聲后的輸出信號(hào)

圖9 交叉驗(yàn)證選取成分?jǐn)?shù)

圖10 重建信號(hào)與真實(shí)信號(hào)對(duì)比

3.3 PLS算法與PCA算法的比較

與PLS算法類似，主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)也是一種常用的降維去噪方法，因此PCA也可以用于多維力傳感器的動(dòng)態(tài)反演，這里把PCA算法與PLS算法得到的反演結(jié)果進(jìn)行比較。

同樣采用式(16)的傳遞函數(shù)模型進(jìn)行仿真，分別利用3.1節(jié)的矩形脈沖信號(hào)和3.2節(jié)的雙半正弦信號(hào)作為輸入，為輸出信號(hào)添加信噪比為10 dB的高斯白噪聲后，通過(guò)PCA降噪實(shí)現(xiàn)傳感器的動(dòng)態(tài)反演，得到的PCA求解值與真實(shí)輸入信號(hào)的對(duì)比如圖11和圖12所示。

圖11 兩種算法的矩形脈沖信號(hào)求解結(jié)果對(duì)比

圖12 兩種算法的雙半正弦信號(hào)求解結(jié)果對(duì)比

可以看出，采用PCA實(shí)現(xiàn)多維力傳感器的動(dòng)態(tài)反演有一定的效果，但相較于PLS的求解效果反演精度不高，與真實(shí)值的偏離程度較大。原因是PCA降維過(guò)程中，因變量并沒(méi)有參與主成分的構(gòu)造，所以PCA無(wú)法保證同時(shí)指導(dǎo)預(yù)測(cè)自變量的方向和預(yù)測(cè)因變量。但PLS算法不僅能很好地概括自變量的信息，而且對(duì)因變量也有很強(qiáng)的解釋能力。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)多維力傳感器在先驗(yàn)信息缺乏時(shí)的動(dòng)態(tài)反演出現(xiàn)信號(hào)失真的問(wèn)題，提出通過(guò)PLS算法提取有效成分來(lái)降低噪聲對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。相較于傳統(tǒng)求解過(guò)程中的矩陣病態(tài)問(wèn)題，求解過(guò)程更加穩(wěn)定。采用交叉驗(yàn)證估計(jì)均方差的方法選取參數(shù)，既保證了信息的完整性，又在最大程度上摒除噪聲信息，保證求解精度。仿真結(jié)果表明，在受到信噪比為10 dB的高斯白噪聲影響時(shí)，采用PLS方法依然能較準(zhǔn)確地還原矩形脈沖和雙半正弦脈沖，表明該方法的可行性和有效性。PLS通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的處理實(shí)現(xiàn)傳感器的動(dòng)態(tài)反演，相較于矩陣求解法更加穩(wěn)健，抗干擾能力更強(qiáng)，甚至在與PCA方法的比較中也表現(xiàn)出更好的魯棒性。